完整版點集拓撲講義緊致性學習筆記

1、第7章緊致性§ 7.1 緊致空間本節(jié)重點：掌握緊致子集的定義及判斷一個子集是緊致子集的方法.這些方法哪些是充要條件；掌握緊致性是否是連續(xù)映射可保存的,是否是可遺傳的、有限可積的.在§5.3中,我們用關(guān)于開覆蓋和子覆蓋的術(shù)語刻畫了一類拓撲空間,即 Lindeloff 空間.現(xiàn)在來仿照這種做法,即將 Lindeloff 空間定義中的“可數(shù) 子覆蓋換成“有限子覆蓋,以定義緊致空間.讀者在數(shù)學分析中早已見過 的Heine-Borel定理斷言：實數(shù)空間R的任何一個子集為有界閉集的充分必 要條件是它的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋.在§7.3中我們將要推廣這個定理.因此我們現(xiàn)

2、在作的事也應當在意料之中.定義7.1.1 設X是一個拓撲空間.如果X的每一個開覆蓋有一個有限子 覆蓋,那么稱拓撲空間X是一個緊致空間.明顯地,每一個緊致空間都是Lindeloff 空間.但反之不然,例如包含著 無限但可數(shù)個點的離散空間是一個 Lindeloff 空間,但它不是一個緊致空間.例7.1.1實數(shù)空間R不是一個緊致空間.這是由于如果我們設A= -n, n UR|bCZ+,那么A的任何一個有限子族為"-勺/0,-選修,由于它的并為-max 1 二''； ,max #/：；/所以不是R的一個子覆蓋.因此R的開覆蓋A沒有任何一個有限子覆蓋.定義7.1.2 設X是一個

3、拓撲空間,Y是X中的一個子集,如果Y作為X的 子空間是一個緊致空間,那么稱 Y是拓撲空間X的一個緊致子集.根據(jù)定義,拓撲空間X中的一個子集Y是X的緊致子集意味著每一個由子 空間Y中的開集構(gòu)成的Y的開覆蓋有一個有限子覆蓋,這并不明顯地意味著由 X中的開集構(gòu)成的每一個 Y的覆蓋都有有限子覆蓋.所以陳述以下定理是必要 的.定理7.1.1 設X是一個拓撲空間,Y是X中的一個子集.那么Y是X的一 個緊致子集當且僅當每一個由X中的開集構(gòu)成的Y的覆蓋都有有限子覆蓋.此 定理說明開覆蓋中的開子集可以是 X的,也可以是Y的證實 必要性設Y是拓撲空間X中的一個緊致子集,人是丫的一個覆蓋,它 由X中的開集構(gòu)成.那么

4、容易驗證集族 一三A也是Y的一個覆蓋,它 由Y中的開集構(gòu)成.因此A有一個有限子覆蓋,設為A門匕內(nèi)門匕,4巾,于是a的有限子族4 44覆蓋y.充分性,假定每一個由X的開集構(gòu)成的丫的覆蓋都有一個有限子覆蓋.設A是Y的一個覆蓋,它由Y中的開集構(gòu)成.那么對于每一個AC A存在X中的一個 開集2使得AAinY.因止匕五=MeA是由X中的開集構(gòu)成的丫的一個 覆蓋,所以有一個有限子覆蓋,設為-1_-1_上此時易見A的子族 44；114覆蓋Y.這證實丫是X的一個緊致子集.卜面介紹關(guān)于緊致性的一個等價說法.定義7.1.3 設A是一個集族.如果A的每一個有限子族都有非空的交即如果&是A的一個有限子族,那么

5、,那么稱A是一個具有有限交性質(zhì)的集族.定理7.1.2 設X是一個拓撲空間.那么X是一個緊致空間當且僅當X中的證實"口:設X是一個緊致空間.用反證法.設 F是X中的一個具有有限交性質(zhì)的閉集族.設Fw0 .如果c&f C;,那么令 a=CC e f.由于U-' = 0' = 了所以A是X的一個開覆蓋.于是A有一個有限子覆蓋,設為C；Cb'C；.從 而CqCq C/ u 口uC；y=X J 0這說明F不具有有限交性質(zhì).矛盾.“U,設X中的每一個具有有限交性質(zhì)的閉集族都有非空的交.為證 明X是一個緊致空間,設A是X的一個開覆蓋.我們需要證實 A有一個有限子 覆

