2017-2018學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修2-1課時提升作業(yè)（十六） 2.3.2 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 第2課時 探究導(dǎo)學(xué)課型 Word版含答案

1、溫馨提示： 此套題為word版，請按住ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(十六)雙曲線方程及性質(zhì)的應(yīng)用(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1.若ab0，則ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲線只可能是下圖中的()【解析】選c.方程可化為y=ax+b和x2a+y2b=1.從b，d中的兩橢圓看a，b(0，+)，但b中直線有a<0，b<0矛盾，應(yīng)排除；d中直線有a<0，b>0矛盾，應(yīng)排除；再看a中雙曲線的a<0，b>0，但直線有a>0，b>0，也矛盾，應(yīng)排除；c

2、中雙曲線的a>0，b<0和直線中a，b一致.2.(2015·德化高二檢測)直線y=k(x+2)與雙曲線x24-y2=1有且只有一個公共點，則k的不同取值有()a.1個b.2個c.3個d.4個【解析】選d.由已知可得，雙曲線的漸近線方程為y=±12x，頂點(±2，0)，而直線恒過(-2，0)，故有兩條與漸近線平行，有兩條切線，共4條直線與雙曲線有一個交點.3.已知曲線x2a-y2b=1與直線x+y-1=0相交于p，q兩點，且op·oq=0(o為原點)，則1a-1b的值為()a.1b.2c.3d.32【解析】選b.將y=1-x代入x2a-y2b=

3、1，得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)，則x1+x2=2aa-b，x1x2=a+aba-b.因為op·oq=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1，所以2a+2aba-b-2aa-b+1=0，即2a+2ab-2a+a-b=0，即b-a=2ab，所以1a-1b=2.4.(2015·邢臺高二檢測)已知點f1，f2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1的左、右焦點，過f2且垂直于x軸的直線與雙曲線交于a，b兩點，若abf1是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是()a.(2+1，+)b.

4、(1，3)c.( 1，1+2)d.(3，+)【解析】選c.如圖所示.由于f1ab=f1b a，abf1為銳角三角形，故af1b為銳角.故只需要af1f2<45°即可即|af2|f1f2|<1，所以b2a2c=c2-a22ac<1即c2-a2<2ac.即e2-2e-1<0，解得1-2<e<1+2，又因為e>1，故1<e<1+2.【延伸探究】已知點f是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左焦點，點e是該雙曲線的右頂點，過點f且垂直于x軸的直線與雙曲線交于a，b兩點，若abe是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率

5、的取值范圍是()a.(1，2)b.(2，+)c.(1，2)d.(2，+)【解析】選d.設(shè)a(-c，y0)，代入雙曲線方程得c2a2-y2b2=1，所以y02=b4a2.所以|y0|=b2a，所以|af|=b2a.因為abe是鈍角三角形，所以aef>45°.則只需|af|>|ef|，即b2a>a+c，所以b2>a2+ac，即c2-a2>a2+ac，c2-ac-2a2>0.所以e2-e-2>0，解得e>2，e<-1(舍去).5.(2015·天津高考)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的一個焦點為f

6、(2，0)，且雙曲線的漸近線與圓x-22+y2=3相切，則雙曲線的方程為()a.x29-y213=1b.x213-y29=1c.x23-y2=1d.x2-y23=1【解析】選d.由雙曲線的漸近線bx-ay=0與圓(x-2)2+y2=3相切可知2ba2+b2=3，又因為c=a2+b2=2，所以有a=1，b=3，故雙曲線的方程為x2-y23=1.二、填空題(每小題5分，共15分)6.雙曲線中心在原點，一個焦點坐標(biāo)為f(7，0)，直線y=x-1與其相交于m，n兩點，mn中點的橫坐標(biāo)為-23，則雙曲線的方程為_.【解析】由題意知中點坐標(biāo)為-23,-53，設(shè)雙曲線方程為x2a2-y27-a2=1.m(x

