2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版浙江專版必修2講學(xué)案3空間幾何體的表面積與體積

1、1.3.11.3.1柱體、錐體、臺體的表面積與體積課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高1 1 . .棱柱、棱錐、棱臺的表面積如何計(jì)算?2 2 . .圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是什么?3 3 . .圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式是什么?4 4 . .柱體、錐體、臺體的體積公式分別是什么?5 5 . .圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式、體積公式之間分別有怎樣的關(guān)系?新知初探1 1. .柱體、錐體、臺體的表面積公式圖形表面積公式多囿體的表面積研是各個囿的囿積多囿體的和，也就是展開圖的面積1313空間幾何體的表面積與體積預(yù)習(xí)課本P23P2327,27,完成以下問題旋轉(zhuǎn)體圓柱網(wǎng)底囿積：5 5底=側(cè)面積：S S側(cè)=

2、2=2兀日表囿積:S S=21+2=21+22 2圓錐畬2 2底面積：S S底=衛(wèi)_側(cè)面積：S S側(cè)=0!=0!表向積：S=S=1+1+TfTf2 2圓臺傲上底向面積：S S上底=什，2 2卜底面面積：SrSr底=M M側(cè)面積：5 5側(cè)=H H（r+rr+r）表囿積：S S= =兀r r: :2 2+ +r r2 2+ +rl+rlrl+rl）2.2.柱體、錐體、臺體的體積公式柱體的體積公式V=ShV=Sh（S S為底面面積，h h為高）；1 1錐體的體積公式V=*ShV=*Sh（S S為底面面積，h h為局）;3 3臺體的體積公式V=1V=1（S S+ +7 7s sS S+ +S S）h.

3、h.3 3點(diǎn)睛（1 1）圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式之間的關(guān)系：r r=TRr，=05回拄慢一2兀*,5回臺例一五（r+r）2圓彈側(cè)=五乩（2）柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系：Ef1 1, ,r-,-r-,-, ,Sf=01V=ShShV=（S+店后+S S）hZ=hZ=-fSh.Sh.O O正=坐,所以該幾何體的3333體積為2 2兀十守.3 3空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)(1)求簡單幾何體的體積.若所給的幾何體為柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式求解.(2)(2)求以三視圖為背景的幾何體的體積.應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.2.2.圓臺的上、下底

4、面半徑和高的比為:4:4：4,4,若母線長為10,10,則圓臺的表面積為A.A.8181兀B.B. 100100兀C.C.168168兀169169兀解析：選C C先畫軸截面，再利用上、卜底面半徑和高的比求解.圓臺的軸截面如圖所示，設(shè)上底面半徑為的母線長為l l=,=,h h2 2+(+(R Rrjrj=(=(4r4rj j+(3r+(3rj j=5r=10,=5r=10,所以r=2,R=8.r=2,R=8.故S S側(cè)=兀R+r)l=R+r)l=兀(訃2)X10=1002)X10=100兀，S S表=S S側(cè)+2+/5,BD=AC=AB=CD=J13,BC=AD=2/5,BD=AC=5,求四面

5、體ABCD的體積.解：以四面體的各棱為對角線還原為長方體，如圖.設(shè)長方體的長、寬、高分別為x,y,z,x,y,z,1 1. .同理，V VC C- -ABFABF= =V VD D- -ACGACG= =V VD D- -BCHBCH=6=6V V長方體，V V四面體ABCDABCD= =V V長方體一4X4X3V3V長方體=! !V V長方體,6363而V V長方體=2X3X4=2X3X4=24,V24,V四面體ABCDABCD= =8.8.(1)(1)三棱錐又稱為四面體，它的每一個面都可當(dāng)作底面來處理，這一方法叫作體積轉(zhuǎn)移法(或稱等積法) ). .(2)(2)當(dāng)所給幾何體形狀不規(guī)則時，無法

