《拉普拉斯變換》ppt課件

1、第第3單元單元 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 在工程學(xué)上的運(yùn)用. 運(yùn)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數(shù) 方程，使問題得以處理。在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的艱苦意義在于：將一個(gè)信號從時(shí)域 上，轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域s域上來表示；在線性系統(tǒng)，控制自動(dòng)化上都有廣泛的運(yùn)用。 3.1.1(3.1.1(義務(wù)義務(wù)8-1)8-1)拉氏變換的概念拉氏變換的概念設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng) 0時(shí)有定義，而且積分 0)(dtetfst s是一個(gè)復(fù)參量，在s的某一域內(nèi)收斂，那么由此積分決議的函數(shù)可寫為 ) 1 . 2(,)()(0dtetfsFst稱 為 的拉普拉斯變換簡稱拉氏變換或象函數(shù)，記為 ，即)(sF)(tf)(

2、tfL)(tfLF(s)又稱 為 的拉普拉斯逆變換簡稱為拉氏逆變換或象原函數(shù)，記 即)(tf)(sF)(1sF-L)()(1sFtf-L工程工程8 (3.1) 拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的概念留意：(1) 定義中只要求)(tf在0t時(shí)有定義，為討論的方便以后總假定0t時(shí)，0)(tf；即對給定的函數(shù)，用單位階梯函數(shù))(t去乘； (2) 拉氏變換中的參數(shù)p可在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)取值，本章只討論p為實(shí)數(shù)情形，但所得結(jié)論也適用于復(fù)數(shù)； (3) 求函數(shù))(tf的拉氏變換就是通過廣義積分dtetfpFpt)()(0把)(tf轉(zhuǎn)化為)(pF的過程. 解解 根據(jù)拉氏變換的定義，有根據(jù)拉氏變換的定義，有pepdte

3、dtepFtpTTTptTpt1limlim)()(00L由 該 極 限 知 ，當(dāng)0p時(shí) ，廣 義 積 分 收 斂 ，因此 單 位 階 梯 函 數(shù))(t的 拉 氏 變 換 為 )0(1)(pptLL0)(0)(dtedteepFetapptatat 這個(gè)積分在ap 時(shí)收斂，且有 L)(1apapeat. 00)(ptpttdepadtatepFatL)0(20200ppaepadtepaepatptptpt=在物理和工程技術(shù)中，經(jīng)常遇到具有沖擊性在物理和工程技術(shù)中，經(jīng)常遇到具有沖擊性質(zhì)的量，即集中在某一瞬間內(nèi)作用的量，案質(zhì)的量，即集中在某一瞬間內(nèi)作用的量，案案例如在機(jī)械系統(tǒng)中要研討在沖擊力作用

4、后案例如在機(jī)械系統(tǒng)中要研討在沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)形狀，在線性電路中要研討它在接受的運(yùn)動(dòng)形狀，在線性電路中要研討它在接受脈沖電壓后所產(chǎn)生的電流分布等脈沖電壓后所產(chǎn)生的電流分布等. 研討此類問研討此類問題都會涉及到單位脈沖函數(shù)題都會涉及到單位脈沖函數(shù).設(shè)電路上的電量為)(tq，則 例 如 ， 在 原 來 電 流 為 0 的 電 路 中 ， 某 一 瞬間（ 設(shè) 為0t）進(jìn) 入 一 單 位 電 量 的 脈 沖 ，求電 路 上 的 電 流)(ti. 0,10,0)(tttq由于電流強(qiáng)度是電量對時(shí)間的變化率，即由于電流強(qiáng)度是電量對時(shí)間的變化率，即ttqttqdtdqtit)()(lim)(0當(dāng)0t時(shí)，)(t

5、i= 0；當(dāng)0t時(shí)， )1(lim)0()0(lim)0(00ttqtqitt這種形狀在通常意義下找不到一個(gè)函數(shù)去表示上這種形狀在通常意義下找不到一個(gè)函數(shù)去表示上述電路中的電流強(qiáng)度，為此，引入如下廣泛意義述電路中的電流強(qiáng)度，為此，引入如下廣泛意義下的函數(shù)：下的函數(shù)：定義定義 設(shè)設(shè)tttt,00 ,10,0)(并認(rèn)為當(dāng)0時(shí)，)(t有極限，且稱此極限為狄拉克（狄拉克（Dirac）函數(shù)）函數(shù)，簡稱函數(shù)函數(shù)或單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)，記為)(t，即 )()(lim0tt 函數(shù))(t是一個(gè)廣義函數(shù)， 在通常意義下，)(lim0t是不存在，只有在廣義意義下，這個(gè)極限才有效. 顯然，對任何0，有 1)(li

6、m)(lim)(00dttdttdtt此積分的物理意義是：在0t時(shí)刻出現(xiàn)寬度無限小，幅度無限大，面積為 1 的脈沖， 函函數(shù)數(shù)的的拉拉氏氏變變換換為為 dtedtedtettptptpt0lim1lim)()(0000L11lim11lim11lim0000ppptpepeppe義務(wù)義務(wù)8-23.1.2 拉氏變換的性質(zhì)拉氏變換的性質(zhì)L)()(21tftfL)(1tfL)(2tf )(1pF)(2pF 性性質(zhì)質(zhì) 1（線性性質(zhì)）設(shè)、均為常數(shù)，且 L)()(11pFtf，L)()(22pFtf則 L)(tfLaeat1a1L 1 a1Late 因?yàn)?L1 L)0(1)(ppt， Lateap 1)(

7、ap 故 L)(tf)(1111appappa. 性質(zhì)性質(zhì) 2（位移性質(zhì)）設(shè) L)()(pFtf，則有 L)()(apFtfeat )()()()()(00apFdtetfdtetfetfetapptatat證明：證明：由位移性質(zhì)可知，)(tf乘以ate的拉氏變換等于其象函數(shù)作位移a. 解解 由 L2cos t42pp， 再由位移性質(zhì)得 L2cos3tet4)3(32pp )3(p； 類 似 地 ， 可 得 ， L2sin3tet4) 3(22p )3(p 性性質(zhì)質(zhì) 3（延滯性質(zhì)）設(shè) L)()(pFtf，則 L)()(pFeatfat )0(a 例例 3 求 L)(at )0(a. 解解 因

8、Lpt1)(，故由延滯性質(zhì)知，L)0(1)(ppeatap. 性性質(zhì)質(zhì) 4（微分性質(zhì)）L)()(pFtf，且)(tf在), 0( 內(nèi)可微，則)(tf 的拉氏變換存在，且 L)0()()(fppFtf 推論推論 若 L)()(pFtf，則有 L)0()0()0()()()1(21)(nnnnnffpfppFptf 特別地，當(dāng)初值0)0()0()0()1(nfff時(shí)，有 L)()()(pFptfnn 解解 設(shè)ttfsin)(，則 0)0(f， ttfcos)(，)0(f，ttfsin)(2 由微分性質(zhì)得由微分性質(zhì)得 L)(tf 2p L)0()0()(fpftf2pL)(tf=2pLsint 又 L)(tf Ltsin22 Lsint 綜合以上兩式得 Lsin t22p 利用上述結(jié)果及ttsin1cos，可得 Lcos t1 L)(sintp Ltsin22p. 性質(zhì)性質(zhì) 5 （積分性質(zhì)） 設(shè) L