7、1，y1)，n(x2，y2)，則x12a2-y127-a2=1，x22a2-y227-a2=1，-得(x1+x2)(x1-x2)a2=(y1+y2)(y1-y2)7-a2，即x1+x2y1+y2=a27-a2·y1-y2x1-x2，所以-43-103=a27-a2，解得a2=2，故雙曲線方程為x22-y25=1.答案：x22-y25=1【拓展延伸】弦的中點及弦長問題的解決思路(1)聯(lián)立直線與雙曲線方程.(2)消元得關(guān)于x或y的一元二次方程.(3)根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系.(4)弦長問題、弦的中點問題的解決.7.(2014·浙江高考)設(shè)直線x-3y+m=0(m0)與雙曲線x

8、2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點a，b，若點p(m，0)滿足|pa|=|pb|，則該雙曲線的離心率是_.【解題指南】求出a，b的坐標(biāo)，寫出ab中點q的坐標(biāo)，因為|pa|=|pb|，所以pq與已知直線垂直，尋找a與c的關(guān)系.【解析】由雙曲線的方程可知，它的漸近線方程為y=bax與y=-bax，分別與x-3y+m=0(m0)聯(lián)立方程組，解得a-ama-3b,-bma-3b，b-ama+3b,bma+3b，設(shè)ab的中點為q，則q(-ama-3b+-ama+3b2，-bma-3b+bma+3b2)，因為|pa|=|pb|，所以pq與已知直線垂直，所以kpq=-3

9、，解得2a2=8b2=8(c2-a2)，即c2a2=54，ca=52.答案：528.已知雙曲線x212-y24=1的右焦點為f，若過點f的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線斜率的取值范圍是_.【解析】由題意知f(4，0)，雙曲線的兩條漸近線方程為y=±33x，當(dāng)過f點的直線與漸近線平行時，滿足與右支只有一個交點，畫出圖形，通過圖形可知，-33k33.答案：-33,33【拓展延伸】數(shù)形結(jié)合思想在研究直線與雙曲線問題中的應(yīng)用直線過定點時，根據(jù)定點的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)系確定其位置關(guān)系.直線斜率一定時，通過平行移動直線，比較直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系來確

10、定其位置關(guān)系.三、解答題(每小題10分，共20分)9.雙曲線x2a2-y2b2=1(a>1，b>0)的焦距為2c，直線l過點(a，0)和(0，b)，且點(1，0)到直線l的距離與點(-1，0)到直線l的距離之和s45c，求雙曲線離心率e的取值范圍.【解析】由題意知直線l的方程為xa+yb=1，即bx+ay-ab=0，則|b-ab|a2+b2+|-b-ab|a2+b245c，整理得5ab2c2.又因為c2=a2+b2，所以5ab2a2+2b2.所以12ba2.e=ca=1+ba2所以52e5.10.(2015·合肥高二檢測)直線l：y=kx+1與雙曲線c：2x2-y2=1的

11、右支交于不同的兩點a，b.(1)求實數(shù)k的取值范圍.(2)是否存在實數(shù)k，使得以線段ab為直徑的圓經(jīng)過雙曲線c的右焦點f？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.【解題指南】(1)與右支交于兩點，則聯(lián)立直線與雙曲線后得到的一元二次方程有兩正根.(2)以ab為直徑的圓過點f則fafb.【解析】(1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線c的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0，依題意，直線l與雙曲線c的右支交于不同兩點，所以k2-20,=(2k)2-8(k2-2)>0,-2kk2-2>0,2k2-2>0,解得k的取值范圍為k|-2<k<-2.

12、(2)設(shè)a，b兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則由得x1+x2=2k2-k2，x1x2=2k2-2，假設(shè)存在實數(shù)k，使得以線段ab為直徑的圓經(jīng)過雙曲線c的右焦點f(c，0)，則由fafb，得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0.即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0，把式及c=62代入式，化簡得5k2+26k-6=0.解得k=-6+65或k=6-65(-2，-2)(舍去).可知存在k=-6+65使得以線段ab為直徑的圓經(jīng)過雙曲線c的右焦點.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分，共10

13、分)1.已知點f是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左焦點，點e是該雙曲線的右頂點，過點f且垂直于x軸的直線與雙曲線交于a，b兩點，abe是直角三角形，則該雙曲線的離心率是()a.3b.2c.2d.3【解析】選b.因為abx軸，又已知abe是直角三角形，顯然ae=be，所以abe是等腰直角三角形.所以aeb=90°.所以aef=45°.所以af=ef.易知a-c,b2a(不妨設(shè)點a在x軸上方)，故b2a=a+c.即b2=a(a+c).得c2-ac-2a2=0，即e2-e-2=0，解得e=2，或e=-1(舍去).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知雙曲線x2a2-y2b

