立體幾何高考內(nèi)容分析與復(fù)習(xí)建議

1、立體幾何高考內(nèi)容分析與復(fù)習(xí)建議何永生番禺區(qū)象賢中學(xué)（原增城市鄭中鈞中學(xué)） 內(nèi)容提要：本文通過對新舊教材在內(nèi)容、考試要求、教學(xué)重點難點、以及近幾年來的新舊課程的高考試題特點等進行研究，制定相應(yīng)的復(fù)習(xí)策略。本文還提出了幾種對空間角與距離的解法。關(guān)鍵詞：空間想象能力，轉(zhuǎn)化化歸思想、向量代數(shù)法。2004年是廣東省采用數(shù)學(xué)新課程的第一次高考，雖說高考對立體幾何的考查一直是以能力為主，對能力考查的要求有一年比一年提高的趨勢，題型也相對較為穩(wěn)定。但新舊課程在內(nèi)容、考試要求、教學(xué)要求、教材的編排體系等畢竟有相當(dāng)大的改變，因此我們進行高三立體幾何復(fù)習(xí)時，有必要對新舊教材在內(nèi)容、考試要求、教學(xué)重點難點、以及近幾年

2、來的新舊課程的高考試題特點等進行研究，制定相應(yīng)的復(fù)習(xí)策略，爭取在2004年高考中獲得全面豐收。以下談?wù)劰P者的一些看法：一、 立體幾何內(nèi)容分析（一） 新舊教材比較：在考試內(nèi)容方面：新教材中刪除了棱臺，旋轉(zhuǎn)體（圓錐、圓柱、圓臺、球冠及球缺等）。增加了正多面體與歐拉定理；增加了空間向量及其加、減法，與數(shù)乘運算；空間向量的數(shù)量積；空間向量的坐標(biāo)表示，及其對應(yīng)的加減法，數(shù)乘與數(shù)量積運算；平面法向量等內(nèi)容。在考試要求方面：刪除了棱臺，旋轉(zhuǎn)體（圓錐、圓柱、圓臺、球冠及球缺等）的面積與體積公式，淡化了三垂線定理及其逆定理的要求，增加了理解空間向量與空間向量坐標(biāo)的概念，掌握空間向量的加減法、數(shù)乘與數(shù)量積的概念；

3、及其對應(yīng)坐標(biāo)的加減法，與數(shù)乘運算；理解直線的方向向量、平面的法向量等內(nèi)容。突出了利用空間向量知識解決求空間角、空間距離；證明平行與垂直的問題，明確了對傳統(tǒng)幾何的向量化思想。同時也體現(xiàn)了對解決問題的方法上的靈活性，重點讓學(xué)生掌握向量代數(shù)法，同時也兼顧傳統(tǒng)幾何綜合推理方法。（二）復(fù)習(xí)重點：（1） 線線、線面、面面平行和垂直的判定與性質(zhì)；三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用；（2） 空間向量的概念、性質(zhì)與運用；（3） 空間角與距離的概念和計算；（4） 特殊棱柱、棱錐的定義、性質(zhì)；（5） 棱柱、棱錐中線線、線面與面面的位置關(guān)系，線線、線面與面面所成角的構(gòu)造與計算；（特別注重向量代數(shù)法來計算角）（三）復(fù)習(xí)難點：（

4、1） 找到要計算的角、距離等；（2） 掌握應(yīng)用向量解決立體幾何的問題；（3）平面圖形與空間圖形相互轉(zhuǎn)換，即空間想象能力進一步提高；以及轉(zhuǎn)化化歸思想、類比思想等的培養(yǎng)。二、 高考考點剖析立體幾何三大考點：（1） 線面位置關(guān)系的推理判斷（小題）、證明（大題）；（2） 空間角；（3） 空間距離。線面位置關(guān)系突出平行和垂直，又側(cè)重于垂直關(guān)系，因為空間直角坐標(biāo)系的建立和空間角的平面角的構(gòu)造與求解離不開垂直；空間距離也離不開垂直。主要以三棱柱、四棱柱（正方體）、三棱錐、四棱錐為載體。與球有關(guān)的問題也是高考?？键c。立體幾何大題不獨立考查單純的線面位置關(guān)系，而明確以多面體為載體，綜合考查概念、性質(zhì)、線面關(guān)系、

