銳角三角函數(shù)培優(yōu)講義

1、講義編號： 組長簽字： 簽字日期： 學員編號： 年 級：初三 課時數(shù)：3學員姓名： 輔導科目：數(shù)學 學科教師：課 題銳角三角函數(shù)授課日期及時段教學目標銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值重點、難點特殊角三角函數(shù)值教 學 內(nèi) 容一、 疑難講解2、 知識點梳理1銳角三角函數(shù)定義在直角三角形ABC中，C=900，設(shè)BC=a，CA=b，AB=c，銳角A的四個三角函數(shù)是： (1) 正弦定義：在直角三角形中ABC，銳角A的對邊與斜邊的比叫做角A的正弦，記作sinA，即sin A = , （2）余弦的定義：在直角三角行ABC，銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做角A的余弦，記作cosA，即cos A = ,（3）正切

2、的定義：在直角三角形ABC中，銳角A的對邊與鄰邊的比叫做角A的正切，記作tanA，即 tan A = ，這種對銳角三角函數(shù)的定義方法，有兩個前提條件：（1）銳角A必須在直角三角形中，且C=900； （2）在直角三角形 ABC 中，每條邊均用所對角的相應的小寫字母表示。 否則，不存在上述關(guān)系注意：（1）sin，cos，tan都是一個完整的符號，單獨的 “sin”沒有意義，其中前面的“”一般省略不寫；但當用三個大寫字母表示一個角時，“”的符號就不能省略.（2）正弦、余弦、正切是在一個直角三角形中引入的，實際上是兩條邊的比，它們是正實數(shù)，沒單位，其大小只與角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形無關(guān)。2、坡

3、角與坡度坡面與水平面的夾角稱為坡角，坡面的鉛直高度與水平寬度的比為坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。3、銳角三角函數(shù)關(guān)系：（1）平方關(guān)系： sin2A + cos2A = 1；4、互為余角的兩個三角函數(shù)關(guān)系若A+B=90，則sinA=cosB,cosA=sinB.5、特殊角的三角函數(shù)： 00300450600sin0cos1tan01（1）銳角的正弦值隨角度的增加(或減小)而增加(或減小)；（2）銳角的余弦值隨角度的增加(或減小)而減小(或增加)；（3）銳角的正切值隨角度的增加(或減小)而增加(或減小)。3、 典型例題 考點一：銳角三角函數(shù)的定義1、在RtABC中，C=90，cosB=，則

4、AC：BC：AB=（ ）A、3：4：5 B、5：3：4 C、4：3：5 D、3：5：42、已知銳角，cos=，sin=_，tan=_。3、在ABC中，C=90，若4a=3c，則cosB=_.tanA = _。4、在ABC中，C=90，AB=15，sinA=，則BC等于_。5、在ABC中，C=90，若把AB、BC都擴大n倍，則cosB的值為（ ）A、ncosBB、cosBC、D、不變考點二：求某個銳角的三角函數(shù)值關(guān)鍵在構(gòu)造以此銳角所在的直角三角形1、如圖，在矩形中，是邊上的點，垂足為，連接。（1）求證：；（2）如果，求的值。2、如圖，在ABC中，A=60，B=45，AB=8，求ABC面積（結(jié)果可

5、保留根號）。3、如圖（1），的頂點為O，它的一邊在x軸的正半軸上，另一邊OA上有一個點P（3，4），則sin=_4、如圖（2）所示，在正方形網(wǎng)格中，sinAOB等于（ ）A、B、C、D、25、如圖（3），在中，于，若，則的值為（ ）A、 B、 C、D、6、如圖（5），A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將ACB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到ACB，則tanB的值為（ ）A、B、C、D、7、如圖（6），菱形ABCD的邊長為10cm，DEAB，則這個菱形的面積= cm2。8、如圖，在RtABC中，C=90，sinB=，點D在BC邊上，且ADC=45，DC=6，求BAD的正切值。9、如圖，在正方形ABC

6、D中，M為AD的中點，E為AB上一點，且BE=3AE，求sinECM。10、如圖，在梯形ABCD中，ABDC，BCD=90，AB=1，BC=2，tanADC=2。（1）求證：DC=BC（2）E是梯形ABCD內(nèi)一點，F(xiàn)是梯形ABCD外一點，且EDC=FBC，DE=BF，是判斷ECF的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）在（2）的條件下，當BE:CE=1:2，BEC=135時，求sinBFE的值?？键c三：利用特殊角的三角函數(shù)值進行計算1、計算：（1）（2）（3）（4）sin45cos302、B是RtABC中的一個內(nèi)角，且sinB=，則cos=（ ）A、 B、 C、 D、3、在ABC中，a=3，b=4，C=

7、60，則ABC的面積為_。4、RtABC中，C=90，c=12，tanB=，則ABC的面積為（ ）A、36 B、18 C、16 D、185、如圖所示，在直角坐標系中，OP=4，OP與軸正半軸的夾角為30，則點P的坐標為（ ）A、（2、）B、（，2）C、（2，）D、（，2）6、在菱形ABCD中，已知其周長為16 cm，較短對角線長為4 cm，求菱形較小角的正弦值和余弦值。7、如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限內(nèi)，點B的坐標為（3，0），OA=2，AOB=60。（1）求點A坐標；（2）若直線AB交軸于點C，求AOC的面積?？键c四：已知一個特殊角的正、余弦值或正切值，求相應的銳角1、cosA

