2018東北三三校一?？荚嚁?shù)學(xué)文科試題

1、2018東北三省三校一?？荚嚁?shù)學(xué)文科試題第I卷（共60分）、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合 AxA.xx0|x|2,xB.xx2.已知復(fù)數(shù) z 滿足 1iA.1i1iB.1 13.在下列向量中，可以把向量2yyx,xR，則 AIC.1,2D.0,1,2i 為虛數(shù)單位,則 z 等于（C.121.i23,1 表示出來(lái)的是（1.i2ITITA.e0,0,inG3,2ITITB.e1,2ure23,2ITC.e3,5,uue26,10ITITD.e3,5uu,e23,4.在區(qū)間 0,3上任取一個(gè)實(shí)數(shù) x,則 2x2 的概率

2、是（A.23B.12C.13D.l45.拋物線 y4x2的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（A.2B.1C.14D.16.已知 a,b 都是實(shí)數(shù)，p:直線 xy0 與圓 x2 相切;A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7.如圖所示的程序框圖的算法思路來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)，執(zhí)行該程序框圖若輸出的 a a4,則輸入的 a,b 不可能為（）A.4,8B.4,4C.12,16D.15,18q q：ab2,ab2,則 p p 是 q q 的()8.已知函數(shù) fxsinx-,則下列說(shuō)法不正確的是（）A.fx 的一個(gè)周期為 2 2B.fx 向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

3、稱3C.fx 在一,乙上單調(diào)遞減66D.fx 的圖象關(guān)于 x5 一一對(duì)稱610.如圖所示是一個(gè)三棱錐的三視圖，則此三棱錐的外接球的體積為55C.6241a0,b0 的兩條漸近線與直線 xb則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為（）A.0,2B.R RC.2,0、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13 .若直線 l l 平面，平面平面，則直線 l l 與平面的位置關(guān)系為x14 .若實(shí)數(shù) x,yx,y 滿足不等式組 xx0y10,則 2 的取值范圍是x2y3015 .甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他們各自都說(shuō)了一句話，而且其中只有一句真話。甲說(shuō)：是乙做的。乙說(shuō)：不是我做的。丙說(shuō)：不是我做的。

4、則做好事的是填甲、乙、丙中的一個(gè)）16 .ABC 中，BCBC2,ABJ2AC,則ABC 面積的最大值為.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）211.設(shè)雙曲線與a分別交于 A,B 兩點(diǎn)，F(xiàn) F 為該雙曲線的右焦點(diǎn)，若 6060/ /AFBAFB9090, ,則該雙曲線離心率 e 的取值范圍是（A.1,2233，C.2,2D.2x2x2x12.已知函數(shù) fx|a1cosxxR,若對(duì)任意的XI,X2R,都有 f 為D.6D.,2U0,(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式;11(2)設(shè) bn10g2an,求 H-b1b2b2b318.中國(guó)政府實(shí)施“互聯(lián)網(wǎng)+”戰(zhàn)略以來(lái)

5、，手機(jī)作為客戶端越來(lái)越為人們所青睞，通過(guò)手機(jī)實(shí)現(xiàn)衣食住行消費(fèi)已經(jīng)成為一種主要的消費(fèi)方式，“一機(jī)在手，走遍天下”的時(shí)代已經(jīng)到來(lái)。在某著名的夜市，隨機(jī)調(diào)查了 100 名顧客購(gòu)物時(shí)使用手機(jī)支付的情況，得到如下的 2222 列聯(lián)表，已知其中從使用手機(jī)支付的人群中隨機(jī)抽取 1 人，抽到青年的概率為.10(1)根據(jù)已知條件完成 2222 列聯(lián)表，并根據(jù)此資料判斷是否有 99.5%99.5%的把握認(rèn)為“市場(chǎng)購(gòu)物用手機(jī)支付與年齡有關(guān)”？(2)現(xiàn)采用分層抽樣從這 100 名顧客中按照“使用手機(jī)支付”和“不使用手機(jī)支付”中抽取得到一個(gè)容量為 5 的樣本，設(shè)事件 A A 為“從這個(gè)樣本中任選 2 人，這 2 人中至

6、少有 1 人是不使用手機(jī)支付的，求事件 A A 發(fā)生的概率?PKPK2 2% %0.050.050.0250.0250.0100.0100.0050.005k03.8413.8415.0245.0246.6356.6357.8797.8792222 列聯(lián)表青年中老年合計(jì)使用手機(jī)支付60不使用手機(jī)支付24合計(jì)100附：22nadbcK19.已知圓錐 SO,SOSO,SO2,2,ABAB 為底面圓的直徑，ABAB2,2,點(diǎn) C C 在底面圓周上，且 OCABOCAB, ,E E在母線 SCSC 上,且 SE4CESE4CE, ,F F 為 SBSB 中點(diǎn)，M M 為弦 ACAC 中點(diǎn).(1)求證：

7、ACAC 平面 SOM;SOM;(2)求四棱錐 OEFBCOEFBC 的體積.17.已知數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn23n12nN*y2241ab0 的離心率為,F1b22上的任意一點(diǎn)，MF1F2的面積的最大值為 1,1,A A、B B 為橢圓 C C 上任意兩個(gè)關(guān)于 x 軸對(duì)稱的點(diǎn)，直線 xa-a-與 x 軸c的交點(diǎn)為 P P, ,直線 PBPB 交橢圓 C C 于另一點(diǎn) E E.求橢圓 C C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：直線 AEAE 過(guò)定點(diǎn).21 .已知函數(shù) fx4x3ax,xRxR.討論函數(shù) fx 的單調(diào)性；(2)若函數(shù) fx 在 1,1 上的最大值為 1,求實(shí)數(shù) a 的取值集合.2

8、2 .已知在極坐標(biāo)系中曲線CI的極坐標(biāo)方程為：4cos,以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以極軸為 x 軸的正半軸建立直角坐13t2，一-（t 為參數(shù)）,2求出曲線CI的直角坐標(biāo)方程和曲線 C2的普通方程；(2)設(shè)曲線CI與曲線 C2相交于 P,Q 兩點(diǎn)，求 APAQ 的值.23.已知函數(shù) fx2x52x1.求不等式 fxx1 的解集；(2)若 fx|a1 對(duì)于 xRxR 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的范圍.2X20.已知橢圓 C：二ac,0,F2c,0 為橢圓 C C 的左、右焦點(diǎn)，M M 為橢圓 C C標(biāo)系，曲線 C2的參數(shù)方程為:點(diǎn) A3,02018年三省三校一?？荚囄目茢?shù)學(xué)答案一、選擇題（本大題共 12 小題

9、，每小題 5 分，共 60 分）1.C2,A3.B4.C5.D6.B7.D8.B9.C10.C11.C12.A二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分）13.l/或l14.5,215.丙 16.2&三、解答題（本大題共 70 分）17.（本小題滿分 12 分）11解：（1）當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1-（23n+12）-（23n22）23n2當(dāng)n1時(shí)，aSI2=2312,符合上式所以a。23n2（nN*）.3n2（n）由（i）得bn10g22=3n2,_1_1_1111所以b1b2b2b3bnbn11447（3n2）（3n1）11111111n-（1-）（-）（；一；）

10、-（1；）34473n23n133n13n118.（本小題滿分 12 分）解：（I）Q從使用手機(jī)支付的人群中隨機(jī)抽取 1 人，抽到青年的概率為工10使用手機(jī)支付的人群中的青年的人數(shù)為6042人，10則使用手機(jī)支付的人群中的中老年的人數(shù)為604218人，所以22列聯(lián)表為:青年中老年合計(jì)使用手機(jī)421860支付不使用手機(jī)支付162440合計(jì)58421002100(42241816)21800K2的觀測(cè)值k(-=8.86758426040203一一一一一一2一一一Q8.8677.879,P(K7.879)0.005,故有99.5%的把握認(rèn)為“市場(chǎng)購(gòu)物用手機(jī)支付與年齡有關(guān)”.(n)這 100 名顧客中

11、采用分層抽樣從“使用手機(jī)支付”和“不使用手機(jī)支付”中抽取得到一個(gè)容量為 5 的樣本中：一60一使用手機(jī)支付的人有5而3人，記編號(hào)為 1,2,3不使用手機(jī)支付的人有 2 人，記編號(hào)為 a,b,則從這個(gè)樣本中任選 2 人有(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(2,3)(2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共 10 種其中至少有 1 人是不使用手機(jī)支付的(1,a)(1,b)(2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共 7 種,故P(A).1019.(本小題滿分 12 分)(I)證明：二6。平面ABC,，SOAC,又.點(diǎn)M是圓。內(nèi)弦AC的中點(diǎn)，ACMO,又QSOIMOO11VS

12、OCBVOSCB二二32而VOEFBC與VOSCB等局，3S_SSCB5因此，VOEFBC|VOSCB520.（本小題滿分 12 分）2,22而abca故橢圓 C 標(biāo)準(zhǔn)方程為:設(shè)B(x1,y1)，E(X2,y2),A(x1,y)，且x1X2,2aAC平面SOM(n).SO平面ABC,SO為三棱錐SOCB的高,SESFSSCB1ccSESFsin2ESFSCSBsinCSBGg邊形EFBCQ當(dāng) M 為橢圓 C 的短軸端點(diǎn)時(shí),MF1F2的面積的最大值為112cb1bc1,2()Qx=2,P(2,0)c2X2k(x2),代入萬(wàn)y1得(2k21)x28k2x8k220210得k22Qx1x2AE 斜率

13、必存在，AE：yy1*一y2(xx1)x2x1由對(duì)稱性易知直線 AE 過(guò)的定點(diǎn)必在x軸上，則當(dāng)y0時(shí)，得y1x2y2x1k(x12)x2k(x22)x1為-yy2k(xx2)4k2228k2228k2=2x1X22(X1X2)2k212k211xX248k2122-42k21.21,即在 k的條件下，直線 AE 過(guò)定點(diǎn)(1,0)221.(本小題滿分 12 分)解：(I)f(x)12xa.3.當(dāng)a0時(shí)，f(x)4x在R上單調(diào)遞減;2當(dāng)a0時(shí)，f(x)12xa.3a)上遞減;63a.3a.3a3ax(,)時(shí)，f(x)0,f(x)在(,)上遞增;6666、c 一、3a,由題意知BP的斜率必存在, 設(shè)

14、 BP:y8k2XiX22,Xi2k218k222k21火乂x1)yy2當(dāng)a0時(shí)，f(x)212xa0,即f(x).34xax在R上單倜遞減;手)時(shí)，f(x)0,f(x)在(,3a(v，)時(shí)，f(x)0,f(x)在(,)上遞減;6綜上，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減;當(dāng)a0時(shí)，f（x）在（,）上遞減；6在（粵卓）上遞增；（答，）上遞減.（n）.函數(shù)f（x）在1,1上的最大值為 1.即對(duì)任意x1,1,f(x)1恒成立。一3亦即4xax1對(duì)任意x1,1恒成立。變形可得，ax14x3.當(dāng)x0時(shí)，a01403即01,可得aR；當(dāng)x(0,1時(shí)，a14x2.則a(14x2)minxx.1.21.8x31

15、令g(x)4x,則g(x)8x2.xxx_1.,、c，1,、，、c當(dāng)x(0q)時(shí),f(x)0,當(dāng)x(萬(wàn),1)時(shí),f(x)0.1、因此，g(x)ming(2)3,.a3.,一一1,2，1,2、當(dāng)x1,0)時(shí)，a4x則a(4x)maxxx人,、1,2皿，、1-8x31令g(x)4x,貝Ug(x)8x2.xxx當(dāng)x1,0)時(shí)，f(x)0,因此，g(x)maxg(1)3,.-.a3.綜上，a3，a的取值集合為3.22.(本小題滿分 10 分)2.22.解：(I)Q=4cos，當(dāng)0時(shí)，有=4cosxy4x22當(dāng)0時(shí)，點(diǎn)（0,一）在曲線CI上，（0,一）即是在直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)（0,0）滿足方程xy4x,22故曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2y24x即x22y24.曲線C2：石xy3囪0.143130,故方