定積分的應(yīng)用

1、第七章 定積分的應(yīng)用一、本意學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要(一)學(xué)習(xí)要求1 .掌握定積分的微元法.2 .會(huì)用定積分的微元法求平面圖形的面積.3 .會(huì)用定積分的微元法求旋轉(zhuǎn)體的體積.4. 會(huì)用定積分的微元法求變力所做的功5 .會(huì)用定積分的微元法求液體的側(cè)壓力.重點(diǎn)定積分的微元法,利用微元法求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積難點(diǎn)定積分的微元法,微元法在實(shí)際問題中的應(yīng)用(二)內(nèi)容提要1 .定積分的微元法(1)在區(qū)間a,b上任取一個(gè)微小區(qū)間x, x dx,然后寫出在這個(gè)小區(qū)間上的局部量Q的近似值,記為dQ f (x)dx(稱為Q的微元)；(2)將微元dQ在a,b上無限“累加,即在a,b上積分,得 bQ a f(x)d

2、x上述兩步解決問題的方法稱為微兀法關(guān)于微元dQ f(x)dx,我們有兩點(diǎn)要說明： f (x)dx作為 Q的近似表達(dá)式,應(yīng)該足夠準(zhǔn)確,確切地說,就是要求其差是關(guān)于x的高階無窮小,即Q f (x)dx o( x).稱做微元的量f(x)dx,實(shí)際上就是所求量的微分dQ . 具體怎樣求微元呢這是問題的關(guān)鍵,需要分析問題的實(shí)際意義及數(shù)量關(guān)系.一般按在局部x,x dx上以“常代變、“直代曲的思路(局部線性化),寫出局部上所求量的近似值,即為微元 dQ f (x)dx.2. 面積微元與體積微元(1) 面積微元由曲線y f (x) 0,x a,x b及x軸所圍成的圖形,其面積微元dA f (x)dx,面b積

3、A a f (x)dx.由上下兩條曲線 y f2(x), yf1(x)(f2(x) f1(x);及x a,x b所圍成的圖f2(x) f1(x)dx.a形,其面積微元dAf2(x) f1(x)dx,面積A由左右兩條曲線x gjy'x g2(y)(g2(y) gi(y»及y c,y d所圍成的圖形,其面積微元dA g2(y) g(y)dy,面積A d g2(y) g(y) dy (注意,這時(shí) c應(yīng)取橫條矩形為dA,即取y為積分變量).(2)體積微元不妨設(shè)直線為x軸,那么在x處的截面面積 A(x)是x的連續(xù)函數(shù),求該物體介于x a和x b(a b)之間的體積.用“微元法.為求出體

4、積微元 dV,在微小區(qū)間 x,x dx上視A(x)不變,即把x,x dx上的立體薄片近似看作以A(x)為底,dx為高的柱片,于是其體積微元dV A(x)dx,再在x的變化區(qū)間a,b上積分,那么有 VbA(x)dx.a3. 弧微元與平面曲線弧微分公式設(shè)曲線y f (x)在a,b上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),仍用微元法,取x為積分變量,在a,b上任取小區(qū)間x,x dx ,切線上相應(yīng)小區(qū)間的小段MT的長(zhǎng)度近似代替一段小弧Mn的長(zhǎng)度,得弧長(zhǎng)微元為ds MT %-'(dx)2 (dy)2 j1 y 2dx,這里ds(dx)2(dy)2 x2(t)二、主要解題方法(微元法)1. 求平面圖形的面積的方法例1求以

5、下曲線所圍成的圖形的面積(1)拋物線y2 x與直線x 2y 4,22-圓x y 2ax.y2(t)dt.解(1)先畫圖,如下列圖,2 X并由方程 V -,求出交點(diǎn)為(2,1), (8, 2)x 2y 4解一取y為積分變量,y的變化區(qū)間為1, 2,在區(qū)間1, 2上任取一子區(qū)間y , y + dy ,那么面積微元 dA = (2y 4 2y2)dy,那么所求面積為A=(2y 4 2y2)dy = ( y2 4y解二取x為積分變量,x的變化區(qū)間為0 , 8,由圖知,假設(shè)在此區(qū)間上任取子區(qū)間,需分成0 , 2, 2 , 8兩局部完成.在區(qū)間0,2上任取一子區(qū)間X , X +dx,那么面積微元dAi=2

6、 xdx,. 2那么面積微元dA 2= x (x,2 24)dx ,于是得=Ai+ A2.22* +82(2)dx2 y3) 2i =9.2.2 -x232+2、2 3x232x 2=9 .在區(qū)間2, 8上任取一子區(qū)間x , x +dx,顯然,解法一優(yōu)于解法二.因此作題時(shí),要先畫圖,然后根據(jù)圖形選擇適當(dāng)?shù)姆e分變 量,盡量使計(jì)算方便.(2) 如圖,利用極坐標(biāo)計(jì)算.的變化區(qū)間為-,-那么面積微元dA=2r2d2 ,(2 a cos ) d于是所求圖形的面積為:12,-(2acos )2d兀=2a222 cos d ,2利用對(duì)稱性,兀得=4 a2 2 cos2 d0兀=待0叼cos 2 )d事實(shí)上,

