完整版概率論與數(shù)理統(tǒng)計復(fù)習題答案

1、上海第二工業(yè)大學?概率論與數(shù)理統(tǒng)計?復(fù)習題一、填空題1 .P(A B) = P(A),那么A與B的關(guān)系是 獨立.2 .A,B互相對立,那么A與B的關(guān)系是 互相對立3 . A,B 為隨機事件,P(A)=0.4, P(B)=0.3, P( AU B) = 0.6 , WJ P(aB)= 0.34 . P(A)=0.4, P(B)=0.4, P(AUB)=0.5,那么 P(A,jB)= 0.7.5 . A,B 為隨機事件,P(A)=0.3, P(B)=0.4, P(A B) =0.5 , WJ P(B A) =_2 _ 一3 一6 .將一枚硬幣重復(fù)拋擲3次,那么正、反面都至少出現(xiàn)一次的概率為0.75

2、.7 .設(shè)某教研室共有教師11人,其中男教師7人,現(xiàn)該教研室中要任選3名為優(yōu)秀教師,那么3名優(yōu)秀教師中至少有1名女教師的概率為 .338 .設(shè)一批產(chǎn)品中有10件正品和2件次品,任意抽取2次,每次抽1件,抽出后 不放回,那么第2次抽出的是次品的概率為 1 o6 -1 1 19. 3人獨立破譯一密碼,他們能單獨譯出的概率為-,-,-,那么此密碼被譯出的5 3 4概率為3.5 10.隨機變量X能取-1,0,1 ,取這些值的概率為c,3c,5c,那么常數(shù)c=.2 4 8- 15一k11.隨機變量 X 分布律為 P(X =k) = ,k =1,2,3,4,5, WJ P(X >3X < =

3、0.4 .15012. F(x) =10.41x :-2,-2 Ex M0,是X的分布函數(shù),那么X分布律為x -0X1Pi-200.4 0.6二、 3< 一)03 2 一Q13 .隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=sinx,I1,14 .隨機變量 X N(1.04, 1) , P(X W3) =0.975 , P(XW0.92)= 0.025.15 .設(shè) X N(3,22),假設(shè) P(X >C) = P(X EC),那么 C =_3_.(注：(0) = 0.5)16 .設(shè) X N(N,.2),其分布函數(shù)為 F(x),那么有 F(N+xo) + F(N -xn)=7117.隨機變量X的

4、分布律為40.220.740.1,那么隨機變量函數(shù)Y = sin X的分布律為0.30.718.隨機變量X的概率分布為X -11y卜那么Y=2X +1的分布函數(shù)為y ： - 1, -1<y<3,_0y _3.,0 Fy(y)n/119.假設(shè)X服從的分布是N(0,1),那么2X+1服從的分布是 N(1,4)一.20.設(shè) X N(2,9),YN(1,16),且 X,Y 相互獨立,那么 X+Y _ N(3,52).21 .假設(shè)X 口 B m p UYB( n, pX ,Y獨立,那么X +Y服從的分布是B(m +n, p)_022 . X P(%),Y_ P(%) , X,Y 獨立,那么

5、X+Y服從的分布是P(%+%).23 .隨機變量 X B(5,0.2),那么 E(2X+3)=5, D/2X+3)= 3.2.24 .隨機變量 X|_U (0,2 ),那么 E(X 3)= -4, D(X-3)=1.325 .設(shè)隨機變量XX2,X3相互獨立,其中X1在0,6上服從均勻分布,X2服從正態(tài)分布N(0,22),X3服從參數(shù)為 九=3的泊松分布,記 Y = X1-2X2+3X3, MEY =_12.1 n26 .假設(shè)X1,X2,Xn是取自總體X N(N產(chǎn)2)的一個樣本,那么X =-H Xi服從 n -2一N(一)一. n27 .設(shè)夕是e的無偏估計,那么夕必須滿足條件E (的=日.1 一

