課例拋物線的定點弦問題簡案

1、課題：拋物線的定點弦問題 上海大學附屆中學李昉 2021 年 11 月 26 日 一、教材分析： 拋物線,作為四種二次曲線一一圓、橢圓、雙曲線、拋物線中的最后一種,教材在這一小節(jié)中簡單介紹了拋物線的幾何性質(zhì)及一種奇特的光學性質(zhì),學生通 過對這些性質(zhì)的學習,可進一步掌握拋物線的概念及其標準方程,同時也為學生進一步探究拋物線的其它性質(zhì)留下了廣闊的空間.拋物線的性質(zhì),除了書上介紹的之外,還有如拋物線的焦點弦問題、拋物線的定點弦問題等等,都可以作為我們教學中探究的課題.拋物線性質(zhì)的探究,對丁培養(yǎng)學生綜合應(yīng)用知識的水平、培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì),培養(yǎng)學生勇丁探究的精神等,都具有重要的作用. 二、教學目標

2、1. 熟練掌握向量的數(shù)量積運算、直線與拋物線相交問題中的常規(guī)解題思路、 分類討論思想與方法等 2. 學會發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,綜合應(yīng)用知識探究、解決問題的方法；形成縱 向思考問題、逆向思考問題的意識,優(yōu)化思維品質(zhì) 3. 培養(yǎng)學生勇丁探究的精神,提升學生合作交流的水平 三、教學重點、難點： 學會發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,綜合應(yīng)用知識探究、解決問題的思路和方法 四、教學方法及手段： 以“疑為樞紐,創(chuàng)設(shè)問題情景,師生互動,生生互動,引導(dