圓錐曲線必背口訣

1、圓錐曲線必背口訣圓錐曲線必背口訣-橢圓橢圓定義口訣：懈圓三定義,簡(jiǎn)稱和比積.注解:1、定義1: 1和到兩定點(diǎn)的距離之I和為定面的點(diǎn)的軌跡叫做神應(yīng)定點(diǎn)為|焦點(diǎn)定值為|長(zhǎng)軸|.定值=2aA 2c =焦距如圖,設(shè)P為橢圓上一點(diǎn),Fi和F2為兩個(gè)定點(diǎn),那么：PF1| + |PF2| = 2a >|F1F2|1 -11-1式就是橢圓|和為定值|的定義式.2、定義2 ： 比到定點(diǎn)和到定直線的距離之|比為定值|的點(diǎn)的軌跡叫做 橢圓|.定點(diǎn)為除點(diǎn)定直線為二線定值為|離心率| .定值=e<1焦點(diǎn)f的距離為|pf ,那么:PF|ps|(1 -2)如圖,設(shè)P為橢圓上一點(diǎn), 線準(zhǔn)線的距離為|PS|=p,1

2、-2式就是橢圓比為定值的定義式.3、定義3：積到兩定點(diǎn)連線的斜率之|積為定值|的點(diǎn)的軌跡是隔版定點(diǎn)為短軸頂點(diǎn),定值為負(fù)值.定值2、k = e -1 如圖,設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)A,B除外,A,B為橢圓的兩個(gè)短軸頂點(diǎn).假設(shè)直線PA的斜率為 ,直線PB的斜率為k2 ,那么:k1k2 =e2 -1(1 -3)(1-3)式就是橢圓|積為定值|的定義式.證實(shí)： 設(shè) P(x,y), 那么 A(0,b)、B(0,-b)于是,直線PA的斜率為：工=>一八=-y - b xP - xAx直線PB的斜率為：k2 = yP-yB.=ytb xp - xbx2. 2那么：k=kM=口力 x x x22222222由橢

3、圓方程：.+%=1,即：與+工"3=0,即：與+匚,=0, a ba ba x22y -b222b c -a2二e -1將代入得：k = k1k2 = e2 -1 < 0 .二、橢圓的性質(zhì)定理口訣：軸短軸與焦距,形似勾股弦定理 準(zhǔn)線方程準(zhǔn)焦距,a方、b方除以c 通徑等于2 e p,切線方程用代替 焦三角形計(jì)面積,半角正切連乘b 注解：1、k軸短軸與焦距,形似勾股弦定理長(zhǎng)軸=2a ,短軸=2b ,焦距=2c ,貝U ： a2 = b2 + c2 2、|準(zhǔn)線方程準(zhǔn)焦距,a方、b方除以c準(zhǔn)線方程：x = a-( a方除以c)c準(zhǔn)焦距p:焦準(zhǔn)距焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離:b2p=T ( b萬除以

4、c)3、通徑等于2 ep,切線方程用代替橢圓的通徑d ：過焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的直線與橢圓的兩交點(diǎn)之間的距離稱為橢圓的通徑.通徑d = 2ep=2£b- a c2b2一)a過橢圓上xo,yo點(diǎn)的切線方程,用選,義等效代替橢圓方程得至h等效代替后的是切線方程是:xox%y . 1a2nb24、焦三角形計(jì)面積,半角正切連乘b焦三角形：以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F-F2為頂點(diǎn),另一個(gè)頂點(diǎn)P在橢圓上的三角形稱為焦三角形.半角是指日=/F1PF2的一半.那么焦三角形的面積為:2,71S = b tan 2證實(shí)：設(shè)PFi=m,PF2=n ,那么 m+ n = 2a .由余弦定理：m2+n2-2mn cos-22

5、222=4c = 4a 4b = (m n) 4b又:-2mn cos? - 2mnmn=|PFi |PF2 卜24b ,即：2b21 cosSafpf2 =-m n sinH1 2212b2sin 22 1 cos.sin1 cos.2b2 = (1 + coS )mn.sin-1 cos-q e2sin cos22C 2)2 cos 2Q t tan 22 ,所以：橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積為S*PF2 = b tan .三、橢圓的相關(guān)公式口訣：忸線平分焦周角,稱為弦切角定理切點(diǎn)連線求方程,極線定理須牢記弦與中線斜率積,準(zhǔn)線去除準(zhǔn)焦距細(xì)看中點(diǎn)弦方程,恰似弦中點(diǎn)軌匹下注解：1、1線平分焦周角,稱

