力的平移定理

1、第四章平面一般力系第一節(jié)力的平移定理上面兩章已經(jīng)研究了平面匯交力系與平面力偶系的合成與平衡.為了將平面一般力系簡化為這兩種力系,首先必須解決力的作用線如何平行移動的問題.設(shè)剛體的A點作用著一個力 F (圖4-3 (a),在此剛體上任取一點 O.現(xiàn)在來討論怎 樣才能把力F平移到.點,而不改變其原來的作用效應(yīng)為此,可在O點加上兩個大小相等、方向相反,與 F平行的力F '和F",且F ' =F " = F (圖4-3 (b)根據(jù)加減平衡 力系公理,F、F'和F"與圖4- 3 (a)的F對剛體的作用效應(yīng)相同.顯然 F "和F組成 一個力偶

2、,其力偶矩為這三個力可轉(zhuǎn)換為作用在 .點的一個力和一個力偶 (圖4-3(c).由此可得力的平移 定理：作用在剛體上的力 F,可以平移到同一剛體上的任一點O,但必須附加一個力偶,其力偶矩等于力F對新作用點O之矩.順便指出,根據(jù)上述力的平移的逆過程, 共面的一個力和一個力偶總可以合成為一個力, 該力的大小和方向與原力相同,作用線間的垂直距離為：力的平移定理是一般力系向一點簡化的理論依據(jù),也是分析力對物體作用效應(yīng)的一個 重要方法.例如,圖 4 4a所示的廠房柱子受到吊車梁傳來的荷載F的作用,為分析 F的作用效應(yīng),可將力 F平移到柱的軸線上的 O點上,根據(jù)力的平移定理得一個力F',同時還必須附

3、加一個力偶(圖 44 ( b).力F經(jīng)平移后,它對柱子的變形效果就可以很明顯 的看出,力F 使柱子軸向受壓,力偶使柱彎曲.第二節(jié)平面一般力系向作用面內(nèi)任一點簡化一、簡化方法和結(jié)果設(shè)在物體上作用有平面一般力系F1, F2,Fn,如圖4 5 (a)所示.為將這力系簡化,首先在該力系的作用面內(nèi)任選一點O作為簡化中央,根據(jù)力的平移定理,將各力全部平移到.點(圖4 5 (b),得到一個平面匯交力系Fi' , F2,Fn'和一個附加的平面力偶系 m1 ,m2,mn.其中平面匯交力系中各力的大小和方向分別與原力系中對應(yīng)的各力相同,即 F1 = F1, F 2 =F2, , F n =F n各

4、附加的力偶矩分別等于原力系中各力對簡化中央O點之矩,即由平面匯交力系合成的理論可知,F1,F2,Fn'可合成為一個作用于O點的力R',并稱為原力系的主矢(圖4- 5 (c),即R = F1 +F2 +" +Fn' = F1+ F2+ + Fn=E Fi(41)求主矢R'的大小和方向,可應(yīng)用解析法.過 .點取直角坐標(biāo)系oxy,如圖4 5所示. 主矢R'在x軸和y軸上的投影為Rx = x' +X2' +.+Xn' =X1+X2+ +Xn = E XRy' = V1 +y2 ' + +yn' =y+y2

5、+ +yn = E Y式中：Xi'、y和Xi、yi分別是力Fi和Fi在坐標(biāo)軸x和y軸上的投影.由于 F/和 Fi大小相等、方向相同,所以它們在同一軸上的投影相等.主矢R的大小和方向為R'=Jr：2+Ry" =V'(ZX)2+(,Y)2(4 2)tan :-=|R； gY|杞=jfX(4 3)a為R'與x軸所夾的銳角,R'的指向由E X和習(xí)Y的正負(fù)號確定.由力偶系合成的理論知,m1, m2,mn可合成為一個力偶(如圖 4-5 (c),并稱為原力系對簡化中央 O的主矩,即MO = mi+mn = Mo(Fi)+ Mo(Fn) =£ Mo(

6、Fi)(4 4)綜上所述,得到如下結(jié)論：平面一般力系向作用面內(nèi)任一點簡化的結(jié)果,是一個力和一個力偶.這個力作用在簡化中央, 它的矢量稱為原力系的主矢, 并等于原力系中各力的矢量 和；這個力偶的力偶矩稱為原力系對簡化中央的主矩,并等于原力系各力對簡化中央的力矩的代數(shù)和.應(yīng)當(dāng)注意,作用于簡化中央的力 R 一般并不是原力系的合力,力偶矩為 Mo'也不是原力系的合力偶,只有 R'與Mo'兩者相結(jié)合才與原力系等效.R的大小和方向與簡化中央的位置無關(guān).取不同的點作為簡化中央, 各力的力臂因而,主矩一般隨著簡化中央的位置不由于主矢等于原力系各力的矢量和,因此主矢 而主矩等于原力系各力

7、對簡化中央的力矩的代數(shù)和, 都要發(fā)生變化,那么各力對簡化中央的力矩也會改變, 同而改變.、平面一般力系簡化結(jié)果的討論平面力系向一點簡化, 一般可得到一力和一個力偶,但這并不是最后簡化結(jié)果. 根據(jù)主矢與主矩是否存在,可能出現(xiàn)以下幾種情況：(1)假設(shè)R' =0, M.乒0,說明原力系與一個力偶等效,而這個力偶的力偶矩就是主 矩.由于力偶對平面內(nèi)任意一點之矩都相同,因此當(dāng)力系簡化為一力偶時,主矩和簡化中央的位置無關(guān),無論向哪一點簡化,所得的主矩相同.(2) 假設(shè)R乒0, M. =0,貝U作用于簡化中央的力R 就是原力系的合力,作用線通 過簡化中央.(3) 假設(shè)R乒0, M.乒0,這時根據(jù)力的

8、平移定理的逆過程,可以進(jìn)一步合成為合力R,如圖4- 6所示.將力偶矩為M.的力偶用兩個反向平行力 R、R"表示,并使 R'和R"等值、共線, 使它們構(gòu)成一平衡力圖 4-6 (b),為保持M.不變,只要取力臂 d為將R"和R'這一平衡力系去掉,這樣就只剩下R力與原力系等效(圖 4 6 (c).合力R在O點的哪一側(cè),由 R對.點的矩的轉(zhuǎn)向應(yīng)與主矩 Mo'的轉(zhuǎn)向相一致來確定.(4) R' =0, M. =0,此時力系處于平衡狀態(tài).三、平面一般力系的合力矩定理由上面分析可知,當(dāng) R乒0, M.乒0時,還可進(jìn)一步簡化為一合力 R,見圖4 6,

9、 合力對.點的矩是而所以由于簡化中央 O是任意選取的,故上式有普遍的意義.于是可得到平面力系的合力矩 定理.平面一般力系的合力對作用面內(nèi)任一點之矩等于力系中各力對同一點之矩的代數(shù)和.例4-1如圖4-7 (a)所示,梁AB的A端是固定端支座,試用力系向某點簡化的方 法說明固定端支座的反力情況.解：梁的A端嵌入墻內(nèi)成為固定端,固定端約束的特點是使梁的端部既不能移動也不能轉(zhuǎn)動.在主動力作用下,梁插入局部與墻接觸的各點都受到大小和方向都不同的約束反力作用(圖4 7 (b),這些約束反力就構(gòu)成一個平面一般力系,將該力系向梁上A點簡化就得到一個力Ra和一個力偶矩為 Ma的力偶(圖4-7(c),為了便于計算

10、,一般可將約束反 力RA,用它的水平分力 XA和垂直分力YA來代替.因此,在平面力系情況下,固定端支座 的約束反力包括三個； 即阻止梁端向任何方向移動的水平反力XA和豎向反力Ya ,以及阻止物體轉(zhuǎn)動的反力偶 Ma.它們的指向都是假定的(圖 4 7 (d).例4 2素混凝土水壩自重 G =600kN , G2 =300kN ,水壓力在最低點的荷載集度q=80kN/m ,各力的方向及作用線位置如圖4- 8(a)所示.試將這三個力向底面A點簡化,并求簡化的最后結(jié)果.解：以底面A為簡化中央,取坐標(biāo)系如圖4 8 (a)所示,由式(4 2)和式(4 3)可求得主矢R'的大小和方向.由于所以由于習(xí)X

11、為正值,E Y為正值,故R'指向第一象限與 x軸夾角為a,再由式(4-4) 可求得主矩為計算結(jié)果為負(fù)值表示 Ma '是順時針轉(zhuǎn)向.由于主矢R乒0,主矩Ma'乒0,如圖4-8 (b)所示,所以還可進(jìn)一步合成為一個 合力R.R的大小、方向與 R'相同,它的作用線與 A點的距離為因Ma'為負(fù),故Ma (R)也應(yīng)為負(fù),即合力 R應(yīng)在A點右側(cè),如圖4- 8 (c)所示. 第三節(jié)平面一般力系平衡條件及其應(yīng)用一、平面一般力系的平衡條件平面一般力系向任一點簡化時,當(dāng)主矢、主矩同時等于零,那么該力系為平衡力系. 因此,平面一般力系處在平衡狀態(tài)的必要與充分條件是力系的主矢與