6、28 .總體X以等概率取值1,2,8 ,那么未知參數(shù)日的矩估計量為 2X-10e-X29 .設(shè)Xi,X2,.,Xn為X的樣本,X LI B(5, p),那么關(guān)于p的矩估計量是一-5 30.設(shè)由來自正態(tài)總體 X N (氏0.92)容量為9的簡單隨機樣本,得樣本均值X =5,那么未知參數(shù)N的置信度為0.95的置信區(qū)間為4.412,5.588 _.(附：% = 1.96) 方二、選擇題1 .設(shè)A, B為兩隨機事件,且BuA,那么以下式子正確的選項是(A ).(A) P(A+B) =P(A)(B) P(AB)=P(A)(C) P(B A) = P(B) (D)P(BA) =P(B) P(A)2 .事件

7、 A,B 滿足：P(AB)=0.2,P(B)=0.5,P(AB)=0.8,那么 P(AUB尸(A ).(A) 0.7(B) 0.3(C) 0.6(D) 0.83 .連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)F(x)=【a'be 'x>0 ,其中常數(shù)a,b值為(C ).0, x < 0(A) a=1,b=1(B) a=0,b=1 (Q a=1,b = 1(D) a=1,b=14 .假設(shè)f(x) =2x可以成為某隨機變量X的概率密度函數(shù),那么隨機變量X的可能值充滿區(qū)間(B ),(A) (0,0.5)(B) (0,1)(C) 0*)(D) 5F5 .當隨機變量X的可能值充滿區(qū)間(A ), 那

8、么f(x) = cosx可以成為某隨機變 量X的密度函數(shù).37(A) 0-(B) -,n(C) 0川(D) -n,-n22246.隨機變量X服從參數(shù)1 =1/8的指數(shù)分布,那么P(2<X <8)= ( D )08 -xO 8 -x1 _1d(C) -(e4-e-1)8T-1(D) e 4 -e 17.隨機變量X服從xLI n(R,.2),假設(shè)仃增大,那么P(<3仃)(D ).B) £ e 8 dx(B) - 1 e 8 dx(C)單調(diào)增大(B)單調(diào)減小(C)增減不定(D)保持不變18 .設(shè)隨機變量X的概率密度f(x)=',那么Y=2X的概率密度是(B ) 二

9、(1 x )1211(A)(B) 2-(C) (D) 1 arctan y二(1 4y )二(4 y )二(1 y )二9 .關(guān)于聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系,以下結(jié)論錯誤的選項是( C )0(A)二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是正態(tài)分布(B)二維均勻分布的兩個邊緣分布未必是均勻分布(C)邊緣分布可以唯一確實定聯(lián)合分布(D)聯(lián)合分布可以唯一確實定邊緣分布10 .設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x, y),那么其邊緣分布函數(shù)Fx(x)= ( B )(A) limF(x,y)(B) lim F(x, y)、一；-'：(C) F(0,y)(D) F(x,0)11.隨機變量X,Y相互獨立,且*00.

10、210.8,Y010.2 0.87,那么必有(C )o(A) X =Y(B) P(X =Y) =0(Q P(X=Y)=0.68(D) P(X=Y) = 1.12.關(guān)于正態(tài)分布的結(jié)論中錯誤的選項是( C ).(A)服從正態(tài)分布的隨機變量的任一線性變換后仍然服從正態(tài)分布(B)邊緣分布是正態(tài)分布,聯(lián)合分布不一定是正態(tài)分布(C)聯(lián)合分布是正態(tài)分布,邊緣分布不一定是正態(tài)分布(D)正態(tài)分布的數(shù)學期望決定了密度函數(shù)的對稱軸,方差決定了密度函數(shù)的陡 峭程度13.離散型隨機變量X服從二項分布,且EX =2.4,DX =1.44 ,那么二項分布的參數(shù)n, p的值為(B(A) n =4, p =0.6(B) n=6

