華科微積分輔導(dǎo)書習(xí)題答案4

1、習(xí)題4解答(編寫：金建華)1、填空題:(1)limx P2x - sin 2x3sin x解 l = lim2x -sin 2x=limt(2X)38x3 一 64 ,1 3、=一(用至ij x - sin x x ,據(jù)臺(tái)方公式)；36(2)函數(shù) y =x3 -3x2 在是單調(diào)減少.解y' = 3x2 -6x=3x(x-2) <0 0 Ex W2,填0, 2或(0, 2)；(3)曲線y =xe'x的拐點(diǎn)坐標(biāo)是s -_3x _3x3x - _3x3x _3x /解 y =e -3xe =(13x)e, y =3e-3(1 -3x)e =3e (1+1 3x)y,、0= Xo

2、22 2一,顯然y在xo兩側(cè)變號(hào),故所求點(diǎn)(一,1)33 3e2(4)曲線y=ex-6x+x2在區(qū)間是凹的(即向上凹).解 yf = ex -6 + 2x , y"=ex+2, y"之 0V x(3,")為所求(5)函數(shù)f(x) =4+8x3 3x4的極大值是解f '(x) =24x2 12x3 =12x2(2 一 x)在x = 2兩側(cè)變號(hào),左正右負(fù),x = 2為極大值點(diǎn),極大值為f(2)=20.(6)函數(shù)ax(a0, a #1)的n階麥克勞林多項(xiàng)式是解 ax=exlna在x = 0的Taylor多項(xiàng)式由ex的展式來(lái)寫:(7)曲線y =xln(e 1/x)

3、的斜漸近方程為解 k = lim "=lim l n e - 1) = 1, x >:xxxl = lim2x1 x 2 J - x2x11 -x - J1 x=-lim4xJim4-2x11 11c cj ,二一 (汪,用 j1+x=1+ x x +o(x )更好：,1 - x J1 - x 42811 911 9919此時(shí),分子=1 x x 1 x x o(x ) - 2 x .) 28284(10)假設(shè)lim f(x) "xO =2 (n為正整數(shù)),那么當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),f (x)在x=x0處(x -x0)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),f (x)在x = x.處解 條件:分式最終為

4、正(極限的保號(hào)性).于是n偶時(shí),f(x)-f(x0)至0, f (x0)極小；n奇時(shí),f(x) f(x0)與xx0同號(hào).f(x0)非極值.(11)曲線y =xe,的拐點(diǎn)為 ,且該曲線在區(qū)間 上凹,在區(qū)間 下 凹.解 y,=e/xe0,y" =2e'+ xe',令 y'1r = 0 ,得 x = 2.當(dāng)x<2時(shí),y<0,曲線為凸的；當(dāng)x>2時(shí),y>0 ,曲線為凹的；拐點(diǎn)為(2,23二) (12)假設(shè)f(x)在0,a】上二階可導(dǎo),且 f "(x)| EM ,又知f(x)在(0, a)內(nèi)取得極大值, 那么必有 f (0) +| f

5、(a) Ma.解 設(shè)在點(diǎn) x0 極大,那么 f '(x0) = 0 ,于是 | f '(0) =| f '(0) - f '(x0) = f?)x0 , f (a)| =| f '(a) - f (x0)| = f "(y) a x0 ,于是 f'(0)|十|f(a) =|f ?)x°|十|f -(y)|ax014M (x0 +a %) = Ma2.選擇題(1) 函數(shù)f (x) =x2 +1和g(x) =2x+1 ,在區(qū)間b,l上滿足柯西定理的2等于()(A) 1(B) 1(C) 1(D) 1234輛 21 一1斛 =巴=(A

6、)222(2) 羅爾定理中的三個(gè)條件：f(x)在la,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(a)= f(b)是f (x)在(a,b )內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得f'(£)=0成立的().(A)必要條件(B)充分條件(C)充要條件(D)既非充分也非必要條件.解充分條件(B)(3)以下函數(shù)中在 1,e】上滿足拉格朗定理?xiàng)l件的是()1(A) ln(ln x)(B) ln x (C)(D)ln(2x).In x解 ln x在1,e滿足(B)(4)設(shè)lim f(x)為未定型,那么lim f (x)存在是lim f(x) 也存在的()Jxo g (x)Jx0 g (x)xT0 g (x)(A)必要

