線性系統(tǒng)的能控性與能觀性分析

1、第四章第四章 線性系統(tǒng)的能控性與能觀性分析線性系統(tǒng)的能控性與能觀性分析通過 與 建立起了間接聯(lián)系，也有可能能受 支配。 與 有直接聯(lián)系，可能能支配 的運(yùn)動； 狀態(tài)量的引入以及它在系統(tǒng)中的重要地位，有兩個問題引起關(guān)心： （1）系統(tǒng)能否在合適的控制量作用下從任意的初始狀態(tài)運(yùn)動到希望的終止?fàn)顟B(tài)。系統(tǒng)的能控性，控制量對系統(tǒng)狀態(tài)的支配能力。 （2）根據(jù)輸出量的測量值能否確定出系統(tǒng)的狀態(tài)值。系統(tǒng)的能觀性，輸出量對系統(tǒng)狀態(tài)的測辨能力。 1. 系統(tǒng)能控性和能觀性的直觀示例系統(tǒng)能控性和能觀性的直觀示例 示例1：考慮線性系統(tǒng) 11222xxxxu 2xu2x 與 沒有聯(lián)系，不可能支配 的運(yùn)動；u1x1x11222

2、2xxxxxu 1xu2xu就是 ，所以能夠通過 來觀測 ；示例2：考慮線性系統(tǒng) 1122152xxxxyx y1x1xy2x2x 與 沒有任何聯(lián)系（直接的或間接的），不能通過 來觀測 。yy11222152 xxxxxyx 通過能觀測的 與 建立了間接聯(lián)系 ，有可能能觀測2x1xy示例3： 1122212323xxxuRCxxxuRC1x2x12( )( )x tx t 和 完全對稱，必有解： 當(dāng)初始狀態(tài) 時， 使系統(tǒng)的狀態(tài)運(yùn)動到任意的 的目標(biāo)狀態(tài)，但不可能運(yùn)動到 的目標(biāo)狀態(tài)；可見，特定條件下的狀態(tài)量是可以受控制量支配的。 1020( )( )x tx t u12( )( )x tx t12

3、( )( )x tx t示例4： 112221121ooooooRRRxxxuLLLRRRxxxLLyR xR x ( )0u t 時， 和 也是完全對稱的，在初始狀態(tài) 的特定條件下，總有 。這時，雖然每個狀態(tài)變量都與輸出量有聯(lián)系，但這種聯(lián)系通過所存在的二條通道相互抵消，從而不能通過輸出量來觀測狀態(tài)量。 1x2x1020( )( )x tx t( )0y t 上面的直觀示例對能控性、能觀性的說明不嚴(yán)密，需要作出較嚴(yán)格的定義，推導(dǎo)出可用的判據(jù)。 對于上面系統(tǒng)的指定初始時刻 的非零初始狀態(tài) ，如果能找到一個無約束的容許控制 ，使系統(tǒng)狀態(tài)在有限的時間區(qū)間 內(nèi)在 的作用下運(yùn)動到終止?fàn)顟B(tài) ，則稱該狀態(tài)在

4、 時刻是能控的，記作 。2 連續(xù)系統(tǒng)能控性及其判據(jù)連續(xù)系統(tǒng)能控性及其判據(jù) 2系統(tǒng)能控：一、能控性定義一、能控性定義( )( )tt x = Ax+ Bu1狀態(tài)能控： 0t00( )txx( ) tu0,ftt()0ftx0 x0tcx線性時變連續(xù)系統(tǒng) ( ) tu 對于上面系統(tǒng)，如果狀態(tài)空間中所有初始狀態(tài) 在 時刻都是能控的，則稱系統(tǒng)在 時刻是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)在時刻能控。 00 x0t0t0t0( )0()0ftt 任意uxx（1）將 ，稱為 在 能達(dá)；fx0t0( )( )0( )ffttt 任意uxxx（2）可以證明，線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性與能達(dá)性是等價的； （3）如上，線性時變連續(xù)

5、系統(tǒng)強(qiáng)調(diào)了“ 時刻”的能控性，若與初始時刻 無關(guān)，則稱一致能控。定常系統(tǒng)的能控性與初始時刻 無關(guān)，所以不必強(qiáng)調(diào)時間，稱狀態(tài)能控或系統(tǒng)能控 。 0t0t二、能控性基本判據(jù)二、能控性基本判據(jù)1能控子空間：我們著重關(guān)心的是能控狀態(tài) 在狀態(tài)空間的分布情況。 cx 把狀態(tài)空間中全體能控狀態(tài)的集合稱為能控子空間 ，它是系統(tǒng)狀態(tài)空間 的一個線性子空間。 cXX 還存在能控子空間 的正交補(bǔ)空間 ，它也是系統(tǒng)狀態(tài)空間 的線性子空間，有 cXcXXccX = XX直和 是狀態(tài)在能控子空間 上的投影向量，為狀態(tài)的能控分量； 狀態(tài)空間內(nèi)的任一向量x都可以表示為在上述兩個子空間的投影向量之和，即：ccx = x + x

6、cxcX 是狀態(tài)在正交補(bǔ)空間 上的投影向量，為狀態(tài)的不能控分量； cxcX這二個向量正交，它們的內(nèi)積為零，即： ,0Tcccc xxx x2能控性基本判據(jù)：00()(,)(, ) ( ) ( )0ftffcftttttttt dtxxBu 00( , ) ( ) ( )ftctt ttt dt xBu 00( , ) ( ) ( )0ftTTccctt ttt dt x xxBu 矩陣 稱為能控性格拉姆（Gram）矩陣，有能控性基本判據(jù)的另一種表達(dá)形式。 能控性基本判據(jù)： 系統(tǒng)在 時刻狀態(tài)完全能控的充要條件是 維時間函數(shù)矩陣 的n個行向量線性無關(guān)，其中 。 0tnp0( , ) ( )t tt

