線性代數(shù)練習題帶解題過程

1、線性代數(shù)試題一填空題 1.設A為3階方陣且 A = 2，貝U 3A2A=;【分析】只要與 A*有關的題，首先要想到 公式，AA = A A= AE， 從中推你要的結論。這里 A =. AA = 2A二代入3A-2A仁A=(-1)3 A=二IAI注意：為什么是(-1)32 設：1 =1 22 = >2 33 = >3 I 1 ,如a 1,。2,口3線性相關，則 h,p2,p3線性(相關)如a 1,。2,口3線性無關，則01,02*3線性(無關)【分析】對于此類題，最根本的方法是把一個向量組由另一個向量表示的問題轉化為矩陣乘法的關系，然后用矩陣的秩加以判明。101£,打沖3】

2、=口102,。3110，記此為B = AKI011 _這里 r(B) = r(AK) =r(A),切不可兩邊取行列式！ ！因為矩陣不一定是方陣！ 3.設非齊次線性方程 Am4x二b , r(A)=2,1, 2, 3是它的三個解，且1 2 =(3,4,6,7)T, 23 =(1,2,3,4)T, 31 = (2,3,4,5)T1求該方程組的通解。(答案:x(2,3,5,6)t - k1(1,1,1,1)Tk2(1,1,2,2)T，形式不2唯一)【分析】對于此類題，首先要知道齊次方程組基礎解系中向量的個數(shù)(也是解空間的維數(shù))是多少，通解是如何構造 的。其次要知道解得性質(zhì)(齊次線性方程組的任意兩解的

3、線性組合仍為方程組的解)。 4.當 k = 時，一：=(1,k,5)能由宀=(1,-3,2),2 = (2,-1,1)線性表示(答案k二8)【分析】一個向量能否用一個向量組表示的問題，可轉化為非齊次方程組有無解的 問題。你來做：設=(2,-1,t 2)T，： ! =(t 1,1,1)T，: 2 =(1,t 1,1)T，: 3=(1,1,t1)T，問t為何值時，：不能由 宀，：,線性表示；能由>1,2, >3線性表示且表法唯 一；能由1,2,3線性表示且表法無窮多并寫出所有的表示方法。注意：關于含參數(shù)的方程組求解，如果系數(shù)矩陣是方陣，用行列式的方法往往簡單，如果不是方陣只有用初等行變

4、換的方法了。1 5.設 C(1 =石(1,1,1)丁，求 G 2,C(3 使 Q = °1,0(2,03 為正交矩陣【分析】求與一個向量正交的問題，就是解方程組的問題T小x = 0當然要根據(jù)題之要求，還要使用Schimidt正交化，單位化過程( 答案：詳見教材P117例3,還要再單位化)你寫一寫正交矩陣的充要條件有哪些，如果給你兩個正交向量求一個向量與它們都正交你也應該會！帶*的題目可以暫時不看！二選擇題 1. 設A, B為滿足AB =0的兩個非零矩陣，則必有(A)A的列向量組線性相關，B的行向量組線性相關(B)A的列向量組線性相關，B的列向量組線性相關(C)A的行向量組線性相關，B

5、的行向量組線性相關(D)A的行向量組線性相關，B的列向量組線性相關【分析】遇到AmnBn p =0，就要想到r(A) r(B)乞n以及B的列向量均是線性方程組Ax = 0的解。B的每一列向量都是方程組 Ax=0的解向量，解向量組的極大無關組為方程組的基礎解系，基礎解系中解向量的個數(shù)與自由未知量的個數(shù)相同，為n-r ;也即解向量中線性無關的解向量最多有n-r個，因此，秩(B)<=n-r;因此當AB =0時，有r(A) r(B)乞n另外： 遇到C二AB要想到C的列組都是 A的列組的線性組合，C的行組都是B的行組的線性組合。從這個角度也可做此題，你來想想。 2.設 r(Am n):： n，則(

