AG不等式的證明及其推廣

1、平均不等式AG不等式：1 .中學(xué)里面我們稱之為根本不等式：（1） Vab <ab 0,0 22a +b 之0a,b同號 b a3a2+b2-2aba,b為實數(shù). 一 1 n2.推廣：設(shè)a=a,斗,a至0, iwkwn,那么Ana=-Z ak稱為,an的算木n k4平均值,Gna= Uaia2an稱為ai,的幾何平均值一 n ai . a2 一一 anGna<Ana,即 Jaia2an <n稱為ag不等式,當(dāng)且僅當(dāng) 日=&=%時等號成立.ag不等式是最重要的根本不等式,利用這個不等式,可將和的形式縮小為積的形式,或者將積的形式放大為和的形式,因而這可以表達成兩個等價的共

2、軻命題：i其和為S的n個正數(shù)之積,在這些數(shù)都相等的時候最大,最大值為S/nn.2其積為仃的n個正數(shù)之和,在這些數(shù)都相等的時候最小,最小值為n仃2.因此ag不等式有許多獨特的應(yīng)用價值,例如在幾何學(xué)中求最大最小問題時,給定外表積 的所有長方體中,正方體具有最大的體積； 而給定體積的所有長方體中,正方體具有最小的外表積等.3 .加權(quán)形式的AG不等式:nak»qk , A(a,q)= qkak)k Jnqk- 0qk = i .nGn(a,q>An(a,q)式中 Gn(a,q)干ke通過對數(shù)變換可以將這兩種平均聯(lián)系起來,記lna=ln ；lna,那么lnGa,q*lnAa,q即正數(shù)ai

3、,4的加權(quán)幾何平均 Ga,q勺對數(shù)等于,耳的對數(shù)lna,lna的加權(quán)算術(shù)平均n同時,對于加權(quán)形式的 AG不等式的進一步推廣是：設(shè) 向卜>0, qk>0,且£ qk=那么k/m nn mZ (n (aij)Aqk)(Z aik)Aqk ,當(dāng)且僅當(dāng)j 4 k 4k 4 j 4aji_ aj2-m= -m< aji< aj2j ij iajn,j=1,m)'、ajnj 1時等號成立4 .關(guān)于AG不等式的證實:這里面介紹的是幾個典型的、簡潔的和新的精彩的證實方法,為了表達方便,下面將ai + a2 ,- anVala2an <a-a a記為Gna<

4、Ana,并設(shè)ai,&是不全相等的正n數(shù)由于ai=ai=an時,等號成立,與9=" <a1+a2+an等價的是：nnn假設(shè) 口 ak =1,那么 £ ak 2 n;k=1k =1n那么:akk=1-(1)n.n1821年Cauchy用反向數(shù)學(xué)歸納法給出了一個精彩的證實:第一步：假設(shè)n=k時,S/a1a2. an a!上生士二史成立,容易推出n=2k的 n時候該式也成立：aa2k 12k = 2a , a2 . mak 1 - ak 2 ' .a2k+ )kk1/k1/k,、1/2k(a1ak) +(ak 1 a2k) - (a1 - - akak 1 .

5、 a2k)由此推出n=2"時,Ua1a2.an Ea1+a2+成立.第二步：設(shè)n02m,那么比存在r三N ,使得 n+r=2m.(n r)AnAn =n r an) (An -,An)i/(n+r)2a!,an .An An (有 r 1 An連乘)=Gn An 4 An Ar 1/(n+r)即(An T 之(Gn?.(An)r.從而 An 之 Gn另外一種思路是從 An+1之Gn+1推出An至Gn成立,事實上“nAn AnAn 二n 1a1 - an Ann 1> (a1a2 , anAn)1/(n+1),即Ann+1之a(chǎn)1anAn ,從而(An )n 之 a1 an = (

6、Gn )n,即 An 至Gn同時也可以用數(shù)學(xué)歸納法來證實下式的成立 nn11 ak = 1,那么 v ak _ n k 1k 1證實如下：n=1時,命題顯然為真.假設(shè)n之1時,命題為真,當(dāng)n+1附,假設(shè)所有的xk=1,那么其和等于n+1,不然 不妨設(shè)X1 <1, Xn +1 >1 對假設(shè)干個Xi進行一個排列,把最小的重新定為 X1 ,最大的定為Xn +1 , 我們記y=X1Xn+1,這時便有X2X3Xny=1,由于歸納假設(shè)X2 + X3+X + y之n另外, X1 +Xn+1 y = X1 +Xn +1X1Xn+1 = 1 X11 Xn+1A 1 +得,X1 +Xn +1 >

7、n+1 ,因而對n +1 的情況也成立,證畢！ Ehlers,1954教材大多采用的是利用函數(shù)的凹凸性去證實,這里我們直接證實加權(quán)平均不等式,AG不等式只是其中的一種特殊情形.nn下證實：Gn(a,qkA(a,q)式中 Gn(a,q)干(ak"qk , An(a,q)= qkak, Ck>0, k4kJn、qk = 1, k 1證實：注意到如果ak中有等于0時,不等式自然成立,現(xiàn)在只需要考慮ak都是正數(shù)的情況由于指數(shù)函數(shù)6A x =exp(x)為嚴格的上凸函數(shù),所以我們有：n< nnnn (ak) Aqk = exp Z Akln ak 1<Z 九kexpln(ak