6、蓋.如果A=0 ,那么,這蘊涵 X> 以及A的每一個子族都是X的 覆蓋.以下假定Aw0.止匕時F=4|ACA便是X中的一個非空閉集族,并且 門CF C =門&/ =以點=0因此,它不具有有限交性質(zhì).也就是說,它有一個有限子族其交為空集.設 f的這個有限子族為4,4j,4,那么?C&-4=004045皿4是*的一個有限子覆蓋.如果B是緊致空間X的一個基,那么由B中的元素構(gòu)成的X的一個覆蓋當 然是一個開覆蓋,因此有有限子覆蓋.下述定理指出,為驗證拓撲空間的緊致 性,只要驗證由它的某一個基中的元素組成的覆蓋有有限子覆蓋.定理7.1.3 設B*是拓撲空間X的一個基,并且X的由B*

7、中的元素構(gòu)成 的每一個覆蓋有一個有限子覆蓋.那么 X是一個緊致空間.證實 A* 設是X的一個開覆蓋.對于每一個 AC A*存在B*的一個子族 始使得令由于口及川 * = u“的B= X故&是一個由B*的元素構(gòu)成的X的一個覆蓋,所以有一個有限子覆 蓋,設為 耳聞,義,對于每一個與,i=1,2,n , vBi e4；34 w 4 e 8=一,與 u A于是對于a*的有限于族4,4一4有也就是說a*有一個有限子覆蓋 廠4.這證實x是一個緊致 空間.定理7.1.4設X和Y是兩個拓撲空間,f:X -Y是一個連續(xù)映射.如果 A是X的一個緊致子集,那么f (A)是Y的一個緊致子集.證實 設C*是f(

8、A)的一個覆蓋,它由Y中的開集組成.對于每一個CC C*, 由于f是一個連續(xù)映射,"(C)是X中的一個開集n u金cJT(C)=d/-15期=)金所以人=11©)2 e C*是a的一個開覆蓋.由于A是X的一個緊致子集, 所以A有一個有限子族,設為 “,：,工,覆蓋AV 尸6)5u尸(CJ =尸(G u5 5PCJ 工Guju uc. ZD/即0£?,0是.的一個子族并且覆蓋f (A) .這證實f(A)是Y的 一個緊致子集.由上述定理可見,拓撲空間的緊致性是連續(xù)映射所保持的性質(zhì),因此是拓 撲不變性質(zhì),也是一個可商性質(zhì).由此可見,由于實數(shù)空間R不是緊致空間,而每一個開

9、區(qū)間都是與它同胚 的,所以每一個開區(qū)間(作為子空間)都不是緊致空間.定理7.1.5 緊致空間中的每一個閉子集都是緊致子集.證實 設Y是緊致空間X中的一個閉子集.如果A是Y的一個覆蓋,它由 X中的開集構(gòu)成.那么3 = auy,是x的一個開覆蓋.設B1是B的一個有限子 族并且覆蓋X.那么Bl- F便是A的一個有限子族并且覆蓋 Y.這證實Y是X 的一個緊致子集.定理7.1.6 每一個拓撲空間必定是某一個緊致空間的開子空間.證實:設(X, T)是一個拓撲空間.令8為任何一個不屬于 X的元素.令X*=XU 訓 工 T*=TU 旬 UX*其中 '1 =E -X*|X*-E 是拓撲空間(X, T)中

10、的一個緊致閉集 首先驗證T*是集合X*的一個拓撲.(略)其次.證實X*, T*是一個緊致空間：設C*是X*的一個開覆蓋.那么存在ce C*使得ooe c.于是ce Z,因此x*-c 是緊致的,并且C*-C是它的一個開覆蓋.于是 C*-C有一個有限子族,設為 C1,覆蓋X*-C.易見C1UC是C*的一個有限子族,并且覆蓋X*.最后,我們指出拓撲空間X, T是拓撲空間X*, T*的一個開子空間.這是 由于T = 巧X及X是 X*的一個開集.在以上定理的證實中由拓撲空間X, T構(gòu)造出來的緊致空間X*, T*,通常 稱為拓撲空間X, T的一點緊化.由于非緊致空間它是存在的是它的一點緊化的一個子空間,因