12、力系對于任一點的主矩都等 于零,即：R' =0 Mo' =0根據(jù)式(4 2)及式(4 4),可得到平面一般力系的平衡條件為x X =0£丫 =0 .(4 5),Mo = 0-式(4 5)說明,力系中所有各力在兩個坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和均等于零,所有各力對任一點之矩的代數(shù)和等于零.式(4 - 5)中包含兩個投影方程和一個力矩方程,是平面一般力系平衡方程的根本形式.這三個方程是彼此獨(dú)立的(即其中的一個不能由另外兩個得出),因此可求解三個未知量.例4 3梁AB 一端為固定端支座,另一端無約束,這樣的梁稱為懸臂梁.它承受均布荷載q和一集中力 P的作用,如圖4 9(a)所示.P

13、=10kN , q=2kN/m , l=4m,a =45°, 梁的自重不計,求支座 A的反力.解：取梁AB為研究對象,其受力圖如圖 4-9 (b)所示.支座反力的指向是假定的, 梁上所受的荷載和支座反力組成平面一般力系.在計算中可將線荷載 q用作用其中央的集中力Q來代替.選取坐標(biāo)系,列平衡方程.力系既然平衡,那么力系中各力在任一軸上的投影代數(shù)和必然等于零,力系中各力對任一點之矩的代數(shù)和也必然為零.因此,我們可以列出其它的平衡方程,用來校核計算有無錯誤.校核 'Mbh _L_*imA=n - -11.07 4 40.28=0 2 424可見,Ya和mA計算無誤.例4 4圖4-

14、10 (a)所示一伸臂梁.受到荷載 P=2kN,三角形分布荷載 q = 1kN/m 作用.如果不計梁重,求支座 A和B的反力.解：取CD梁為研究對象,受力圖如圖 4- 10 (b)所示,列平衡方程.得數(shù)為正值,說明實際的反力方向與假設(shè)的方向一致,得數(shù)為負(fù)值,說明實際的反力方向與假設(shè)的方向相反.例4 5 水平托架承受重 G =20kN的重物,如圖4- 11 (a)所示,A、B、C各處均為皎鏈連接.各桿的自重不計,試求托架A、B兩處的約束反力.解：取托架水平桿 AD作為研究對象,其受力圖如圖4 11 (b)所示.由于桿BC為二力桿,它對托架水平桿的約束反力Sb沿桿BC軸線作用,A處為固定皎支座,其

15、約束反力可用相互垂直的一對反力 Xa和Ya來代替.取坐標(biāo)系如圖,列出三個平衡方程.校核說明計算無誤例4 6鋼筋混凝土剛架,所受荷載及支承情況如圖4 12 (a)所示.q =4kN/m, P =10kN, m =2kN m, Q =20kN,試求支座處的反力.解：取剛架為研究對象,畫其受力圖如圖4- 12 (b)所示,圖中各支座反力指向都是假設(shè)的.此題有一個力偶荷載,由于力偶在任一軸上投影為零,故寫投影方程時不必考慮力偶,由于力偶對平面內(nèi)任一點的矩都等于力偶矩,故寫力矩方程時,可直接將力偶矩m列入.設(shè)坐標(biāo)系如圖4- 12 (b)所示,列三個平衡方程校核說明計算無誤.從上述幾個例題可以看出,平面一

16、般力系平衡問題的解題步驟為：1. 選取研究對象,作出研究對象的受力圖.2. 對所選取的研究對象,列出平衡方程.3. 由平衡方程解出未知量.4. 將計算結(jié)果代入不獨(dú)立的平衡方程,以校核解題過程有無錯誤.二、平面一般力系平衡方程的其他形式前面我們通過平面一般力系的平衡條件導(dǎo)出了平面一般力系平衡方程的根本形式,除了這種形式外,還可將平衡方程表示為二力矩形式及三力矩形式.1. 二力矩形式的平衡方程在力系作用面內(nèi)任取兩點 A、B及X軸,如圖4 13所示,可以證實平面一般力系的平衡方程可改寫成兩個力矩方程和一個投影方程的形式,即：、X =0£Ma=0*(4 6)£ m b = 0,式中