7、B 0fttt 0( , ) ( )0Tct tt xB 0000( ,)( , )( )( )( , )ftTTcftt tt tttt t dtGBB 0( ,)cft tG 可以證明，時間函數(shù)矩陣 的n個行向量線性無關(guān)與下面矩陣非奇異完全等價：0( , ) ( )t ttB 0t0fttt 能控性格拉姆矩陣判據(jù)：系統(tǒng)在 時刻狀態(tài)完全能控的充要條件是能控性格拉姆矩陣 非奇異，其中 。0( ,)cft tG 根據(jù)能控性格拉姆矩陣判據(jù)，可以求得使一個能控狀態(tài) 在時間區(qū)間 內(nèi)運(yùn)動到 的控制量：cx0 ,ft t()0ftx100( )( )( , )( ,)TTcfcttt tt t uBGx

8、各元素全為0， 的行向量組線性無關(guān) Tcx0( , ) ( )t ttB 三、定常系統(tǒng)能控性判據(jù)三、定常系統(tǒng)能控性判據(jù)上面判據(jù)都適用，不再強(qiáng)調(diào)“某一時刻”。 x = Ax+ Bu 1代數(shù)判據(jù)： 0TtceAxB0( , ) ( )0Tct tt xB 定常系統(tǒng)1011( )( )( )0TncntttxB+AB+AB凱萊哈密頓定理 012121( )( )( )0( )ppTnpcnpttttIIIxBABA BABI210TnTcccxBABA BABx Q各元素全為0， 的行向量組線性無關(guān)或秩為nTcxcQ21ncQBABA BAB稱為線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性矩陣。 代數(shù)判據(jù)或秩判據(jù)：線性

9、定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是系統(tǒng)的能控性矩陣的秩為n，即 21ncrankranknQBABA BAB由代數(shù)判據(jù)可以證明，引入非奇異線性變換，不改變系統(tǒng)的能控性。 211111111111111 () () nncnncQBABA BABP BP AP P BP APP BP BP ABP ABPBABABP Q1P存在并滿秩，所以有： ccrankrankQQ例例43 試判別下面線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性： 142200610117111 xxu解：解： 求得系統(tǒng)的能控性矩陣為22 040 111 11c QBABA B 由計算得到的前三列就可得出 不必再計算出后三列的具體數(shù)值。 3c

10、ranknQ通過計算行列式能較方便地判別一個方陣是否滿秩。由于 ()TcccrankrankQQ Qn n()TccQ Q 所以，可以計算 維方陣 的行列式來判別能控性矩陣是否滿秩 。 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是系統(tǒng)矩陣A的所有特征值 滿足： 2PBH秩判據(jù)：(1,2, )iin iranknIAB證明略例例44 應(yīng)用PBH秩判據(jù)判別下面系統(tǒng)的能控性 452101u xx解：解： 先求得系統(tǒng)的特征值為： 15 21對于 有 15 1152 151IAB其秩為2； 對于 有212552 111IAB其秩也為2； 滿足PBH秩判據(jù)條件，所以系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控。 ()rank snIA

11、 rank snIAB一個等價的判據(jù)是： 這是因為s域上除特征值外，都有 分別以不同的特征值 代入上式，只有當(dāng) 時，才能使 3特征值規(guī)范型判據(jù) 特征值規(guī)范形式，控制量與狀態(tài)量之間的關(guān)系是顯式的。 對角線規(guī)范型判據(jù)對角線規(guī)范型判據(jù)：系統(tǒng)矩陣A為對角陣，且對角線上元素互異時，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是輸入矩陣B不存在元素全為0的行。 1122000000nnbbx =x+ub應(yīng)用PBH秩判據(jù)，有： 11220000 00iiiinnbbIAB =b(1,2, )iin0ib(1,2, )in iranknIAB 由于非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性，狀態(tài)完全能控的充要條件是其對角線規(guī)范型 的輸入矩陣

12、 不存在元素全為0的行。 ( ,)A B B101 022u -xx系統(tǒng)能控 1） 201 010u xx100020205000385 xx+u100000205000385 xx+u101 012u -xx系統(tǒng)不能控 系統(tǒng)能控系統(tǒng)不能控2） 3） 4） 5） A雖為對角陣，但對角線上元素不互異，不能用上述判據(jù)。 實際上，該系統(tǒng)的能控性矩陣為： 1122cQbAb不是滿秩陣，系統(tǒng)不能控。 約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)1：A為約當(dāng)陣且不同約當(dāng)塊具有不同對角元素時，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是輸入矩陣B的與每個約當(dāng)塊末行對應(yīng)的行元素不全為0。 以只具有一個約當(dāng)塊的情況來說明： 121000000

13、1000nbbx =x+ub應(yīng)用PBH秩判據(jù)，將系統(tǒng)唯一的n重特征值 代入判別矩陣，有： 12101000010 00010000nnbbIAB =bb0nb ranknIAB只有當(dāng)時 ，才能使 410 042u xx系統(tǒng)能控 系統(tǒng)不能控 212 020u xx410000040000312000100032 xx+u系統(tǒng)能控1） 2） 3） 約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)2：A為約當(dāng)陣，但不同約當(dāng)塊具有相同對角元素時，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是輸入矩陣B的與每個約當(dāng)塊末行對應(yīng)的那些行彼此線性無關(guān)。 以具有2個約當(dāng)塊的情況來說明： 只有當(dāng)行向量 和 線性無關(guān)時，才能使 123451000000

14、0001000010000bbbx =x+ubb應(yīng)用PBH秩判據(jù)，將系統(tǒng)唯一的特征值 代入判別矩陣，有： 123450100000000 000100000100000bbIAB =bbb2b5b ranknIAB310012030000311122100003 xx+u系統(tǒng)不能控 310021030000312101100003 xx+u系統(tǒng)能控 一個對角元素可視為階次為1的約當(dāng)塊，所以有 1 1 000 1 00 0 121u xx 系統(tǒng)不能控 1） 2） 3） 210010004000022 23100110003174030 xxu系統(tǒng)能控 4） 當(dāng)A既有相異的對角元素，又有約當(dāng)塊時，