7、r小結(jié)(1)=2a2 ( +1 sin222ua2a cos表示一個(gè)半徑為 a的圓.面積=兀a2是正確的.計(jì)算面積時(shí)要注意：適中選擇坐標(biāo)系,以便簡(jiǎn)化計(jì)算 .如題(2)假設(shè)采用直角坐標(biāo)系計(jì)算就比較麻煩般地曲邊梯形宜采用直角坐標(biāo)系,曲邊扇形宜采用極坐標(biāo)系(2) 要考慮圖形的對(duì)稱性.(3) 積分區(qū)間盡量少分塊.2.求旋轉(zhuǎn)體體積的方法例2求由曲線xy 4 ,直線x 1,x 4, y 0繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的立體體積解 先畫圖形,由于圖形繞 X軸旋轉(zhuǎn),所以取 于1 , 4上任取一子區(qū)間x,x+dx的小窄條,繞X為積分變量,的變化區(qū)間為1,4,相應(yīng)X軸旋轉(zhuǎn)而形成的小旋轉(zhuǎn)體體積,可用高2為dx,底面積為 叫

8、 的小圓枉體體積近似代替,即體積微元為dV= y2dx=兀(4)2 dx, xV=兀 4(4)2dx1 x=16 兀-1 dx12I x積116代x小結(jié) 求旋轉(zhuǎn)體體積時(shí),第一要明確形成旋轉(zhuǎn)的平面圖形是由哪些曲線圍成,這些曲線的方程是什么；第二要明確圖形繞哪一條坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的直線旋轉(zhuǎn),正確選擇積分變量,寫出定積分的表達(dá)式及積分上下限.4 =12 兀.3.求曲線的弧長(zhǎng)的方法例3 (1)求曲線 yZx-上從0到33一段弧的長(zhǎng)度,(2)求圓的漸開線方程x a(cost y a(sin ttsint),上相應(yīng)于t從o到兀的一段弧的長(zhǎng)度.t cost)解(1)由公式s =(a b)知,弧長(zhǎng)為.1

9、xdx=-033(1 x)23 160 "T2 143(2)由于曲線方程以參數(shù)形式給出,所以弧微元為dsx2(t) y 2(t)dt,x (t) a( sin t sin t tcost) = at cost,y (t)a(cost cost tsin t) = atsint/oOt o ooo oo222 1 222' 22x (t) y (t) =.at cos t a t sin t =at ,故所求弧長(zhǎng)為:. + 2"0Vx (t) y (t)dt= oatdt = a 板)o" = 5 a.4. 求變力做功的方法例4 設(shè)有一彈簧,假定被壓縮0.5

10、cm時(shí)需用力1N (牛頓),現(xiàn)彈簧在外力的作用下 被壓縮3cm,求外力所做的功.解根據(jù)胡克定理,在一定的彈性范圍內(nèi),將彈簧拉伸(或壓縮)所需的力F與伸長(zhǎng)量(壓縮量)x成正比,即=k x ( k 0為彈性系數(shù))按假設(shè) 當(dāng)x =0.005m時(shí),=1N ,代入上式得 k =2N/m,即有"200 x ,所以取x為積分變量,的變化區(qū)間為 0, 0.03,功微元為dW = F (x) dx =200 x dx,于是彈簧被壓縮了 3cm時(shí),外力所做的功為°.°32 003W= ° 200xdx = (100x2) 0 =0.09 (J).5. 求液體對(duì)側(cè)面的壓力的方

11、法例5 一梯形閘門倒置于水中,兩底邊的長(zhǎng)度分別為 2a, 2b ( a b),高為h ,水面 與閘門頂齊平,試求閘門上所受的壓力F.解取坐標(biāo)系如下列圖, a b那么AB的方程為y -x b,hh上任取一子區(qū)間x , x + dx,取水深x為積分變量,的變化區(qū)間為 0, h,在0,與這個(gè)小區(qū)間相對(duì)應(yīng)的小梯形上各點(diǎn)處的壓強(qiáng)P= x (為水的比重),小梯形上所受的水壓dP =(2y dx) x=2b) dx小梯形上所受的總壓力為OJ x+dxh1x=2=2a bx(xhza b 2(x0 h. 3a b xhr%b)dxbx)dx2b42)h=2abbh2 = 1 ( 2a b) h2.3三、學(xué)法建

12、議.學(xué)好利用微元法求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積1. 本章的重點(diǎn)是定積分的微元法,本章內(nèi)容的關(guān)鍵是如何應(yīng)用微元法,解決一些實(shí)際問題,這也是本章的難點(diǎn)2. 首先要弄清楚哪種量可以用積分表達(dá),即用微元法來求它,所求的量F必須滿足(1)與分布區(qū)間有關(guān),且具有可加性；(2)分布不均勻,而局部量可以表示出來.3. 用微元法解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是如何定出局部量的近似表達(dá)式,即微元.如面積微元,功微元.微元一般是局部量的線性主部,求它雖有一定規(guī)律,可以套用一些公式,但我們不 希望死套公式,而應(yīng)用所學(xué)知識(shí)學(xué)會(huì)自己去建立積分公式,這就需要多下工夫了 .4.用微元法解決實(shí)際問題應(yīng)注意：(1)選好坐標(biāo)系,這關(guān)系到計(jì)算

13、簡(jiǎn)繁問題;(2)取好微元f(x)dx,經(jīng)常應(yīng)用“以勻代變“以直代曲的思想決定A的線性主部,這關(guān)系到結(jié)果正確與否的問題(3)核對(duì)f(x)dx的量綱是否與所求總量的量綱一致第六章定積分的應(yīng)用本章將應(yīng)用第五章學(xué)過的定積分理論來分析和解決一些幾何、物理中的問 題,其目的不僅在丁建立這些幾何、 物理的公式,而且更重要的還在丁介紹運(yùn)用 元素法將一個(gè)量表達(dá)為定積分的分析方法.-、教學(xué)目標(biāo)與根本要求：使學(xué)生掌握定積分計(jì)算根本技巧；使學(xué)生用所學(xué)的定積分的微元法(元 素法)去解決各種領(lǐng)域中的一些實(shí)際問題；掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線 的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積

14、為的立體體積、變力作功、 引力、壓力及函數(shù)的平均值等)二、本章各節(jié)教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配：第一節(jié)定積分的元素法1課時(shí)第二節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用3課時(shí)第三節(jié)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用2課時(shí)三、本章教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)難點(diǎn)：找出未知量的元素(微元)的方法.用元素法建立這些幾何、物理的公式解 決實(shí)際問題.運(yùn)用元素法將一個(gè)量表達(dá)為定積分的分析方法四、本章教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬：指導(dǎo)學(xué)生用元素法解決其本專業(yè)的實(shí)際問題.五、本章的思考題和習(xí)題：第二節(jié) 279貞習(xí)題622, (1)、(3);3,4,5,11,12, 19,25,28.第三節(jié) 287貞習(xí)題63 1, 3, 4, 5, 11.第一節(jié)定積分的元素法一、內(nèi)容要點(diǎn)

15、1、復(fù)習(xí)曲邊梯形的面積計(jì)算方法,定積分的首義面積 A lim f( i)為 bf (x)dxy/0i 13面積元素dA= f (x)dxx0= a x1 x2 x3xn= b X2、計(jì)算面積的元素法步驟：(1) 畫出圖形；(2) 將這個(gè)圖形分割成 n個(gè)局部,這n個(gè)局部的近似于矩形或者扇形；(3) 計(jì)算出面積元素；(4) 在面積元素前面添加積分號(hào),確定上、下限.二、教學(xué)要求與注意點(diǎn)掌握用元素法解決一個(gè)實(shí)際問題所需要的條件.用元素法解決一個(gè)實(shí)際問題的步驟.第二節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用一、內(nèi)容要點(diǎn)1、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算平面圖形的面積方法一面積元素 dA = 2(x) i(x)dx , 面積 bA=

16、2(x)i(x)dxa第一步：在D邊界方程中解出y的兩個(gè)表達(dá)式y(tǒng) i(x), y 2(x).第二步：在剩下的邊界方程中找出x的兩個(gè)常數(shù)值x a , x b；不夠時(shí)由i(x)2(x)解出,b2(x),面積 S= 2(x)i(x)d xa方法二例i求y x2 22 c解 y x 2 , x2y 2x i面積元素 dA = 2(y) i(y)dy,第一步：在D邊界方程中解出x 2(y).第二步：在剩下的邊界方程中找出不夠時(shí)由i(y)2(y)解出,c y d , i(y) x 2(y),面積 S =y 2x i圍成的面積2 2x i, x i, x 3.當(dāng) i x面積 A = 2(y)i(y) d y

17、cx的兩個(gè)表達(dá)式x i (y),y的兩個(gè)常數(shù)值y c , y d ;dc 2(y) i(y)dy3時(shí)x2 2 2x i ,于是面積322i 332J(2xi) (x22)dx (x2-x33x) 3ii0-例2計(jì)算y2 2x, y x 4圍成的面積解 由 x 0.5y2 , x y 4 得,y 2, y 4,當(dāng) 2 y 4 時(shí) 0.5y2 y 44o面積=2【y 4 0.5y2dy=i8.2、在曲邊梯形y的方程為參數(shù)方程為f(x)、(t)(t)0、x a、( f(x) 0,ab)中,如果曲邊y f(x)那么其面積A bydxa(t) '(t)dt,其中 a ( ),b(例3求x軸與擺線

18、a(t a(12解面積 a(102 3a(2tcost)2 dtsint),0 cost)a2 02(11 cos2t2 sint )t 2圍成的面積1 cos2t2 cost )dt23 a23a cos t,.3a sin t2 0例4星形線xya解面積 4 o ydx 4a0)圍成的面積.sin3t(3coSt)( sint)dt2sin6 t)dt c 2 7, . 4X=12a 2 (sin t03、極坐標(biāo)系下計(jì)算平面圖形的面積極坐標(biāo)曲線()圍成的面積的計(jì)算方法:解不等式()0,得到4、平行截面面積為的空間物體的體積 過x軸一點(diǎn)x作垂直于x軸的平面,該平面截空間物體的 截面面積為A(

19、x) , a x b,那么該物體的體積 V b A(x)dx a例1 一空間物體的底面是長(zhǎng)半軸a 10,短半軸b 5的橢圓,垂直于長(zhǎng)半軸的截面都是等邊三角形,求此空間體的體積.1 x32 2 解 截面面積 A(x) - 2yj3y 瑚3 25(1 )2 1001010 x 100 .而形成的旋轉(zhuǎn)體體積V 10A(x)dx 25】(1 3cost 3 cos t cos t)dt = 5 a10(1 耘)dx 虧龍5、旋轉(zhuǎn)體體積在a,b上 f(x) 0 ,曲線y f(x)、直線x a,x b,y0圍成的曲邊梯形1) 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成旋轉(zhuǎn)體,其截面面積A(x) f 2 (x),旋轉(zhuǎn)體體積V bf

20、2(x)dx. a2) 繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成旋轉(zhuǎn)體：位于區(qū)間x,x+dx上的局部繞y軸旋轉(zhuǎn)一周v (x dx)2 f(x)x2f(x) 2xf(x)dx,b原曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積V 2 xf(x)dx.a例2擺線x a(t Sint) (0 t 2 )與x軸圍成的圖形 y a(1 cost)1)繞x軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積V2 .y dxa3(1 cost)3dta3 202)繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積=22 ax 020ydx 2t(12 a3.2 .cost) dt2 .(t sin t)(1 cost) dt3)繞y 2a旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的截面面積 繞y 2 a旋轉(zhuǎn)形成的旋