7、條件(B)充要條件(C)充分條件 (D)既非充分也非必要條解充分 (C)(5)假設(shè)在區(qū)間(a,b)函數(shù) f(x)的 f'(x) A0, f *(x) <0,那么 f(x)在(a,b)內(nèi)是()(A)單調(diào)減少,曲線上凹(B)單調(diào)減少,曲線下凹(C)單調(diào)增加,曲線上凹(D)單調(diào)增加,曲線下凹解fA0對(duì)應(yīng)單增,f“<0對(duì)應(yīng)上凸,于是(D)形為右圖.(6)設(shè)f(x)在(0, +00)內(nèi)可導(dǎo),且f '(x) A 0 ,假設(shè) f (0) = 0 ,那么在(0,")內(nèi)有(B) f (x) 0(A) f(x)之0(C) f (x)單調(diào)趨向于+8解注意在x =0處,函數(shù)可能不

8、連續(xù),選(D) f(x)的符號(hào)不能確定D).反例形為右圖.f (x) - f (a)一 (7)設(shè)lim 尸=1,那么在x = a處x 舊(x -a)2(A) f(x)的導(dǎo)數(shù)存在,且f'(a)#0(B) f(x)的導(dǎo)數(shù)不存在(C) f(x)取得極小值(D) f (x)取得極大值解極小值,同1 (10),選(C)(8)函數(shù) y =x4 2x3 有()(A) 一個(gè)極大值和一個(gè)極小值(B)兩個(gè)極大值(C)兩個(gè)極小值(D) 一個(gè)極小值,無(wú)極大值解 y = x3(x2), 一個(gè)極小值(D)圖形如右(9)設(shè)g(x)在(-8,+好)上嚴(yán)格單調(diào)減少,f (x)在x = x0處有極值,那么()(A) gf

9、 (x) k x = x0處有極小值(B) gif (x)屆x=x0處有極大值(C) gif (x) k x=x0處有最小值(D) gif (x) k x = x0處既無(wú)極大值,也無(wú)最小值解 f(x) E f(x0)= g(f (x?之g(f (x.?,故為極小值.(A)x一一 e ,、(10)曲線 y =()1 x(B)有兩個(gè)拐點(diǎn)(D)無(wú)拐點(diǎn)(A)有一個(gè)拐點(diǎn)(C)有三個(gè)拐點(diǎn)-21 x (1 x)ex21 x (1 x)23e(1 x)3e(1 x)321 x2 v(1 x)2 - 2(1 x) 2ex,(1 x)3它在x = -1兩側(cè)變號(hào),但x=-1為無(wú)定義點(diǎn),故無(wú)拐點(diǎn)(D)(11)設(shè)f (

10、x)在閉區(qū)間 匚1,1】上連續(xù),在開區(qū)間(-1, 1)上可導(dǎo),且f'(x) EM, f (0) = 0, 那么必有()(A) f (x) 2M(B) f (x) >M(C) f(x)4M(D) f(x) <M解f(x)|=|f(x) f(0) =|f'?)x WM 1 選(C)(12)假設(shè) f (x) A0 ,那么 f'(1)、 f'(2)、 f (2) f(1)的大小關(guān)系為()(A) f > f '(1) A f (2) f(1)(B) f(2) f >(2) a(1)(C) f (2) . f (2) -f(1) . f (1

11、)(D) f (1) . f(2) - f(1) . f (2)解 f " a0n f',故 f '(1) < f (2) f (1) = f'伐)< f'(2)選(C) f (x)(13)設(shè) f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且 f 0) = 0,limn=1,那么()(A) f (0)是f (X)的極大值(B) 0)是£口)的極小值(C) (0, f(0)是曲線y = f(x)的拐點(diǎn)(D) f(0)不是f(x)的極值,(0, f(0?也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)解 匚®_T 1 A0= f 與x同號(hào),故推出f "(x

12、) A0.結(jié)合f'(0) = 0 ,選(B) x2x2 x 1(14)曲線 y =e arctan的漸近線有()(x-1)(x 2)(A) 1 條(B) 2 條(C) 3 條(D) 4 條解 xT 0時(shí),yT co,故得一條垂直漸近線x=1 ;xt 1,時(shí) arctan(*) t 士一 非垂24(15)設(shè)函數(shù)*)在*=*0連續(xù),假設(shè)x0為f(x)的極值點(diǎn),那么必有直漸近線,類似x = -2也不是,再xt g時(shí),yT ,得水平漸近線.選(B)(A) f(x0)=0(B) f (Xo) = 0(D) f'(xo)不存在(C)f '(xo) =0 或 f '(Xo)不