15、可聯(lián)合應(yīng)用上述三個判據(jù)進(jìn)行判別。 3 1 00 00 3 00 0 2 10 3 1 xxu 系統(tǒng)能控 1） 如果存在控制作用 ，在有限的時間區(qū)間 內(nèi)，將任一給定的初始輸出 推向所規(guī)定的任意終點輸出 ，則稱系統(tǒng)是輸出完全能控的，簡稱系統(tǒng)輸出能控。 41000100004301 250071002010120055 xxu系統(tǒng)能控 2） 四、定常系統(tǒng)的輸出能控性四、定常系統(tǒng)的輸出能控性描述系統(tǒng)的控制量對輸出量的支配能力。 ( ) tu0 ,ft t0( )ty()fty當(dāng) 時 ，有： 輸出能控性代數(shù)判據(jù)輸出能控性代數(shù)判據(jù)：線性定常系統(tǒng)輸出完全能控的充要條件是 維輸出能控性矩陣 的秩為 ，即 (1

16、)qnpsQq1nsrankrankqQCBCABCABD0D1nscQCBCABCABCQ 當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控即 滿秩時，有 ，輸出能控性取決于輸出矩陣C是否滿秩； cQsrankrankQC 當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控時，輸出能控性取決于 的行向量線性相關(guān)情況。 cCQ所以，輸出能控性與狀態(tài)能控性之間沒有必然聯(lián)系。 例例410 分析下面系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和輸出能控性。 1510201001u xxy =x解：解： 1100cQbAb系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控 1100sQCbCAb系統(tǒng)輸出也不完全能控通常，輸出不能控對應(yīng)了系統(tǒng)輸入到輸出傳遞關(guān)系為0的情況。 11110151( )()1010200ssss

17、s GCIAb =2( )0( )y su s其中不受u的支配，系統(tǒng)輸出不完全能控 。2y3 連續(xù)系統(tǒng)能觀性及其判據(jù)連續(xù)系統(tǒng)能觀性及其判據(jù) 系統(tǒng)的能觀性用來表示系統(tǒng)輸出量對狀態(tài)量的測辨能力，當(dāng)研究從能測量的輸出量間接獲取不能直接測量的狀態(tài)量的問題時，首先要研究系統(tǒng)是否具備能觀性。 一、能觀性定義一、能觀性定義與系統(tǒng)的輸入量無關(guān)，令( )( ) ( )( )( ) ( )tttttt x= Axy= Cx( )0t u 1狀態(tài)能觀： 對于上面系統(tǒng)和指定的初始時刻 ，能夠根據(jù)有限的時間區(qū)間 內(nèi)測量到的輸出量 唯一地確定系統(tǒng)任意的非零初始狀態(tài) ， 則稱該狀態(tài) 在 時刻是能觀的。0t0 ,ft t(

18、) ty00( )txx0 x0t 如果在一個時間區(qū)間內(nèi)，無論狀態(tài)量如何變化，而輸出量始終不變，那么狀態(tài)是不能觀的。于是，可等價地給出狀態(tài)不能觀的定義。 對于上面系統(tǒng)，如果狀態(tài)空間中所有的非零狀態(tài)在時刻 都不是不能觀的，則稱系統(tǒng)在時刻 是狀態(tài)完全能觀的，簡稱系統(tǒng)在 時刻能觀。 對于上面系統(tǒng)和指定的初始時刻 ，如果存在非零初始狀態(tài) ，使系統(tǒng)的輸出響應(yīng)在有限的時間區(qū)間 內(nèi)恒為零 ，則稱該狀態(tài) 在 時刻是不能觀的，記作 。0t00( )txx0,ftt0( )0 ()ftttt y0 x0tox2狀態(tài)不能觀：3系統(tǒng)能觀：0t0t0t 同樣，線性時變連續(xù)系統(tǒng)強(qiáng)調(diào)了“ 時刻”的能觀性，若與初始時刻 無關(guān)

19、，則稱一致能觀。定常系統(tǒng)的能觀性與初始時刻無關(guān)，所以不必強(qiáng)調(diào)時間，稱狀態(tài)能觀或系統(tǒng)能觀 。0t0t引入確定性的外部輸入不影響系統(tǒng)狀態(tài)的能觀性。 是狀態(tài)在不能觀子空間 上的投影向量，為狀態(tài)的不能觀分量； 二、能觀性基本判據(jù)二、能觀性基本判據(jù)1不能觀子空間：系統(tǒng)能觀性考察的是狀態(tài)空間中是否所有的非零狀態(tài)都能觀。 把狀態(tài)空間中全體不能觀狀態(tài)的集合稱為不能觀子空間，記作 ， 它是系統(tǒng)狀態(tài)空間X 的一個線性子空間。oX在狀態(tài)空間X中還可以得到不能觀子空間 的正交補(bǔ)空間，記作 ，它也是系統(tǒng)狀態(tài)空間X 的線性子空間，同樣有oXoXooX = XX 狀態(tài)空間內(nèi)的任一向量x都可以表示為在上述兩個子空間的投影向量

20、之和，即：oox = x + xoxoX是狀態(tài)在正交補(bǔ)空間 上的投影向量，為狀態(tài)的能觀分量； oxoX直和 示例4中，只有滿足 的狀態(tài)是不能觀的，如圖 是不能觀子空間， 是不能觀子空間的正交補(bǔ)空間。 oX12xx12oxx （）X 直線 上的狀態(tài)都是不能觀的，它們在 上的投影向量為零，在 上的投影向量非零。 oXoX 不位于 直線上的狀態(tài)點x 在 上的投影向量非零，為 ，在 上的投影向量為 。 可見，由系統(tǒng)的輸出測量值所確定的初始狀態(tài)值是過狀態(tài)點x與 直線平行的一條直線。即同樣的輸出測量值對應(yīng)了無數(shù)個初始狀態(tài)，但是如果要確定距離狀態(tài)空間原點最近（范數(shù)最?。┑某跏紶顟B(tài)，則只有唯一的一個，為 ，位

21、于正交補(bǔ)空間 上。 oXoXoxoXoXoxoXox 可以認(rèn)為不能觀子空間以外的狀態(tài)都是能觀的，在最小范數(shù)的意義下，將正交補(bǔ)空間 稱為能觀子空間，其上的 是能觀狀態(tài)。 oXox2能觀性基本判據(jù)：上面系統(tǒng)的輸出響應(yīng)可表示為： 00( )( )( , ) ( )ttt ttyCx 由不能觀狀態(tài) 的定義可得： ox0( )( , )0ott tCx 各元素全為0， 的列向量組線性無關(guān)ox0( )( , )tt tC 能觀性基本判據(jù)：系統(tǒng)在 時刻狀態(tài)完全能觀的充要條件是維時間函數(shù)矩陣 的 n個列向量線性無關(guān)，其中 。0tqn0( )( , )tt tC 0fttt 可以證明，時間函數(shù)矩陣 的n個列向量