17、X軸不與A、B兩點的連線垂直.證實：首先將平面一般力系向 A點簡化,一般可得到過 A點的一個力和一個力偶.假設(shè)Ma = 0成立,那么力系只能簡化為通過 A點的合力R或成平衡狀態(tài).如果£Mb=0又成立,說明R必通過B.可見合力R的作用線必為 AB連線.又因£X = 0成立,那么RX =£X =0, 即合力R在X軸上的投影為零,因AB連線不垂直X軸,合力R亦不垂直于X軸,由RX =0 可推得R=0.可見滿足方程(4- 6)的平面一般力系,假設(shè)將其向A點簡化,其主矩和主矢都等于零,從而力系必為平衡力系.2. 三力矩形式的平衡方程在力系作用面內(nèi)任意取三個不在一直線上的點A

18、、B、C,如圖4 14所示,那么力系的平衡方程可寫為三個力矩方程形式,即' M A = 0£Mb = 0 .(4 7)£ M C = 0式中,A、B、C三點不在同一直線上.同上面討論一樣,假設(shè) £Ma =0和£Mb=0成立,那么力系合成結(jié)果只能是通過A、B兩點的一個力(圖4- 14)或者平衡.如果：ZMc = 0也成立,貝U合力必然通過 C點,而一個力不可能同時通過不在一直線上的三點,除非合力為零,£mc=0才能成立.因此,力系必然是平衡力系.綜上所述,平面一般力系共有三種不同形式的平衡方程,即式(4-5)、式(4 6)、式(4- 7)

19、,在解題時可以根據(jù)具體情況選取某一種形式.無論采用哪種形式,都只能寫出三個獨(dú)立的平衡方程,求解三個未知數(shù).任何第四個方程都不是獨(dú)立的,但可以利用這個方程來校核計算的結(jié)果.例4- 7某屋架如圖4- 15 (a)所示,設(shè)左屋架及蓋瓦共重P1 =3kN ,右屋架受到風(fēng)力及荷載作用,其合力 P2 =7kN , P2與BC夾角為80°,試求A、B支座的反力.解：取整個屋架為研究對象,畫其受力圖,并選取坐標(biāo)軸X軸和Y軸,如圖4- 15 (b)所示,列出三個平衡方程校核說明計算無誤.例4 8梁AC用三根支座鏈桿連接,受一力P=50kN作用,如圖4- 16 (a)所示.不計梁及鏈桿的自重,試求每根支

20、座鏈桿的反力.解：取AC梁為研究對象,畫其受力圖,如圖 4- 16 (b)所示.列平衡方程時,為避 免解聯(lián)立方程組,最好所列的方程中只有一個未知力,因此,取Ra和R的交點Oi為矩心列平衡方程取Rb與RC的交點O2為矩心列平衡方程取 ' X =0 RA COS45 - Rb cos45 - Pcos60'=0校核說明計算無誤.3. 平面力系的特殊情況平面一般力系是平面力系的一般情況.除前面講的平面匯交力系,平面力偶系外,還有平面平行力系都可以看為平面一般力系的特殊情況,它們的平衡方程都可以從平面一般力系的平衡方程得到,現(xiàn)討論如下.(1) 平面匯交力系對于平面匯交力系,可取力系的匯

21、交點作為坐標(biāo)的原點,圖4- 17(a)所示,因各力的作用線均通過坐標(biāo)原點 O,各力對.點的矩必為零,即恒有 £MO =0.因此,只剩下兩個投影方程：即為平面匯交力系的平衡方程.(2) 平面力偶系平面力偶系如圖4- 17(b)所示,因構(gòu)成力偶的兩個力在任何軸上的投影必為零,那么恒有,X=0和£Y=0,只剩下第三個力矩方程,但由于力偶對某點的矩等于力偶矩,貝U力矩 方程可改寫為即平面力偶系的平衡方程.(3) 平面平行力系平面平行力系是指其各力作用線在同一平面上并相互平行的力系,如圖4-17 (C)所示,選OY軸與力系中的各力平行,那么各力在X軸上的投影恒為零,那么平衡方程只剩下

22、兩個獨(dú)立的方程'丫=0,、一 卜(4 8)、Mo =0假設(shè)采用二力矩式(4- 6),可得 4-9' Ma =' M B =式中A、B兩點的連線不與各力作用線平行.平面平行力系只有兩個獨(dú)立的平衡方程,只能求解兩個未知量.例4 9圖418所示為塔式起重機(jī).軌距b=4m,機(jī)身重G = 260kN ,其作用線到右軌的距離e=1.5m,起重機(jī)平衡重 Q =80kN,其作用線到左軌的距離 a = 6m ,荷載P的作用線到右軌的距離 I =12m , (1)試證實空載時(P=0時)起重機(jī)時否會向左傾 倒 ( 2)求出起重機(jī)不向右傾倒的最大荷載P.解：以起重機(jī)為研究對象, 作用于起重機(jī)

