自動(dòng)控制原理總結(jié)之判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性方法

1、判斷系穩(wěn)定性的方法一、穩(wěn)定性判據(jù)時(shí)域1、赫爾維茨判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：特征方程的各項(xiàng)系數(shù)全部為正;將系統(tǒng)特征方程各項(xiàng)系數(shù)排列成如下行列式；當(dāng)主行列式及其對(duì)角線上的各子行列式均大于零時(shí),即1an10an1an30anan2an1an3an5anan2an40an1an3那么方程無(wú)正根,系統(tǒng)穩(wěn)定赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)之行列式直接由系數(shù)排列而成,規(guī)律簡(jiǎn)單明確,使用也比擬方便,但是對(duì)六階以上的系統(tǒng),很少應(yīng)用例；假設(shè)系統(tǒng)的特征方程為s48s318s216s50試判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定.解：系統(tǒng)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù).81600118500816001185根據(jù)特征方程,列寫系統(tǒng)的赫爾維茨行列式.由得各階子

2、行列式;81603118517280081686900各階子行列式都大于零,故系統(tǒng)穩(wěn)定2、勞思判據(jù)(1)勞思判據(jù)充要條件：A、系統(tǒng)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均大于零,即a0;B、勞思計(jì)算表第一列各項(xiàng)符號(hào)皆相同.滿足上述條件那么系統(tǒng)穩(wěn)定,否那么系統(tǒng)不穩(wěn)定,各項(xiàng)符號(hào)變化的次數(shù)就是不穩(wěn)定根的數(shù)目.(2)勞思計(jì)算表的求法：并將系統(tǒng)特征方程的系數(shù)按如下形式排列成列首兩行,即：nsanan2an4an6n1s濟(jì)1an3an5an7sn2blb2b3b4n3sC1C2C3C42sU1U21sV10sW1B、計(jì)算勞思表8161181280anian2anan3anianian4anan5anianian6anan7a

3、ni系數(shù)bi的計(jì)算要一直進(jìn)行到其余的bi值都等于零為止.用同樣的前兩行系數(shù)交叉相乘,再除以前一行第一個(gè)元素的方法,可以計(jì)算c,d,e等各行的系數(shù).Ci(3)勞思判據(jù)的兩種特殊情況A、勞思計(jì)算表第一列出現(xiàn)零的情況由于不能用零作為除數(shù),故第一列出現(xiàn)零時(shí),計(jì)算表不能繼續(xù)排下去.為解決該問題,其方法是用一個(gè)小的正數(shù)代替0進(jìn)行計(jì)算,再令-0求極限來(lái)判別第一列系數(shù)的符號(hào).B、勞思計(jì)算表中出現(xiàn)某一行各項(xiàng)全為零的情況此時(shí),勞思表將在全為零的一行處中斷,其解決方法是將不為零的最后一行的各項(xiàng)組成一個(gè)“輔助方程式,將該方程式對(duì)s求導(dǎo)數(shù),bib2CiC2C3bian3anib2bibian5anib3bibian7a

4、nhbidi池biC2用求得的各項(xiàng)系數(shù)代替原來(lái)為零的各項(xiàng),然后按勞思計(jì)算表的寫法繼續(xù)寫完以后各項(xiàng),對(duì)稱根可由輔助方程求得.例1：系統(tǒng)特征方程為s52s43s36822s10判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定,假設(shè)不穩(wěn)定,求不穩(wěn)定根的數(shù)目.解：根據(jù)特征方程可知,其各項(xiàng)系數(shù)均為正.列寫勞思計(jì)算表并計(jì)算得:363211s0s時(shí),故第一列有兩次變號(hào),系統(tǒng)特征方程有兩個(gè)正根,系統(tǒng)不穩(wěn)定.例2:限制系統(tǒng)的特征方程為s62s58s412s320s216s160試判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性.5s4s解：根據(jù)系統(tǒng)的特征方程可知,6s5s s列寫勞思計(jì)算表并計(jì)算得：sss1(21(21081261260201616)816)8其各項(xiàng)系數(shù)均為

5、正.因s3行各項(xiàng)全為零,故以s4行的各項(xiàng)作系數(shù),列寫輔助方程如下:Ass46s28將A(s)對(duì)s求導(dǎo),得：dAs4s312sds再將上式的系數(shù)代替s3行的各項(xiàng)系數(shù),繼續(xù)寫出以下勞思計(jì)算表：s6182016s5168s4168s3(412)s313s238s113s08從勞思表的第一列可以看出,各項(xiàng)均無(wú)符號(hào)變化,故特征方程無(wú)正根.但是因s3行出現(xiàn)全為零的情況,故必有共鈍虛根存在.共鈍虛根可通過輔助方程求得s46s280其共鈍虛根為玩2；取42j,這四個(gè)根同時(shí)也是原方程的根,他們位于虛軸上,因此該限制系統(tǒng)處于臨界狀態(tài),系統(tǒng)不穩(wěn)定.二、根軌跡法(復(fù)域)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：所有的閉環(huán)極點(diǎn)都在S平面的左

6、半平面.例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(S)二那么+1),試應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性.解：C(S)=0(K*=2k)做根軌跡：(a)有三條根軌跡(n=3m=0n-m=3)(b)實(shí)軸上0,-1)(-2-8)為根軌跡段(c)漸近線的夾角與坐標(biāo):(2k+1)n-m=-1(d)別離點(diǎn)坐標(biāo)d:111+-d+1d+2d解得d1=d2=(舍去)由于d2不在根軌跡上(e)與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo):D(S)=$3十3sz+K卡令S=jw代入到式中得:| |D D( ( -Gw+3(jw)2+2(jw)+K*故M二0匕=1,H4,W3二土1,414,K率二6,K二3根軌跡圖如下所示:三、頻率特性1、奈氏判據(jù)(奈奎斯特判據(jù)

7、)Z=P-2N系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)Z=0由開環(huán)傳遞函數(shù)在S平面的極點(diǎn)個(gè)數(shù)巳奈氏曲線繞60,180,口解得:-w3+2w=03M+K率=0(-1,j0)的圈數(shù)N,得到閉環(huán)傳遞函數(shù)在S平面的極點(diǎn)的個(gè)數(shù)ZP通過G(S)可知N:順時(shí)針為負(fù),逆時(shí)針為正當(dāng)V?0時(shí),需要做增補(bǔ)線W:0f0+從幅相曲線W二0+位置開始沿逆時(shí)針方向畫VX90的圓弧增補(bǔ)線(理論半徑為g|)計(jì)算圈數(shù)時(shí)要包括所畫圓弧的增補(bǔ)線在內(nèi).例：某單位負(fù)反應(yīng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為宙)二岳二.黨QII口J.J試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性.解：W.：幅值趨于0,相角趨于-270,N=-1,P=0,Z=P-2N=2故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定.2、在截止頻率之前,在對(duì)數(shù)幅頻曲線L(W)0.對(duì)應(yīng)的頻率范圍對(duì)應(yīng)的相角是否穿越-180對(duì)數(shù)頻率判定系統(tǒng)穩(wěn)定性在V小.時(shí),也需要做增補(bǔ)線,從對(duì)數(shù)相頻