22、線性無關(guān)與下面矩陣非奇異完全等價： 矩陣 稱為能觀性格拉姆（Gram）矩陣，有能觀性基本判據(jù)的另一種表達(dá)形式。0( )( , )tt tC 0000( ,)( , )( )( )( , )ftTToftt tt tttt t dtGCC 0( ,)oft tG 能觀性格拉姆矩陣判據(jù)：系統(tǒng)在 時刻狀態(tài)完全能觀的充要條件是能觀性格拉姆矩陣 非奇異，其中 。0t0( ,)oft tG0fttt 根據(jù)能控性格拉姆矩陣判據(jù)，可以出一個能觀的初始狀態(tài) 為：0( )tx010000( )( ,)( , )( )( )ftTTfttt tt ttt dtxGCy 三、能控性與能觀性的對偶關(guān)系三、能控性與能觀性

23、的對偶關(guān)系能控性基本判據(jù)： 0( , ) ( )t ttB 的n個行向量線性無關(guān) 能觀性基本判據(jù)： 的n個列向量線性無關(guān) 0( )( , )tt tC 的n個列向量線性無關(guān) 00( , ) ( )( )( , )TTTt tttt tBB 的n個行向量線性無關(guān) 00 ( )( , )( , )( )TTTtt tt ttCC ( ) tC( )TtB0( , )t t 100( , )( , )TTt tt t 則系統(tǒng) 的能控性等價于的 能觀性，系統(tǒng) 的能觀性也等價于 的能控性。稱滿足上述關(guān)系的兩個系統(tǒng)互為對偶系統(tǒng)。 兩個系統(tǒng)1對偶系統(tǒng)：1( )( ):( )ttt x = Ax+ Buy =

24、 Cx2( )( ):( )TTttt z = Az+Cw = Bz且有： 或100( ,)( ,)Tt tt t 100( ,)( ,)Tt tt t 互為轉(zhuǎn)置逆 1 2 1 2 ( )( )Ttt AA而它們的系統(tǒng)矩陣滿足關(guān)系：這是因為：對于系統(tǒng) 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 應(yīng)滿足：0000( , )( )( , )( , ) t ttt tt tAI 2 0( , )t t 又它與 的關(guān)系為：0( , )t t 100( , )( , )Tt tt t 111100000111100000( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( , ) ( ) ( , )( , )( , ) (

25、)( )( , )TTTTTTTddt tt tt tt tt tdtdtt ttt tt tt tttt t AAA所以有：互為對偶系統(tǒng)的框圖： 1( )( )( )ttt： x = Ax+ Buy = Cx2( )( )( )TTTttt： z =Az+Cw = Bz2對偶性原理：互為對偶的系統(tǒng) 和 ，它們的能控性和能觀性也成對偶關(guān)系，即系統(tǒng) 的能控性等價于系統(tǒng) 的能觀性，系統(tǒng)的能觀性等價于系統(tǒng) 的能控性。 1 2 2 2 1 1 對偶性原理給我們研究系統(tǒng)的能控、能觀性帶來很大方便。 四、定常系統(tǒng)能觀性判據(jù)四、定常系統(tǒng)能觀性判據(jù)2(,)TTT ACB1( ,) A B C2(,)TTTAC

26、B 對偶系統(tǒng)與能達(dá)性等價 1代數(shù)判據(jù)（或秩判據(jù)） ：線性定常連續(xù)系統(tǒng) 狀態(tài)完全能觀的充要條件是系統(tǒng)的能觀性矩陣的秩為n，即 1onrankranknCCAQCA證明：應(yīng)用對偶性原理，對偶系統(tǒng) 為：1( ,) A B CTTT z = A z+Cw = B z 2 的能控性矩陣為： 212()()TTTTTTnTcQCA CACAC2 轉(zhuǎn)置秩不變，即 121()TTTTTnTTcnCCAQCA CACCA 可見， 的秩等于n是系統(tǒng) 能控的充要條件，顯然也是系統(tǒng)能觀的充要條件。將上面矩陣稱為線性定常系統(tǒng) 的能觀性矩陣，記為 。 2TcQ2 1 oQ1 由代數(shù)判據(jù)可以證明，引入非奇異線性變換，不改變

27、系統(tǒng)的能控性。111111()onnnnCPCPCCCP PAPCAPCACAQPCPPAPCAPCACAP為滿秩陣，所以有： oorankrankQQ例例413 試判別下列線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性： 142200610117111021110 xxuy =x 同樣，可以通過計算 維方陣 的行列式來判別能觀性矩陣是否滿秩 。 解解 求得系統(tǒng)的能觀性矩陣為 20211101193oCQCACA 由計算得到的前三行可得出系統(tǒng)能觀的結(jié)論，就不必再計算出后面行的具體數(shù)值。 n n()TooQ Q2PBH判據(jù)： 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是系統(tǒng)矩陣A的所有特征值 滿足： (1,2, )iin

28、iranknIAC應(yīng)用對偶性原理證明。 sranknIAC也有等價的判據(jù)：例例414 應(yīng)用PBH秩判據(jù)判別下面系統(tǒng)的能觀性：20105201uy xxx解解: 先求得系統(tǒng)的特征值為： 12 25 對于 有 12 1000301IAC，其秩為1； 對于 有 25 2300001IAC，其秩為2； 不滿足PBH秩判據(jù)條件，系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀。 1 3特征值規(guī)范型判據(jù) 特征值規(guī)范形式，輸出量與狀態(tài)量之間的關(guān)系是顯式的。 對角線規(guī)范型判據(jù)：對角線規(guī)范型判據(jù)： A為對角陣，且對角線上元素互異時，系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是輸出矩陣C不存在元素全為0的列。 應(yīng)用對偶性原理，或者應(yīng)用PBH秩判據(jù)很容易證明該

29、判據(jù)。 100201y xx x 700020505000385123158 xx+uy =x10011 1y xxx1） 系統(tǒng)不能觀 2）3）系統(tǒng)能觀1 11 1ocQcA系統(tǒng)不能觀 約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)1：A為約當(dāng)陣且不同約當(dāng)塊具有不同對角元素時，系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是輸出矩陣C的與每個約當(dāng)塊首列對應(yīng)的列元素不全為0。 應(yīng)用對偶性原理，或者應(yīng)用PBH秩判據(jù)很容易證明該判據(jù)。410 04201uy xxx1 1 00 00 1 11 00 0 10 1300 120 xxu y =x410004000031000300011201 xxy =x1） 系統(tǒng)能觀 系統(tǒng)不能觀系統(tǒng)能觀

30、2）3） 約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)2：A為約當(dāng)陣，但不同約當(dāng)塊具有相同對角元素時，系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是輸出矩陣C的與每個約當(dāng)塊首列對應(yīng)的那些列彼此線性無關(guān)。 應(yīng)用對偶性原理或者應(yīng)用PBH秩判據(jù)同樣很容易證明該判據(jù)。41001204001100411000042212121120 xx+uy =1） 系統(tǒng)能觀，C矩陣的第1、3列線性無關(guān)40001204000000411000042111201212 xx+uy =2） 系統(tǒng)不能觀，C矩陣的第1、3列線性相關(guān) 這里把一個對角元素視為階次為1的約當(dāng)塊 100121022231 03300000140400070100 xxy =3） 系

31、統(tǒng)能觀， C矩陣的第1、3、4列線性無關(guān)，第5、7列也線性無關(guān) 當(dāng)A既有相異的對角元素，又有約當(dāng)塊時，可聯(lián)合應(yīng)用上述三個判據(jù)進(jìn)行判別。 3 1 00 00 3 02 10 0 10 3010001 xxu y =系統(tǒng)能觀 1） 01041041251055001001022100200010 xxy =x2） 系統(tǒng)能觀4. 線性離散系統(tǒng)的能控性與能觀性線性離散系統(tǒng)的能控性與能觀性 (1)( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )kkkkkkkkx= Gx+ HuyCx通過l步使任意初始狀態(tài)x(0)運(yùn)動到終止的零狀態(tài) 對于上面系統(tǒng)的指定初始時刻 及任意非零初始狀態(tài) ，如果能找到一個無約束的

32、容許控制序列 ，使系統(tǒng)狀態(tài)在有限的時間區(qū)間 內(nèi)運(yùn)動到原點 ，則稱系統(tǒng)在時刻 是能控的。 1能控性定義：一、能控性一、能控性h0( )h xx( )ku , h l( )0l xh( )ku , h l( )0h x( )ll xxh 與此相對應(yīng)，也將控制序列 能使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間區(qū)間內(nèi)從零初始狀態(tài) 運(yùn)動到任意指定的非零終止?fàn)顟B(tài) 稱為系統(tǒng)在 時刻是能達(dá)的。 對于線性定常離散系統(tǒng)，能控性與初始時刻無關(guān)，所以不再強(qiáng)調(diào)“h 時刻”的能控性，而稱系統(tǒng)能控。 2定常系統(tǒng)能控性判據(jù)（代數(shù)判據(jù)）：110( )(0)( )kkk iiki xG xGHu110( )(0)( )0lll iili xG xGH

33、u( )0l x 11210(0)( )(1)(2)(1)(0)lll illiill G xGHuHuGHuGHuGHu1(1)(2)(0)(0)lllluuG xHGHGHu即：上式中能對任意的x(0) 求得u(0) 、u(1)、 、u(n-1)，則系統(tǒng)能控。 這是一個從n個非齊次線性方程求解lp個未知量的問題，根據(jù)線性方程解的存在理論，必須滿足： 11(0)lllrankranknHGHGHHGHGHG x單輸入系統(tǒng)，左邊矩陣為nl維，右邊矩陣為n(l+1)維，當(dāng)G非奇異時，必須有 ，所以n是離散系統(tǒng)的最小拍控制。而多輸入系統(tǒng)，左邊矩陣為nlp 維，右邊矩陣為n(lp+1) 維，顯然可有

34、 。 lnln 當(dāng)G奇異時,上式成立對于能解出控制序列u(k)只是充分的。 當(dāng)G非奇異時,上式成立對于能解出控制序列u(k)不僅是充分的，而且必要的。 所以，線性定常離散系統(tǒng)能控性的判據(jù)為： （1）G非奇異時,系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是：1ncrankrankn HGHGHQG非奇異時,上式成立是系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分條件 。（2） G非奇異時,多輸入系統(tǒng)l步(ln)狀態(tài)完全能控的充要條件是：1lrankn HGHGH對于能達(dá)性，有：1(1)(2)( )(0)lllluuxHGHGHu稱線性定常離散系統(tǒng)的能控性矩陣 cQ線性定常離散系統(tǒng)能達(dá)性的判據(jù)為：（1）系統(tǒng)狀態(tài)完全能達(dá)的充要條件是：1n

35、rankn HGHGH（2）多輸入系統(tǒng)l步(ln)狀態(tài)能達(dá)的充要條件是：1lrankn HGHGHG非奇異時，離散系統(tǒng)的能控性等價于能達(dá)性， G奇異時不等價。例例419 判別下面線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性。 321(1)( )( )642kku k xx解：解： 易知G為奇異矩陣，代入能控性矩陣有 17214cQhGh其秩為1，系統(tǒng)狀態(tài)不完全能達(dá) 不能確定系統(tǒng)的能控性（因為G奇異時，上式只是系統(tǒng)能控的充分條件） 實際上可以找到 ，使系統(tǒng)狀態(tài)在它的作用下運(yùn)動到原點 ：12(0)3 (0)2(0)uxx (1)0 x12321(1)(0)( 3 (0)2(0)0642xx xx即系統(tǒng)狀態(tài)是完

