完整版二次型

1、第五章二次型關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)：非退化線性替換,矩陣的合同,二次型的標(biāo)準(zhǔn)形定理定理1,P213,對(duì)稱矩陣的合同標(biāo)準(zhǔn)形定理,實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形定理即慣性定理,實(shí)對(duì) 稱矩陣的合同標(biāo)準(zhǔn)形,實(shí)二次型實(shí)對(duì)稱矩陣的秩及正慣性指數(shù).正定二次型,實(shí) 二次型正定的判別定理,正定矩陣,實(shí)對(duì)稱矩陣正定的充要條件定理,半正定二次 型及半正定矩陣.% 、% 2.9.入 ic5.1證實(shí)：. 與 2 . 合同,其中iii2in. 是1,2,n的一個(gè)排列.詳證 對(duì)n作歸納.n =1時(shí),結(jié)論成立.假設(shè)n-1時(shí)結(jié)論成立.下證n時(shí)的情形.對(duì)于對(duì)角矩陣A二用2in是1,2,n的一個(gè)排列.1假設(shè)i =1,那么i2i3in是2,3,n的一個(gè)排列.

2、由歸納假設(shè),那么%7j 、合同于,從而A合同于B.<"nJ<"2假設(shè) i1 *1,設(shè) ij =1,取 C1 =P1, j,那么% 、, CJBC1=2 X=B',其中 i2'i3in'是2,3,n 的一個(gè)排列.4由1知A合同于B',從而也有A合同于B.提示 也可以按相應(yīng)的二次型來證通過一非退化線性替換.5.2 設(shè)A是一個(gè)n級(jí)矩陣,證實(shí)：1） A是反對(duì)稱矩陣u對(duì)任一個(gè)n維向量X ,有X'AX =0;2如果A是對(duì)稱矩陣,且對(duì)任一個(gè)n維向量X有X'AX =0,那么 A =0.略證1二假設(shè)A'=-A,那么X'

3、;AX =X'AX' = X'A'X =-X'AX, 因此2X'AX =0,即X'AX = 0X為任一 n維向量.uWX =剪n維單位向量,那么由X'AX =0,即得an =0,再取X =豺+的,仍由X'AX =0,那么a° +a/=0向=a/,即A反對(duì)稱.2） A對(duì)稱,且反對(duì)稱,那么A = 0.5.3 如果把實(shí)n級(jí)對(duì)稱矩陣按合同分類,即兩個(gè)實(shí)n級(jí)對(duì)稱矩陣屬于 同一類當(dāng)且僅當(dāng)它們合同,問共有幾類提示 兩實(shí)n級(jí)對(duì)稱矩陣合同u它們有相同的秩且有相同的正慣性 指數(shù).當(dāng)秩為k時(shí),正慣性指數(shù)可以是0,1,2,k ,因此秩為

4、k時(shí)的n級(jí)實(shí)對(duì) 稱矩陣可以分為k+1個(gè)合同類,所以共有112 n 1 =-n 1n 2個(gè)合同類.5.4證實(shí):一個(gè)實(shí)二次型f可以分解成兩個(gè)實(shí)系數(shù)的一次齊次多項(xiàng)式 的乘積當(dāng)且僅當(dāng)秩f =2和符號(hào)差3=0,或者秩=1.詳證0如果秩f = 2,符號(hào)差f = 0,那么存在非退化線性替換X =CY,使22/、/、f xi,x2, ,xn=yi f =y1 y2yi - y,而Y =C,X,那么yi, y2均為xl,Xn的一次齊次式,那么f以8,Xn 可表成兩個(gè)一次齊次式的乘積.假設(shè)秩f =1,那么存在非退化線性替換X =CY使f xi,x2,xn= yi2, 同樣結(jié)論亦成立.二設(shè)實(shí)二次型fxi,x2,xn

5、可表成兩實(shí)系數(shù)一次齊次式的乘積, 可設(shè)fxi,x2, ,xn =axi a?x2- anxnbixi b2x2bnxn.記 = ai, a2,an, p =bi, b2,bn.假設(shè)秩a, B =i,不妨設(shè) a1 # 0且P =kct,k #0 .那么f =ka1xi +a?x2 + anxn2,作非退化線性替換Ji =axi +a?x2 +anxnyj =xj,j =2,3,n J2那么 f xi,x2,xn = kyi,此時(shí)秩f =1.假設(shè)秩5 P = 2,不妨設(shè)ai,a2與“也不成比例,作非退化線性替換yi =axi+ a2x2+anxny1=乙十 z?< y =6%+bzx2+ +

