圓錐曲線的中點弦問題

1、關(guān)于圓錐曲線的中點弦問題直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題,是解析幾何中的重要內(nèi)容之一,也是高考的一個熱點問題.這類問題一 般有以下三種類型：(1)求中點弦所在直線方程問題；(2)求弦中點的軌跡方程問題；(3)求弦中點的坐標問題.其解法有代點相減法、設而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中央對稱變換法等.、求中點弦所在直線方程問題22例1、過橢圓 L 匕 1內(nèi)一點M (2, 1)引一條弦,使弦被點M平分,求這條弦所在的直線方程.164解法一：設所求直線方程為y-1=k(x-2),代入橢圓方程并整理得：22_2_2_(4k1)x8(2k k)x 4(2k 1)16 0又設直線與橢圓的交點為 A( x1,

2、 y1) , B ( x2,y2),那么x1,x2是方程的兩個根,于是xx28(2k2 k)214k 1又M為AB的中點,所以x一2_ 24(2k k) 222 ,4k2 1 m1解得k 2故所求直線方程為 x 2y 4 0.解法二：設直線與橢圓的交點為A(x1, y1), B (x2,y2), M (2, 1)為AB的中點,所以 xx24 , y1 y 2,2 一 2又A、B兩點在橢圓上,那么 x14yl22 .22 .兩式相減得(x1x2 ) 4( y1y2 )所以包上1,即x1又24( y1 、2)2故所求直線方程為 x 2y 4 0.解法三：設所求直線與橢圓的一個交點為那么另一個交點為

3、 B(4- x ,2 y ),由于A B兩點在橢圓上,所以有(4兩式相減得x 2y 4 0, 由于過A、B的直線只有一條, 故所求直線方程為 x 2y 4 0.、求弦中點的軌跡方程問題22_16 , x24y216 ,0,kAB萬,A( x ,y ),由于中點為M (2, 1),22x2 4y2 162-2x)2 4(2 y)2 1622例2、過橢圓 二一 1上一點P (-8 , 0)作直線交橢圓于 64 36Q點,求PQ中點的軌跡方程.解法一：設弦PQ中點M( x, y),弦端點P ( x1,y1),Q ( x2, y2),一 2 一 2那么有 9x116 y 5769x22 16y2257

4、6又由于X1 X2 2x , y1兩式相減得 9(x12x22) 16( y12 y22) 0,y 2y,所以 9 2x(xi X2) 16 2y(y y?) 0,所以巴上至,x1 x216yhy 0 拓 9x y而 kPQ -,故-.x ( 8)16y x 8化簡可得 9x2 72x 16y2 0 (x 8).解法二：設弦中點 M (x,y) , Q (x1,y1), x1 8 y1_ _由 x , y 一可得 x1 2x 8, y1 2y ,2222又由于Q在橢圓上,所以漢江 1 ,6436即位工4£ 1, 6436所以PQ中點M的軌跡方程為(x 4)216x 8).三、弦中點的

5、坐標問題例3、求直線y x 1被拋物線y2 4x截得線段的中點坐標.解：解法一：設直線 y x 1與拋物線y2 4x交于A(x1,y1) , B(x2, y ,其中點P(x0,y0),由題意得y x 12y 4x消去 y得(x 1)2 4x,即 x2 6x 1 0 ,所以x°xx2- 3 , y0 x0 1 2,即中點坐標為(3,2).2解法二：設直線y x 1與拋物線y2 4x交于A(x1,y1), B(x2,y2),其中點P(x0,y0),由題意得y12 4x1 ,兩式相減得 y22 y12 4(x2 x1),y24x2所以(y2 y1)(y2)4,x2x1所以yi y24,即y

6、02, X0 y0 i 3,即中點坐標為3,2.上面我們給出了解決直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題的一些根本解法.下面我們看一個結(jié)論引理設A、B是二次曲線C:22Ax Cy Dx Ey F .上的兩點,pX0,y0為弦ab的中點,那么k ABE 0)2設 A(Xi,yi)、B(X2,y2)那么 AxiAx222Cyi2Cy2Dxi Eyi F 0(1)Dx2Ey2 F 0(2)得 A(Xi. 2 Ax0的 X2)X2)(XiX2)C(yiy2)(yiV2 D(Xi X2)(2)E(yi y2)02Cy0(yi y2)D(x1X2)E(yiy2)0. (2AX0D)(XiX2) (2Cy

7、6; E)(yiy2) 2Cy0XiX2yi y2XiX22AX0西k AB即2Ax0 D2Cy0 E .(說明：k2AX02Cy0B時,上面的結(jié)論就是過二次曲線C上的點Px.,y0的切線斜率公式,即推論ik AB那么推論立.假設點推論2 X0DxEy F 0的弦ab的中點為pX0, y"y00),2X設橢圓a2.假設點p在圓上時,那么過點 p的 k2x0 D2y°E切線斜率為2 匕 b2i的弦AB的中點為P在橢圓上,那么過點kP的切線斜率為P( X0 , y0 ) ( y0b2?為2a V.)kAB0),那么b2 ?X02 -a Vo .(注：對aWb也成2X3設雙曲線a

8、2上,那么過p點的切線斜率為2L i2b 的弦AB的中點為k 4?瓦a V.p(x0 , y0)y.kAB0)那么X0y0 .假設點p在雙曲線推論4設拋物線2Px的弦ab的中點為pX0,y0V.kAB0)那么Py0.假設點p在拋物線上,那么k過點P的切線斜率為我們可以直接應用上面這些結(jié)論解決有關(guān)問題,下面舉例說明.i、求橢圓252Lii6 斜率為3的弦的中點軌跡方程.3y是所求軌跡上的任一點,那么有i6 x?一25 y,故所示的軌跡方程為i6x+75y=075. 24i75 .x 24i)2X.,一一 -2例2、橢圓a2,2a b求證:22r 1(a b b22,2a bXo S'A、B是橢圓上兩點,線段 AB的垂直平分線l與X軸相交于P(Xo,o),證實:設AB的中點為T(Xi,yi)b2a?3 yikl由題設可知AB與X軸不垂直,yi o2a_?iiyi.i的方程為：2a 小Xi-22 ?】a b2,2a b Xo,.l±AB2(Xbx1Xi)Xi I Xi | ab2令y=o2 告 a Iyi2 廣函Xi)例3、拋物線c： y X,直線1: y k(X i) i,要使拋物線c上存在關(guān)于l對稱的兩點,k的取值范圍是什么?解：設中