6、直接利用體積公式求解，這時可通過分割或補(bǔ)形，將原幾何體分割或補(bǔ)形成較易計(jì)算體積的幾何體，從而求出原幾何體的體積.x x2 2+y+y2 2=13,y=13,y2 2+z+z2 2=20,=20,x x2 2+z+z2 2=25,=25,x=x=3,3,y=y=2,2,z=4.z=4.V VD D- -ABEABE= =O ODEDES SA AABEABE= =7V7V長方體，3636課后層級訓(xùn)練,步樂提升能力層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)845845則該圓臺較小底面的半徑為()()A.A.7 7C.C.5 5r,r,則另一底面的半徑為3r.3r.由S S側(cè)=3=3兀1+31+3)=6 6.棱長都是3 3

7、的三棱錐的表面積S S為.解析：因?yàn)槿忮F的四個面是全等的正三角形，所以S=4X3X32=973.S=4X3X32=973.845845解得r=7.r=7.5 5.如圖，ABC-ABCABC-ABC是體積為1 1的棱柱，則四棱錐C-AABBC-AABB的體積是( (1 1A3A3A3 3D.D.4 4解析：選CVCVC-ABC-AB1 1= =3V3VABC-ABCABC-ABCI I，V VC-AABB=C-AABB=1 1；= =；. .3333331.1.已知某長方體同一頂點(diǎn)上的三條棱長分別為1,2,3,1,2,3,則該長方體的表面積為()()A.A.2222B.B.2020C.C.10

8、10解析：選A A所求長方體的表面積S=2X(1X2)+2X(1X3)+2X(2X3)=22.S=2X(1X2)+2X(1X3)+2X(2X3)=22.2 2 . .若某圓錐的高等于其底面直徑，則它的底面積與側(cè)面積之比為A.A.1 1C.C.1 1D.V3D.V3:2:2解析:選C C設(shè)圓錐底面半徑為r,r,則高h(yuǎn)=2r,h=2r,其母線長l=45r.l=45r.，S S側(cè)=加= =，5 5行2 2, ,2 2S S底=urur, ,3 3.如圖是一個幾何體的三視圖，其中正視圖是腰長為2 2的等腰三角形，俯視圖是半徑為1 1的半圓，則該幾何體的體積是( (C.271C.271B B工兀B.4B

9、.4兀解析：選B B由三視圖，可知給定的幾何體是一個圓錐的一半，故所求的體積為1111-x-x- -2323X X兀x1x12 2xp=xp=普兀.4 4 . .已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3 3倍，母線長為3,3,圓臺的側(cè)面積為B.B.6 6解析：選A A設(shè)圓臺較小底面的半徑為俯視圖4 4答案：93937 7 . .若圓錐的側(cè)面展開圖為一個半徑為2 2的半圓，則圓錐的體積是解析：易知圓錐的母線長1=2,1=2,設(shè)圓錐的底面半徑為r,r,則2=1x23 3= = . .3.3.圓柱的一個底面積是S,S,側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是（）（）B.B.2 2T TS

10、S2,32,3D.q-D.q-店1 1叼3 3D D. .4 4A.A.4 4T TS SC.TtSC.TtS,所以正方形的邊長是2y2ys s= =紂括,故圓柱的側(cè)面積是(2#)(2#)2 2=4=4 店.4 4.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為R RU UB.B.3 3C.C.6 6解析：選A A由三視圖可知，該幾何體是正三棱柱的一部分，如圖所示，其中底面三角形的邊長為2,2,故所求的體積為-3-34 4ac=43,bc=ac=43,bc=乖乖, ,三式相乘得（abcabc）2 2=6,=6,故長方體的體積V=abc=V=abc=，6.6.答案:6.6.用一張正方形的紙把一個

11、棱長為1 1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，則所需紙的最小面積是解析：如圖為棱長為1 1的正方體禮品盒，先把正方體的表面按圖所示方式展成平面圖形，再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方形，如圖所示，由圖知正方形的邊長為解析：選A A底面半徑是X X2 22 2X2-1XX2-1X5X5X2 22 2X X1=1=蟲 3.3.3433435 5. .已知一個長方體的三個面的面積分別是V V2 2,V,V3 3, ,則這個長方體的體積為設(shè)長方體從一點(diǎn)出發(fā)的條棱長分別為a a, ,b b, ,c c, ,則ab=ab=V V2 2, ,7 7.如圖所示，已知某幾何體的三視圖如下（單位：cmcm）.

12、 .1圖為正視圖Q國虛u2D側(cè)視圖Q4俯視圖2 2 電電, ,其面積為8.8.圖答案：8 8（1 1）畫出這個幾何體（不要求寫畫法）; ;(2)(2)求這個幾何體的表面積及體積.解：(1)(1)這個幾何體如圖所示.這個幾何體可看成是正方體ACACi i及直三棱柱B BI IC CI IQ-AQ-AI ID DI IP P的組合體.由PAPA1=1=PD/2,APD/2,A1 1D D1 1=AD=2,=AD=2,可得PAPDPAPD1 1. .1o1o故所求幾何體的表面積S=5X22+2X2X2+2XS=5X22+2X2X2+2X2*(2*(避)2 23 3= =(22(22+ +4 42)c

13、m2)cm2 2, ,所求幾何體的體積V=V=2 23 3+ +；X X(避) )2 2x x2=2=10(cm10(cm3 3),),8.8.一個圓錐的底面半徑為2 2cm,cm,高為6 6cm,cm,在其內(nèi)部有一個高為xcmxcm的內(nèi)接圓柱.求圓錐的側(cè)面積.(2)(2)當(dāng)x x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？并求出側(cè)面積的最大值.解：(1)(1)圓錐的母線長為W+2W+22 2=2y10(cm),=2y10(cm),圓錐的側(cè)面積S S1=1=TTTTX X2X22X2匹=4=4 兀(cn(cn2 2).).(2)(2)畫出圓錐的軸截面如圖所示:2 2.球的表面積公式是什么?3 3.球的體積公式

14、是什么?.一、.r r6 6一x x設(shè)圓柱的底面半徑為rcm,rcm,由題意，知r=r=一丁2626r=6Vxr=6Vx，圓柱的側(cè)面積S S2 2=2x=2-=2/V V, ,R=R=4l,4l,，S S正方體=6a=6a2 2=6=6/V2V2= =燈216V2,S216V2,S球=4=4TITIR R2 2= =4 43636V/216V2.V/216V2.5 5.球的表面積S SI I與它的內(nèi)接正方體的表面積S2S2的比值是（）（）兀A3A3D.D.兀解析：選C C設(shè)球的內(nèi)接正方體的棱長為a,a,球的半徑為R,R,則3a2=4R3a2=4R2 2, ,所以R R2 2, ,球的表面積S

15、SI I= =4 4TITIR R2 2, ,正方體的表面積S2=6aS2=6a2 2=6X=6X：R R2 2= =8R8R2 2, ,所以優(yōu)=；.6 6 . .已知正方體的棱長為2,2,則與正方體的各棱都相切的球的表面積是2.2.已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱錐的高為3,3,體積為6,6,則這個球的表面積為B.B.2020兀C.C.2424兀意，知球心在正四棱錐的高上，設(shè)球的半徑為r,r,則(3(3r)r)2 2+(43)+(43)2 2=r=r2 2, ,解得r=2,r=2,則4242= =1616TtTt故選A.A.3.3.某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為A.A.7272兀B.B

16、. 4848兀C.C.3030兀D.D.2424兀B,SB,S正方體S S球解析：選A A設(shè)正方體的棱長為正視圖例視圖) )俯視圖解析：過正方體的對角面作截面如圖.故球的半徑r=r=2,2,，其表面積S=4S=4TTTTX X(2)(2)2 2=8=8兀.答案：8 8兀7 7.球內(nèi)切于正方體的六個面，正方體的棱長為a,a,則球的表面積為.解析：正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是六個面(正方形)的中心，經(jīng)過四個切點(diǎn)及球心作截面，如圖，所以有2r2r1=1=a,a,門=2 2，所以S1S1=4=4rxrx= =m m2 2. A A答案：2 28 8 . .圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑是1010c