13、存在解 選(C)這是兩種情形:3.求以下極限:(1) limx1 (x -1) ln xln(1 x) x(3) lim 1/x100 e "1 1、(4) lim ln 一 iT+2+ o(x ),下題也是)解：使用洛必達(dá)法那么要結(jié)合等式變形或等價(jià)變形等化簡(jiǎn)手段.12(分子化間用到：ln(1 x) = x x 2四ln(1+x)x-ln(1 x)(3)100 x173e x50. ulim u eu_二二50 u=lim -u J ：4950u=lim50!(4)令 t化簡(jiǎn)后使用洛必達(dá)法那么1 x lim (ln ) x2. x=lim ex廠,1、 x ln(ln -) x1 l

14、n ln-.ln(ln t). mt tlim -lim n-二 exp lim -x 0 -11一一,-2 ,化簡(jiǎn)到分式后使用洛必達(dá)法那么 x4. f (x)在 x = 0處有三階導(dǎo)數(shù),且 f(0) =0, f'(0) =0, f "(0) =2, f “(0) = 3,求極限limx0f (x) -x2解一：由 f (x)在 x=0 處 Taylor 公式,得：f (x) = xxln(1 x) +? x3 +o(x3),于 3!f(x) -x2=lim解二：由洛必達(dá)法那么也可以.注意0/0型條件的檢驗(yàn).注：最后一步極限只可使用導(dǎo)數(shù)定義,決不可以用洛必達(dá)！由于三階導(dǎo)函數(shù)可

15、以不存在5 .證實(shí)以下不等式(1)當(dāng) 0cx <1 時(shí),e2x<1 -x解：設(shè) f (x) = (1 一 x)e2x-(1 +x),原不等式 U f (x) <0f '(x) =e2x(1 -2x) -1, f "(x) = -4xe2x < 0n f '(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)減,且 f (0) = 0f'(x)<0= f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)減,又由f=0,故在(0,1)內(nèi)f(x) <0, x 1(2)當(dāng) x <1 時(shí),ex < 1 - xx解：作函數(shù) f (x) = (1 - x)e , f (0) =1

16、f (x) = xex = 0= x = 0,因 x=0 為 f(x)的唯一駐點(diǎn),且當(dāng) x>0 時(shí) f'(x)<0,當(dāng) x<0時(shí)f'(x) >0時(shí),故f (0) =1是f(x)的極大值,也是最大值(x <1), 那么f (x) =(1 -x)ex < f (0) =1,因 x <1 即得 ex <11 -x(3)當(dāng) x 之 5時(shí),2x >x22x解：令 F(x) = (x >5),xF (x)=x 2x(xln 2-2)4x因當(dāng) x 至5時(shí),xln 2 2 a41n162 - 2 = In 2 ea 0 ,故 F &#

17、39;(x) > 0 ,從而 F(x) > F(5) >1,2x x2 (x _5).(4)比較&-1和1n(1+初的大小1解：因,2 -1 =一1、21,故問(wèn)題在于比較1n(1+42)與方之大小,1 2人,1,1令 f(x) =1n x -, f (2) =1n20x211f(x) = 十 0 (x >2)那么 f(x)Af(2)A0 (x>2) x x令 x =1 +V2,即得 1n(1 +V2) > V2 -1.6 .求以下函數(shù)的極值：(1) f (x) =(x+2)2(x-1)解：f (x) = 2(x 2)(x -1) (x - 2)2 =

18、 3x(x 2) = 0= x = -2,x = 0f "(x) =6x+6, f "=6>0 :. f 在 x = 0 處取得極小值,且 f(0) = -4f*(2) = 6<0,f 在 x = -2 處取得極大值,且 f(2)=0(2) f(x)=e-(x2 +3x+1)+e2解：f (x) = e(2 x)(1 一 x) = 0= x - -2, x = 1. f (x) = e"x(x2 - x - 3)f*(2)=3e十不存在極大值 由上面的表可知,f(x)的極大值為f (0) >0, a f (x)在x = 2處取得極小值,且極小值為

19、f(2)=0f *=4e1 <0,二f(x)在x = 1處取得極大值,且極大值為f(1) = 5e+e22 2x C一、 x ,x >0(3) f (x) = 1x +1,x < 0解：lim f (x) = lim x2x = lim e2xlar = 1 = f (0)x_0 ,x_0 x_0 f (x)在x=0處連續(xù),從而f (x)在(-°o,n)內(nèi)處處連續(xù).,.,、一一1在 x=1 處,f (x)不可導(dǎo),令 f (x)=0= x = - e一0極小值21 二=1,極小值為f (一)= eef (1)二 6 2a b = 0(1)f (2) =2 4 4a b