5、角與距離。三、 考題特點分析每年的數(shù)學(xué)高考立體幾何題中，有23道選擇題，1道填空題及1道解答題。分值占全卷的18%20%。考題屬于“理解”和“掌握”這兩個層次，難度中等，試題常有課本背景。總結(jié)20002003年兩省一市（晉津贛）或江蘇、遼寧等省新教材高考卷與全國高考卷的立體幾何題可以看到以下幾個特點：（1） 新教材立體幾何試題中大題以棱柱或棱錐為載體，融線面關(guān)系于幾何體中。繼續(xù)采取傳統(tǒng)的小步設(shè)問、逐層加深的模式。第一小問考查線線、線面、面面的位置關(guān)系、后幾問考查空間角，空間距離等度量關(guān)系，解題方法是向量代數(shù)法，其解題思路：“建立坐標(biāo)系求向量坐標(biāo)用公式計算”。 舊教材相對穩(wěn)定。（2） 在考查空間

6、概念的基礎(chǔ)上，強調(diào)作圖、證明和計算相結(jié)合，融推理論證于幾何量的計算中，邏輯思維能力、空間想象能力的考查存在于運算中。（3） 對空間想象能力的要求進一步提高，試題直接對空間想象能力的考查；如（2000年天津卷第16題），如圖，E、F分別為 D1 C1正方體的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，則四 A1 B1邊形BFD1E在該正方體的面上射影可能是 。 E F D C A B 本題需從不同的角度來觀察圖形，直接體現(xiàn)了對空間想象能力的考查。再如，2001年北京春季高考卷第11題；2003年全國卷第16題。（4）重點考查基礎(chǔ)知識的同時，也注重形式的多樣性，如與簡易邏輯、排列組合等的小綜合題型也常出

7、現(xiàn)，這也是一種傳統(tǒng)。如：（2002年山西卷）從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有（ ） A）8種 B）12種 C）16種 D）20種 又如：2003年江蘇卷第16題是與簡易邏輯相結(jié)合。（5）重視對數(shù)學(xué)素質(zhì)的基本數(shù)學(xué)思想方法的考查；試題體現(xiàn)了立體幾何學(xué)科特點的通性、通法，突出和加大了對轉(zhuǎn)化、化歸思想，類比思想及等積變化等基本方法的考查力度。如：2003年新課程卷第15題，考查類比思想。如：（2003年江蘇卷第12題）一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ） 此題的最優(yōu)解法是：將這個正四面體放入一個正方體中，再將這個正方體放入球中與球相外接。因為

8、正方體的對角線就是球的直徑，而正四面體的棱就是正方體的側(cè)面對角線。所以，設(shè)正方體的棱長為a，則有a=，a=1，故選A。此題是典型的考查轉(zhuǎn)化、化歸思想。四、 復(fù)習(xí)建議由于高考立體幾何題是中低檔題為主，所以在復(fù)習(xí)時一定要抓好基礎(chǔ)，注意以下幾個方面。1 回歸課本，加強基本概念、定義、定理的理解和應(yīng)用，加強歸納總結(jié)，將基礎(chǔ)知識條理化、網(wǎng)絡(luò)化，以利于記憶。對課本上的每一條定義（或概念）、定理、公理、法則等，要求學(xué)生首先要敘述出來，其次是分清它們的條件與結(jié)論，再次轉(zhuǎn)換成用符號語言表述，并要能畫出正確的圖，定理甚至要求掌握它的證明。對課本上一些重要題目也要求學(xué)生能用文字語言表述清楚，用數(shù)學(xué)符號語言表示正確，

9、畫出立體感比較明顯的幾何圖。如：經(jīng)過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線，如果它和已知角兩邊的夾角為銳角且相等，那么這條斜線在平面內(nèi)的射影是在這個角的角平分線上。對這個常用的結(jié)論，一般可要求學(xué)生填空，畫出其圖形；又如，對常用公式，要求學(xué)生不僅要理解其意義，而且還得畫出圖形。對各種角、距離的定義與操作過程要認(rèn)真總結(jié)歸納。（具體小結(jié)如附1）2 進一步對空間想象能力的培養(yǎng)，為此可以從兩個方面來入手：（1） 重視看圖能力的培養(yǎng)：對于一個幾何體，可要求學(xué)生從不同的角度去觀察，可以是俯視、仰視、側(cè)視、斜視，讓學(xué)生體會不同的感覺，可以開拓學(xué)生的空間視野，培養(yǎng)空間感；從而也使學(xué)生明白，當(dāng)從一個角度去觀察一個幾何