21、轉(zhuǎn)體體積V : ' y(4a y)dx(2a)22(2a y)2230 Wcost)(3cost)(1cost)dt3 2 a30(35costcos21cos31) dt237 a3 3 aQsint (1 cost)2dt 6/ 2圍成的繞極軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體y 4sin (1 cos ),旋轉(zhuǎn)體體積例3求心形線4(1 cos )與射線 0、積解心形線的參數(shù)方程為x 4(coscos2 ),82 .y dx = 6400/2 s2 (1 cos )2 sin (12cos )d =1606、平面曲線的弧長(zhǎng)曲線方程自變量的范圍弧微分122ds q dx dy弧長(zhǎng)sbdsa顯函數(shù)y

22、f(x)a x bds2J1 f' (x)dxb :s a"2f' (x) dx參數(shù)方程x x(t)y y(t)tds寸22x' (t) y' (t)dts R2(t) y' (t)dt極坐標(biāo)r r()dsr'2ds/2,2 .r r' d表中當(dāng) r r()時(shí),x rcos , y r sin , x' r'( )cos r( )sin , y' r'( )sin r( )cos ,弧微分 ds . x'2 y'2dr2r'2d例 1 求擺線 X a(t sint) (0

23、t 2 )(a 0)的長(zhǎng) y a(1 cost)解 dxa(1 cost)dt , dyasintdt , ds 偵dx2 dy2、；a2(1 2cost 1)dt2a sin【dt.22弧長(zhǎng)s 2a 0sin-dt2例2擺線x a(t y a(128a0sint)上求分?jǐn)[線第一拱成 cost)4a cos21 : 3的點(diǎn)的坐標(biāo)2 a "x點(diǎn)滿足要求,此時(shí)t c.根據(jù)例2擺線第一拱成弧長(zhǎng)c t, 2a sin dt .2由條件弧OA的長(zhǎng)為2a ,即2asin ?dt 2a , c2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,一-、3 、(；)a匚 a)3222,3例3求星形線3'x2y2a2的全長(zhǎng)3解

24、星形線的參數(shù)萬程為acos3t,0 t 2y a sin tdx 3a cos tsintdt, dy 3a cost sin2 tdt ,ds 3a . cos41 sin21 cos21 sin41 dt 3a | sint cost | dt.弧長(zhǎng) s 4 方 3asint costdt 06a sin2t|0 6a.例4求對(duì)數(shù)螺線e2上 0到 2的一段弧長(zhǎng)八 B cr解 '2e2,弧長(zhǎng)s22,22A 2 R' 5 , 4'd =. 5e d = (e 1)0 02二、教學(xué)要求與注意點(diǎn)掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線 的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)

25、體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為的立體體積第三節(jié)定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用F(x一、內(nèi)容要點(diǎn)1、變力沿百線運(yùn)動(dòng)所做的功如左圖,設(shè)dx很小,物體在變力F(x)的作O a x x+dx b x用下從點(diǎn)x移動(dòng)到點(diǎn)x+dx所做的功元素為F(x)dx, 從點(diǎn)a移動(dòng)到點(diǎn)b,在變力F(x)所做的功w b F(x)dx例1 一物體按規(guī)律x ct2直線運(yùn)動(dòng),所受的阻力與速度的平方成正比,計(jì)算物體從x 0運(yùn)動(dòng)到x a時(shí),克服力所做的功.解 位于x處時(shí)物體運(yùn)動(dòng)的速度 dX 2ct 2c舊 2jcx,所受的 ? *dt. xO x x+dx a x阻力F k4cx 4ckx.如圖從點(diǎn) x運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) x+dx所做的功元素dw

26、 4ckxdx.物體從0運(yùn)動(dòng)到a時(shí),克服力所做的功 w a 4kcxdx 2a2kc.b例2 一個(gè)圓拄形水池,底面半徑5米,水深10米,要把池中的水全部抽出來,所做的功等于多少水的密度=1解 如圖,將位于x處、厚度為dx的薄層水抽出來,其質(zhì) 量密度 體積52dx 25 dx,當(dāng)薄層水的厚度dx很小時(shí),所做的功元素dw 25 xdx.要把池中的水全部抽出來, 所做的功2 1010 c, cx2280(kJ)w 25 xdx 25 r 125 9.8 3.1438465 kJ02/0例3 一條均勻的鏈條長(zhǎng)28m ,質(zhì)量20kg ,懸掛于某建筑物頂部,需做多少功才能把它全部拉上建筑物頂部解 如圖,將

27、位于x處、長(zhǎng)度為dx的一小段拉到頂部,其質(zhì)量為羹dx -5dx,287所做的功兀素dw °xdx.全部拉上建筑物頂部所做的功w xd x277 01402、液體的壓力例4 一塊矩形木板長(zhǎng)10米,寬5米.木板垂直于水平面,漂浮于水中,其一寬與水面一樣高,求木板一側(cè)受到的壓力.水的密度=1解 如圖,木板在x處所受的壓強(qiáng)為 x.位于x處、長(zhǎng)為5米、 寬為dx米的小矩形受到的壓力元素dF x 5dx 5xdx 噸.整塊木板一側(cè)受到的壓10力F02 x 5xdx 5 2100250 噸.O a x dx b x3、引力例5如圖一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn),一根密度為、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒區(qū)間a,a l

28、上,求細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力解 位于x處、長(zhǎng)為dx的小段,其質(zhì)量為dx,對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力元素dFk¥.x細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力f al%dx k m (-)勺匕ax2a a l a(a l)例6設(shè)星形線x acos3t, y asin3t上每一點(diǎn)處的線密度的大小等于該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的立方,求星形線在第一象限的弧段對(duì)位于原點(diǎn)處的 單位質(zhì)點(diǎn)的引力.解 如圖,位于x,y處、長(zhǎng)為ds的小段,至ij原點(diǎn)的距離r v'x2 y2 ,線密度為r3 ,其質(zhì)量為r3ds ,其中ds w'dx dy 3asin tcostdt °該小段對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力兀素dF k 空 krds,其水平分量dFx