20、 = 0 即得 f (x) =2x3 -9x2 +12x +9,從中解得a = -9,b =12f (x) =12x-18, f (1) = -6 :二 0,f(x)在x=1處取得極大值,且 f (1)=14f"(2)=6A0, f (x)在 x=2 處取得極小值,且 f (2) =13.2_x28 .求f (x) =x e在(-°0,收)內(nèi)最大值和最小值解：f (x) = 2xe、(1 - x2) = 0 = x = Q 1.2 x22xlim f (x) = lim x e = lim r = lim r = 0 ,一二 一二x>%xx> 二2xex2 x

21、lim f (x) = lim 了 = 0 x -x - exf(0) =0, f (±1) =e',f (x)在(-°0,y)內(nèi)最大值為 e,最小值為 0.9 .求以下曲線的漸近線:(1)3 -x20解：lim 一二 =g x = ±73為垂直漸近線 x,0+極小值11(1)假設(shè)AW0,那么在(0,)內(nèi)萬(wàn)程無(wú)根,在(,+")內(nèi)萬(wàn)程有一根.ee一 一 一1 . 1(2)假設(shè)0<A<1/e,那么方程在(0, )與(,收)內(nèi)各有一根.e e1111(3)假設(shè) A=,那么極小值 f()=0,在(0,)內(nèi) f (x) >0,在(,收)內(nèi)

22、 f (x) >0, eeee程只有一個(gè)實(shí)根.41 一 1,、 一(4)假設(shè)AA,那么極小值f(一) A0,從而在(0,y)內(nèi)f(x) A0,方程無(wú)實(shí)根.eea2n j an11.設(shè)a1,a2,an滿足a1上+十(1) 一n=.的實(shí)數(shù),證實(shí) 2n -1在開區(qū)間(0,一)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.21 一1一 八解：設(shè) f (x) = a1 sin xa2 sin3x an sin(2n -1)x32n -111在0,-內(nèi)滿足 Rolle 定理?xiàng)l件：f (0) =0, f (一) = a a2 + +(T)an =2232n-1二 k311r 尸71二二一U (0,1),使得f ( - ) = 0

23、 ,即在(0,1)內(nèi)有一 x滿足2212.設(shè)函數(shù)f (x)在閉區(qū)間1,b】上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可微,試證存在 4rl亡(a, b)得 f K)=a2bf.).2證：首先由拉格朗日中值定理,得3-xl i mx»=0, j. y = 0為水平漸近線.x,： 3 xx -1解：limlimx.T . x 1 x-F即方,使二x = -1為垂直漸近線,y = 1為水平漸近線10.研究方程xlnx +A=0實(shí)根的個(gè)數(shù).1解：令 f(x) = xlnx + A,那么 f (x) = lnx+1 = 0n x = e,士f (b) - f (a)三£ w(a,b)使f代),b

24、-a其次針對(duì)f(x)以及f(x)=x2在a,b上,由Cauchy中值定理知,存在 “w(a,b)使兩式聯(lián)手即得.f(b) - f(a) f () b2 -a2- 213 .設(shè)f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=0.證實(shí)在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn) , 使 f ( .) = (1 一 .)f ().證：令F(x) = f(x)(x1),那么F(x)在0,1上滿足R Th條件,那么存在 U w (0,1),使 F'(U) = 0 即 f (U)(U 1) + f(U) =0= f (U) =(1 U)f K)14 .設(shè)0 <a < b, f (x)在a,b上連

25、續(xù),在(a,b)內(nèi)可微,證實(shí)在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) 二,b使得 f(b) - f (a) = f ( )ln .a證：令g(x)=lnx,將f(x)及g(x)在a, b上應(yīng)用柯西中值定理,那么有f (b) - f (a) f ( ) . b-(-L=L (a,b) 即 f(b) f(a) =,f (U)ln ln b Tn a 1a15 .設(shè)f (x)在0,1上具有二階導(dǎo)數(shù),且 f(0) = f=0,min f(x) = 1 .證實(shí)存在一點(diǎn) 0 d ：i 、,w (0,1),使 f “(,)>8.解：設(shè)f(x)在x = a處(a w (0,1)取得最小值,那么 f'(a) = 0, f (a) =-1,由臺(tái)勞公式f (x) = f (a) + f '(a)(x a)f "(二)(x a)2, 當(dāng) x = 0, x =1 時(shí)2因 f(0) = f(1) =0, f (a) =T, f (a) =022那么有 f (丁)=,(0 < r1 <a) , f (-2)-y,(0 < -2 <a)a(1 - a)于是假設(shè)a <1時(shí),仁(.>8)； a之1時(shí),f "(,2)之8.由此可得f (,)之8.(0 <,<