36、全能控的，而且是1步能控。 二、能觀性二、能觀性1能觀性定義： 對于上面系統(tǒng)的指定初始時刻h ,在已知輸入向量序列u(k)的情況下，能夠根據(jù)有限采樣區(qū)間 內(nèi)測量到的輸出向量序列y(k)，唯一地確定系統(tǒng)任意的非零初始狀態(tài) ，則稱系統(tǒng)在h時刻是能觀的。 , h l0( )h xx 線性定常離散系統(tǒng)，能觀性與初始時刻無關(guān)，所以不再強(qiáng)調(diào)“h時刻”，而稱系統(tǒng)能觀。 這是qn個方程求解n維未知量 的非齊次線性方程組， 有唯一解的充要條件是下面矩陣滿秩 ： 2定常系統(tǒng)能觀性判據(jù)：( )0t u令 ，系統(tǒng)為：(1)( )( )( )kkkkx= GxyCx( )( )(0)kkkyCxCG x得：n步測量得：

37、01(0)(1)(1)nnyCyCGxyCG0 x0 x1onCCGQCG所以，線性定常離散系統(tǒng)能觀性的判據(jù)為：線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是： 1onrankranknCCGQCG稱為線性定常離散系統(tǒng)的能觀性矩陣 oQ三、連續(xù)系統(tǒng)離散化后的能控性和能觀性三、連續(xù)系統(tǒng)離散化后的能控性和能觀性先看一個關(guān)于連續(xù)系統(tǒng)離散化后系統(tǒng)能控性、能觀性的示例。 例例421 考察下面系統(tǒng)離散化前后的能控性和能觀性： 01110001uy xxx解：解： 連續(xù)系統(tǒng)的能控性和能觀性矩陣分別為： 1001cQbAb系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為： 0110ocQcA滿秩，能觀 滿秩，能控 12211112211cos

38、sin11() 11sincos11tssttsseLsLLssttssAIA離散化后系統(tǒng)的G和h分別為： cossinsincosTTTeTTAG000cossin1cossin()sincos0sincos1TTTttttTe dtdtdttttT Ahb =當(dāng) 有：離散系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀性矩陣分別為： 22sin2sincossincos1cossincoscTTTTTTTTQhGh01sincosoTTcQcGdet2sin (cos1)cTTQdetsinoTQ系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀性矩陣是否滿秩，取決于采樣周期T 。Tk(1,2,)k detdet0coQQ系統(tǒng)不能控，不能觀

39、Tk(1,2,)k 當(dāng) ，co和QQ滿秩，系統(tǒng)能控，能觀連續(xù)系統(tǒng)離散化后的離散系統(tǒng)的能控性、能觀性與采樣周期T 有關(guān)。 不加證明地給出如下結(jié)論： 對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其對應(yīng)的離散系統(tǒng)保持能控性和能觀性的充要條件是，對滿足 Re()0ij,1,2,i jl（）的系統(tǒng)矩陣A的一切特征值，使采樣周期T的值滿足 2Im()ijkT1, 2,k （） 該結(jié)論表示了A的所有實部相等的特征值的虛部與采樣周期應(yīng)滿足的關(guān)系。對于實數(shù)特征值采樣周期不受限制。 上例中， A有一對共軛復(fù)數(shù)特征值 ，離散系統(tǒng)保持能控、能觀性的采樣周期取值為： 1,2j 22Im()2ijkkTk1, 2,k （）與上面分析結(jié)果一致。

40、 值得注意的是，系統(tǒng)矩陣A的所有實部相等的特征值都要按上式限制采樣周期，例如某系統(tǒng)有特征值 和 ，則采樣周期T的取值應(yīng)受下列6個式子的限制： 1,23j 3,432 j 21 ( 1)kT 21 2kT21 ( 2)kT 212kT 21 ( 2)kT 22( 2)kT 剔除無意義和重復(fù)的式子后，采樣周期T的取值應(yīng)滿足： Tk23Tk12Tk(1,2,)k 5 線性定常系統(tǒng)的能控規(guī)范型與能觀規(guī)范型線性定常系統(tǒng)的能控規(guī)范型與能觀規(guī)范型n階線性定常系統(tǒng)： 或：( )(1)(1)110110nnnnnyaya ya ybubub u11101110( )nnnnnbsb sbg ssasa sa11

41、2211012112012110100000100000101nnnnnnnnnxxxxuxxxaaaaxxxybbbbxx 能控規(guī)范型： 一、單輸入單輸出系統(tǒng)一、單輸入單輸出系統(tǒng)能觀規(guī)范型： 101021211212111210001000000010001nnnnnnnnnnxaxbxaxbuxaxbxaxbxxyxx1單輸入系統(tǒng)的能控規(guī)范型（兩點結(jié)論） ：（1）具有能控規(guī)范型形式的單輸入線性定常系統(tǒng)一定是狀態(tài)完全能控的。 系統(tǒng)的能控性矩陣為： 12122112112000010000001011nnnncnnnnaaaaaaa QbAbA bAb這是一個主對角線元素均為1的右下三角陣，顯

42、然有 。 cranknQ（2）一個不具能控規(guī)范型形式的能控的n階單輸入系統(tǒng)，一定可以通過非奇異變換 化為能控規(guī)范型形式，其中變換矩陣P為： xPx121232112311101001000nnnnaaaaaaPppppbAbA bAb12123231231110 1001000nnnnaaaaaaPA= AP= ApApApApAbA bA bA b這是因為：系統(tǒng)能控，其能控性矩陣 滿秩。 21ncQbAbA bAbP的n個列向量線性無關(guān)， P為非奇異變換矩陣。 1AP AP由 ，有：由凱萊哈密頓定理 及 可得：1110( )0nnnaaaAAAAI =npb21112100212231121

43、12211( ) nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaApAb+A b+Ab+ A b=A bb=pApAb+A b+ Ab= ppApAb+ A b= ppApAb= pp由P的式子又由 及 可得： 代入上式得： 1230112211123012101210100010000100010 00010001nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa PA= ApApApAppppppppppppP所以有： 10121010000100001naaaaAP AP =1b = P bnpb12000011nn Pb = b= ppppP所以有： 1001 b = P b =