29、dF - kxds,鉛直分量dFy dF 2 kyds.rrr因此 Fx2 kacos3t 3asintcostdt 0.6ka2, Fy 0.6ka2二、教學(xué)要求與注意點(diǎn)不僅會(huì)建立這些幾何、物理的公式,而且更重要的還在丁會(huì)運(yùn)用元素法將一個(gè)量表達(dá)為定積分的分析方法第十章 定積分的應(yīng)用教學(xué)根本要求：1 .初步培養(yǎng)具有用定積分解決實(shí)際問題的水平；2. 掌握用定積分計(jì)算面積、弧長(zhǎng)、體積和側(cè)面積 ；3. 掌握用定積分的物理應(yīng)用,了解微元法及其應(yīng)用、定積分近似計(jì)算的幾種方法.§ 1 平面圖形的面積教學(xué)目的：掌握平面圖形面積的計(jì)算公式.包括參量方程及極坐標(biāo)方程所定義的平面圖形面積的計(jì)算公式.教學(xué)

30、內(nèi)容：平面圖形面積的計(jì)算公式.教學(xué)重點(diǎn)：1 .的重點(diǎn)是平面圖形面積的計(jì)算公式,要求學(xué)生必須熟記并在應(yīng)用中熟練掌握2.領(lǐng)會(huì)微元法的要領(lǐng).直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積由定積分的幾何意義,連續(xù)曲線y f(x)( 0)與直的曲邊梯形的面積為bA f(x)dxa假設(shè)y f (x)在那么所圍成的面積為bA I f(x)|dxa般的,有兩條連續(xù)曲線y1f1 (x) , y2f2(x)及直線x a , x b (b a)所圍成的平面圖形的面積為bAf2(x) fi(x)dxadAg2(y) gi(y)dyc所給的區(qū)域不是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的x-區(qū)域,如圖需將其切成兩塊,即可化成x-形區(qū)域的面積問題第一塊的面積等于1Ai

31、. x (01x)dx 2 xdx0第二塊的面積等于A2(x Q)dx 1228總面積A A A2 1023我們也可以把圖形看成y-形區(qū)域計(jì)算其面積2 求由曲線 xy1, x y 0,x 2圍成的平面圖形的面積.例3求由拋物線 y2 x與直線x2y 3 0所圍平面圖形的面積3.參數(shù)方程下曲邊梯形的面積公式:設(shè)區(qū)間a,b上的曲邊梯形的曲邊由方程.由參量方程表示x x(t) , y y(t) t且 x(t) , y(t)在,上連續(xù),a x( ) , b x( ) , x (t) 0 (對(duì)于 x (t) 0或y (t)0的情況類似討論)I y(t)l x(t)dt上下限確實(shí)定通常有兩種方法:S I

32、y(t) I dx計(jì)算中,主要的困難是上下限確實(shí)定.1) 具體計(jì)算時(shí)常利用圖形的幾何特征2) 從參數(shù)方程 xx(t) , y y(t)例2 求擺線x a(t sint), y平面圖形的面積由圖看出,t 0對(duì)應(yīng)原點(diǎn)(0,0 ),其面積為2A a(1 cost)a(t sint) dt0例2求由曲線 x t t3 , y 1 t4由圖看出,積分的上下限應(yīng)為t 從 -111A x(t)y (t)dt t(1 t3)( 4t3)dt11二、極坐標(biāo)下平面圖形的面積假設(shè)曲線是極坐標(biāo)方程r r(),S n Sin 1r2()i 1 i 1 212S 1 r2( )d2和參數(shù)方程一樣,極坐標(biāo)情況面積的計(jì)定義域

33、的分析確定a(1 cost), a 0 的一拱與x軸所圍的t 2對(duì)應(yīng)一拱的終點(diǎn)(2a ,0)所以22、2a (1 cost) dt0所圍圖形的面積.(cd3)到1,其面積為：算主要困難是積分上下限確實(shí)定.確定上下限方法通常也是1)利用圖象；2)分析r r()定義域)d例3 求雙扭線 r2 a2 cos2圍成的平面圖形的面積解 先看- 一下雙紐線的圖象,它 由 兩 支,2r 0 cos 20/4, /4,所以雙扭線 r進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)微元法的要領(lǐng). a2 cos2所圍成的平面圖形的面積為/4r2( )d/4/4a2 cos2 d例1求曲線(x2 y2)2/42a2(x2 y2)與x2 y2 a2所圍局

34、部的面積例2.三葉形曲線r a sin 3 (a 0)所圍成的平面圖形的面積解 先用Matlab畫出三葉形曲線r a sin 3 (a 0)的圖形計(jì)算所圍成的面積 S 3 1 r2( )d - a2 sin3 d 2 02 0§ 2由平行截面面積體積教學(xué)目的：掌握由平行截面面積求體積的計(jì)算公式教學(xué)內(nèi)容：由平行截面面積求體積的計(jì)算公式.教學(xué)建議：(1) 要求學(xué)生必須熟記由平行截面面積求體積的計(jì)算公式并在應(yīng)用中熟練掌握.上節(jié)我們學(xué)習(xí)了平面圖形面積的計(jì)算,還利用分割、求和的分析方法,導(dǎo)出了極坐標(biāo)下平面圖形的面積公式:12S 1 r2( )d2現(xiàn)在我們看下面一個(gè)空間立體,假設(shè)我們知道它在x處

