不等式及其性質(zhì)基礎(chǔ)知識講解

1、不等式及其性質(zhì)(基礎(chǔ))知識講解責編：康紅梅【學(xué)習(xí)目標】1了解不等式的意義，認識不等式和等式都可以用來刻畫現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系.2. 知道不等式解集的概念并會在數(shù)軸上表示解集.3. 理解不等式的三條基本性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用.【要點梳理】要點一、不等式的概念一般地，用“<” 、“>”、“W”或表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式.用“工” 表示不等關(guān)系的式子也是不等式.要點詮釋：(1) 不等號“<”或“”表示不等關(guān)系，它們具有方向性，不等號的開口所對的數(shù)較大.(2) 五種不等號的讀法及其意義：符號讀法意義“/”讀作“不等于”它說明兩個量之間的關(guān)系是不相等的，但不能確定哪 個大，哪個小“&

2、lt;”讀作“小于”表示左邊的量比右邊的量小讀作“大于”表示左邊的量比右邊的量大“W”讀作“小于或等 于”即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量讀作“大于或等于”即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量(3)有些不等式中不含未知數(shù)，如3< 4,-1 >-2;有些不等式中含有未知數(shù)，如2x >5中,x表示未知數(shù)，對于含有未知數(shù)的不等式，當未知數(shù)取某些值時，不等式的左、右兩邊符合 不等號所表示的大小關(guān)系，我們說不等式成立，否則，不等式不成立.要點二、不等式的解及解集1. 不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.2. 不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的

3、所有解組成這個不等式的解集.要點詮釋：不等式的解是具體的未知數(shù)的值，不是一個范圍不等式的解集是一個集合，是一個范圍.其含義：解集中的每一個數(shù)值都能使不等式成立能夠使不等式成立的所有數(shù)值都在解集中3. 不等式的解集的表示方法(1) 用最簡的不等式表示：一般地，一個含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個解，其解集是一個范 圍，這個范圍可用最簡單的不等式來表示.如：不等式 x-2 <6的解集為XW8.(2) 用數(shù)軸表示：不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，形象地表明不等式的無限個解.如圖所示：要點詮釋：借助數(shù)軸可以將不等式的解集直觀地表示出來，在應(yīng)用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意兩個“確定”：一是確定

4、“邊界點”，二是確定方向.（1）確定“邊界點”：若邊界點是不等 式的解，則用實心圓點，若邊界點不是不等式的解，則用空心圓圈；（2）確定“方向”：對邊界點a而言，x > a或x > a向右畫；對邊界點 a而言，x v a或xw a向左畫.注意：在表示a的點上畫空心圓圈，表示不包括這一點.【高清課堂：一元一次不等式370042 不等式的基本性質(zhì)】要點三、不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì) 1:不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變.用式子表示：如果 a>b，那么a± c> b± c.不等號的方向不變.b不等式的基本性質(zhì) 2：不等式兩邊都乘

5、（或除以）同一個正數(shù)，a用式子表示：如果 a>b, c> 0,那么ac> bc（或一 一）.c 一不等式的基本性質(zhì) 3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變.a b用式子表示：如果 a>b, cv 0,那么acv bc（或一 一）.c c要點詮釋：不等式的基本性質(zhì)的掌握注意以下幾點：（1）不等式的基本性質(zhì)是對不等式變形的重要依據(jù)，是學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)，它與等式的兩條 性質(zhì)既有聯(lián)系，又有區(qū)別，注意總結(jié)、比較、體會.（2）運用不等式的性質(zhì)對不等式進行變形時，要特別注意性質(zhì) 2和性質(zhì)3的區(qū)別，在乘（或除以）同一個數(shù)時，必須先弄清這個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)，如果是負數(shù)，不

6、等號的方向要改變.【典型例題】 類型一、不等式的概念1 .用不等式表示：（1）x與-3的和是負數(shù)；（2）x與5的和的28%不大于-6;（3）m除以4的商加上3至多為5.【思路點撥】 列不等式時，應(yīng)抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非負數(shù)”等表示 不等關(guān)系的關(guān)鍵性詞語，進而根據(jù)這些關(guān)鍵詞的內(nèi)涵列出不等式.【答案與解析】 解：（1）x-3v 0; （2）28% （x+5） w-6; （3） m 3< 5.4【總結(jié)升華】在不等式及其應(yīng)用的題目中， 經(jīng)常會出現(xiàn)一些表示不等關(guān)系的詞語. 正確理解 這些關(guān)鍵詞很重要.如：若 x是非負數(shù)，貝U x>0;若x是非正數(shù)，則xw 0;若x

7、大于y, 則有x-y > 0;若x小于y，則有x-yv 0等.舉一反三：【變式】（2015春？陜西校級期末）下列式子： -2 v 0;2x+3y v 0;x=3 ;x+y 中，是不等式的個數(shù)有（）A . 1個B. 2個C. 3個D. 4個【答案】B.類型二、不等式的解及解集T 2.對于不等式4x+7（x-2） > 8不是它的解的是（）A. 5 B. 4 C. 3 D. 2【思路點撥】根據(jù)不等式解的定義作答.【答案】D【解析】4x+7(x-2) = 41 > 8,4x+7(x-2) = 30> 8,4x+7(x-2) = 19> 8,4x+7(x-2) = &

8、;解：當x = 5時，當x = 4時，當x = 3時，當x = 2時，故知x=2不是原不等式的解.【總結(jié)升華】 不等式的解的定義與方程的解的定義是類似的，其判定方法是相同的.3.不等式x > 1在數(shù)軸上表示正確的是-1【思路點撥】【答案】C【解析】解：不等式0 1 2 -10 12 AB根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來的方法畫數(shù)軸即可.-10 12D在數(shù)軸上表示為：-10 12故選C.【總結(jié)升華】 用數(shù)軸表示解集時，應(yīng)注意兩點：一是“邊界點”，如果邊界點包含于解集,則用實心圓點；二是“方向”，相對于邊界而言，大于向右，小于向左，同時還應(yīng)善于逆向 思維，通過讀數(shù)軸寫出對應(yīng)不等式的解集.【高

9、清課堂:兒一次不等式370042練習(xí)2】舉一反三：【變式】如圖,在數(shù)軸上表示的解集對應(yīng)的是（）A. 2 < x< 4【答案】類型B. 2< XW 4 C. 2< XV 4 D. 2< x< 4B不等式的性質(zhì)4.（2015?浙江模擬）若x>y,則下列式子中錯誤的是（y3【思路點撥】 根據(jù)不等式的性質(zhì)：不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子）A . x - 3>y - 3 B. x+3 >y+3 C. 3x>- 3y D. >，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變； 不等式兩邊乘（或除以） 同一個負數(shù)，不等號的方向改變.可得答案.【答案】C.【解析】3，不等號的方向不變，故 A正確;3,不等號方向不變，故 B正確；3,不等號的方向改變，故 C錯誤；3,不等號的方向改變，故 D正確；解：A、不等式的兩邊都減B、不等式的兩邊都加C、不等式的兩邊都乘-D、不等式的兩邊都除以故選：C.【總結(jié)升華】主要考查了不等式的基本性質(zhì). “ 0是很特殊的一個數(shù)，因此，解答不等式的 問題時，應(yīng)密切關(guān)注 “ 0存在與否，以防掉進 “ 0的陷阱不等式的基本性質(zhì)：不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；不等式