44、即在具有上面所示的變換矩陣P的作用下，新狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)矩陣 和輸入矩陣 具有能控規(guī)范型形式。 Ab例例422 試判斷下面系統(tǒng)的能控性，如能控則將它化為能控規(guī)范型。 200104100041110011u xxy =x解：解： 系統(tǒng)的能控性矩陣為21240181416cQbAbA b系統(tǒng)能控，可將它化為能控規(guī)范型。 先寫出系統(tǒng)的特征多項式： 32200( )041103232004ssssssssIA即： 032a 132a 210a 按上面式子得出變換矩陣P： 12211243210116811001810102101001416100861caaa PQ求出其逆為： 111681121

45、121028248614320 P分別求得新狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣為： 11212001681010128204121000144320004861323210A= P AP1121101282004432011 b = P b16811101471210011651861C = CP顯然是能控規(guī)范型形式。 是矩陣 的n個行向量 （1）取 的最后一行為變換矩陣的逆陣 的第1個行向量 ；還可以按下列方法求得變換矩陣P： 1cQ1P1q（2）求得變換矩陣的逆陣： 1112111nqq A Pq Aq A這是因為，如設(shè)非奇異變換矩陣的逆矩陣為 ： 121nqq Pq(1,2,

46、)iinq1P線性變換 將原動態(tài)方程化為能控規(guī)范型，即 xPx10121010000100001naaaaA= P AP10001 b = P b =及21132211101210 11 21 0100 0010 0001 nnnnnnnnaaaaaaaqq Aqqq AqP AqAqqq Aqqqq即逆矩陣 可表示為： 1112123111nnqqq Aq Pqq Aqq A1P求得 后就可以由上面式子得到非奇異變換矩陣的逆陣 。11121110001n q bq Abb = P b = q A bq Ab又：1110001nc qbAbAbq Q即：由于系統(tǒng)能控，其能控性矩陣 非奇異，于是

47、可得 ： cQ110001cqQ1P1qcQ1q1P即 矩陣的第1個行向量 是能控性矩陣 的逆陣的最后一行。上例中，已求得： 1240181416cQ111241616121018812841416121cQ求得其逆陣為： 111214q則：11121121128244320q Pq Aq A1111424168111221022861180 P得到的變換矩陣P與前面求出的一樣，顯然變換后得出同樣的結(jié)果。 2單輸出系統(tǒng)的能觀規(guī)范型：應(yīng)用對偶性原理，也可以得出兩點結(jié)論： （1）具有能觀規(guī)范型形式的單輸出線性定常系統(tǒng)一定是狀態(tài)完全能控的。 （2）一個不具能觀規(guī)范型形式的能觀的n階單輸出系統(tǒng)，一定可

48、以通過非奇異變換 化為能觀規(guī)范型形式，其中變換矩陣的逆陣 為： xPx1P1121223123111101001000nnnnaaaaaaqcqcAPqcAqcA這是因為：系統(tǒng)能觀，其能觀性矩陣 滿秩， 必非奇異 。oQoQ1P由 ，有：1AP AP11212223113311101001000nnnnaaaaaaq AcAq AcAAP= P A= q AcAq AcA由凱萊哈密頓定理 及 可得：1110( )0nnnaaaAAAAI =nqc2111210021223112112211( ) nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaq AcA+cA +cA+cA =cAc=qq

49、 AcA+cA +cA=qqqAcA+cA =qqq AcA=qq由 的式子1P又由 及 ，可得： 代入上式得：100121112112221111000100000001nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaq Aqqq AqqqAP=qAqqqq Aqqq01121000100000001nnaaaaAP AP =所以有：c = cPnqc1211001001nnqqcP= c = qPq所以有： 即在具有上面所示的變換矩陣逆陣 的作用下，新狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)矩陣 和輸出矩陣 具有能觀規(guī)范型形式。001c = cP =1PAc 類似于上面能控規(guī)范型，也可以按下列方法求得將一個能觀系

50、統(tǒng)變換為能觀規(guī)范型的變換矩陣P:（1）取 的最后一列為變換矩陣P的第1個列向量 ； 1p（2）變換矩陣為： 211111n PpApA pAp1oQ上述結(jié)論利用對偶性原理可直接得出。例例423判斷下面系統(tǒng)的能觀性，如能觀則將它化為能觀規(guī)范型。 111021112uy xxx解：解： 按第一種方法解，有 11210ocQcA系統(tǒng)能觀，可將它化為能觀規(guī)范型。 211( )3202ssssssIA02a 13a 即：11312131122101011012a cPc1321113022102241312A= P AP1372 122113122 b = P b1311012

51、42 c = cP顯然是能觀規(guī)范型形式。 按另一種方法求解，有 11101122210oQ112p111324 PpAp與第一種方法求得的變換矩陣一樣，顯然變換后得出同樣的結(jié)果。二、多輸入多輸出系統(tǒng)二、多輸入多輸出系統(tǒng) 單輸入系統(tǒng)的能控性矩陣或單輸出系統(tǒng)的能觀性矩陣都是 維的，在構(gòu)造變換矩陣時，可方便地直接將它們的n個列向量或行向量線性組合得到。 n n 多輸入系統(tǒng)的能控性矩陣為 維，當(dāng)系統(tǒng)能控時，從 個列向量中選取n個線性無關(guān)的列向量的方案有很多種。 ()nn p()n p 同理，一個能觀的多輸出系統(tǒng)，從 維能觀性矩陣的 個行向量中選取 n個線性無關(guān)的行向量的方案也有很多種。 ()n qn(

52、)n q 因此，多輸入多輸出系統(tǒng)的能控規(guī)范型和能觀規(guī)范型較之單輸入單輸出系統(tǒng)在形式上和構(gòu)造方法上都要復(fù)雜得多。 有“列向搜索”和“行向搜索”兩種選取n個線性無關(guān)向量的方案。 采用“列向搜索”方案得到旺納姆（Wonham）能控（能觀）規(guī)范型； 采用“行向搜索”方案得到龍伯格（Luenberger）能控（能觀）規(guī)范型。6 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解一、系統(tǒng)能控性、能觀性在線性變換下的屬性一、系統(tǒng)能控性、能觀性在線性變換下的屬性（1）非奇異變換下系統(tǒng)的能控性保持不變。 111111111111 () () ncnnrankrankrankrankQP BP AP P BP APP BP B