17、m,cm,有一個實(shí)心鐵球浸沒于容器的水中，若取出這個鐵球，測得容器的水面下降了：cm,cm,則這個鐵球的表面積為cmcm2 2. .3 3解析：設(shè)該鐵球的半徑為r,r,則由題意得443=3=兀*I I。3*3*解得r r3 3=5=53 3, ,，r=5,r=5,這個3333鐵球的表面積S=4S=4TTTTX X5 52 2=100=100兀(cn(cn2 2).).答案：100100兀9 9 . .若三個球的表面積之比為149,149,求這三個球的體積之比.解：設(shè)三個球的半徑分別為0,0,R2,R3,R2,R3,三個球的表面積之比為149,149,4 4屆：4 4T TR2R2: :4 4T

18、 TR3=R3=149,149,即R R1 1：R R2 2：R2=R2=149,149,R R1 1：R R2 2：R R3=3=1 1：2 2：3,3,得R R3 3：R R2 2：R R3=3=1 1：8 8：27,27,V V1 1: :V V2 2：V V3=3=4TR4TR3 3: :4 4求3 3: :4#4#3 3= =R R1 1：R R3 3：R3=1R3=1：8 8：27.33327.3331010 . .某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r r=1,=1,l=l=3,3,試求該組合體的表面積和體積.解：該組合體的表面積S=4S=42

19、2+2l=+21 13 3+ +層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1.1.在一個倒置的正三棱錐容器內(nèi)，放入一個鋼球，鋼球恰好與棱錐的四個面都接觸,經(jīng)過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的截面圖形是()()解析：選B B正三棱錐的內(nèi)切球球心在高線上，與側(cè)面有公共點(diǎn)，與棱無公共點(diǎn).故選B B. .2 2. .一平面截一球得到直徑是6 6cmcm的圓面，球心到這個圓面的距離是4 4cm,cm,則該球的體積是（）（）100100兀3 3A.A.- -3-3-cmcmB.2B.20808-cm-cm3 3C C500500兀cmcm3 3D D416d416d1313兀cmcm3 3解析：選C C根據(jù)球的截面的性質(zhì)，得球的

20、半徑R=R=332+422+42=5=5（cmcm）, ,所以V V球=：求3 33 35005007 7cmcm3 3) )3.3.一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積S=(S=() )A.A.32+32+兀C.C.28+2%28+2%俯視圖B.B.32+2%32+2%D.D.28+28+兀解析：選A A由三視圖可知此幾何體的上半部分為半個球，下半部分是一個長方體，故1 1其表面積S=47txS=47tx2+2+4X4X2X3+2X3+2X2X2+2+2X2X2 2兀=32+32+兀.4.4.（新課標(biāo)全國卷I I）圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r r）組成一個幾何體，該幾

21、何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的止視圖表面積為16+2016+20Tt,Tt,則r=r=()()A.A.1 1B.B.2 2C.C.4 4解析：選B B如圖，該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體，球的俯視圖半徑為r,r,圓柱的底面半徑為r,r,高為2r,2r,則表面積S=xS=x442 2+2X在4EAB4EAB中，EA=EB=3,AB=2,EA=EB=3,AB=2,貝U US SAEABAEAB=-=-X X2X2X 9 9- -1 1=22,=22,故該幾何體的表面積為S=2+4+S=2+4+2 2鄧+2 26 6=2=2（3+3+5 5+ +鄧）.答案：8282（3+

22、2+53+2+5）3 31414.如圖，在上、下底面對應(yīng)邊的比為1 1：2 2的三棱臺中，過上底面一邊作一個平行于棱CCCC1 1的平面A A1 1B B1 1EFEF, ,這個平面分三棱臺成兩部分，這兩部分的體積之比為.解析：設(shè)三棱臺的上底面面積為S S0,0,則下底面面積為4s4s0,0,高為h,h,1_7_1_7_則V V二棱臺ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1= =- -（S S0+0+4So+2S4So+2So o）h h= =SSo oh h, ,V V三棱柱FECFEC出心1=1=S Sh.h.設(shè)剩余的幾3333何體的體積為V,V,則V=7sV=7so oh-Sh