11、此緊致性不是可遺傳的性質(zhì).但由定理 7.1.5可知緊致性是閉遺傳的.以下定理說明緊致性是可積性質(zhì).定理7.1.7 設/1,區(qū)人是n?l個緊致空間.那么積空間Xi./xX*是一個緊致空間.證實略作業(yè)：P188 1. 4. 5.§ 7.2 緊致性與別離性公理本節(jié)重點：掌握緊致空間中各別離性公理的關(guān)系；掌握Hausdorff空間中緊致子集的性質(zhì)在本節(jié)中我們把第六章中研究的諸別離性公理和緊致性放在一起進行考 察、我們將會發(fā)現(xiàn)在緊致空間中別離性公理變得十分簡單了.此外在本節(jié)的后 半局部,我們給出從緊致空間到Hausdorff空間的連續(xù)映射的一個十分重要的 性質(zhì).定理7.2.1設X是一個Haus

12、dorff空間.如果A是X的一個不包含點xX的緊致子集,那么點x和緊致子集A分別有開鄰域U和V使得UP V=0 .證實 設A是一個緊致子集,x A .對于每一個yCA,由于X是一個Hausdorff 空間,故存在x的一個開鄰域和y的一個開鄰域 匕= 0 .集族也|y CA明顯是緊致子集A的一個開覆蓋,它有一個 有限子族,設為匕渭加/,覆蓋A.令=門四八U分 ,它們分 別是點x和集合A的開鄰域.止匕外,由于對于每一個i=1 , 2,n有：所以推論7.2.2 Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是閉集.證實 設A是Hausdorff空間X的一個緊致子集.對于任何 xCX,如果 xA,那么根據(jù)

13、定理7.2.1可見x不是A的凝聚點.因此凡A的凝聚點都在A中, 從而 A是一一個閉集.推論7.2.2結(jié)合定理7.1.5可見：推論7.2.3在一個緊致的Hausdorff空間中,一個集合是閉集的充分必要條件是它是一個緊致子集.為了增強讀者對定理7.1.5 ,推論7.2.2和推論7.2.3中的幾個簡單而常 用的結(jié)論的印象,重新簡明地列舉如下：緊致空間：閉集=> 緊致子集Hausdorff空間：閉集U緊致子集緊致的hausdorff空間：閉集Q緊致子集推論7.2.4 每一個緊致的Haudorff空間都是正那么空間.證實 設A是緊致的Hausdorff空間X的一個閉子集,x是X中的一個不 屬于集

14、合A的點.由于緊致空間中的閉子集是緊致的參見定理7.1.5 ,所以A是一個緊致子集.又根據(jù)定理 7.2.1 ,點x和集合A分別有開鄰域U和V 使彳# UP V=0.這就證實了 X是一個正那么空間.定理7.2.5 設X是一個Hausdorff空間.如果A和B是X的兩個無交的緊致子集,那么它們分別有開鄰域 U和V使得UP V=0 .證實 設A和B是X的兩個無交的緊致子集.對于任何 xC A,根據(jù)定理7.2.1 ,點x和集合B分別有開鄰域4匕巨/門匕一0 .集族4|x CA是 緊致子集A的一個開覆蓋,它有一個有限子族,設為0小右,.,覆蓋A.令一%八W由于對于每一個i =1, 2,n有"

15、nV=3,所以Un V=.由于Hausdorff空間的每一個閉子集都是緊致子集,所以根據(jù)定理7.2.5立即有：推論7.2.6每一個緊致的Hausdorff空間都是刀的,這個結(jié)論也可以根據(jù)推論7.2.4和定理6.4.3直接推出.根據(jù)這個推論聯(lián)系著表6.1并且留意到每一個緊致空間都是Lindeloff空間這一事實,我們可 有圖表7.1 .從這個圖表中可以看出,在緊致空間中別離性公理顯得特別簡單.圖表7.1 :緊致空間中的別離性公理Tq空間 O |T/空間|今|丁孑空間O 店空間U Tq U Tq U Tg正規(guī)空間 u 層全正那么空間 O正那么空間定理7.2.7 設X是一個正那么空間.如果 A是X中

16、的一個緊致子集,U是 A的一個開鄰域,那么存在 A的一個開鄰域V使得*CU.證實 設A是正那么空間X中的一個緊致子集,U是A的一個開鄰域.對于 任彳xCA,點x有一個開鄰域匕使得匕UU集族匕|x C A是緊致子集A的 一個開覆蓋,它有有限子族,設為 %,一1,覆蓋A.令P = U:川,它 是A的一個開鄰域,并且1=叱0)-=此不同根據(jù)這個定理立即可見,每一個緊致的正那么空間都是正規(guī)空間.然而這并 不是什么新結(jié)論,由于每一個緊致空間都是 Lindeloff空間,所以它明顯地蘊 涵于定理6.4.3中.然而緊致的正規(guī)空間可以不是正那么空間.例子見于例6. 2. 3.在那個正規(guī)而非正那么空間的例子中的