6、為弦切角定理弦切角定理|：切線平分橢圓焦周角的外角,平分雙曲線的焦周角.焦周角碣焦點(diǎn)三角形中,焦距所對(duì)應(yīng)的角.弦切角碣指橢圓的弦與其切線相交于橢圓上時(shí)它們的夾角,當(dāng)弦為焦點(diǎn)弦時(shí)過焦點(diǎn)的弦,那么|切線是兩個(gè)焦點(diǎn)弦的角平分線.證實(shí)：如以下圖,紅色直線為切線.設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為%,丫0,那么：切線的方程：爭(zhēng)x+晉=1jFTF2J一切線的斜率：k =-事a V.PFi的斜率：ki=£X =, PF2的斜率：k2="= XP - X1Ko eXP - X2 X.一 C那么:tan 9kik 二 Xoea2Vo1 kikVob2Xo1 _a2Vo2 b2Xo(Xo e)二(a2%2 b2X

7、02) b2e%a2Vo(Xo e)-b2XoVo(a2XoVo -b2XoVo) a2e%2Xoe a VoVo b Xoa b b cxob (ae%)be2Xo Vo a2CV)cv)(cxo a2)e%而：tan 62 =2 1 kk22b X0V0a2 V0X0 - cb2X0(X0 -c) a2y021b：X0a y0y.Xoc22a y.-c) -b x°y.22222(b X0a y0 ) - b cX),2. 2、2(a X0V0 b X0V0) -a cy.a2b2 - b2cx0b2 (a2 - cx0)b2c x0 y0 - a cy0cy0(cX)- a2)

8、cy0由式可得：tan 01 = tan e2 ,即：& =日2.即：切線是兩個(gè)焦點(diǎn)弦的角平分線.2、切點(diǎn)連線求方程,極線定理須牢記22假設(shè)P0X0,y0在橢圓力+4=1外,那么過P0作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)為 a2 b2P1,P2 ,那么點(diǎn)外和切點(diǎn)弦P1,P2分別稱為橢圓的極點(diǎn)和極線.切點(diǎn)弦P1P2的直線方程即極線方程:甘土1 稱為極線定理當(dāng)極點(diǎn)Po在橢圓上時(shí),該點(diǎn)的切線就是極線,切線方程就是極線方程.3、弦與中線斜率積,準(zhǔn)線去除準(zhǔn)焦距弦指橢圓內(nèi)的一弦AB .中線指弦AB的中點(diǎn)M與原點(diǎn).的連線,即2OAB得中線.這兩條直線的斜率的乘積,等于準(zhǔn)線距離4二-里去 c除準(zhǔn)焦距焦準(zhǔn)距p = ,

9、其結(jié)果是：kAB koMcb2證實(shí)：如以下圖,由于A,B在橢圓上,故:22XA. VA22=1,a b2 Xb2 a2W =1b2上面兩式相減得:2222XA XB Va - Vb2, 2一 0abXc2 a22即：yA2 -yB2 xA - xBb22 a直線AB的斜率為：kAB Ji xA -' xB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為:(xa xb2VaVb)2那么中線OM的斜率為：koMVaVbxAxB由得：kAB%M =與二為 xA - xB22VaVbVa - Vb22xaxbxa - xb由得：kABk0M = -by =上.證畢. axc4、細(xì)看中點(diǎn)弦方程,恰似弦中點(diǎn)軌跡為中點(diǎn)弦,那么中點(diǎn)弦

10、的方程就是xo xyo y22 一ab5、中點(diǎn)弦AB的方程的證實(shí)：A>22設(shè)橢圓方程為：亍+土1中點(diǎn)弦AB的方程:在橢圓中,假設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M(x0,yo),弦AB稱22xoyo日出 存上F 口-,是直線萬ab程.中點(diǎn)弦AB的方程為：y=kx+m 兩者相交于7%,%)和B(x2,y2),那么AB的中點(diǎn)M(xo,y.)坐標(biāo)滿足:Xox1 x2 ,yoyiy22Vo =kx° m m = yo -kxoB>將代入得:x2 (kx m)22.2一 1ab1 k22 2kmX m2 -b222 x 22=0a b b b即：02 k2x2 2kmx m2 -b2 =0 aC&g

11、t;由韋達(dá)定理得XiX2 ;2km2kma2X0XiX2kma2b2+k2 a即：b2+k2a2Xo =-ka2mD> 將代入式得：b2+k2a2X=-ka2y0 -k%即 ： b2X0 k2a2X0 ;-ka2y0 k2a2X0即：b2X0 = -ka2y0故：k =野a y.E將代入式得：m = y0 一 kX0 = Vq22b Xq2222ay. b Xq2a y.2a y.22222將代入式得：y-bX + ay., ay.ay.即：a2y0y - b2X0X a2y02 b2X02即： b2X0X a2y0y =b2X02 a2y0222即：與+卑=殍+4.證畢.a2b2a2b

12、2弦中點(diǎn)M的軌跡方程I：在橢圓中,過橢圓內(nèi)點(diǎn)P0X0,y0的弦AB ,其22一 ,_XoXVo V Xy, 一一 中點(diǎn)M的方程就是一廠+ =+萬,仍為橢圓.ab ab6、版中點(diǎn)M的軌跡方程|的證實(shí):22A設(shè)橢圓方程為：X2 +y2 =1 a b過點(diǎn)R(X0,y()的直線方程為：y-yo = k(x- X0)即： y =kx+(y0 kx0), 記: m = y0 - kx0貝 U : y = kx +m B設(shè)AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為xm , yM 那么：yM =kxM +m 借用上題的結(jié)果:xmkma222 2b k a將代入上式得： xm =2-(yM -kxM )b k a即：b2xM +k2a

13、2xM =-ka,M +k2a2xM即：b2xM = -ka2yM ,故：k =a yM2 2 ,8將和代入式得：yM =-等乂乂+(y.十予%)a yMa yM即：a,M2 = b2xM2 +a,My0+b2xMx0, 即：222222a yMb xm =a yM y0bxM x022Ym . xm22b aYm Y0b2,xM x0式就是弦中點(diǎn)M的軌跡方程.證畢.中點(diǎn)弦方程和弦中點(diǎn)的軌跡方程,這兩個(gè)方程有些相似,要擦亮眼睛,千萬不要搞混了.圓錐曲線必背口訣圓錐曲線必背口訣-雙曲線、雙曲線定義口訣：雙曲線有四定義,差比交線反比例注解:1、定義1：差平面內(nèi),到兩個(gè)定點(diǎn)Fi壬的距離之差的絕對(duì)值為

14、定值2a 4F1F2I的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線.定點(diǎn)Fi, F2叫雙曲線的焦點(diǎn).PFi - PF2=2a F1F2(2 1)2 一1就是差為定值的雙曲線的定義式.2、定義2： 1比平面內(nèi),到給定一點(diǎn)及一直線的幗離之比的定值e a 1的點(diǎn)的軌跡稱為忸曲線.定點(diǎn)Fi, F2叫雙曲線的焦點(diǎn).定直線L叫雙曲線的準(zhǔn)線.如以下圖,嵯=e 1(2-2)2-2式就是比為定值的雙曲線定義式.3、定義3:交線一平面截一圓錐面,當(dāng)截面與圓錐面的母線不平行,且與圓錐面的兩個(gè)圓錐都相交時(shí),|交線除為雙曲 iT.如以下圖,藍(lán)色線為圓錐面,紅色線為平面,紅色面與藍(lán)色面的交線就是雙出這就是本雙曲線的定義.實(shí)際上,f可和陋罵也有這

15、樣的定義,所以將它們統(tǒng)一稱為“四 錐曲線.4、定義生反比例在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)k y =一的圖象稱為雙曲線. x .證實(shí)：由于xy=k的對(duì)稱軸是y=x ,=1的對(duì)稱軸是x軸,y軸,所以應(yīng)該旋轉(zhuǎn)45o.設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為口 口 # 0 ,順時(shí)針那么有： X = xcosa + ysinaY = -xsin« + ycos取 口 = 45.,那么:X2 Y2 =(xcos450 ysin45.)2 -(xsin45.- ycos45.)2122=2 x y - x - y = 2xy而 xy = k,所以,X2-Y2=2xy = 2kX 2222即： -=1 (k >0)或