23、-So oh=4Sh=4S0 0h,h,體積之比為3 3：4 4或4 4：3.3.3333答案：3 3：4 4（或4 4：3 3）1515.一塊正方形薄鐵片的邊長為4,4,以它的一個頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑畫弧，沿弧剪下一個扇形（如圖），用這塊扇形鐵片圍成一個圓錐筒，則這個圓錐筒的容積為.解析：設(shè)圓錐筒的底面半徑為r,r,高為h.h.由題意，得271r=1X2271r=1X2兀x x4,4,所以r=r=1,1,所以h h4 4= =* *2 21 12 2=巾5,5,所以=1=1忒、=1*1*TtX1TtX12 2X X415=415415=415兀333333答案:手兀三、解答題（本大題共5

24、5小題，共7474分，解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）1616 . .（本小題滿分1414分）某五面體的三視圖如圖所示，其正視圖、俯視圖均是等腰直角三角形，側(cè)視圖是直角梯形，部分長度已標(biāo)出，試畫出該幾何體，并求出此幾何體各棱的長.聃視圖解：借助正方體（棱長為1 1）及題目所給的三視圖，該幾何體可看作是從正方體中截出來的（如圖所示），然后將所得圖形從正方體中分離出來，即可得到該幾何體該幾何體為四棱錐A-BMCA-BMCi iC.C.（如圖所示），易知結(jié)合給定的三視圖的長度關(guān)系，可知在四棱錐A-BMCA-BMCi iC C中，AB=1,BC=1,AC=AB=1,BC=1,AC=版版B

25、M=1AMBM=1AM、,CCi=1,ACi=CCi=1,ACi= MCi=MCi=里.17.17.（本小題滿分1515分）如圖所示，在多面體FE-ABCDFE-ABCD中，已知ABCDABCD是邊長為1 1的正方形，且ADEADE, ,ABCFABCF均為正三角形，EFEF/AB,EF=2,AB,EF=2,求該多面體的體積V.V.解：如圖所示，分別過A,BA,B作EFEF的垂線A A圖圖G,BH,G,BH,垂足分別為1 1G,H.G,H.連接DG,CH,DG,CH,容易求得EG=HF=2.EG=HF=2.所以AG=GDAG=GD= =BHBH= =HCHC= =,2,21 1，一 2 2SA

26、SAAGDAGD=S=SABHCABHC= =2 2X X2*1=4,2*1=4,V=VV=VE-ADGE-ADG+ +V VF F-BHC-BHC+ +V VAGAGD D-BHC-BHC=gx=gx1 1x x2+%2+%1 118.18.（本小題滿分1515分）如圖所示，已知正方體ABCD-AABCD-Ai iB Bi iC Ci iD Di i的棱長為a,E,Fa,E,F分別是A Ai iA,CCA,CCi i的中點(diǎn)，求四棱錐C CB Bi iEDFEDF的體積.解：連接EF,BEF,Bi iD Di i. .設(shè)B Bi i到平面C Ci iEFEF的距離為h hi,i,D D到平面C

27、 Ci iEFEF的距離為h h2 2. .正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為a,E,Fa,E,F分別是A AA,CCA,CC1 1的中點(diǎn),h h1 1+ +h h2=2=B B1 1D D1 1= =2a.2a.又SiAC1EF=C1FEF=*SiAC1EF=C1FEF=*弓*V2V2a a=a?,2224=a?,22241.121.122 21 13 3V VC C1 1- -B B1 1EDFEDF= =VBVB1 1- -C C1 1EFEF+ +V VD D-C-C1 1EFEF=-SAC=-SAC1 1EFEF(h(h1+1+hAxaxhAxaxW Wa a= =6 6a a. .1919 . .（本小題滿分1515分）如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4 4個全等的矩形骨架，總計(jì)耗用9.6m9.6m