23、上的力有主動力G、P、Q及約束力Na和Nb,它們組成一個平行力系(圖 4 18).(1) 使起重機(jī)不向左倒的條件是Nb芝0,當(dāng)空載時,取P=0,列平衡方程所以起重機(jī)不會向左傾倒(2) 使起重機(jī)不向右傾倒的條件是NA芝0 ,列平衡方程欲使Na河,那么需當(dāng)荷載P苴34.17kN時,起重機(jī)是穩(wěn)定的.三、物體系統(tǒng)的平衡前面研究了平面力系單個物體的平衡問題.但是在工程結(jié)構(gòu)中往往是由假設(shè)干個物體通過一定的約束來組成一個系統(tǒng).這種系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng).例如,圖示4- 19 (a)所示的組合梁,就是由梁 AC和梁CD通過皎C連接,并支承在 A、B、D支座而組成的一個物體系 統(tǒng).在一個物體系統(tǒng)中,一個物體的受力與其

24、他物體是緊密相關(guān)的；整體受力又與局部緊 密相關(guān)的.物體系統(tǒng)的平衡是指組成系統(tǒng)的每一個物體及系統(tǒng)的整體都處于平衡狀態(tài).在研究物體系統(tǒng)的平衡問題時,不僅要知道外界物體對這個系統(tǒng)的作用力,同時還應(yīng) 分析系統(tǒng)內(nèi)部物體之間的相互作用力.通常將系統(tǒng)以外的物體對這個系統(tǒng)的作用力稱為外 力,系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的相互作用力稱為內(nèi)力.例如圖4 19 (b)的組合梁的受力圖,荷載及A、B、D支座的反力就是外力, 而在皎C處左右兩段梁之間的互相作用的力就是內(nèi)力.應(yīng)當(dāng)注意,外力和內(nèi)力是相對的概念,是對一定的考察對象而言的,例如圖4 19組合梁在皎C處兩段梁的相互作用力,對組合梁的整體來說,就是內(nèi)力,而對左段梁或右段 梁來

25、說,就成為外力了.當(dāng)物體系統(tǒng)平衡時,組成該系統(tǒng)的每個物體都處于平衡狀態(tài),因而,對于每一個物體一般可寫出三個獨(dú)立的平衡方程.如果該物體系統(tǒng)有 n個物體,而每個物體又都在平面一般力系作用下,那么就有 3n個獨(dú)立的平衡方程,可以求出3n個未知量.但是,如果系統(tǒng)中的物體受平面匯交力系或平面平行力系的作用,那么獨(dú)立的平衡方程將相應(yīng)減少,而所能求的未知量數(shù)目也相應(yīng)減少.當(dāng)整個系統(tǒng)中未知量的數(shù)目不超過獨(dú)立的平衡方程數(shù)目,那么未知量可由平衡方程全部求出,這樣的問題稱為靜定問題.當(dāng)未知量的數(shù)目超過了獨(dú)立平衡方程數(shù)目,那么未知量由平衡方程就不能全部求出,這樣的問題,那么稱為超靜定問題,在靜力學(xué)中,我們不考慮超靜定

26、問題.在解答物體系統(tǒng)的平衡問題時,可以選取整個物體系統(tǒng)作為研究對象,也可以選取物 體系統(tǒng)中某局部物體(一個物體或幾個物體組合)作為研究對象,以建立平衡方程.由于物 體系統(tǒng)的未知量較多, 應(yīng)盡量預(yù)防從總體的聯(lián)立方程組中解出,通常可選取整個系統(tǒng)為研究對象,看能否從中解出一或兩個未知量,然后再分析每個物體的受力情況,判斷選取哪個物體為研究對象,使之建立的平衡方程中包含的未知量少,以簡化計算.下面舉例說明求解物體系統(tǒng)平衡問題的方法.例4 10組合梁受荷載如圖4 20(a)所示.P1 =16kN, P2=20kN ,m =8kN m,梁自重不計,求支座 A、C的反力.解：組合梁由兩段梁 AB和BC組成,作用于每一個物體的力系都是平面一般力系,共 有6個獨(dú)立的平衡方程；而約束力的未知數(shù)也是 6 (A處有三個,B處有兩個,C處有1個). 首