11、,p=0.4(C) n =8, p =0.3(D) n =24, p =0.114.隨機變量離散型隨機變量X的可能取值為x1 =-1, x2 = 0, x3 = 1 ,且EX =0.1, DX =0.89 ,那么對應(yīng)于 Xi,X2,X3 的概率 Pi, p2, P3為(A ).(B) P1 =0.4, P2 =0.1,p3 =0.5(B) pi =0.1, P2 =0.4, P3 =0.5(C) pi =0.5, P2 =0.1, P3 =0.4(D) pi = 0.4, P2 =0.5, P3 = 0.115 .設(shè)隨機變量X f(x) =0.5eJ3.5x,(x>0),那么以下計算正確

12、的選項是(C ).(A) E(X)=0.5(B) D(X)=2(C) E(2X 1) =5(D) D(2X+1) =9 rZexx>0.16 .設(shè)隨機變量X密度函數(shù)為f(x)=,E(X) = 1/2EYP)九,x 其他那么以下計算正確的選項是(D ).(A) E(Y) =2,D(Y) =4( B) D(2Y2) = 6(C) E(Y2)=42(D) E(Y+1) =1117.總體X服從參數(shù)人的泊松分布(九未知),X1,X2,.,Xn為X的樣本,那么(C ).1 n -、一(A) -Z Xj -九是一個統(tǒng)計量n i 二1 n-、一(B) -Z XEX是一個統(tǒng)計量n i 二n(C) 1Z X

13、：是一個統(tǒng)計量 n id1 n(D),£ X：-DX是一個統(tǒng)計量 n id18.設(shè)總體X N(H.2),其中N,仃2未知.X1,X2,X3是取自總體X的一個樣本,那么非統(tǒng)計量是(D )0一、1,、(A) (X1 X2 X3) 3(C) max： X1,X2,X3)19.人的體重為隨機變量X, E(X)=a那么(A ).(A)E(Y) = a(B)(8) X1X2 2,一 1222(D) (X1 +X2 +X3 ). CTD(X) = b, 10個人的平均體重記為Y,E(Y) =0.1 a(C) D(Y) =0.01 b(D)D(Y) = b20.設(shè)X服從正態(tài)分布N(1,32) , X

14、1,X2,X9為取自總體X的一個樣本,那么X -1(A) U-N(0,1)3/、X -1(C)N(0,1)9X 一 1(B)N(0,1)1X 一 1(D) X 1N(0,1)321.設(shè)X服從正態(tài)分布N(1,22), X1,X2,Xn 為 X 的樣本,那么(C ).(A) N(0,1) 2X -1(C) X 1 -N(0,1)2 _ 、n(B)左N(0,1)(D)X -1.2N(0,1)n22.設(shè)X服從正態(tài)分布,EX =-1,EX11 361 .1.1.二X1一X2-X3 , 33 =4,X =1£ Xj ,那么X服從(A ). n t3、11 1(A) N(-1,-)(B) N(-1

15、,1)(C) N( ,4)(D) N(-)nnn n23 .從總體XN(H,.2)中抽取樣本X1,X2,Xn,以下結(jié)論錯誤的選項是(B )1 n(A)1£ Xi服從正態(tài)分布n y1 n(C) D(-x Xi);n i 12 CTn(B)為£ (XX)2服從 *(n)二 y1 n(D) E( Xi)=n y24 .設(shè).2是總體X的方差存在,XhX2,.,Xn為X的樣本,以下關(guān)于N無偏估計量的是(D ).(A) max(X1,X2,Xn)( B) min(X1,X2,Xn)(C)1n -1n- Xii 1(D) X125.從總體X N(R,.2)中抽取簡單隨機樣本X1,X2,X