6、)(多選)。(A) ArEm，O(B) A c >Em，O(C) 對-Rn, Ax = b必有無窮多解(D) 若 BA = O = B = O(E) ATA =0(答案:B,C,D,E )【分析】(I ) (A)和(B)是化標準形的問題。這里 A是行滿秩矩陣，必有 m階子式非零，這個m階子式所在的行就是 A的所有的行，只用列變換可把它所在的m列調(diào)到前面來A C >Bmm,C此時B是非奇異矩陣，可只用列變換化為單位矩陣，然后用此單位矩陣只用列變換 把后面的矩陣C消為零。故(B)是對的。(A)不對。(II )對于(C)要知道，如果 A是行滿秩矩陣，則 Ax =b 定是有解的，這是因為

7、m =r(Am n)乞 r(Am n,b)乞 m= r(A) =r(A,b)至于是否有唯一解還是有無窮多解還要把增廣矩陣的秩(即獨立方程組的個數(shù))與未知數(shù)的個數(shù)(即 A的列數(shù)比較)，由題設r(Am n)二m ： n，故有無窮多解(C) 也是對的。(III ) 對于(D)這是書上定理 AX =0只有零矩陣解的充要條件是 A是列滿矩陣的變形BA = O = AtBt =0這里At是列滿秩，故(D)也是對的。(IV)對于(E)要了解形如 AtA的是一個非常重要的矩陣，你必須知道這兩個結論一是AtA是一個對稱半正定的矩陣(這用 xT(ATA)x 一0是很容易證明的)，二 是r(A)二r(ATA)(這是

8、書上的例題)。用第二個結論立即知 ATA可逆(實際上是對稱正定)的充要條件是 A是列滿秩。這樣就(E)是對的。另外：對于人皿腫忖型的矩陣，如果m>n，定有如=0 （這是因為r （ABn咖）蘭r（A）蘭n cm ），記憶方法：高的矩陣乘矮的矩陣一定不可逆的（如 果是方陣的話） 3.設A為n階可逆矩陣（n _2），交換A的第1行與第2行得矩陣B，則（）（A）交換A*的第1列與第2列得B*（B）交換A*的第1行與第2行得B*（C）交換A的第1列與第2列得-B（D）交換A的第1行與第2行得-B【分析】對于此類題你不僅要熟悉伴隨矩陣的運算還要熟悉初等矩陣的性質(zhì)。交換A和第1行和第2行得B,則有E（

9、i, j）A = B （左行右列原則），從而-A=|B，由此關系 找A*與B*的關系：B* = BB=_AAE（i,j）=_AAE（i,j）=_A*E（i,j）由此知（C）是對的。 4.設A為方陣，宀，2是齊次線性方程組 Ax=0的兩個不同的解向量，則（ ）是A的特征向量(A)% 與a?,( B)口 1 +5 ,(C)«1 % ,(D)( A)、( B)、(C)都是0,對應的特征向【分析】齊次方程組有有兩個不的解，當然必有非零解，從而必有特征值量就是其非零解。這里要 選（C）才能保證是非零的。把此題變化一下: 設：-!-2是齊次線性方程組 Ax = 0的兩個不同的解向量,則（）是Ax

10、=0的基礎解系。(A) : 1 (B) ： 2 , (C) ： ' ： 2 , (D) 5. 與矩陣上_111相似的矩陣是（）（答案:B)1(A)0'00l0 ,2_1(B)00011 , (C)21010 ,2(D)11【分析】首先相似矩陣有相同的特征值，都是1 （二重）2 （單重），如有不是的就該排除,這里沒有。這就要靠矩陣可對角化的充要條件是任一特征值的重數(shù)等于它所對應的無關特征向量的個數(shù)（也稱幾何重數(shù)）去判別。即ni二n - r（ jE - A）亦即r(E - A) = n = n-nj，對于單重的不需要考慮( 這是為什么？)，只需考慮多重的。這里只需考慮r(1 E _

11、A)：3_2 =1計算題12222222 1.計算行列式Dn =2233* +2-222n提示此行列式特點是對角元不等，其余相等。每一行減第一行。你還有更好的方法嗎。答案-2 (n- 2)!)評注關于行列式的計算重點掌握化三角形，以及特殊分塊行列式的計算 2.解矩陣方程§A)*JXA=2AX 12E，求X提示先化簡方程為:X(4E -2A) =12E答案2-2-4-20000X =002200_12評注關于解矩陣方程一定要先化簡，變?yōu)槿缦滦问街籄X 二 B,XA 二 B, AXB 二 C主要考察矩陣的基本運算，矩陣求逆等知識。注意左乘還右乘的關系，這是同學們最容易錯的。 3.設向量