17、拓撲空間只含有有限多個點,當然會是緊致的.定理7.2.8從緊致空間到Hausdorff空間的任何一個連續(xù)映射都是閉映證實 設X是一個緊致空間,Y是一個Hausdorff空間,f:X-Y是一個連 續(xù)映射.如果 A是緊致空間X中的一個閉子集.那么它是緊致的參見定理 7.1.5 ,因此它的象集f A是Hausdorff空間Y中的一個緊致子集參見 定理7.1.4 ,所以又是閉集參見推論 7.2.2 .這證實f是一個閉映射.由于一個既單且滿的開或閉的連續(xù)映射即是一個同胚,所以我們有：推論7.2.9 從緊致空間到Hausdorff空間的任何一個既單且滿的即一 一的連續(xù)映射都是同胚.作業(yè)：P192 1.2.

18、§ 7.3 n維歐氏空間那中的緊致子集定義7.3.1 設X, p是一個度量空間,AZX.如果存在實數(shù) g0使 得p x, y <M對于所有x, yCA成立,那么稱A是X的一個有界子集；如果 X本身是一個有界子集,那么稱度量空間X, p 是一個有界度量空間.定理7.3.1緊致度量空間是有界的.證實 設(X, p)是一個緊致度量空間.由球形鄰域構(gòu)成的集族B (x,1) |x CX是X的一個開覆蓋,它有一個有限子覆蓋,設為B (x1, 1) , B (x2, 1),B (xn, 1) 令M=rnax p (xi , xj ) |1 <i , j &n十 2如果 x, y

19、 X,那么存在 i,j, 1&i,j&n,使得 x B (xi , l )和 y C B (xj , l ).于是p(x,y)< p (x, xi ) + p(xi, xj )十 p(xj,y)< M因此度量空間中的每一個緊致子集都是有界子集. 特別n維歐氏空間P的 每一個緊致子集都是有界的.下面作為引理給出單位閉區(qū)間0,1是一個緊致空間的證實.盡管讀者可 能早已熟知這個結(jié)論.引理7.3.2 單位閉區(qū)間0,1是一個緊致空間.證實設A是0 , 1的一個開覆蓋.令P=xC0, l| A有一個有限子族覆蓋0, x 它是0, 1的一個子集.對于集合P,我們依次證實,（1）

20、PH0 .由于顯然0C P;（2） P是一一個開集.設xCP.那么A有一個有限子族,設為 4,4廠4,覆蓋0, x.當x=1 時,易見P=0, l,它是一個開集.因此x是P的一個內(nèi)點.下設x<1.這 時對于某一個i0,1 &i0&n,有xC 4.由于4.是0 , 1中的一個開集,所以 存在實數(shù)e >0使得x , x+ e 匚4.于是0 , x+ £ - f 二. .這蘊涵0 , x+e 匚P.由于0 , x+ e 是0 , 1中的一個包含x的開集,所以x是P的 一個內(nèi)點.以上證實了集合P中的任何一個點都是P的內(nèi)點,所以它是一個開 集.（3） P是一一個閉集

21、.設xeP=0,1-P .根據(jù)集合P的定義可見,x, 1UP.另外根據(jù)1 可見.0Vx.選取選取AC A使彳mxCA.由于A是一個開集,所以存在實數(shù) & >0使得x £ , x UA.假設x £ ,x APW0 ,設 zC x e , x n P.那么 A有一個有限子族A1覆蓋0,z,因此A的有限子族人1.伏覆蓋0, x,這 與 x即矛盾.所以x- £ , x n p=0,即x- £ ,x u P ,從而x- 8 ,1 u F , 因此x是p的一個內(nèi)點.這證實F"是一個開集,即p是一個閉集.根據(jù)上述三條,P是0,1中的一個既開又閉