16、3,統(tǒng)計量A3114X2 1X3,1224="2X22X3555C ).都是總體均值EX =卜的無偏估計量,那么其中更有效的估計量是(A) h(B)e(C)?(D)心26 .設(shè)仃2是總體X的方差,X1,X2,., Xn為X的樣本,那么樣本方差S2為總體方差仃2的(C ).(A)矩估計量(B)最大似然估計量(C)無偏估計量(D)有偏估計量27 .設(shè)(與仇)是參數(shù)日置信度為1-s的置信區(qū)間,那么以下結(jié)論正確的選項是(C ).(A)參數(shù)8落在區(qū)間(田,斗)之內(nèi)的概率為1-3(B)參數(shù)日落在區(qū)間(包,與)之外的概率為a(C)區(qū)間(0,4)包含參數(shù)日的概率為1(D)對不同的樣本觀察值,區(qū)間(口

17、,仇)的長度相同28 .設(shè)a為總體X的未知參數(shù),力仇(81 <仇)為樣本統(tǒng)計量,隨機區(qū)間(日1,仇)是 日的置信度為1 -儀(0 <« <1)的置信區(qū)間,那么有(B )(A) p(4<e<4)=a(B) P(01 <0 <02)=1-0(C) P(u2)=1-二,(D) P( ,=：29 .在假設(shè)檢驗中,Ho表示原假設(shè),H1表示對立假設(shè),那么稱為犯第一類錯誤的 是(A ) o(A) 也不真,接受H1(B)也不真,接受Ho(C) H0不真,接受Ho(D)H0不真,接受H130 .總體 X 口 N,.2 ),樣本 X1,X2*l,Xn ,假設(shè)才金

18、驗 Ho： N =5,H1 :卜 #也,那么H 0的拒絕域為(D )(A)X二 /、n:u,z2(C)卜,_0 :二 tn -1S/ ；n 2X J.、產(chǎn) u uo(珞7n 2X L(D)蘆 >ta(n-1)S/Vn 3(B)C3 4P(B A)=妾=0.8C20(2)取到白球是從甲盒中取出的概率P(A B)=4.設(shè)一盒中有5個紀念章,編號為1,2, 3, 4, 5,在其中等可能地任取3個,二、計算題1.某廠生產(chǎn)的100個產(chǎn)品中,有95個優(yōu)質(zhì)品,采用不放回抽樣,每次從中任取 一個,求：(1)第一次抽到優(yōu)質(zhì)品；(2)第一次、第二次都抽到優(yōu)質(zhì)品；(3)第 一次、第二次都抽到優(yōu)質(zhì)品、第三次抽到

19、非優(yōu)質(zhì)品的概率.解：設(shè)A：第i次取到優(yōu)質(zhì)品,(i =1,2,3),八95一95 94(1) P(A)=0.95;(2) P(AA2)= 0.9020;100100 99,一 一 95 94 5(3) P(AA2 A$) = 1 1 = 0.0460.100 99 982 .玻璃杯成箱出售,每箱20只,假設(shè)各多!中含0, 1只殘次品的概率分別為0.8 和0.2, 一個顧客欲購置一箱玻璃杯,在購置時顧客開箱驗貨,顧客隨機的觀察 了4只,假設(shè)無殘次品那么購置下該箱玻璃杯,否那么退回.試問：顧客購置該箱玻璃 的概率.解：設(shè)A = 箱中有i只殘次品打=0,1, B = 4只均無殘次品,且：P(A0) =

20、0.8, P(A)=0.2, P(B|A0)=1,P(B) = P(4)P(B 4) + P(A)P(B A) = 0.8 1+0.2 0.8=0.963 .有甲、乙、丙三個盒子,其中分別有一個白球和兩個黑球、一個黑球和兩個 白球、三個白球和三個黑球.擲一枚骰子,假設(shè)出現(xiàn) 1, 2, 3點那么選甲盒,假設(shè)出現(xiàn) 4點那么選乙盒,否那么選丙盒.然后從所選中的盒子中任取一球.求：(1)取出的球是白球的概率；(2)當取出的球為白球時,此球來自甲盒的概率.解：B:取到白球,B ：取到黑球；A：甲盒；A2:乙盒；A3：丙盒(1)取到白球的概率 p(A) = p(A)P(b A) + p(a2)P(b a2

21、) + p(A)P(b a3)用X表示取出的3個紀念章上的最大號,求：(1)隨機變量X的分布律；(2) 分布函數(shù) 解：設(shè)X為取出的3個紀念章上的最大號,那么 X的可能取值為3,4,5 ;£一9.c3 io'1133P(X=3)F 二萬 P-4)= 5r 方 P-5)O x<3于是X的分布律為X 345 、P 0.1 0.3 0.6,0.1, 3Mx<4 F(x)=0.4, 4 <x<51 , x 之 55 .某型號電子管,其壽命(以小時計)為一隨機變量,概率密度函數(shù)2、100/x2,x _100f (x)= 0, otherwise(1)試求一個電子管

22、使用150小時不用更換的概率；(2)某一電子設(shè)備中配有10個這樣的電子管,電子管能否正常工作相互獨立,設(shè)隨機變量Y表示10個電子管中使用150小時不用更換的個數(shù),求Y的分布律.解：(1)設(shè)電子管的壽命為隨機變量 X, P(X >150)=亡f (x)dx=j8 100dx 150150 x 3(2)設(shè)10個電子管中使用150小時不用更換的個數(shù)為隨機變量 Y,那么依題 意,YB(10,|), P(Y=k)=C1k0(2)k(1)10,k =0,1,2,.,10. 3336 .某人有9把鑰匙,其中只有一把能翻開一門.今任取一把試開,不能翻開者 除去,求翻開此門所需要試開次數(shù)(記為隨機變量 X

23、 )的數(shù)學期望和方差.解：設(shè)X翻開門的次數(shù),X可能取值為1,2,3,9.1P(X -1)=-P(X =2) =8P(X = 3) n g8 71P(X =9) = ?29 8X 1 211P 9 9所以,131 .991 ,于是9)EX =1 1 2 1+9 1一 1 11= (1+ +9)/一=45/一 =5 ,9922 1212122195EX2 =12m +22 x- +92 父=(12 +92)m= , 999932295220DX =EX2 -(EX)2 = -52 = . 337.設(shè)隨機變量X的概率密度為“x)9""0.(1 , EX=0.6;0, otherw

24、ise試求：(1)常數(shù) a,b； (2) DX ; (3)設(shè)丫 = 3"求£丫,、 國1b ob斛：(1) ( f (x)dx = ( (a+bx)dx =(ax + x ) 0 = a+=1;022長.1a 2 b 31abEX = j xf (x)dx = f x(a + bx)dx = (x +- x ) 0 = - +- = 0.6 ;s 、,.、232 3于是,a=0.4,b=1.2一一1_,一、9w 9 _'9(2) EX = x f (x)dx x (a bx)dx =(.：、 ,00.4 3 1.2一 x 一x4)1 _2+2650 -15 10 -

25、T5q 5226521 1DX =EX2 -(EX)2 =-(0.6)2 =.150150(3) EY =.-he1ex f (x)dx = ° ex(0.4 1.2x)dx =0.4(e 2)8 .某地抽樣調(diào)查結(jié)果說明,考生的外語成績(百分制)近似服從正態(tài)分布,平均成績72分,96分以上的考生占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語成績在60-84 分之間的概率.附表:x00.51.01.52.02.53.06(x)0.5000.6290.8410.9330.9770.9940.999解：設(shè)考生外語成績X N(,.2) , x =72.96 -72. 24. 24P(X 96) =1