16、=1( k <0 )2k 2k ''(-2k)(-2k)由此證得,反比例函數(shù)其實(shí)就是雙曲線|的一種形式,只不過是雙曲線在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的另一種擺放形式.、雙曲線的性質(zhì)定理口訣：快軸虛軸與焦距,形似勾股弦定理 準(zhǔn)線方程準(zhǔn)焦距,a方、b方除以c 通徑等于2 ep,切線方程用代替焦三角形計(jì)面積,半角余切連乘b注解:1、快軸虛軸與焦距：形似勾股弦定理實(shí)軸=2a ,虛軸=2b ,焦距=2c,貝U ： a2 + b2 = c2與勾股弦定理形似.2、|準(zhǔn)線方程準(zhǔn)焦距,a方、b方除以c2 a 準(zhǔn)線方程：x=±a方除以cc b公- I匚屹+b2'、人準(zhǔn)焦距焦準(zhǔn)距P：焦點(diǎn)

17、到準(zhǔn)線的距離：P = b方除以c3、畫徑等于2 ep,切線方程用代替雙曲線的通徑d：過焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的直線與雙曲線的兩交點(diǎn)之間 cb2 2b2的距離稱為雙曲線的通徑.通徑d = 2ep=2= a c a過雙曲線上Poxo,yo點(diǎn)的切線方程,用0飛,為等效代替雙曲線方程得到,等效代替后的是切線方程是:X)xy°y1221a b4、焦三角形計(jì)面積,半角余切連乘b焦三角形：以雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F2為頂點(diǎn),另一個(gè)頂點(diǎn)P在橢圓上的三角形稱為焦三角形.半角是指¥ =/F1PF2的一半.22x y 雙曲線二一 =1的左右焦點(diǎn)分別為Fi,F2, a b點(diǎn)P為雙曲線上異于頂點(diǎn)任意一點(diǎn)4i

18、PF2=¥,那么雙曲線的焦點(diǎn)三角形滿足：2b2PF1HPF2H；71 一 cos其面積為；SZfiPF2 = b2c0t 2 .證實(shí)：設(shè) PF1 =m, PF2 = n ,那么 m n =2a在AFFF2中,由余弦定理得：22n2PF1 +|PF2 -2 PF1|PF2 cos7 =|F1F2222.22m n - 2mn cos = 4c = 4a 4b.2.2=(m - n) 4b2mn - 2mn cos = 4b22b2 = mn(1 - cos )2b2 mn 1 - cosPFi PF2 =2b21 - cos那么,焦點(diǎn)三角形的面積為：112b2.S g J §

19、n =2 1cos $1nb2 sin1 - cos=b22sin cos 2222 sin2b2 cot22,故：S$1PF2 = b cot21 cot-2_11 _ _1同時(shí)：S&" =,F1F2 ' yP = C' yP,故: .C.2 J雙曲線的焦點(diǎn)三角形的面積為：S1PF2 = b cot-三、雙曲線的相關(guān)公式口訣：切線平分焦周角,稱為弦切角定理切點(diǎn)連線求方程,極線定理須牢記弦與中線斜率積,準(zhǔn)線去除準(zhǔn)焦距細(xì)看 中點(diǎn)弦方程,恰似弦 中點(diǎn)軌匹1T注解：1、切線平分焦周角,稱為弦切角定理弦切角定理|：切線平分橢圓焦周角的外角,平分雙曲線的|焦周角.焦周角