22、的非空子集.由于0,1是一 個連通空間,所以P=0,1,特別,1CP.這也就是說A有一個有限子族覆蓋 0, 1.以上證實了 0 , 1的任何一個開覆蓋有有限子覆蓋,故0, 1是一 個緊致空間.任何一個閉區(qū)間a, b (a<b),由于它和單位閉區(qū)間0, 1同胚,所 以是緊致的.并且作為緊致空間的積空間,可見n維歐氏空間 片中任何一個閉 方體值句, (a<b)也是緊致空間.定理7.3.3 設A是n維歐氏空間 必中的一個子集.那么A是一個緊致子集 當且僅當 A是一一個有界閉集.|證實 設p是n維歐氏空間R的通常度量.：如果AC?是一個緊致子集,那么根據(jù)定理 7.3.1 ,它是有界 的；由

23、于R"是一個Hausdorff空間,根據(jù)推論7.2.2 ,它是一個閉集.：設AUF是一個有界閉集.如果A=0,那么A是緊致的.下設 AH0.于是存在實數(shù) M 0使得對于任何x, yCA有p (x , y) <M任意選取 X0CA,并且令 N=M p (0, x0),其中 0= (0, 0,0) C K* .容易驗證 (根據(jù)三角不等式)A匚卜此町.因此A作為緊致空間-MM中的一個閉子 集必定是緊致的.定理7.3.4 設X是一個非空的緊致空間,f:X -R是一個連續(xù)映射.那么存 在x0, x1 X使得對于任意x C X有f (x0) <f(x) <f(x1)換言之,從非

24、空的緊致空間到實數(shù)空間 R的任何一個連續(xù)映射都可以取到 最大點與最小點.證實 由于X緊致,故根據(jù)定理7. 1. 4可見f (X)是實數(shù)空間R中的一 個緊致子集.由于R是一個Hausdorff空間,所以f(X)是一個閉集.設m和M 分別為集合f (X)的下,上確界,那么 m ME f(X).因此存在x0, x1 X使得 f(x0) =m和f(x1)=M .根據(jù)上,下確界的定義立即可見,對于任何xCX有f(x0) <f(x) <f(x1).止匕外,由于m維單位球面S鮑是一個有界閉集,所以是緊致的,n維歐氏空 問不是緊致的,而緊致性又是一個拓撲不變性質(zhì),所以：定理7.3.5 設m n C

25、 Z+.那么m維單位球面S期與n維歐氏空間K*不同胚. 這是通過拓撲不變性質(zhì)區(qū)分不同胚的拓撲空間的又一個例子.作業(yè)：P196 1.2.§ 7.4 幾種緊致性以及其間的關(guān)系本節(jié)重點:掌握新定義的幾種緊致性的定義及它們之間的關(guān)系.讀者已從數(shù)學分析的學習中知道了以下命題： 實數(shù)空間中的一個子集A 如果滿足以下條件(l)(4)中的任何一條,那么滿足其他的幾條.(1) A是一一個有界閉集；(2) A的每一個開覆蓋都有有限子覆蓋；(3) A中的每一個無限子集都有凝聚點在 A中；(4) A中的每一個序列都有收斂的子序列收斂于 A中的點.這幾個條件的重要意義,讀者應當早就有所體會了.不難發(fā)現(xiàn)這四條中

26、以 惟有1中涉及的概念有賴于度量,其余2 , 3和4三條中所涉及 的概念都只是牽連到拓撲.我們當然希望在一般的拓撲空間中還能建立條件2 , 3和4的等價性；假設不能,討論在何種條件下它們等價也是 一件有意義的事.本節(jié)我們研究這個問題.為了研究問題時的方便,引進以下 條件5作為討論的中間站.5 A的每一個可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋.定義7.4.1設X是一個拓撲空間.如果X的每一個可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋,那么稱拓撲空間X是一個可數(shù)緊致空間.以下兩個定理的證實十分容易,請讀者自己補證.定理7.4.1每一個緊致空間都是可數(shù)緊致空間.定理7.4.2 每一個Lindeloff 的可數(shù)緊致空間都是緊致空間.