26、-P(X -96) =1 -D() =1 _中()=0.023二 中()=0.977- -: - 12crcrCT.84 -72,60 72P(60 < X <84)=陽)()=G(1) = 2(1) -1 = 0.682 .12129 . 口袋里有2個白球,3個黑球.現(xiàn)不放回地依次摸出2球,并設(shè)隨機變量1第一次摸出白球：1第二次摸出白球XY.第一次摸出黑球、0第二次摸出黑球試求：(1) (X,Y)的聯(lián)合分布律；(2) X和丫的邊緣分布律；(3)問 X,Y 是否獨立(4) D(2X+1).0103103101310110解：1聯(lián)合分布為:(2)XIIPi01)Y01、32,32Pi

27、55；V55J（3） P(X =0,Y =0) =P(X =0)P(Y =0),所以 X 與Y 獨立._2_ 2_6_24（4） EX =2,EX2 =2,DX =2.D2X+1 = 4DX =,55252510 .設(shè)隨機變量X, Y相互獨立,且等可能的取1, 2, 3為值,定義隨機變量U=maxX,Y,V =minX,Y,試求：1 U,V的聯(lián)合分布律；2 U,V是否相互獨立?P(U =1,V =1) = P(X =1,Y =1)=1/9P(UP(U= 1V=2)=P®)=0其余同理可得.=2,V =1)=P(X =2,Y =1) P(X =1,Y =2) =2/9P P(U =1)

28、 =1/9,P(V =2) =3/9,P(U =1,V =2) =0 (2) . P(U =1,V =2) = P(U =1)P(V =2),U,V不獨立.11 .設(shè)同時獨立地擲一枚硬幣和一顆骰子兩次,用 X表示兩次中硬幣出現(xiàn)的正面次數(shù),用Y表示兩次骰子點數(shù)不超過4的次數(shù).1求X,Y的聯(lián)合分布.2求X+Y 的和分布.3 PX+Y=1解：設(shè)X可能取值為0, 1, 2; Y可能取值為0, 1, 2.于是,所以聯(lián)合分布為和分布為:0123416131243636363636X Y,P(X Y=1) =P12.設(shè)隨機變量X,Y的概率密度為f(x, y)=21x -xy,30,試求:1 X,Y的邊緣概率

29、密度;(2) P(X+Y>1).解:11-r 18 9 60<x<1,0<y<2otherwise12-xy)dy = (x y 3- 26xy)I (xfX (x) = 一 f(x,y)dy= 0, 0,2 c 22co=2x +-x,0 <x<1 3otherwise(2)fY(y)= jf(x,y)dx =,211312、(x 二 xy)dx=(二 x - x y)03360,1111y,0 < y < 2036otherwise_12211212 2P(XY 1) = 0dx1Kx%xy)dy= 0(xy xy )-dx361421

30、53431254二(x x x)dx = (xx x )0 32694241 65° 一 7513.設(shè)隨機變量X,Y在區(qū)域D =x, y0 :二 x :二 2,-1 :二 y :二 2,上服從均勻分布,試求：1隨機變量X,Y的概率密度函數(shù)；2 PX <Y解：1由于服從均勻分布,所以其聯(lián)合密度函數(shù)為1八,0 x ： 2, -1 ： y : 2f (x, y) = <6°、0,其它22 11(2) P(XEY)Tf(x,y)dxdyTdxm = 3.14.設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率為yf (x, y)= <e ,0 二 x : y0,其他(1)求(X,Y)

31、的兩個邊緣密度；(2)判斷(X,Y)是否相互獨立;(3)求 P(X +Y <2)；(4)求X的分布函數(shù).e斛：(1) f (x, y) = :0,0 :二 x ： y, 其它fX x = f x, y dy =0I! e dy x 0 x其他,xe0x 0其他y a工, e dx y 0 yefY V )= J-f x,y dx= 0=|0 其他I0y 0其他(2) fx(x )fY(yf (x,y) ,X與 Y 不獨立;(3)2 -x 2P(XY 20 xe'dydx = 1 - 2e,e,(4)x.I ! e'dx x 01 -e',x 0ox< 0Fx