8、= ，A為銳角，則A =_；2cos(-100) = 1，則銳角 =_。2、若tanA的值是方程的一個根，則銳角A=（ ）A、30或45 B、30或60 C、45或60 D、60或903、若2cosA=0，則銳角A=_。4、在RtABC，C=90，BC=，AC=，則A等于（ ）A、90B、60C、45D、305、在ABC中，銳角A，B滿足（sinA-）2+cosB-=0，則ABC是（ ）A、等腰三角形 B、等邊三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形6、若B是RtABC的一個內(nèi)角，sinB=，則cos的值是（ ）A、B、C、D、考點五：銳角三角函數(shù)的增減性1、當090時，和隨的增大而增大，隨

9、的增大而減小。2、銳角三角函數(shù)的取值范圍：01，01，0。1、當銳角A45時，的值為（ ）A、大于B、小于C、小于D、大于2、當銳角A的時，A的值為（ ）A、小于45B、小于30C、大于45D、大于303、當銳角A60時，的值為（ ）A、小于B、小于C、大于D、大于4、已知sin，則的取值范圍是（ ）A、30 B、3090 C、030 D、0305、比較大?。海?）18_18.3（2）31_32（3）30_896、比較大?。簊in20_sin25；cos50_cos70?？键c六：銳角三角函數(shù)間的轉(zhuǎn)換1、2、若A與B互余，3、1、當sinA=cosA時，A=_。2、已知為銳角，且sin，則cos

10、=_。3、cos（60）=sin（_）。（090）4、若sin10=cosA，則銳角A=（ ）A、10 B、80 C、10或20 D、不確定5、已知36，則銳角=_。四、課堂練習1、 已知在ABC中，A、B是銳角，且sinA，tanB=2，AB=29cm，則SABC = 思路點撥 過C作CDAB于D，這樣由三角函數(shù)定義得到線段的比，sinA=，tanB=，設(shè)CD=5m，AC13m，CD2n，BDn，解題的關(guān)鍵是求出m、n的值2、 在ABC中ACB90，ABC15，BC=1，則AC=( ) A B C0.3 D思路點撥 由15構(gòu)造特殊角，用特殊角的三角函數(shù)促使邊角轉(zhuǎn)化3、如圖，已知ABC是等腰直

11、角三角形，ACB90，過BC的中點D作DEAB于E，連結(jié)CE，求sinACE的值思路點撥 作垂線把ACE變成直角三角形的一個銳角，將問題轉(zhuǎn)化成求線段的比4、如圖，在ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cosDAC， (1)求證：ACBD； (2)若sinC=，BC=12，求AD的長思路點撥 (1)把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段的比，利用比例線段證明；(2) sinC=，引入?yún)?shù)可設(shè)AD=12，AC135、 已知：在RtABC中，C=90，sinA、sinB是方程的兩個根 (1)求實數(shù)、應滿足的條件； (2)若、滿足(1)的條件，方程的兩個根是否等于RtABC中兩銳角A、B的正弦?思路點撥 由韋達定理

12、、三角函數(shù)關(guān)系建立、等式，注意判別式、三角函數(shù)值的有界性，建立嚴密約束條件的不等式，才能準確求出實數(shù)、應滿足的條件6已知為銳角，下列結(jié)論sin+cos=l；如果45，那么sincos；如果cos ，那么60； 正確的有 7如圖，在菱形ABCD中，AEBC于E，BC=1，cosB=，則這個菱形的面積為 8如圖，C=90，DBC=30，ABBD，利用此圖可求得tan75= 9化簡: (1)= (2)sin2l+sin22+sin288+sin289= 10身高相等的三名同學甲、乙、丙參加風箏比賽三人放出風箏線長、線與地面夾角如下表(假設(shè)風箏線是拉直的)，則三人所放的風箏中( ) A甲的最高 B丙的

13、最高 C乙的最低 D丙的最低11已知 sincos=，且045則co-sin的值為( ) A B C D12在ABC中，C90，ABC30，D是AC的中點，則ctgDBC的值是( ) A B C D 13在等腰RtABC中C90，AC6，D是AC上一點，若tanDBA=，則AD的長為( ) A B2 C 1 D14已知關(guān)于的方程的兩根恰是某直角三角形兩銳角的正弦，求m的值15D是ABC的邊AC上的一點，CD=2AD，AEBC于E，若BD8，sinCBD=，求AE的長 16若045，且sincon=，則sin= 17已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，為銳角，那么的取值范圍是 18已知是ABC的

14、三邊，a、b、c滿足等式，且有，則sinA+sinB+sinC的值為 19設(shè)為銳角，且滿足sin=3cos，則sincos等于( ) A B C D 20如圖，若兩條寬度為1的帶子相交成30的角，則重疊部分(圖中陰影部分)的面積是( )A2 B C1 D 21如圖，在ABC中，A30，tanB=，AC=，則AB的長是( ) A B C5 D22己在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊，且c=，若關(guān)于的方程有兩個相等的實根，又方程的兩實根的平方和為6，求ABC的面積五、課后作業(yè)1. 如圖，沿折疊矩形紙片，使點落在邊的點處已知，AB=8,則的值為 ( ) 圖52. 如圖，在直角坐標系中，將矩形沿對折，使點 落在處，已知，則點的坐標是（ ） （1） （2） (3) (4) (5)3. 如圖，在等腰直角三角形中，為上一點，若 ，則的長為( )A B C D 4. 如圖，中，,是直角邊上的點，且, ，則邊的長為 5. 如圖，在矩形中，、分別為、的中點，若，四邊形的周長為，則矩形的面積為 _6. 如下圖所示，中，于，則_7. 等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半，則底角的余弦