27、定義7.4.2 設X是一個拓撲空間.如果X的每一個無限子集都有凝聚點, 那么稱拓撲空間X是一個列緊空間.定理7.4.3 每一個可數(shù)緊致空間都是列緊空間.證實 設X是一個可數(shù)緊致空間.為了證實它是一個列緊空間,我們只要 證實它的每一個可數(shù)的無限子集都有凝聚點,現(xiàn)在用反證法來證實這一點.假 設X有一個可數(shù)無限子集A沒有凝聚點.首先這蘊涵A是一個閉集.此外對于 每一個aC A,由于a不是A的凝聚點,所以存在a的一個開鄰域 “a使得"a n A=a.于是集族 Qi |a C A U 4 是X的一個開覆蓋.由于X是可數(shù)緊致 空間,它有一個有限子覆蓋,不妨設為 ,1 7 由于A與A無交,所以 必

28、定覆蓋A.因此,A=/叫 3口匕5C A=a1,a2,七口是一個有限集.這是一個 矛盾.定義7.4.3 設4/*是一個由集合構(gòu)成的序列,如果它滿足條件：4 7 4+1對于每一個i CZ+成立,即4 口4 口那么稱序列4 以+是一個下降序列.在某一個拓撲空間中的一個由非空閉集構(gòu)成的下降序列也叫做一個非空 閉集下降序列.引理7.4.4 設X是一個拓撲空間.那么拓撲空間 X是一個可數(shù)緊致空間當且僅當由X中任何一個非空閉集下降序列,有非空的交,即證實 設可數(shù)緊致空間X中的非空閉集下降序列48使得E -.于是4%E+是X的一個開覆蓋,它有一個有限子覆蓋,設為K；典,用 由此可得0 = 了：.聞'

29、=&% =%皿網(wǎng)這是一個矛盾.另一方面,設拓撲空間X中的每一個非空閉集下降序列都有非空的交.如 果X不是一個可數(shù)緊致空間,那么X有一個可數(shù)開覆蓋,設為九%,沒有 有限子覆蓋.對于每一個i CZ+,令那么7,匕也是X的一個開覆蓋,沒有有限子覆蓋,并且滿足條件： 匕M u因此片,?是一個非空閉集下降序列,所以.??；*.由此 可見V%匕*X.也就是說7,匕4不是X的一個覆蓋,這是一個矛盾.定理7.4.5每一個列緊的4空間都是可數(shù)緊致空間.證實 設X是一個列緊的4空間.如果X不是一個可數(shù)緊致空間,那么根據(jù) 引理7.4.4 , X中有一個非空閉集下降序列用小,使得小1+4=.在每一個 4中選取一

30、點人,并且考慮集合A=力際一如果A是一個有限集,那么必有一點xC A和一個正整數(shù)的嚴格遞增序列n1,n2,使得 廣3飛廣于是對于任何i CZ+有x這是由于,16 F- c F. 1 c- c F-n J £ 量 J '思一】J - 1 1于是xe n小耳,這與反證假設矛盾.設A是一個無限集.由于X是一個列緊空間,所以A有一個凝聚點,設為 y.由于X是一個空間它的每一個有限子集都是閉集,易見對于每一個 i CZ+ ,點y也是集合一1%'的一個凝聚點；又由于 4匚月二彩旦二入小立.這也與反證假定矛盾.定義7.4.4 設X是一個拓撲空間.如果X中的每一個序列都有一個收斂 的

31、子序列,稱拓撲空間X是一個序列緊致空間.定理7.4.6每一個序列緊致空間都是可數(shù)緊致空間.證實 設X是一個序列緊致空間,6,瑪,是X中的一個非空閉集下降 序列.在每月3赤孫35mL加/.對于每一個i CZ+, , 筋0了£門曲斗 - G/+4 0 ,根據(jù)引理7,4,4X 是一個可數(shù)緊致空間.定理7.4.7 每一個滿足第一可數(shù)性公理的可數(shù)緊致空間都是序列緊致空 問.證實 設X是一個滿足第一可數(shù)性公理的可數(shù)緊致空間,設 皿匚】.對于每一個i CZ+,令區(qū)-由小山和月-*i .于是& 是拓撲空間X中的一個非空閉集下降序列,因此根據(jù)引理7.4.4 ,我們有門.宇0,證2+?由于X滿足

32、第一可數(shù)性公理,根據(jù)定理 5.1.8 ,在點x處有一個可數(shù)鄰域 基 %,"滿足條件：Ui.“W4 nUjE產(chǎn).對于任 意j Z+成立.令M = mm |中£用力百對于每一個i >1 ,令M =畫乜+1勺叫門“.田,于是用,必是一個嚴格遞增的 正整數(shù)序列.并且 4叫對于每一個i CZ+成立.我們來證實序列 &的子序列電收斂于x ：設U是x的一個鄰域.存在 某一個kC Z+,使得"跖匚",于是當i >k時我們有以叫匚工3根據(jù)本節(jié)中的各個定理,我們可以得到圖表7.2 .=>緊致空間.何數(shù)緊向空間 一網(wǎng)緊空間取於切rt. J 4一列緊致