32、(x) - ,i-fX(x)dx= 0=0, x<00,15.設(shè)二維隨機變量(X,Y)具有概率密度«2 x 3 y)x 0,y 0, otherwiseAe f (x, y)= 0,X,Y是否(1)求常數(shù)A; (2)求聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)； (3)求邊緣密度；并問獨立 ( 4)求 P(-1 <X <1,-2 <Y <2).解：(1)由于 二、:f (x,y)dxdy=L10 Ae'2x43y)dxdy = A(ge'x) ；*(-；/,)占=2 = 1,得 A = 6.x y(2)當 x <0 或 y <0 時,由于 f

33、(x, y) = 0 ,所以,F (x, y)=工 Jf (x, y)dxdy = 0.,2x-3y)2x3y.dxdy =(1 -e )(1 -e );當 x >0,y >0時,F(x,y) = j jf(x, y)dxdy= 0 6e 00(1-ex)(1-e2y),x 0,y 0所以,F(x,y)“ 八 人甘,.10,其它(3)邊緣密度函數(shù)為:fx(x)=.joOr -ber6ef(x,y)dy= 00,f -be6ef(x, y)dx= 00,-(2x 3y)2x:dy = 2e ,x >0x . 0'2x3y)dx=3e*y,y 0；y < 0由于 f

34、x(x) f(y) = f (x,y),所以 X,Y 獨立.(4) P(-1 :二 X <1,-2 :二 Y < 2)= F(1,2) - F(-1,2) -F(1,-2) F(-1,-2)= F(1,2)=(1e')(1e').12P(-1 <X <1,-2 <Y M2) = f 6exdxf eydy = ex 0 y 0 =(1-e)(1-e) 00o16.設(shè)隨機變量相互獨立,X服從(0, 1)均勻分布,Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分 布,試求：(1)隨機變量X+Y的分布的密度函數(shù)；(2) E(X+Y).e：x 0飛,x -“ ,、1,0 :二 x

35、：二 1斛：(1)由于fX(x)=<10,其它又由于 fz(z) = _ fX (x) fy(z - x)dxoQ又由于忙：0,那么z ：:0時,fZ (z)=00三2三1時,fZ(z)= o 1 e'zdx =1 -e1 (z x)1 z z z1 三z時,fZ(z)= 01 e dx=e ,e =e (e-1)0,z<0fZ(z) = 1 -e： 0 < z < 1e?(e -1),1 < z(2)由于由于X服從均勻分布,所以EX =1/2,由于Y服從指數(shù)分布,所以EY = 1故 E(X +Y)=E(X) +E(Y) =3/2.17.設(shè)隨機變量(X,Y

36、)具有概率密度f(x, y)=-(x + y),0<x<2,0<y<2 80 .otherwise求：(1) E(X) (2) D(X +Y)22 x7解：(1)E(X)=1xf(x,y)dxdy= dx (x + y)dy = w ;0086由于D(X Y)=E(X Y) L(p)=P(X =0)P(X =1)2P(X =2)P(X =3)4 =4p6(1-p)2(1-2p)4; -(E(X Y)2這里,由于X與Y的對稱卜故E(Y)=7, E(X+Y)=7M2 = , 663(222.222(x-y)又因 E(X+Y)=J f (x + y)f (xy)dxdy= f

37、 dx f (x+ y) dy = 60087 n 5所以D(X Y) =6 -(-)2=-L 0.5639 僅18.設(shè)總體X的概率密度列<P01P2 2p(1- p)23P2 1-2p>1 .其中p(0 < p <萬)是未知參數(shù),得到總體X的樣本值：1, 3, 0, 2, 3, 3, 1, 3,(1)求參數(shù)p的矩估計值；(2)求參數(shù)p的最大似然估計值1 .2 .-1解：(1) X =-Z Xi =2 ; EX =2p(1-p)+2p +3(1-2p)=3-4p = X ; = p=一.8 y4In L( p) =ln 4 +6ln p +21n(1 p) +4ln(1