20、尾焦點(diǎn)三角形中,焦距所對(duì)應(yīng)的角.弦切角層指雙曲線的弦與其切線相交于雙曲線上時(shí)它們的夾角,當(dāng) 弦為焦點(diǎn)弦時(shí)(過焦點(diǎn)的弦),那么： 切線是兩個(gè)焦點(diǎn)弦的角平分蔻.如圖,AFiPF2是焦點(diǎn)三角形,NF1PF2為焦周角,PT為雙曲線的切線.那么PT平分/F1PF2 .222證實(shí)：設(shè)P(XQ,y0)在雙曲線y -4=1上,那么：- a ba即：b2x02.a2y02=a2b2P(xo,yo)點(diǎn)的切線方程為：等-邛=1 a b切線pt的斜率為：卜=班 a yoPFi的斜率為：ki="='xP - x1 x0 cPF2的斜率為：卜2=無?=xP -x2 x0 -c設(shè)直線PT與PFi的夾角為4

21、 ,直線PT與PF2的夾角為日2那么：tan日1 =1 kki將代入得:2b x.y.2 一ay.x.cb2X02a V.y.X c222b x° x.c - a y.22a y. x.c b x.y.2222.2b x.-ay.b cx.2.22a x.y. b x.y. a cy.將式和a2+b2=c2代入上式得：a. 22a x.y. b x.y.- a cy.b2 b2cx0b2a2 cx0b2tan=222 =c x.% a cy. c%cx. a cy.而：tan62 =-k71 k2k將代入式得:2y.b x.一 2tan% 二5一.ay.1y0b產(chǎn)x. c a y.a

22、2y.2 - b&J.-c22a yx.-c b x.22. 22. 2ay.- b x.b cx.將式和a2+b2=c2代入上式得：tan-r2"2；3華衛(wèi)衛(wèi)c y. a cy. c%cx. a cy.由和式得：tan斗=tan %由于力露£.再,故：4=4即：|切線是兩個(gè)焦點(diǎn)弦的角平芬閡.證畢.2、帆點(diǎn)連線求方程,極線定理須牢記22假設(shè)島汽,丫.在雙曲線-w = 1外,以包a2 b2含焦點(diǎn)的區(qū)域?yàn)閮?nèi),不包含焦點(diǎn)的區(qū)域?yàn)橥?那么過R作雙曲選的兩條切線,切點(diǎn)為P1、P2 ,那么點(diǎn)島和切點(diǎn)弦PA分別稱為雙曲線的|極點(diǎn)和極閡,切點(diǎn)弦P1P2的直線方程即極線方程是:xox

23、VoV=1 稱為極線定理a2 b2xcac證實(shí)：如以下圖,由于A,B在雙曲線上,22故：駕-岑=1,a2b222xbVbd2 一2 =1 ab上面兩式相減得:2222xaxbVa - Vb2_2= 0ab22Va - Vb2XA2XBb22a直線AB的斜率為：Ya - YbXaXb中點(diǎn)M的坐標(biāo)為:(XA XB2VaVb)2那么中線OM的斜率為：koMYaYbXaXb由得：kABkoMVa -Yb2YaYbYa - Yb22XA XBXA一 XB由得：kAB* = by =上.證畢. axc4、細(xì)看中點(diǎn)弦方程,恰似弦中點(diǎn)軌跡中點(diǎn)弦AB的方程：在雙曲線中,假設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M (x0,y0),稱弦

24、AB為中點(diǎn)弦,那么中點(diǎn)弦的方程就是:x0x y°yxqy2a2b2 2 -b2,它是直線方程.弦中點(diǎn)M的軌跡方程:在雙曲線中,過雙曲線外一點(diǎn)P0(x),y0)的弦AB ,其AB中點(diǎn)M的方程就是:22x°xy°y x y2222a b a b,仍為雙曲線.這兩個(gè)方程有些相似,要擦亮眼睛,千萬不要搞混了.5、中點(diǎn)弦AB的方程的證實(shí)：A設(shè)雙曲線方程為:中點(diǎn)弦AB的方程為：y = kx + m兩者相交于 A(Xi,yi)和B(x2,y2)那么AB的中點(diǎn)M(x0,y0)坐標(biāo)滿足:xiyiV2貝1J : y0 =kx0 +m ,故：m = y0 - k%B將代入得:22x (