6、bnxn,那么 f = y1y2,冉作* y2=乙Z2,那么、 yj =xj, j =3,nJj =Zj, j =3,nf = z； -z2,所以秩f = 2,符號(hào)差f = 0 .5.5判別以下二次型是否正定：n1） f xi, x2,xn 尸x：" xxj ；i 11父：:j勺nn -12） f 區(qū)為,xn - x：xixi i .i 1i 111212-1 、21111222詳解1) f的矩陣A =12121- .12那么A的k階順序主子式為111a B B1111B B B122222221111 1111 1222222Pk =12121w -,12=12121.121111

7、111122222.2.1200-0111122-2111122-21111222那么Pk =(k +1)G k >0,k =1,2,n,所以A正定,從而,f正定.說明 對(duì)于Pk,也可先每行提取上然后各行加到第一行中,冉第一行提取k+1即可化出三角行列式.2) f的矩陣A =11201 21120121那么A的k階順序主子式為Pk 二11 201 211 20121= Pk-1Pk(三對(duì)角行列式),由題2.8,那么Pk =(k +1)4 k A0,k=1,2,n.所以A正定,從而f亦正定.說明對(duì)于Pk,也可先將每行提取W后再轉(zhuǎn)化成上三角行列式.5.6證實(shí):如果A是正定矩陣,那么A的主子式

8、全大于零.金1 乳 斯' aii aii ' hh卬2h'k提示設(shè)A =a21a22 a2nA A . A, Ak =aii a-a-'2'1'2'2'2'k Ji A A A , A A A是A的k31an2ann J1aiki1引2aikik )階主子陣(與k階主子式相對(duì)應(yīng)).記X=(X1,X2,Xn)', f (X)=X'AX ,k kXk =(xXi2 ,Xik), fk(Xk)=Xk'AkXk=E 工 aisitXis%.任給不全為零的 s4 t4數(shù) 5,Ci2,Cik,那么fk(cCi2

9、,Ck)= f(0,00,0, ,0,Cik,0,0)0,因此fk正定,所以| Ak |>0 .5.7 設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣.證實(shí):當(dāng)實(shí)數(shù)t充分大之后,tE + A是正定矩 陣.詳證 顯然tE + A(t w R)也實(shí)對(duì)稱.考慮tE + A的k階順序主子式t ana12a1ka21t a22-a2k . - .ak1ak2-t aPk(t)=kkkk 1=tk a1takt ak.tT +9時(shí),Pk(t)T".那么存在tkA0TtAtjHPk(t)>0,(k=11,n).Wt0 =maX t1,tn,那么當(dāng) t >t0 時(shí) Pk(t) t0,k =1,2,n .此時(shí) t

10、E + A 正定.5.8 設(shè)A為一個(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣,且A <0,證實(shí):必存在實(shí)n維向量X #0 使 X'AX <0. n n詳證記 f (X1,X2,Xn) =X'AX =E 2 aijXiXj ,那么 f (X1,X2,Xn)為1 =1 j T實(shí)二次型.由于A <0,那么秩(f) = n,且負(fù)慣性指數(shù)大于0,那么存在非退化線性替換X =CY,C #0,使2 .222f(Xi,x2, ,2)=, yp-yp1- -yn = g(y1,y2, ,yn).取(yi,yp,yp而,yn)'對(duì)應(yīng)的非零向量K =(0,0,1,1,1)'(前p個(gè)分量均為零

11、),令X.=(li/2,ln)' = CY.,那么X.=0(實(shí)n維列向量),使f(li, ,ln) =Xo'AX.=Y°'C'ACY0 =g(0, ,0,_1,.1(n p)：二 0.nn5.9 證實(shí)：n£ x2 為)2是半正定的. i 4i 1略證將原式子進(jìn)行變形得 nnnnnx x2 _(' Xi)2 = nx Xi2 _ (' x 2、XiXj) i 4i 1i 4i 11 父：J <nn=(n -1)x x2 - 2 v XiXj id14;：J<n=v (x2 -2XiXj Xj2) 1 Lj凹2 二、(Xi - Xj) -0.i =:j nn所以n£ x2 -Xi)2是半正定的. i 1i 15.10 設(shè)f(x,X2,Xn) =X'AX是一實(shí)二次型,假設(shè)存在實(shí)n維向量X1,X2使X/AX1 >0,X2'AX2 <0,證實(shí):必存在實(shí)n維向量X0 #0使X°'AX0 =0.提示 由題