二次函數(shù)知識點及經(jīng)典例題

1、二次函數(shù)知識點總結(jié)及經(jīng)典習(xí)題一、二次函數(shù)概念：1 .二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc（a,b,d1常數(shù)，a0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)a0，而b,c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù).2 .二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征：等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.a,b,c是常數(shù)，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.二、二次函數(shù)的基本形式1.二次函數(shù)基本形式：yax2的性質(zhì):a的絕對值越大，拋物線的開口越小。a的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a0向上0,0y軸x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨x的增大而減

2、小；x0時，y有最小值0.a0問卜0,0y軸x0時，y隨x的增大而減?。粁0時，y隨x的增大而增大；x0時，y有最大值0.2.yax2c的性質(zhì)：上加下減。a的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a0向上0,cy軸x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨x的增大而減??；x0時，y有最小值c.a0問卜0,cy軸x0時，y隨x的增大而減??；x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y有最大值c.2）3. yaxh的性質(zhì)：左加右減。a的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a0向上h,0X=hxh時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨x的增大而減?。粁h時，y有最小值0.a0問卜h,0X=hxh時，y隨x的增大而減小；xh

3、時，y隨x的增大而增大；xh時，y有最大值0.4.yaxhk的性質(zhì):a的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a0向上h,kX=hxh時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨x的增大而減??；xh時，y有最小值k.a0問卜h,kX=hxh時，y隨x的增大而減??；xh時，y隨x的增大而增大；xh時，y有最大值k.三、二次函數(shù)圖象的平移1 .平移步驟：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)axh2k,確定其頂點坐標(biāo)h,k;保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點平移到h,k處，具體平移方法如下:向右（拉即或左（上明】平移出平單位3坳或向卜（內(nèi)8】平移因個單位向上（心附【或卜【內(nèi)。“平秘用外電位向右5叨1或左（。）】平移收個

4、單位向4仙0）或左（加.附】向上伏H）t西平移因個單位閉畢右2 .平移規(guī)律概括成八個字“左加右減,在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移上加下減”.四、二次函數(shù)yk與yax2bxc的比較從解析式上看,2axbxc是兩種不同的表達(dá)形式,后者通過配方可以得到前者，即y?2a(?+2?4?-?24?'?其中h=F4?k4?五、二次函數(shù)yax2bxc的性質(zhì)當(dāng)a0時，拋物線開口向上，對稱軸為?2?,頂點坐標(biāo)為（-?4?22?,4?).當(dāng)x-2?時，y隨x的增大而減小;.?.當(dāng)x而時，y隨x的增大而增大;當(dāng)x=金，丫有最小值4?z?<24?當(dāng)時，拋物線開口向下，對稱軸為?-

5、2?,頂點坐標(biāo)為（-工?,4空'2?,4?x-2?寸，y隨x的大而增大y;當(dāng)隨x?,痛時,y隨x的增大而減??；當(dāng)*二六、二次函數(shù)解析式的表示方法1 .一般式：yax2bxc（a,b,c為常數(shù)，a0）；2 .頂點式：ya（xh）2k（a,h,k為常數(shù)，a0）;3 .兩根式（交點式）：ya（xxi）（xX2）（a0,xi,x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即b24ac0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.七、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)

6、系1. 二次項系數(shù)a當(dāng)a0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大；當(dāng)a0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大2. 一次項系數(shù)b在二次項系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸.（同左異右b為0對稱軸為y軸）3. 常數(shù)項c當(dāng)c0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為正；當(dāng)c0時，拋物線與y軸的交點為坐標(biāo)原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為0；當(dāng)c0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為負(fù)總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置八、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二

7、次函數(shù)與x軸交點情況）：一元二次方程ax2bxc0是二次函數(shù)yax2bxc當(dāng)函數(shù)值y0時的特殊情況.圖象與x軸的交點個數(shù)： 當(dāng)b24ac0時，圖象與x軸交于兩點Axi,0,Bx2,0（xix2）,其中的xi,x混元二次方程ax2bxc0a0的兩根 0時，圖象與x軸只有一個交點； 0時，圖象與x軸沒有交點.1'當(dāng)a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數(shù)，都有y0;2'當(dāng)a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數(shù)，都有y0.2.拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點坐標(biāo)為(0,c);中考題型例析1.二次函數(shù)解析式的確定例1求滿足下列條件的二次函數(shù)的解析式(1)圖象經(jīng)過