12、組% =(1,2,3,4,。2 =(2,3,4,5)tN3 =(3,4,5,6)t,J =(4,5,6,7)t求此向量組的一個極大無關組，并把其余向量用該極大無關組線性表示。提示按上課教的方法把向量按列排成矩陣只用行變換化最簡階梯形，參照教材P94例11-i0-i-21答案最簡階梯形為T =0i2300000000 一注意不管給的是行向量還是列向量一定要按列排成矩陣只作行變換，一定要化到最簡階梯形。常見錯誤是沒有化到最簡或中途使用了列變換。評注此題變形為下面的題，做法是一樣的下面方程組哪些方程是獨立的，哪些是多余的，并把多余方程用獨立方程表示出來'Xi + 2x2 + 3x3 = 42

13、為 +3x2 +4x3 =53xi 4x2 5x364xi 5x2 6X3 二 7 4.當，何值時，下面方程組有唯一解，無解，有無窮多解，有無窮多解時求通過解。xi 2x2= -i* 一捲 + x2 -3x3=42捲一 x2 +血3 =卩提示對于含參數(shù)的方程組，如果系數(shù)矩陣是方陣往往采用行列式法較簡單，這也是首選的方法，但是如果不是方陣只有一種方法就是行變換的方法。步驟是：當 A式0時有唯一解，當A =0時（這時參數(shù)已經(jīng)確定了）可能無解也可能有無窮多解，這要分別討論 如果右端項還有參數(shù)，只有用行變換的方法再討論答案 A=3，-i5，其它你來完成注意常見錯誤：求通解時沒有化到最簡階梯形，這樣自由

14、變量不好區(qū)分，很容易出錯。所以要記住，一定要化到最簡階梯形，然后再求解。評注這類題主要考察學生對方程組解的存在定理掌握如何，并考察求通解的能力。你來回答下面方程組或矩陣方程有解（唯一解等）的充要條件是什么？Ax =b（b = 0）, Ax =0,AX =B, AX =0 5.設實二次型 f 區(qū)，x2, x3） = 2xj axf - 4xix4x2x3 經(jīng)正交變換 x 二 Qy化為標準形為f = y2 by| 4y2(1)求參數(shù)a,b ; (2)求正交換矩陣 Q評注二次型正交變換化標準的問題實質(zhì)就是對稱矩陣正交對角化的問題，所以要把這類問題轉化為矩陣問題來處理。注意二次型的矩陣我們規(guī)定一定是對

15、稱的，如果二次型矩陣寫不對的話，該題一分不得。2-2 0提示二次型的矩陣為 A= 2 a -2-0 -2 0 _這里標準形告訴你了，就等于告訴你特征值了'I1QTAQ=q'aQ= b =A:. 4 一特征值為1, b,4，為確定參數(shù)常用下面方法AtrA =trA,解得 a =1,b - -2。A的特征值為'i = 1, ' 2 = -2, 3 = 4，求得其對應的特征向量分別為十(-2,-1,2)丁 ,:2=(2,-2,1)丁 ,: 3=(1,2,2)T由于特征值互異，它們是正交的，檢查一下如果不正交說明你做錯了。|2 2 1答案提醒-1- 22.2 12一Q，AQ =QtAQ。如果只是一般的可逆變換 x = Py化標準形為f = y： by； 4yf ,這里標準形的系數(shù)不再是特征值了，只有正交矩陣既是相似關系又是合同關系般不會出這樣的題。再注般二次型用正交變換化標準形的題，最常見的是教材P127例 12，P132例 11 這種題型，你要好好看看，并完整地做一遍 。證明題 1.設12,：為n-1個線性無關的n維列向量,'1 禾口 ' 2 與-：11,2,二 n者E正交，證明，-2線性相關。提示前面曾經(jīng)說過，把正交關系看成齊次方程組。由題意-1 ,-2都是方程組-1 x =0 lx = 0,，:爲X二0的解，其