25、kx m)即：(；一耳)xa b222 2kmx m bb2即：(02 k22 2b 2 b -k a2 一 ka)x22kmx(m2 +b2) = 022km 2kmaC由韋達(dá)定理得：xi+x2 =a故.X1 +X2 _ km3"Xo 22 22 b -k a即：(b2k、2)% = ka2mD> 將代入式得：(b2k2a2)x0 =ka2(y0 k%)即：b2x0+k2a2x0 = ka2y0+k2a2x0即：b2x0 = ka2yoa yoE將代入式得：m = y0 - kx° = y° -22b xo2a Vo2222a yob xo2a yo222

26、22將代入式得：y=W°x + a yo 嚴(yán).a yoa yo即：a2y0y =b2x0x a2y°2 b2x02即：b2x°x -a2yoy =b2x02 - a)2x°x2a22Vo yxoyo證畢.-=-222b2a2b26、弦中點(diǎn)M的軌跡方程的證實(shí):22A設(shè)雙曲線方程為：4-與=1 a b過點(diǎn)B (x°, yo)的直線方程為：y - yo = k(x - %)即:y =kx (yo -kxo) 記：m = yo - kxo 貝U ： y = kx +m B設(shè)AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為xm , Vm 那么：Vm =kxM +m 借用上題的結(jié)果：X

27、m= 2",b -k a將代入上式得：Xmka2(、,人、22 2 ( y M - kXM )b -k ab2XM k2a2XM = ka2yM2 2k a xMb2XM =ka2yM .b Xmk = 2a VmC將和代入式得:yM =b2XM2a VmXm(yo -b2.2a yMX0)222222a Vm = b xma Vm Vo - b xm Xo22. 222. 2a Vmb Xm =a Vm yo -b XmX02Vmb22Xm_ Vm Vo _ Xm X.2 二 2 一 . 2a a b式就是弦中點(diǎn)M的軌跡方程.證畢.圓錐曲線必背口訣圓錐曲線必背口訣-拋物線、拋物線定

28、義口訣：拋物線,有定義,定點(diǎn)定線等距離注解:1、到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線距離相等得點(diǎn)的軌跡稱為拋物線定點(diǎn)為拋物線的焦Ik定直線為拋物線的準(zhǔn)熊一.2、二次函數(shù)的圖象是拋的H .3、平面與圓錐相截,除了圓、橢圓、雙曲線外,還 有拋物線.二、拋物線性質(zhì)口訣：焦點(diǎn)準(zhǔn)線極點(diǎn)線,兩臂點(diǎn)乘積不變 焦弦切線成直角,切點(diǎn)就是兩端點(diǎn) 端點(diǎn)投影在準(zhǔn)線,連結(jié)焦點(diǎn)垂直線 焦弦垂直極焦線,切線是角平分線 直角梯形對(duì)角線,交點(diǎn)就是本原點(diǎn) 焦弦三角計(jì)面積,半個(gè) p方除正弦 注解：1、 焦點(diǎn)準(zhǔn)線極點(diǎn)線拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線是一對(duì)極點(diǎn)和極線.拋物線方程：y2=2px,焦點(diǎn)F(P,0),準(zhǔn)線Xp = -E 22拋物線的頂點(diǎn)0(0,0)到

29、定點(diǎn)F (衛(wèi),0)和定直線Xp =-衛(wèi)距離相等 22所以,p稱為:準(zhǔn)距,|是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.爰回 過焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)A和B ,“那么AB稱為蕉弦|./=+-飛弦中點(diǎn)m(xm ,yM ) , XM = A2 B , yM = " 2 VBB焦弦方程:y=kx上,k為斜率.22、1兩臂點(diǎn)乘積不變焦點(diǎn)三角形兩邊|OA|和|OB|的點(diǎn)乘積為定值,且夾角是鈍角 證實(shí)：A焦弦AB滿足的條件拋物線方程：y2=2px 由于焦弦AB過焦點(diǎn)F 旦0,2故其方程：y = kx -P由消去y得：k2x2=2px22 2即：k2x2 -k2+2px + -p- = 04B方程由韋達(dá)定理得：xAx

30、B =彳那么：yAyB = -2pxA.2pxB = -2 Px'xaxb = -2 p Jp = - p2那么：yAyB=-p22且 2 pJxAxB = p2 ,即：xAxB =4且：OA OB =限丫人)"bOb) = xaxbYaYb p2 0 .4故：焦點(diǎn)三角形兩邊之點(diǎn)乘積為定值3、1焦弦切線成直角,切點(diǎn)就是兩端點(diǎn)即：陵弦兩端點(diǎn)a,b的切線互相而證實(shí)：如圖,由拋物線方程:y2 = 2 px求導(dǎo)數(shù)：yy' = p,即:v' = p y故斜率:VaBEyB于是:VaVbVaVb由上題式y(tǒng)AyB=-p2代入上式得:kAE kBE = J即：AE _ BE故

31、：在焦弦端點(diǎn) A,B的切線互相垂直.4、端點(diǎn)投影在準(zhǔn)線,連結(jié)焦點(diǎn)垂直線即：焦弦端點(diǎn)A,B在準(zhǔn)線的投影點(diǎn) D,C與焦點(diǎn)F構(gòu)成直角三角形.證實(shí)：準(zhǔn)線方程xT故坐標(biāo) C( . p,yB), D(-p,yA)由于焦點(diǎn)Fp,02故：CF=(p,-Vb), DF=(p-Va)于是：CF DF = p2 VaVb將上題式VaVb = - p2代入上式得:CF DF =0故：CF _ DF即：焦弦端點(diǎn) A,B在準(zhǔn)線的投影點(diǎn) D,C ,那么CF,DF .即：焦弦端點(diǎn)在準(zhǔn)線的投影點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形5、焦弦垂直極焦線,切線是角平分線假設(shè)焦弦AB對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)E ,那么EF為極焦線,于是： EF 1 AB .證實(shí):A

32、由于極線AB過焦點(diǎn)F ,焦點(diǎn)與準(zhǔn)線是一對(duì)極點(diǎn)和極線,而 E點(diǎn)是AB的極點(diǎn),所以由E點(diǎn)在準(zhǔn)線上.切線AE的斜率為:kAE = y'y.V.焦弦AB的斜率為:kABVa - VfVo2y.2PV0xA xFX0 -2P 2xo - p 2pxo - Py.21 . P21 -'kAEy.由可知,AE 平分 /DAB ,即： /DAE2PVo22y.p= /EAB 故：切線是角平分線B由拋物線定義知:AD -AF故：ED=EF 同理：EC=EF 那么：|e為CD的中點(diǎn)故：|ED|=EF|=EC C設(shè)拋物線方程：y2=2PX,直線AB方程：y=kx-_P那么：x = y,P k 2故A

33、, B點(diǎn)滿足的方程為：y2 = 2 px = 2 p:+:+ P2即：y2 -2py -p2 =0 k由韋達(dá)定理得：yA + yB = 2-p k由于E-旦百色=-旦馬,f*,0222 k 2所以 EF=(p,衛(wèi)),而 AB=T(1,k) k故：EF AB =T(p, P) (1,k) =0 k故：焦弦垂直極焦線.證畢.6、直角梯形對(duì)角線,交點(diǎn)就是本原點(diǎn)即：直角梯形ABCD對(duì)角線相交于原點(diǎn)即：A,O,C三點(diǎn)共線；B,O,D三點(diǎn)共線用向量法證實(shí)： OA/CO, OB/DO證實(shí)：句量法,如圖2由坐標(biāo)嗎c(噂 Yb),D(-pH2 向量：OA = (Ya2p各分量之比：(OA)xyA2p(CO)xp

34、22 YA2 , p(OA)yYa _(CO)y- yB - yA yB由兩臂點(diǎn)乘積不變得:YaYb代入上式得：(如(CO)y2Ya-YaYb2 Ya2 P故：翳)您 "我即: (CO)y coOA/CO那么：A,O,C三點(diǎn)共線.同理：OB/DO . B,O, D三點(diǎn)共線.故：直角梯形ABCD對(duì)角線相交于原點(diǎn)8、焦弦三角計(jì)面積,半個(gè) p方除正弦即：焦弦三角形的面積為:S AOB2 sin 二0f為焦弦的傾角證實(shí)：如圖AB = AF + BF = AD + BCpp: xA xBxA xB p22= 2(xm +-) =2 EM 2如以下圖：焦準(zhǔn)距GF =2 OF那么:EMEF 1GF