14、2=1(a>0，b>0)的右焦點為f，o為坐標(biāo)原點，以of為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于o，a兩點，若aof的面積為b2，則雙曲線的離心率等于()a.3b.5c.32d.52【解析】選d.因為a在以of為直徑的圓上，所以aoaf，所以af：y=-ab(x-c)與y=bax聯(lián)立解得x=a2ca2+b2，y=abca2+b2，因為aof的面積為b2，所以12·c·abca2+b2=b2，所以e=52.2.過雙曲線x220-y25=1的右焦點的直線被雙曲線所截得的弦長為5，這樣的直線的條數(shù)為()a.4b.3c.2d.1【解析】選d.依題意可得右焦點f(5，0)，

15、所以垂直x軸，過f的直線是x=5.代入x220-y25=1，求得y=±52，所以此時弦長=52+52=5.不是垂直x軸的，如果直線與雙曲線有兩個交點，則弦長一定比它長，所以這里只有一條，因為兩個頂點距離=45，即左右兩支上的點最短是45，所以如果是交于兩支的話，弦長不可能為5，所以只有1條.二、填空題(每小題5分，共10分)3.(2015·南昌高二檢測)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)與直線y=2x有交點，則雙曲線的離心率的取值范圍是_.【解析】雙曲線的漸近線方程為y=±bax.若雙曲線x2a2-y2b2=1與直線y=2x有交點，則b

16、a>2，從而b2a2>4.所以c2-a2a2>4，解得e2=c2a2>5，故e>5.答案：(5，+)4.(2015·重慶高考改編)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的右焦點為f，左、右頂點為a1，a2，過f作a1a2的垂線與雙曲線交于b，c兩點，若a1ba2c，則該雙曲線的漸近線斜率為_.【解析】由題意知f(c，0)，a1(-a，0)，a2(a，0)，其中c=a2+b2.聯(lián)立x=c,x2a2-y2b2=1,可解得bc,b2a，cc,-b2a，所以a1b=c+a,b2a，a2c=c-a,-b2a，又因為a1ba2c，所以a1b

17、83;a2c=(c+a)(c-a)-b4a2=0，解得a=b，所以該雙曲線的漸近線斜率為±1.答案：±1三、解答題(每小題10分，共20分)5.(2015·黃石高二檢測)已知雙曲線3x2-y2=3，直線l過右焦點f2，且傾斜角為45°，與雙曲線交于a，b兩點，試問a， b兩點是否位于雙曲線的同一支上？并求弦ab的長.【解題指南】聯(lián)立方程后根據(jù)兩根的符號確定兩個交點的位置.【解析】因為a=1，b=3，c=2，又直線l過點f2(2，0)，且斜率k=tan 45°=1，所以l的方程為y=x-2，由y=x-23x2-y2=3消去y并整理得2x2+4x-

18、7=0，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，因為x1·x2=-72<0，所以a，b兩點分別位于雙曲線的左、右兩支上.因為x1+x2=-2，x1·x2=-72，所以|ab|=1+12|x1-x2|=2·(x1+x2)2-4x1x2=2·(-2)2-4-72=6.6.已知直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1交于a，b兩點.(1)若以ab為直徑的圓過坐標(biāo)原點，求實數(shù)a的值.(2)是否存在這樣的實數(shù)a，使a，b兩點關(guān)于直線y=12x對稱？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由.【解析】(1)由y=ax+1,3x2-y2=1.消去y得，(3-a2)x2-2ax-2=0.依題意3-a20,>0.即-6<a<6且a±3設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1+x2=2a3-a2x1x2=-23-a2因為以ab為直徑的圓過原點，所以oaob.x1x2+y1y2=0，但y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1，由知，(a2+1)·-23-a2+a·2a3-a2+1=0.解得a=±1且滿足.(2)假設(shè)存在實數(shù)a，使a，b關(guān)于y=12x對稱，則直線y=ax+1與y=1