35、截面面積為S(x),可否利用類似于上節(jié)極坐標(biāo)下推導(dǎo)面積公式xS(x的思想求出它的體積?如果像切紅薯片一樣,把它切成薄片,那么每個(gè)薄片可近似看作直柱體,其體積等于底面積乘高,所有薄片體積加在一起就近似等于該立體的體積.即nVii 1nS(x,) x,i 1由此可得bS(x)dxa這里,體積的計(jì)算的關(guān)鍵是求截面面積S(x),常用的方法先畫出草圖,分析圖象求出S(x)一個(gè)邊長(zhǎng)為 a22的正方2X .x )dx16 3 a 3與坐標(biāo)面 z0, 斜面z0),所形,所以截面面積 S a22 ,考慮到是8個(gè)卦限,所以有int('8*(aA2-xA2)',0,'a')ans =

36、 16/3*aA3a2V 8 (a0再看一個(gè)例題例2求橢圓柱2 x2 y116100由圖可以看出,底面橢圓方程是:162匕1100y2 100 寶4圍局部的體積截面是與yz平面平行的三角形.截面1 蘭三角形面積等于25 ;截面紅三角形的底邊平方y(tǒng)2 10025x24,因兩三角形相似S(x) = y225 一 100,22、 Vc 25xS(x)巳=25165c10c8c2 x . )dx 164V 2 25(10、3cos ) sin dint('50*(1-(xA2)/16)',0,4)ans =400/3例 3 r a(1 cos ), (a 0)繞極軸旋轉(zhuǎn)所得的體積假設(shè)對(duì)

37、心臟線作如下列圖的次分割,那么每 個(gè)小扇形旋轉(zhuǎn)可看作小球帶錐,其對(duì)應(yīng)的球 帶寬度ri i球帶半徑為ri sin i從而所以球帶面積為 2 ri sin irii整個(gè)旋轉(zhuǎn)體體積為V - 2 r3( )sin a3(13.3 083-a3由分析和上面幾個(gè)例題看出,只要知道了截面面積函數(shù)就可以用定積分來解決立體的體積計(jì)算問題.我們?cè)诳匆粋€(gè)演示,看能否從中找出計(jì)算拋物面被一平面所截后的體積.§ 3.平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率教學(xué)目的：掌握平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率教學(xué)內(nèi)容：平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率的計(jì)算公式.(1) 根本要求：掌握平面曲線的弧長(zhǎng)計(jì)算公式.(2) 較高要求：掌握平面曲線的曲率計(jì)算公式.教學(xué)建議

38、：(1) 要求學(xué)生必須熟記平面曲線的弧長(zhǎng)計(jì)算公式.(2) 對(duì)較好學(xué)生可要求他們掌握平面曲線的曲率計(jì)算公式.1直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出,其中拘町在%可上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).現(xiàn)在用元素法來計(jì)算這曲線弧的長(zhǎng)度.取橫坐標(biāo);c為積分變量,它的變化區(qū)間為 叵可.曲線y f x上對(duì)應(yīng)于 應(yīng)可 上任小區(qū)間x,x dx的一段弧的長(zhǎng)度 & 可以用該曲現(xiàn)在點(diǎn)x, fx出的切線上相應(yīng)的一以此作為弧長(zhǎng)元素小段的長(zhǎng)度來近似代替2-.ds 1 y dx以小 y 2dx為被積表達(dá)式,在區(qū)間a , b上做定積分,變得所求得弧長(zhǎng)曲線段弧&=心 e京京的長(zhǎng)度為b s , 1 y 2dxa2.參數(shù)方程情形

39、設(shè)曲線弧由參數(shù)方程 § =郵給出,其中以",岫在舊上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).現(xiàn)在來計(jì)算這曲線弧的長(zhǎng)度.取參數(shù)i為積分變量,它的變化區(qū)間為 位閭.相應(yīng)&網(wǎng) 上任一小區(qū)間區(qū)* +赤的小弧段的長(zhǎng)度的近似值及弧長(zhǎng)元素為<La =皿血廣+向尸=/以疔十舟£疣= J十陽氣必于是,曲線段弧*=忡£由=照0登邛的長(zhǎng)度為+礦物出3.極坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出,其中p3在恤劇 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).現(xiàn)在來計(jì)算這曲線弧的長(zhǎng)度由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得S)5 o<v< g = p«p) sin 皆這就是以極角為參數(shù)的曲線弧的參數(shù)方程于是,弧長(zhǎng)元

40、素為ds =寸孩W十夜職十從而,曲線段弧p = p3 GM皆變徹的長(zhǎng)度為9 = L"w+ P氣沖甲§ 4旋轉(zhuǎn)曲面的面積教學(xué)目的：理解微元法的根本思想和方法,掌握旋轉(zhuǎn)曲面的面積計(jì)算公式.教學(xué)內(nèi)容：旋轉(zhuǎn)曲面的面積計(jì)算公式.根本要求：掌握求旋轉(zhuǎn)曲面的面積的計(jì)算公式,包括求由參數(shù)方程定義的旋轉(zhuǎn)曲面的面積；掌握平面曲線的曲率的計(jì)算公式.教學(xué)建議：要求學(xué)生必須熟記旋轉(zhuǎn)曲面面積的計(jì)算公式,掌握由參數(shù)方程定義的旋轉(zhuǎn)曲面的面積.一微元法用定積分計(jì)算幾何中的面積,體積,弧長(zhǎng),物理中的功,引力等等的量,關(guān)鍵在于把所求量通過定積分表達(dá)出來.元素法就是尋找積分表達(dá)式的一種有效且常用的方法.它的大致步

