初二競(jìng)賽專題選講之——分式

1、初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題選講分式一、內(nèi)容提要1 .除式含有字母的代數(shù)式叫做分式.分式的值是由分子、分母中的字母的 取值確定的.1分式A中,當(dāng)BW0時(shí)有意義；當(dāng)A、B同號(hào)時(shí)值為正,異號(hào)時(shí)值為負(fù),B反過來也成立.分子、分母都化為積的形式時(shí), 分式的符號(hào)由它們中的負(fù)因 數(shù)的個(gè)數(shù)來確定.假設(shè)A、B及A都是整數(shù),那么 A是B的倍數(shù),B是A的約數(shù).BA .一切有理數(shù)可用 百來表不,其中A是整數(shù),B是正整數(shù),且A、B互質(zhì).2 .分式的運(yùn)算及恒等變形有一些特殊題型,要用特殊方法解答方便.二、例題,一 八, x2 - 2x - 3 一.一 一 一 一,例1. x取什么值時(shí),分式 x 2 2X 3的值是零?是正數(shù)是負(fù)數(shù)x

2、 2x解:x2 -2x -32x(x 1)(x-3)x(x 2) 0-1-23以零點(diǎn)一2, 1, 0, 3把全體實(shí)數(shù)分為五個(gè)區(qū)間,標(biāo)在數(shù)軸上如上圖當(dāng)x= 1,x=3時(shí)分子是0,分母不等于0,這時(shí)分式的值是零；當(dāng)x< 2, 1<x<0, x>3時(shí),分式的值是正數(shù);負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)當(dāng)一2<x<1, 0<x<3時(shí),分式的值是負(fù)數(shù);負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)例2. m取什么值時(shí),分式 2m+7的值是正整數(shù)?m 7朝 2m 7 2m-2 9 9斛：x4x - 2x 2x4當(dāng)例3.計(jì)算+ x1x - 3x -1x39>2且m 1是9的約數(shù)時(shí),分式的值是正整數(shù)

3、m -1即 m1=1, 3, 9, - 9解得 m=2,4,10, 8.答：略解：用帶余除法得,原式=1 + + 1 +1 1 x 1 x -3 x-1 x 33(x -1)-3(x + 1) + (x+3) (x3)(x 1)(x -1)(x -3)(x 3)一6x2 -148222x -9 (x -1)(x-9)4.(a+b) : (b+c) : (c+a)=3 :4: 5 求 a ： b ： c_ a2 - abc bc解：設(shè) a+b=3k,貝U b+c=4k,c+a=5k,全部相力口得 2 (a+b+c) =12k,即 a+b+c=6k,得 a=2k, b=k, c=3k分別減上列各式

4、. a： b ： c =2 ： 1 ： 3 a2 ab c bc(2k)2 -2k k2(3k)2 + kx 3k例5. 一個(gè)兩位數(shù)除以它的兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和,要使商為最小值, 兩位數(shù)；如果要使商為最大值呢解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為 10x+y,那么0vxW9,0WyW9求這個(gè)y取最小值0時(shí),9xx y一 八,9x ,八一, ,y取最大值9時(shí),分式9的值最??；當(dāng)x yx取最大值9,9x ,八一分式的值最大.x y答：商為最小值日的兩位數(shù)是19,商為最大值時(shí)的兩位數(shù)是三、練習(xí)90.1 . a=時(shí),分式aa 2的值是a -62 .2x -2y _z = 0' 那么分式、x +2y + z = 02

5、 x 2 x22一 y - z22y z3,假設(shè)x和分式婦2都是整數(shù),那么x=x -14.直接寫出結(jié)果： x 2 +=(x+ 1) 2 -x x2 1,1、(x + +2) - ( x+ ) =xxx111、(1H) (1 一 一 + -2)=x x x5.化簡(jiǎn)繁分式,并指出字母x取什么值時(shí)它沒有意義.11+-1+x6. x取什么值時(shí)分式x2 -x -2的值是零是正數(shù)是負(fù)數(shù)?x -2 x -4 x 2x -3x -11 -x 1 x 1 x21 x42令 6x 7x 2py x2 2x1x 1023x 8x 4x2 -x -2x2 -48.解方程:x 9 x 10x 8 x 9 x 5 x 6

6、x3 2x2 x 1金工=2x-12x 2x 4x-b-c x-c-a+=3 (其中1 1+ +b c:0)9 .xy :yz : z x=3 ： 2 ： 1,求x : y :yzzxb -c c-a10 . awbwc且 =求證： ax+by+cz=0. x y y z z x11 .： =-= 求：(x+y) : z 的值z(mì) x y12 .由三個(gè)非零且相異的數(shù)字組成的三位數(shù),除以這三個(gè)數(shù)字和, 其商的最小值是多少ax 3 ,a14. 一 m13 .在保證分母不等于 0的前提下,分式 b *5中的x不管取什么值分式 的值都不變,問 a和b之間的關(guān)系應(yīng)滿足什么條件求證：(a2+b2+c2) (m2+n2+p2)=(am+bn+cp)2練習(xí)題參考答案1. -22. 13. 2, 0, 6, - 4-1-1一一 14. 1十一 x+ 一2-3(x+ 一)x3xxQ 11-1 1 H十 -一(x+ -)x xx5 . x= 1, 2, 1.5 時(shí)沒有意乂6 .仿例1,四個(gè)零點(diǎn)一3, 1, 2, 3把實(shí)數(shù)分為五個(gè)區(qū)間- 38 8 8x -'56x88x -37. 2 8-T(x2 -1)(x2 -9)1 -x8x 28. x= 7 *： - 19.