10、圖形而解決不了問題時，可以換一個觀察角度。（2） 加強畫圖能力的培養(yǎng)：要求學(xué)生掌握基本圖形的畫法；如異面直線的幾種畫法、二面角的幾種畫法等等；對線面的位置關(guān)系，所成的角，所有的定理、公理都要畫出其圖形，而且要畫出具有較強的立體感，除此之外，還讓學(xué)生體會到用語言敘述的圖形，畫哪一個面在水平面上，產(chǎn)生的視覺完全不同，往往從一個方向上看不清的圖形，從另方向上可能一目了然。對于諸如過多面體上的已知點作截面，或作二面角的棱等問題，主要作圖依據(jù)是平面的三條性質(zhì)和“三平面兩兩相交，得到三條交線，則三條交線或者互相平行或者交于一點”。（3）加強認(rèn)圖能力的培養(yǎng)：對立體幾何題，既要由復(fù)雜的幾何圖形體看出基本圖形，

11、如點、線、面的位置關(guān)系；又要從點、線、面的位置關(guān)系想到復(fù)雜的幾何圖形，既要看到所畫出的圖形，又要想到未畫出的部分。能實現(xiàn)這一些，可使有些問題一眼看穿。3 加強審題能力的培養(yǎng)。一般地方法是：先一句一句理解，再全面考慮，要注意文字語言、符號語言、圖形語言的互譯。對于未給出圖形的題和判斷位置關(guān)系的問題，先用手頭的工具比劃它們的位置關(guān)系（桌面、書、筆、教室等等），如果需要畫圖，再選擇恰當(dāng)?shù)姆轿划媹D。如果有圖，邊讀題邊想象實際圖形，再綜合分析線面關(guān)系。4 應(yīng)注重讓學(xué)生掌握解題方法中的通法通則，特別是轉(zhuǎn)化化歸思想，向量代數(shù)法。在授課時講清講透徹，讓學(xué)生不僅理解深刻而且能牽牽掌握。如線面和面面關(guān)系的轉(zhuǎn)化；三

12、棱錐等積法要熟練掌握；面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行，可再轉(zhuǎn)化為線線平行來處理。再如，點到面距離，可轉(zhuǎn)化為線到面距離，又可轉(zhuǎn)化為面面距離；證明兩線平行，可轉(zhuǎn)化為兩直線同時垂直于一個平面的證明。又如求二面角的向量代數(shù)法、三垂線定理法和射影面法；求點到面的距離的向量代數(shù)法和等體積法等這一些都是立體幾何中的通法；5 引導(dǎo)學(xué)生多積累。如（1）注意平面幾何和立體幾何概念的區(qū)別與了解，如：空間的垂直未必相交；正三棱錐不僅要底面是正三角形，還要頂點在底面上的射影是底面三角形的中心；三棱錐頂點在底面上的射影是底面三角形的外心、內(nèi)心、垂心的條件各是什么等問題。（2）記住一些特殊圖形的線面關(guān)系和有關(guān)量。如：正方體中對角線

13、與側(cè)面對角線異面時，它們互相垂直；正四面體相對棱相互垂直；直角四面體的三個側(cè)面面積的平方和等于底面面積的平方等等；若能記住它，將提高解題速度。還使學(xué)生對問題的理解更加快捷。6 嚴(yán)抓解題的表述與書寫的規(guī)范性。在傳統(tǒng)的邏輯推理方法中的基本步驟是：“一作（作輔助線），二證明（如證明直線與平面所成的角），三求（求解角或距離等）”；在用向量代數(shù)法時，必須按照“一建系（建立空間直角坐標(biāo)系），二求點的坐標(biāo)，三求向量的坐標(biāo)，四運用向量公式求解”；如在證明線面垂直時，應(yīng)證線線垂直時，學(xué)生容易只證與平面內(nèi)一條直線垂直就下結(jié)論，這里應(yīng)強調(diào)證兩條相交直線，缺一不可；用空間向量解決問題時，需要用建立坐標(biāo)系時，一定要說清