41、驟是這樣的：設(shè)所求量 U是一個(gè)與某變量設(shè)為x的變化區(qū)間眼有關(guān)的量,且關(guān)于區(qū)間 底可具有可加性.我們就設(shè)想把 叵可 分成n個(gè)小區(qū)間,并把其中一個(gè)代表性的小區(qū)間記坐回,a： +3切,然后就尋求相應(yīng)于這個(gè)小區(qū)間的局部量心 的近似值(做這一步的時(shí)候,經(jīng)常畫出示意圖幫助思考),如果能夠找到的形如八如近似表達(dá)式(其中內(nèi)町為屈可上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在點(diǎn) x處的值,d定為小區(qū)間的長(zhǎng)度),那么就把(町,蠢 稱為量U 的元素并記做邊比,即dU f (x)dx以量7的元素作為被積表達(dá)式在 恤0上進(jìn)行積分,就得到所求量U的積分表達(dá)式：bf(x)dxa例如求由兩條曲線 yfjx), y f2(x)(其中fi, f2 Ca,

42、b)及直線x a, x b所為成圖形的面積 A.容易看出面積元素 DA |f1(x) f2(x) |dx于是得平面圖形f1 (x) y f2(x), a x b 的面積為bA |fi(x) f2(x)|dx a采用微元法應(yīng)注意一下兩點(diǎn)：1) 所求量U關(guān)于分布區(qū)間 g.具有代數(shù)可加性.2) U f(x) x o( x)對(duì)于前面所講過的平面圖形的面積、立體體積、曲線弧長(zhǎng)相應(yīng)的微元分別為：S | y | xV S(x) xs .1 y 2 x二旋轉(zhuǎn)曲面的面積§ 5定積分在物理中的某些應(yīng)用教學(xué)目的：掌握定積分在物理中的應(yīng)用的根本方法. 教學(xué)內(nèi)容：液體靜壓力；引力；功與平均功率.根本要求：(1

43、) 要求學(xué)生掌握求液體靜壓力、 引力、功與平均功率的計(jì)算公式.(2) 較高要求：要求學(xué)生運(yùn)用微元法導(dǎo)出求液體靜壓力、引力、功與平均功率的計(jì)算公式.教學(xué)建議：要求學(xué)生必須理解和會(huì)用求液體靜壓力、引力、功與平均功率的計(jì)算公式.1變力沿直線所作的功從物理學(xué)知道,如果物體在做直線運(yùn)動(dòng)的過程中受到常力F作用,并且力F的方向與物體運(yùn)動(dòng)的方向一致,那么,當(dāng)物體移動(dòng)了距離s時(shí),力F對(duì)物體所作的功是 W FS如果物體在運(yùn)動(dòng)過程中所受到的力是變化的,那么就遇到變力對(duì)物體作功的問題,下面通過例1說明如何計(jì)算變力所作的功例1把一個(gè)帶電量為 十以的點(diǎn)電荷放在r軸的原點(diǎn).處,它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng),并對(duì)周圍的電荷產(chǎn)生作用力,由物

44、理學(xué)知道,如果有一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場(chǎng)中距離原點(diǎn)O 為廣的地方,那么電場(chǎng)對(duì)它的作用力的大小為F k- (勵(lì)是常數(shù)),如圖,當(dāng)這個(gè)單位正電荷r在電場(chǎng)中從r = a處沿f軸移動(dòng)到r b(a b)處時(shí),計(jì)算電場(chǎng)力F對(duì)它所做得功.解 在上述移動(dòng)過程中,電場(chǎng)對(duì)這個(gè)單位正電荷的作用力是不斷變化的,取 r為積分 變量,它的變化區(qū)間為 囪可,在H力】上任取一小區(qū)間何/ +歐1 ,當(dāng)單位正電荷從f移 動(dòng)到r + 時(shí),電場(chǎng)力對(duì)它所作的功近似于 悴dr ,從而得功元素為rd.w = dr r于是所求的為例2 某水庫的閘門形狀為等腰梯形,它的兩條底邊各長(zhǎng)10m和6m,高為20m,較長(zhǎng)的底邊與水面相齊,計(jì)算閘門的一

45、側(cè)所受的水壓力.解 如圖3.9.2 以閘門的長(zhǎng)底邊的中點(diǎn)為原點(diǎn)且鉛直向下作X軸,取工為積分變量,它的變化范圍為 隊(duì)迥.在020上任取一個(gè)小區(qū)間 卜了 +北,閘門上相應(yīng)于該小區(qū)間 的窄條各點(diǎn)處所受到水的壓強(qiáng)近似于xg(kN / m2),這窄條的長(zhǎng)度近似為 10 -,高度為5dx,因而這一窄條的一側(cè)所受的水壓力近似為例3設(shè)有一根長(zhǎng)度為I 線密度為P的均勻細(xì)直棒,在其中垂線上距棒a單位處有一質(zhì) 量為m的質(zhì)點(diǎn).試計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn) M 的引力解 取坐標(biāo)系如 圖3.9.3所示,使棒位于V軸上,質(zhì)點(diǎn)M 位于囂軸上,棒的中點(diǎn)為原點(diǎn)O,取聲為積分變量,它的變化區(qū)間為o 在 2'2上任取一小區(qū)間W地+d切,