8、A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);(2)圖象經(jīng)過A(-1,0)、B(3,0),函數(shù)有最小值-8;(3)圖象頂點坐標(biāo)是(-1,9),與x軸兩交點間的距離是6.分析:此題主要考查用待定系數(shù)法來確定二次函數(shù)解析式.可根據(jù)已知條件中的不同條件分別設(shè)出函數(shù)解析式，列出方程或方程組來求解.(1)解:設(shè)解析式為y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各點代入上式得?= 1解得?= 0? 23=？?+?3=?？?+?6=4?+2?+?:解析式為y=x2+2.(2)解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得拋物線對稱軸為x=1,所以頂點為(1,-8).設(shè)解析式為y=a(x-h)

9、2+k,即y=a(x-1)2-8.把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,a=2.即解析式為y=2(x-1)2-8,即y=2x2-4x-6.解法2:設(shè)解析式為y=a(x+1)(x-3),確定頂點為(1,-8)同上，把x=1,y=-8代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2,解析式為y=2x2-4x-6.解法3:二,圖象過A(-1,0),B(3,0)兩點，可設(shè)解析式為：y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a.;函數(shù)有最小值-8.4a (-3a ) -(2a) 24a=-8.又aw0,a=2.解析式為y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.解：由頂點坐標(biāo)(-1,

10、9)可知拋物線對稱軸方程是x=-1,又:圖象與x軸兩交點的距離為6,即AB=6.由拋物線的對稱性可得A、B兩點坐標(biāo)分別為A(-4,0),B(2,0),設(shè)出兩根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2),將A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函數(shù)解析式為y=-x2-2x+8.點評：一般地，已知三個條件是拋物線上任意三點(或任意3對x,y的值)可設(shè)表達(dá)式為y=ax2+bx+c,組成三元一次方程組來求解；如果三個已知條件中有頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值，可選用y=a(x-h)2+k來求解；若三個條件中已知拋物線與x軸兩交點坐標(biāo)，則一般設(shè)解析式為y=a(x-xi)(x-x2).2 .二次函數(shù)的圖象例2y=ax2+

11、bx+c(aW0)的圖象如圖所示，則點M(a,bc)在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限分析：由圖可知：拋物線開口向上a>0.拋物線與y軸負(fù)半軸相交c0bbc>0.對稱軸x-2在y軸右側(cè)b0二點M(a,bc)在第一象限.答案:A.點評：本題主要考查由拋物線圖象會確定a、b、c的符號例3已知一次函數(shù)y=ax+c二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aw0),它們在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是（).分析：一次函數(shù)y=ax+c,當(dāng)a>0時，圖象過一、三象限；當(dāng)a<0時，圖象過二、四象限；c>0時，直線交y軸于正半軸；當(dāng)c<0時，直線交y軸于負(fù)半軸；對于二次

12、函數(shù)y=ax2+bx+c（a豐0）來講：開口上下決定a的正負(fù)左同右異（即對稱軸在y軸左側(cè)，b的符號與a的符號相同;）來判別b的符號拋物線與y軸的正半軸或負(fù)半軸相交確定c的正負(fù)解：可用排除法，設(shè)當(dāng)a>0時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的開口向上，而一次函數(shù)y=ax+c應(yīng)過一、三象限，故排除C;當(dāng)a<0時，用同樣方法可排除A;c決定直線與y軸交點；也在拋物線中決定拋物線與y軸交點，本題中c相同則兩函數(shù)圖象在y軸上有相同的交點，故排除B.答案：D.3 .二次函數(shù)的性質(zhì)例4對于反比例函數(shù)y=-2與二次函數(shù)y=-x2+3,請說出他們的兩個相同x點：,;再說出它們的兩個不同點：，分析:本小題是

13、個開放性題目，可以從以下幾點性質(zhì)來考慮增減性圖象的形狀最值自變量取值范圍交點等.解：相同點：圖象都是曲線，都經(jīng)過（-1,2）或都經(jīng)過（2,-1）；不同點：圖象形狀不同，自變量取值范圍不同，一個有最大值，一個沒有最大值.點評:本題主要考查二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，有關(guān)函數(shù)開放性題目是近幾年命題的熱點.4 .二次函數(shù)的應(yīng)用例5已知拋物線y=x2+(2k+1)x-k2+k,(1) 求證:此拋物線與x軸總有兩個不同的交點.(2) 設(shè)x1、x2是此拋物線與x軸兩個交點的橫坐標(biāo),且滿足2x12+x2=-2k2+2k+1.求拋物線的解析式.設(shè)點P(mi,ni)、Q(m2,n2)是拋物線上兩個不同的點,且關(guān)