53、P ABP ABPBABAB其中 滿秩，所以有： 1P1 ncrankrankrankcQBABABQ（2）非奇異變換下系統(tǒng)的能觀性保持不變。11111()()()()onnnrankrankrankrankCPCPCCP P APCAPCAQPCP P APCAPCA其中P滿秩，所以有： oorankrankQQ討論不完全能控或不完全能觀的系統(tǒng)。 選取合適的非奇異變換，實現(xiàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的有效分解。 二、按能控性分解二、按能控性分解21ncrankrankknQBABA BAB設(shè)： 表明 中僅有 k個列向量線性無關(guān)，取這k個線性無關(guān)的列向量 ，再另選取(n-k)個線性無關(guān)并與 線性無關(guān)的列向量 ，

54、構(gòu)成非奇異變換矩陣 ，即： cQ12,kp pp12,kp pp12,kknppp11kknPpppp其逆矩陣為： 111kknqqP= Q =qq變換矩陣P及其逆陣Q有如下性質(zhì)： 因為 ，對于 有（1）0 1, ; 1,2,ijiknjkq pQP = Iij0 ijq p （2） 0 1, ; 1,2,ijiknjkq Ap（3）0 1,iikn q B11111111111111211111111 0kkknknkknkkkkkknkkkkkknnnknknnccqqA= P AP =A ppppqqq Apq Apq Apq Apq Apq Apq Apq ApAAqApqApqApq

55、ApAq Apq Apq Apq Ap所以有：性質(zhì)21110kkncq Bq BBB = P B =qBq B11kknccC = CP = CpCpCpCpCC性質(zhì)3 因此，狀態(tài)不完全能控的系統(tǒng)在上述變換矩陣P的非奇異變換下，使系統(tǒng)實現(xiàn)按能控性的結(jié)構(gòu)分解，即 1200 cccccccccccxxBAAxuxAxxyCCx為k維能控分狀態(tài)向量， 為(n-k)維不能控分狀態(tài)向量。 cxcx顯式地表示出k維能控子系統(tǒng)： 12cccccccxA xA xB uyC x1 1和(n-k)維不能控子系統(tǒng)： cccccxA xyC x2 2方框圖為： 121001001431 11 1uy ：將下列系統(tǒng)按

56、能控性分解 xxx例例4427272014 0002138rankrankrankcQb Ab A b解解：010001130系統(tǒng)不能控，按上述原則構(gòu)造變換陣 ：P P1301100010 P042114201210010uyccccccxxxx =xxx10421142012uy 其中能控子系統(tǒng)為：ccccxxxx2y 不能控子系統(tǒng)為：cccxxx11042114201210010 AP APbP bccP2維1維 1). 系統(tǒng)的極點集合是由能控子系統(tǒng)的極點集合 和不能控子系統(tǒng)的極點集合 組成。1112112222det()det()detdet() det()0ssssssIAAIAIAI

57、AIAIA 2). P的不唯一性，變換后可有多個結(jié)果，但規(guī)范表達(dá)式的形式是一樣的。 3). 一個線性定常系統(tǒng)完全能控的條件是其不能通過一個非奇異矩陣 P 變換成一個這樣的規(guī)范表達(dá)形式。11（的特征值）A22（的特征值）A幾個注意點： 表明 中僅有m個行向量線性無關(guān)。取這m個線性無關(guān)的行向量 ，再另選取(n-m)個線性無關(guān)并與 線性無關(guān)的行向量 ，構(gòu)成非奇異變換矩陣的逆陣 ，即三、按能觀性分解三、按能觀性分解按能觀性分解對偶于按能控性分解。 1onrankrankmnCCAQCAoQ12,mq qq12,mq qq12,mmnqqq1P111mmnqqPQqq11mmnPpppp求逆得變換矩陣P

58、： 有對應(yīng)結(jié)論：狀態(tài)不完全能觀的系統(tǒng)在上述變換矩陣P的非奇異變換下，使系統(tǒng)實現(xiàn)按能觀性的結(jié)構(gòu)分解，即 2100 oooooooooooxxBAxuxAABxxyCx為m維能控分狀態(tài)向量， 為(n-m)維不能控分狀態(tài)向量。oxox顯式地表示出m維能觀子系統(tǒng)：ooooooxA xB uyC x1 1和(n-m)維不能觀子系統(tǒng)：210oooooxA x + A xB uy2 2方框圖為： 上述關(guān)于按能控性分解的幾個注意點也適合按能觀性分解。121001001431 11 1uy ：將下列系統(tǒng)按能觀性分解 xxx例例44282811123224742rankrankrankocQcAcA解解：1111

59、1232001系統(tǒng)不能觀，按上述原則構(gòu)造變換陣的逆陣：P P311210001P111 1121 31101 023 20102102 3 00011430015 3 2 所以有：AP AP1111012320200111 bPb =31111 1 2101 00001ccP得到按能觀性分解的表達(dá)式： 010123025321100oooooouy xxx =xxxx容易寫出2維能觀子系統(tǒng)和1維不能觀子系統(tǒng) 1）設(shè)n維系統(tǒng)有 ，按上面原則構(gòu)造變換矩陣 ，通過非奇異變換 將原系統(tǒng)按能控性分解成k維能控子系統(tǒng) ： 四、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解四、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解 對于既不能控又不能觀的系統(tǒng),可以先按能

60、控性分解成能控和不能控子系統(tǒng),然后再分別進(jìn)行按能觀性分解;或者相反。crankknQ1P1xP x12cccccccxA xA xB uyC x1 1和（n-k）維不能控子系統(tǒng)： cccccxA xyC x2 22）設(shè)能控子系統(tǒng)的能觀性矩陣有 ，按上面原則構(gòu)造變換矩陣的逆陣 ，通過非奇異變換 將能控子系統(tǒng)變換為： orankmkQ12P2ccxP x1122100cocococo2ccocococcocococoxBxAu+ P A xxBxAAxyCx1 13）設(shè)不能控子系統(tǒng)的能觀性矩陣有 ，按上面原則構(gòu)造變換矩陣的逆陣 ，通過非奇異變換 將不能控子系統(tǒng)變換為： oranklnk Q13P3