46、把細(xì)直棒上相應(yīng)于 + 的一段近似的看成質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量為 洞叫,與m 相距肥=/7,因此可以根據(jù)兩質(zhì)點(diǎn)間的引力計(jì)算公式求出這段細(xì)直棒對(duì)質(zhì)點(diǎn) M 的 引力爪百的大小為口十儼從而求出 點(diǎn) 在水平方向分力 死 的近似值,即細(xì)直棒對(duì)質(zhì)點(diǎn) M 的引力在水平方向分力Fx的元素為dFx, am dy k廠 (a2 3/2y )于是得到引力在水平方向的分力為上式中的負(fù)號(hào)表示亂指向尤軸的負(fù)向,又由對(duì)稱性知,引力在鉛直方向分力為理=°平均值內(nèi)容概述：本節(jié)介紹函數(shù)的平均值求法學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解平均值的求法學(xué)習(xí)要點(diǎn)：函數(shù)的算術(shù)平均值、函數(shù)的加權(quán)平均值、函數(shù)的均方平均值學(xué)習(xí)根底：微積分根本定理函數(shù)的算術(shù)平均值在實(shí)際問

47、題中,常常用一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值來描述這組數(shù)據(jù)的概貌.例如,對(duì)某一零件的長(zhǎng)度進(jìn)行次 門測(cè)量,測(cè)得的值為 豹四小-v悟.這時(shí),可以用 隊(duì)疳事航 的算術(shù)平均 值_ % + %+* U = _匕耳n %=1作為這一零件的長(zhǎng)度的近似值.但是,在工程技術(shù)與自然科學(xué)中, 有時(shí)還要考慮一個(gè)連續(xù)函數(shù)J0在區(qū)間可上所取得“一切值的平均值.例如求交流電在一個(gè)周期上的平均功 率就是這樣的例子.下面就來討論如何規(guī)定即計(jì)算連續(xù)函數(shù)f版在區(qū)間 此M 上的平均值.先把區(qū)間g周 分成麻等分,設(shè)分點(diǎn)為皿=仕0< 仁1 <= b每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為Xi - i 1,2, n 1,設(shè)在這些分點(diǎn)處, 的函數(shù)值n依次為y,y

48、2, , yn ,那么可以用y,y2, , yn的平均值無十乾十地十“十也_】來近似表達(dá)函數(shù) * 在殉切 上所取的一切值的平均值,如果濘 取的比較大,那么上述平 均值就能比較確切地表達(dá)函數(shù) 川在©力上所取的"一切值"的平均值.因此自然地,我們 就稱極限_ , * + % + * g= lim '為函數(shù) 瓜在區(qū)間力上的算術(shù)平均值簡(jiǎn)稱平均值.現(xiàn)在_.協(xié)+ 坎+ " + %_y = lim 'n)co門n%十幼十十辦_1=lim m 8& airt=72了(存."=上底海因此得連續(xù)函數(shù)寸=加在區(qū)間叵可上的平均值目等于函數(shù)計(jì)3在

49、區(qū)間隊(duì)力上的定積 分除以區(qū)間槌河的長(zhǎng)度,即(3.10.2)請(qǐng)讀者注意我們是怎樣從有限多個(gè)數(shù)值的算術(shù)平均值的概念出發(fā),演化出連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的平均值的定義的,其中關(guān)鍵之舉是使用了極限方法.函數(shù)的加權(quán)平均值我們以商業(yè)中的一個(gè)問題為例來討論函數(shù)的加權(quán)平均假設(shè)某商店銷售某種商品,以每單位商品售價(jià)P1元,銷售了紹 各單位商品,調(diào)整價(jià)格后以每 單位商品售價(jià)P衛(wèi)元, 銷售了安 個(gè)單位商品.那么,在整個(gè)銷售過程中,這種上平的平均 售價(jià)為PiqiP2q2 元qiq2這種平均成為加權(quán)平均.一般地設(shè)y1, y2,yn為實(shí)數(shù),k,k2,kn,稱fcl + 人倉(cāng) + + fcn-f/fl.為yi, y2,yn關(guān)于k

50、i, k2,kn的加權(quán)平均值,其中yi, y2,yn稱為資料數(shù)據(jù)ki,k2,kn稱為權(quán)數(shù).當(dāng)ki ii i, 2,n時(shí),加權(quán)平均就是算術(shù)平均.現(xiàn)在我們討論連續(xù)變量的情形.假設(shè)某商店銷售某種商品,在時(shí)間段內(nèi),該 商品的售價(jià)與單位時(shí)間內(nèi)的銷售量都與時(shí)間有關(guān).如果在時(shí)刻t時(shí),售價(jià)口 =可0,單位時(shí)間內(nèi)的銷售量a =妙,那么如何計(jì)算這種商品在時(shí)間段 TiM上的平均售價(jià)呢 下面我們用元素法分析,并且給出他的計(jì)算方法.在區(qū)間T1缶上任取一小區(qū)間偵+ ".在這短暫的時(shí)間間隔內(nèi),這種商品的售 價(jià)近似于質(zhì),銷售的數(shù)量近似于堂由,因此,在這段短暫的時(shí)間間隔內(nèi),銷售這種 商品所得到的收益近似于 漢脂河,這

51、就是在旗t + d£這段時(shí)間內(nèi)銷售這種商品所得收 益的元素 -、',二J是,在這段時(shí)間內(nèi)銷售這種商品的總收益與銷售總量分別為T2T2R p(t)q(t)dt 與 Q q(t)dtTiT1從而這段時(shí)間內(nèi)這種商品的平均售價(jià)為原伽辛= 一般地,如果,(幻,.0劃,0)£珈期,且那么- 脂偵)頊工)dr成為函數(shù)/(h)關(guān)于權(quán)數(shù)胡任)在區(qū)間*上的加權(quán)平均值.假設(shè)令山三1 ,加權(quán)平均就變成了算術(shù)平均定積分在物理中的應(yīng)用3例15位于濤由的1區(qū)間上的細(xì)桿其密度分布規(guī)律是P (同二(、反+ 1)、求重心.解由式計(jì)算得重心坐標(biāo)£xa十f赤 ,悉+ 2正+ 1蟲1 5 1+K 八_ 3 4