14、楚；用三垂線定理作二面角的平面角時，一定得點明斜線在平面上射影；書寫解題過程的最后都必須寫結(jié)題語。7 在面積、體積計算中，要抓住基本圖形的基本量，利用基本量可用方程思想處理計算問題。長方體的長、寬、高；正三棱錐的側(cè)棱與底面邊長；球的半徑等等；這些基本量是列關(guān)系式的基本元素。8 加強與球有關(guān)的問題。球內(nèi)接長方體的對角線等于球的直徑；球內(nèi)接正四面體的棱長與球的直徑的關(guān)系則可以通過相應(yīng)的球內(nèi)接正方體來作中間橋梁，即正四面體的棱長等于正方體的側(cè)面對角線長；如2003年全國卷第12題便是考查這一點。球與截面的問題可類比于圓與弦的問題。9 培養(yǎng)學(xué)生兩種意識：（1） 特殊化意識。許多線面關(guān)系的問題要特別注意

15、它們的特殊位置關(guān)系，在一些計算問題在一般位置（圖形）和特殊位置（圖形）的答案是不變的，從特殊中尋找快捷的解題思路。要培養(yǎng)學(xué)生的這種意識，以提高解題速度。有時，由特殊圖形的關(guān)系可引出一般在關(guān)系。（2）運動的觀點。平移不改變角的大小，在立體幾何中，所有角的求解都可做平行線（平移）來解決，這樣我們可將不相交的線的夾角轉(zhuǎn)化為相交線的夾角；直線不能移動，但其方向向量可以按需要任意平移。 以上是筆者一些膚淺的看法，由于筆者水平有限，不妥之處，請多多指正！ 附1：（1）求異面直線所成的角主要方法：依據(jù)其定義，可歸納為“選點作平行線解三角形”。一般用“三點定面法”即在異面的兩線段的4個端點中，適當(dāng)選其中三點確

16、定平面，然后在其確定的平面上先考慮能否平移其中一條線段與另一條相交，如果不行，則可以考慮另兩種做法：（）找線段中點或圖形上的特殊點，來作兩異面直線的中位線或其它平行線；（）通過補形來達到平移其中一條直線與另一條直線相交。當(dāng)然選點原則是所得到的三角形好解，如直角三角形等。 采用向量代數(shù)法，向量代數(shù)法也有兩種手段：（）利用空間向量基本定理，選取恰當(dāng)一組基底來分別表示兩異面直線上的方向向量；（）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩異面直線上的方向向量的坐標(biāo)；然后都用數(shù)量積公式求出其夾角的余弦值。以上兩種方法，最主要是掌握向量代數(shù)法。（2） 求二面角常用以下方法：先判斷是否可能為直二面角（要證明），其次可用

17、以下方法： 定義法：在二面角棱上取一點分別向兩個半平面作垂直于棱的射線.由于棱上選點的任意性對下一步計算不利,所以我們常先在一面內(nèi)選一特殊點作棱的垂線交棱于一點。再過這一點在另一面作垂直于棱的射線，從而得到二面角的平面角。再解三角形。 三垂線定理法：過一平面內(nèi)一點分別作棱的垂線和另一面的垂線，連接兩個垂足，可得二面角的平面角。再解直角三角形。以上方法是已知了二面角的棱，可歸納為：“選點一作平面角一證明解三角形”。求解時，先要分析是否為直角三角形。 從已知圖形中找出某圖形與其射影圖形。利用公式求出，即為二面角的度數(shù)。 向量代數(shù)法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別在兩個平面上求兩條相交直線的方向向量的坐標(biāo)。然后分別取這兩個平面的法向量，根據(jù)條件分別取一組具體坐標(biāo)，再用公式求出，即為二面角或其補角的度數(shù)。這里有一個難點是法向量的取法與判斷二面角是小于90o還是大于90o。另外，如果沒有給出二面角的棱，可將圖形中的某些線段或平面延長，延拓或平移得到二面角