8、 =£ 九kak,當(dāng)且僅當(dāng) ak都相等 k41k1kz1k/的時候成立.1這時候我們再令 九k = , k =1,2, n時,該式子就是非負的幾何平均數(shù)不大于n算術(shù)平均數(shù)(AG不等式)還可以利用 Young不等式：a 1/p b 1/q - 1/p a+(1Z q b , 1/ p+1/q=1,1 < p <g ,得到1、1/n,八1(1-1/n),1. 1 1(an 書), (An n )E + 1 An +nan + k n J1、1 r1、記 G = (an +1 J1 , (An + y ), A = + 1An +1 .nan +1、 n J那么An 由=NH

9、A nA 主 vGnG = fen 十1A(n 十 1)?An + A (n 1)1/2n , 即2An+1 之Gn 書.證畢！ (Diananda)補充說明的是young不等式的證實： 、一 一 11,、Young不等式(p-q不等式)：設(shè)p,q>0, 十=1,那么當(dāng)1<p<00時,成立p q|ab|<1|a|p+-|b|q;當(dāng)0cp <1的時候,不等式反向,當(dāng)且僅當(dāng)|b |=| a |p-1的時候證實這個不等式的方法有許多,這里只給出四種證實的方法：1代數(shù)方法：利用 Bernoulli 不等式：x >0,0 <ot <1.(x)Act _1

10、Wot(x 一1 )再取a = , x= bq/a "Bernoulli不等式的證實很容易,只需要用數(shù)學(xué)歸納法即可證實,這里不再去證實)微分法：固定x > 0,求一元函數(shù)*(y)= (xAp+ (yJAq-xy 在0,°°)上 的 極 值,y0 =(x0 Aa (式中口 =)時取到最小值.即中(y )之(y0 )= 0.q -1積分法：設(shè)y = 5(x誕0, a上嚴格遞增的連續(xù)函數(shù),ab比擬面積得 ab M (xdx+中(ydy,a,b之0 (這里的中和中函數(shù)互為反函數(shù))然后我們?nèi)?5(x )= xp-1即可證得！考慮二元函數(shù)f(x,y) =- + y-x1

11、/py1/q 在凸域 D=(x, 丫>*.20上的凸性. p qLagrange乘數(shù)法：求 f僅尸Ux1xn在條件 與+ xn = a下的最大值,作輔助函數(shù)F (x )=收1 xn )1/n+ K(x + +xn a).F對xk求偏導(dǎo)數(shù)F& =0,得出f (x )= -nkxk, k =1, n.即對k求和,得到nf (x )= 5九(刀+xn)=n九a.即f (x) - - a .由以上兩個式子,我們可以得到xk=a .于是f在a,i點取得最大值nn n)a '、 a 口 n' a1/、一 = 一,即 <xt. xn W = (x1 +xn).<n

12、1 nnn再補充利用四個個不等式去證實的方法:利用不等式exo(x)2l+x,得出,'ak、,'Gn、ni =<AnJ lAnJn ,n,nakak1 ; exp( 0)= exp n ： exp-1 - 11k 1 Ank 工 Ank=1利用不等式exp(x) >xe(x =e),即x>elnx.于是ak _ eln ak, k = 1,. . ., n.n我們可以選擇權(quán)系數(shù)q =(q1,qn),qk至0,且工qk=1,使得k=1nGn(a,q) : 11 (ak)A qk = e.k=1于是從ak上eln ak,k =1,n.式子對k求和,得到nnnnZ

13、qkak >eZ qkln ak =eln.n (ak Aqk l=e=n (ak Aqk,這就是加權(quán)平均不等式 k=1k =1k 1kTakak利用不等式ln x < x -1(x > 0)得至U l o-g- <1,對 k 求和得至U ,Ak Akrn )工akak v log(a)< AnMlAn,.ak-n =0,即 10g 口 An10g 修.An JGn . n |= n log()< 0.從而我們AnGnGn .得到log 一 <0,即 一 <1.證畢!AnAn利用不等式 xn -(x)A(n -1) < n -1,x . 0

14、.取x =更"n-1,那么從不等式上方的不等式得到An 丁之a(chǎn)1 An對上式逐次使用不等式得到：An n -a1a2a3 . ann-2 二 二 aQ-n -2an = (Gn)n.證畢!(Akerberg,B. 1963)5.深度的推廣我們通過加權(quán)平均不等式來證實：設(shè)aik 0,k =1,n, i -0,i =1；m,m,2： /,i =1.idn m那么有不等式、: aik a - ik 1 |l_i 1< I ', aik A ' ii =1_k 1證實：當(dāng)上述右邊等于 0時,顯然左邊也等于 0.我們考慮右邊不為 0的情況,利用加權(quán)平均不等式,得:n m11 aik A - kd i dS aik 葭kT )aikn工aik<k=1aikn工aikIkTr n工aikkTn工aik< k=1當(dāng)且僅當(dāng)m個向量(an, ,ain), i =1, ,m.成比例時成立.證畢！特殊的情況：11當(dāng) m =2, aik = (xk /,a2k =(yk)q,= 一,冥2 = ,九1 十九2