33、空司根據(jù)這個表立即可以知：推論7.4.8 設X是一個滿足第二可數(shù)性公理的 Z空間,A是X的一個子 集.那么以下條件等價：(1) A的每一個開覆蓋都有有限子覆蓋；(2) A的每一個可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋；(3) A中的每一個序列都有子序列收斂于 A中的點；(4) A中的每一個無限子集都有凝聚點在 A中.特別,對于n維歐氏空間K*的子集以上推論成立,并且推論中的每 一個條件都等價于A是一個有界閉集.作業(yè)：P201 1§ 7.5 度量空間中的緊致性本節(jié)重點：掌握度量空間中的緊致空間、可數(shù)緊致空間、序列緊致空間、列緊空間之 問的關(guān)系.由于度量空間滿足第一可數(shù)性公理,同時也是 Z空間,所以上

34、一節(jié)中的討 論(參見表7.2)因此我們,一個度量空間是可數(shù)緊致空間當且僅當它是列緊 空間,也當且僅當它是序列緊致空間.但由于度量空間不一定就是Lindeloff空間,因此從定理7,4.2并不能斷定列緊的度量空間是否一定就是緊致空間. 本 節(jié)研究這個問題并給出肯定的答復.定義7.5.1 設A是度量空間(X, p)中的一個非空子集.集合A的直徑 diam (A)定義為diam(A)=sup p (x,y)|x,y C A假設 A是有界的diam(A)= 00假設A是無界的定義7.5.2 設(X, p)是一個度量空間,A是X的一個開覆蓋.實數(shù) 入 >0稱為開覆蓋A的一個Lebesgue數(shù),如果

35、對于X中的任何一個子集 A,只要 diam (A)(入,那么A包含于開覆蓋A的某一個元素之中.Lebesgue數(shù)不一定存在.例如考慮實數(shù)空間R的開覆蓋(- 00,1) U(n -1/n,n+1+1/n) |n Z+那么任何一個正實數(shù)都不是它的 Lebesgue數(shù).(請讀者自補證實.)定理7.5,1Lebesgue 數(shù)定理序列緊致的度量空間的每一個開覆蓋有 一個 Lebesgue 數(shù).證實 設X是一個序列緊致的度量空間,A是X的一個開覆蓋.假假設開覆 蓋A沒有Lebesgue數(shù),那么對于任何i CZ+,實數(shù)1/i不是A的Lebesgue數(shù),所 以X有一個子集E,使得diam (E) < 1

36、/i并且Ei不包含于A的任何元素之中.在每一個用之中任意選取一個點人,由于X是一個序列緊致空間,所以序 列工卜樂有一個收斂的子序列X或為支 由于A是X的一個開覆蓋,故 存在AC A使得yCA,并且存在實數(shù)£ >0使得球形鄰域B (y, e ) U A.由rr -4 VW于叫所以存在整數(shù)g 0使得當i>M時2 .令k為任意一個整數(shù),使得k>M+2/e ,那么對于任何"E "跖有p (x, y) w p (x, % ) + p (, y) < e這證實匕；一一 U.三-A與“用的選取矛盾.定理7.5.2每一個序列緊致的度量空間都是緊致空間.證實

37、 設X是一個序列緊致的度量空間,A是X的一個開覆蓋.根據(jù)定理 7.5.1 , X的開覆蓋 A有一個Lebesgue數(shù),設為 人0.令上Bx,入/3.它是X的一個開覆蓋.我們先來證實 B有一個有 限子覆蓋.假設B沒有有限子覆蓋.任意選取一點 C X.對于i 1 ,假定點 1卜田二口對已經(jīng)取定,由于貼,貼疝3廣月如幼不是X的覆蓋,選取J 3 3 .根據(jù)歸納原那么,序列小際已經(jīng)取定.易見對于任何i,j CZ+,i wj ,有pJM'入/3 .序列 工卜工?沒有任何收斂的子序列.由于任何 yX的球形鄰域By,入/6中最 多只能包含這個序列中的一個點.這與 X是序列緊致空間相矛盾.現(xiàn)在設晌

38、9;'如"W%'療是開覆蓋B的-個有限子覆 蓋.由于其中每一個元素的直徑都小于 入,所以對于每一個i=1,2,n存在 4 * '使得B&入/3 -4 .于是是A的一個子覆蓋.因此,根據(jù)定理7.5.2以及前一節(jié)中的討論可見：定理7.5.3設X是一個度量空間.那么以下條件等價：(1) X是一個緊致空間;(2) X是一個列緊空間；(3) X是一個序列緊致空間；(4) X是一個可數(shù)緊致空間.我們將定理7.5.3的結(jié)論列為圖表7.3以示強調(diào).緊致空間 今可數(shù)緊致空質(zhì)Q 序列緊致空間O列緊空間作業(yè)：P205 1 .本章總結(jié):(1)重點是緊致性、緊致性與別離性的關(guān)系

39、.(2)度量空間(特別是 )中的緊致性性質(zhì)要掌握.(3)緊致性是否是連續(xù)映射所能保持的、可積的、可遺傳的證實時牽 涉到的閉集要注意是哪個空間的閉集.§ 7.6 局部緊致空間,仿緊致空間本節(jié)重點：掌握局部緊致空間、仿緊致空間的定義.性質(zhì)；掌握局部緊致空間、仿緊致空間中各別離性公理空間之間的關(guān)系;掌握局部緊致空間、仿緊致空間與緊致空間之間的關(guān)系.定義7.6.1 設X是一個拓撲空間,如果X中的每一個點都有一個緊致的 鄰域,那么稱拓撲空間X是一個局部緊致空間.由定義立即可見,每一個緊致空間都是局部緊致空間,由于緊致空間本身 便是它的每一個點的緊致鄰域.n維歐氏空間也是局部緊致空間,由于其中的

40、任何一個球形鄰域的閉包都 是緊致的.定理7.6.1每一個局部緊致的空間都是正那么空間.證實 設X是一個局部緊致的Hausdorff空間,設x C X,U是x的一個開鄰 域.令D是x的一個緊致鄰域,作為Hausdorff空間X的緊致子集,D是X中的 閉集.由推論7.2.4,D作為子空間是一個緊致的 Hausdorff空間,所以是一個 正那么空間.印門是x在子空間D中的一個開鄰域,其中是集合D在拓 撲空間X中的內(nèi)部.從而x在子空間D中有一個開鄰域V使得它在子空間D中 的閉包包含于 W 一方面V是子空間D中的一個開集,并且又包含于 W,因此V 是子空間W中的一個開集,而W是X中的一個開集,所以V也是

41、X中的開集.另 一方面,由于D是X的閉集,所以V在D中的閉包便是V在X中的閉包因此點x在X中的開鄰域V使得了匚郎匚U .因此X是一個正那么空間.定理7.6.2設X是一個局部緊致的正那么空間,x X,那么點x的所有緊致鄰域構(gòu)成的集族是拓撲空間X在點x處的一個鄰域基.證實 設U是xCX的一個開鄰域.令D為x的一個緊致鄰域,那么是 x的一個開鄰域.由于X是正那么空間,所以存在x的開鄰域V使得匚門° .閉集了是x的一個閉鄰域,并且作為緊致空間D中的閉子集,它是緊致的.以上證明了在x的任何開鄰域U中包含著某一個緊致鄰域V .從前面兩個定理立即可以推出：推論7.6.3 設X是一個局部緊致的Hau

42、sdorff空間,xCX.那么點x的所 有緊致鄰域構(gòu)成的集族是拓撲空間 X在點x處的一個鄰域基.定理7.6.4每一個局部緊致的正那么空間都是完全正那么空間.證實 設X是一個局部緊致的正那么空間.我們驗證X是一個完全正那么空間 如下：設xCX和B是X中的一個閉集,使得= 3'是x的一個開鄰域.由 定理7.6.2,存在x的一個緊致閉鄰域V,使得U U . V作為X的一個子空間是 緊致的正那么空間(正那么是可遺傳的),因此是完全正那么的.因而存在連續(xù)映射 g:V0,1,使得g(x)=0,和對于任何,一.有g(shù)(y)=1 .定義映射h: 片TO 使得快吸艙)二1.顯然 h是一一個連續(xù)映射定義映射f:X 一0,1,使得對于任何zCX島黑)Z印既)嚴I首先,映射f的定義