14、于此拋物線的對稱軸對稱.求m+m的值.分析:(1)欲證拋物線與x軸有兩個不同交點,可將問題轉(zhuǎn)化為證一元二次方程有兩個不相等實數(shù)根，故令y=0,證4>0即可.(2) 根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)即是一元二次方程的根.由根與系數(shù)的關(guān)系,求出k的值,可確定拋物線解析式;由P、Q關(guān)于此拋物線的對稱軸對稱得n1=n2,由n1=m12+m1,n2=m22+m2得mi2+mi=m22+m2,即(mi-m2)(mi+m2+i)=0可求得mi+m2=-1.解:(1)證明:=(2k+1)2-4(-k2+k)=4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1.8k2+1>0,即A。,.,拋物線與x軸總

15、有兩個不同的交點.(2)由題意得xi+x2=-(2k+1),xi-x2=-k2+k.xi2+x22=-2k2+2k+1,(x1+x2)2-2x1x2=-2k2+2k+1,即(2k+1)2-2(-k2+k)=-2k2+k+1,4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1.8k2=0,.*=0,.拋物線的解析式是y=x2+x.點P、Q關(guān)于此拋物線的對稱軸對稱ni=n2.又ni=mi2+mi,i22=m2+m2.二mi2+m2=m2+m2,即(mi-m2)(mi+m2+1)=0.P、Q是拋物上不同的點，.miwn2,即mi-m2W0.mi+m2+l=0即mi+m2=-1.點評：本題考查二次函數(shù)

16、的圖象(即拋物線)與x軸交點的坐標(biāo)與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.二次函數(shù)經(jīng)常與一元二次方程相聯(lián)系并聯(lián)合命題是中考的熱肯八、八、.二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題一、選擇題1 .二次函數(shù)yx24x7的頂點坐標(biāo)是()A.(2,-ii)B.(2,7)C.(2,ii)D.(2,3)2 .把拋物線y2x2向上平移i個單位，得到的拋物線是()A.y2(xi)2B.y2(xi)2C.y2x2iD.y2x2i3 .函數(shù)ykx2k和yk(k0)在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的()8.已知拋物線過點 A（2,0）,B（-1,0）, 與y軸交于點C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為同號;A.1個5.已知二次函數(shù)y7.方程2

17、x x2= 2的正根的個數(shù)為（）xX4.已知二次函數(shù)yax2bx c（a0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：,bB.2 個 C. 3ax2 bx c(a0）的頂點坐標(biāo)（-1 ,-3.2 ）及部分圖象（如圖）,由圖象可知關(guān)于6.已知二次函數(shù)yA.第一象限C.第三象限C.2 個.3個當(dāng)x 1和x2時，x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是（）x的ax2 bx c 0的兩個根分別是 xi 1.3禾4臼二次方程A. -1.3B.-2.3C.-0.3ax2 bxc的圖象如圖所示,則點（ac,bc）在（）+ yB.第二象限D(zhuǎn).第四象限A.0個B.1個3時，函數(shù)值相等；4a b 0當(dāng)yD.4D.-3.3a.yx2x2

18、B.C. yx2x2或yx2x2yx2x2D. yx2x2或yx2x2二、填空題9 .二次函數(shù)yx2bx3的對稱軸是x2，則b_。10 .已知拋物線y=-2(x+3)2+5,如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是11 .一個函數(shù)具有下列性質(zhì)：圖象過點(一1,2),當(dāng)x<0時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是(只寫一個即可)。12 .拋物線y2(x2)26的頂點為C,已知直線ykx3過點C,則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為。13 .二次函數(shù)y2x24x1的圖象是由y2x2bxc的圖象向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的，則b=_,c=。14

19、 .如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是(兀取3.14).三、解答題:515 .已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是x30,圖象經(jīng)過(1,-6),且與y軸的交點為(伐2).(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)x為何值時，這個函數(shù)的函數(shù)值為0?(3)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時，這個函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而增大？16 .某種爆竹點燃后，其上升高度h(米)和時間t(秒)符合關(guān)系式h=V0t-2gt2(0<tW2),其中重力加速度g以10米/秒2計算.這種爆竹點燃后以v=20米/秒的初速度上升，(1)這種爆竹在地面上點燃后，經(jīng)過多少時間離

20、地15米？(2)在爆竹點燃后的1.5秒至1.8秒這段時間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由17 .如圖，拋物線yx2bxc經(jīng)過直線yx3與坐標(biāo)軸的兩個交點A、B,此拋物線與x軸的另一個交點為C,拋物線頂點為D.（1）求此拋物線的解析式；（2）點P為拋物線上的一個動點，求使SAPC：SACD5：4的點P的坐標(biāo)。18 .紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）當(dāng)每噸售價為260元時，月銷售量為45噸該建材店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取降價的方式進(jìn)行促銷經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸綜

21、合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100元.設(shè)每噸材料售彳為x（元），該經(jīng)銷店的月利潤為y（元）.（1）當(dāng)每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量；（2）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；（3）該建材店要獲得最大月利潤，售價應(yīng)定為每噸多少元？（4）小靜說：“當(dāng)月利潤最大時，月銷售額也最大”你認(rèn)為對嗎？請說明理由二次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練1、心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x(分)之間滿足函數(shù)關(guān)系：y=-0.1x2+2.6x+43(0<x<30).(1)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，學(xué)生的接受能力逐步增強？當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，學(xué)生的接受能力

22、逐步減弱？(2)第10分鐘時，學(xué)生的接受能力是多少?(3)第幾分鐘時，學(xué)生的接受能力最強?2、如圖，已知ABC是一等腰三角形鐵板余料，其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上，點D、G分別在邊AB、AC上.問矩形ADEFG的最大面積是多少？DG3、如圖,AABC中,/B=90°,AB=6cm,BC=12cm.點P從點A開始，沿AB邊向點B以每秒1cm的速度移動Q從點B開始，沿著BC邊向點C以每秒2cm的速度移動.如果P,Q同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘PBQ的面積最大？最大面積是多少？C4、如圖，一位運動員在距籃下4米處跳起投籃，球運行的路

23、線是拋物線，當(dāng)球運行的水平距離為2.5米時，達(dá)到最大高度3.5米，然后準(zhǔn)確落入籃圈.已知籃圈中心到地面的距離為3.05米.建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的表達(dá)式(2)該運動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少.(0,3.5)y3.05MX5、如圖，要建一個長方形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，如果用50m長的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場，設(shè)它的長度為xm.(1)要使雞場面積最大，雞場的長度應(yīng)為多少m?/，/X(2)如果中間有n(n是大于1的整數(shù))道籬笆隔墻，要使雞場面積最大，雞場的長應(yīng)為多少m?比較(1)(2)的結(jié)果，你能得到什么結(jié)

24、論？6、某商場以每件20元的價格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷售量m(件)與每件的銷售價x(元)滿足關(guān)系：m=1402x.(1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件的銷售價x間的函數(shù)關(guān)系式(2)如果商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題參考答案,選擇題、1. A2.C3.A4.B5.D6.B7.C8.C二、填空題、9.b410.Xv-311.如y2x24,y2x4等(答案不唯一)12.113.-8714.15三、解答題15.(1)設(shè)拋物線的解析式為yax2bxc,由題意可得?-2?=-3?+?+?=-6解得a?2，

25、b3,c5,2所以y3x52(2)X1或-5(2)X316.(1)由已知得,11520t210t2,解得ti3,t21當(dāng)t3時不合題意，舍去。所以當(dāng)爆竹點燃后1秒離地15米(2)由題意得，h5t220t=5(t2.2)20,可知頂點的橫坐標(biāo)t2,又拋物線開口向下，所以在爆竹點燃后的1.5秒至108秒這段時間內(nèi)，爆竹在上升.17.(1)直線yX3tl坐標(biāo)軸的交點A(3,0),B(0,-3).則9+3b-c=0解得?-2-c=-3c=3所以此拋物線解析式為yx22x3.(2)拋物線的頂點D(1,4),與x軸的另一個交點C(-1,0).設(shè)P(a,a22a3)，貝UC2X4X|?2-一一12?3|):

26、(2X4X4)5：4,化簡得|?-2?-3|5.當(dāng)a22a3>0時,a22a35得a4,a2P(4,5)或P(2,5)當(dāng)a22a的點的坐標(biāo)為3V0時,(4,5)a22a或(2,35即a22a5).0,此方程無解.綜上所述，滿足條件18.(1)45260-240107.5=60(噸).260-?(x100)(452600-7.5),化簡得:3x2315x24000.(3)3-34x2315x240004(x210)29075.紅星經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，材料的售價應(yīng)定為每噸210元.(4)我認(rèn)為，小靜說的不對.理由：方法一：當(dāng)月利潤最大時，x為210元，而對于月銷售額Wx(45260-?7.5)3(x160)219200來說，104'"當(dāng)x為160元時，月銷售額W最大.，當(dāng)x為210元時，月銷售額W不是最大.，小靜說的不對.方法二：當(dāng)月利潤最大時，x為210元，此時，月銷售額為17325元；而當(dāng)x為200元時,月銷售額為18000元.17325V18000,當(dāng)月利潤最大時，月銷售額W不是最大.，小靜說的不對.二次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練參考答案1、(1)0<x&