35、sin： sin： sin 二p2 一 sin -于是,代入得:AB =2p2 一 sinof|absin 二由于"為底邊AB? OF的夾角,故面積S.A,OB 一 2故：saob1OF AB since =1 E _1P22 2 sinsin.：s =2sin ;圓錐曲線的極坐標(biāo)以焦準(zhǔn)距p和離心率e來表示常量,以即：焦弦三角計(jì)面積,半個(gè) p方除正弦圓錐曲線必背口訣附：圓錐曲線必背-極坐標(biāo)一、極坐標(biāo)通式國(guó)日來表示變量.P之0 , ee 0,360°極徑P和極以居點(diǎn)0為極點(diǎn)原點(diǎn)O,以 橢圓長(zhǎng)軸、|眼物線對(duì)稱軸、或梅實(shí)軸 為概軸|的建立極坐標(biāo)系.故悔線|是到極點(diǎn)距離為科準(zhǔn)距 P

36、、且垂直于為軸的直線L .極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的換算關(guān)系是：P="x2 + y2 , 0 = arctan yx或者： x = ：cosi , y = ：sini特別注意：|極坐標(biāo)系中,以焦點(diǎn)為極點(diǎn) 原點(diǎn),而直角坐標(biāo)系中以對(duì)稱點(diǎn)為原點(diǎn)得到標(biāo)準(zhǔn)方程.如圖,O為極點(diǎn),L為準(zhǔn)線,那么依據(jù)定義,邳 定點(diǎn)極點(diǎn)和到定直線準(zhǔn)線的距離之比為定值定值e的點(diǎn)的軌跡為圓錐曲線.所以,對(duì)極坐標(biāo)系,請(qǐng)記?。簶O坐標(biāo)系的極點(diǎn) O是橢圓的左焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn)、 雙曲線的右焦點(diǎn)J；曲線上的點(diǎn)PP,e到焦點(diǎn)F的距離是P,到準(zhǔn)線的距離是 p+Pcos9,根據(jù)定義： e=-, 即： ep + ePcos8 = P, 即：

37、ep=PePcos8即：|p = ep_ 1 ecos8錐曲線的通式這就是極坐標(biāo)下,圓對(duì)應(yīng)不同的e,呈現(xiàn)不同的曲線.|對(duì)雙曲線,只是右邊的一支對(duì)拋物線,開口向右.二、極軸旋轉(zhuǎn)1800拋物線的焦點(diǎn)、I雙曲線的左焦點(diǎn)；對(duì)應(yīng)不同的e,呈現(xiàn)不同的曲線 .一雙曲線,只是左邊的一支一而 物線,開口向左 .三、極軸旋轉(zhuǎn) 90o將極軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90.,將極角加90.到0角上,那么情況如圖.圓錐曲線的方程為：P 一ep 1 esin8此時(shí)的極坐標(biāo)系下：對(duì)應(yīng)于直角坐標(biāo)系下,焦點(diǎn)在y軸的情況,且極點(diǎn) o對(duì)應(yīng)于橢圓下方的曲線上方的焦物,的焦點(diǎn).如果將極軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90.,將-90.加到極角上代入式,那么情況如圖所記

38、要點(diǎn)：極軸右轉(zhuǎn) 90.,極角相加 90.；對(duì)雙曲線,只是 y軸上邊的一支;|對(duì)拋物線,開口向上 .極軸右轉(zhuǎn) 180.,極角相加 180.右轉(zhuǎn)即是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)四、坐標(biāo)變換在極坐標(biāo)系中,圓錐曲線的通式為: ep：=-1-e cosi即:PePcosl=ep, 即：P = ep + ePcos9即:P2 = (ep+ePcos0)2 =e2 p2 +e2(Pcos0)2 +2e2p(PcoS)將：2=x2 + y2 , PcosB = x代入式得:x2y2 = e2 p2 e2 x2 2e2 px(1 -e2)x2即：(1 -e2)x2 - 2e2 px y2 = e2 p2有:-2.9 (飛)2y2 = e2p2(1.e2)(ep2)21 -e21 -e21-e2即:(1 -e2)(x2一一一一P2)2y2 =e2p2(1一 ee22) 1 -e2e2 p21 -e2即:e e2p(x-1-e22 2e p22(1 -e )22V -2