38、 -2p),、.628-21n L(p)'= 一=0= 12p 14p+3=0;p 1 一 p 12 P7 _ . 1317137-13p =,由于 0MpM -,所以 p =舍去,所以 p = 0.2828 o122121219.設(shè)總體X的概率密度為f(x,e) = /xeU,0<x<1,其中日>0的未知參數(shù), 0, otherwiseX1,X2,Xn是來自總體的一個樣本,(1)求參數(shù)8的矩估計量；(2)求參數(shù)8的最大似然估計量.解：(1) EX = jf(x)dx = jxexO'dx=X ,于是未知參數(shù)日的矩估計量為仁上01 -X(2)構(gòu)造似然函數(shù) L(

39、6)= 口 f(x,6)=8x-ex20JL8xn°= 8n(x1xn)6； i 1n取對數(shù)：ln L(二)二n ln(1-1) ln( x1 xn) = n ln 二(1-1)' ln x ;nn% ln為i 1i 1令 d 1n L(S =n +£ lnxi =0= ?= d? y i即未知參數(shù)9的最大似然估計值為20.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(巴n1 二-n" ln xii 1.2), Xi, X2, X3, . , Xn 為其樣本,試求:(1)%.2的矩估計量；(2)假設(shè).2=4, n多大時方能使N的90%勺置信區(qū)間的長度不超過1 ?(0.05 =

40、1.65 )解：(1)由矩估計法知EX =XEX 2 _1 c X2EX X i n il = X=221n 2J2 二2 一 Xi2 n i4? = X=-21n 2 2二?2 = '、 Xi2 - X2n ij2記關(guān)于N的置信區(qū)間長度為LL =(X +%=) ( X y=) =2Ua3=號.n弓、n i . n當 ot =0.1 時,L = 2 1.65E1= n >(2x2x1.65)2,Wn>4421 .從一批釘子中隨機抽取16枚,測得其長度(單位：厘米)為:2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14

41、2.10 2.13 2.11 2.14 2.11.假設(shè)釘子的長度X服從正態(tài)分布N 巴0.012,求總體均值N的置信度為90%的置信區(qū)間.保存到小數(shù)后四位u0025 =1.96,U005 =1.645.解：X =2.215,n =16,1 - ： -0.9- : - 0.1,；- - 0.01所以N的置信度為90%勺置信區(qū)間為：X 士% 亍=2.215 ±1.645 M 猿=2.2109, 2.2191.22 .某大學數(shù)學測驗,抽得20個學生的平均分數(shù)為X = 72,樣本方差s2=16, 假設(shè)分數(shù)X服從正態(tài)分布N 匕.2,求仃2的置信度為98%勺置信區(qū)間.保存到 小數(shù)后四位附:2 0.

42、0119 =36.191,20.9919 =7.63322(n -1)s (n -1)s句(n 1)' £2o(n1) I< 22解：由題意,.2的置信度為98%勺置信區(qū)間為:19 16 19 16.,8.3999,39.827136.191 7.63323.要求一種元件的使用壽命為1000小時.今從一批這種元件中隨機抽取25件,測得其壽命的平均值為 950小時.該種元件壽命服從標準差 仃=100小時的正態(tài)分布,試在顯著性水平a =0.05下確定這批元件是否合格?附:Uu = 1.962解：假設(shè) H0: 1 =1000 , H1 :1 #1000 ; n = 25,x = 950,o =100,% = 1000 ;X統(tǒng)計量：U=X_*N0,1,二/ . nx -0950 -1000仃/亦100/725= 2.5 1.96,所以,拒絕H.,即認為這批元件不合格.24 .設(shè)某次測試的考生成績服從正態(tài)分布,從中隨機地抽取36位考生的成績,算得平均成績?yōu)?6.5分,標準差為15分,問在顯著性水平0.05下,是否可認為這次 測試全體考生的平均成績?yōu)?0分并給出檢驗過程.t0.0535 =1.6896,t°.02535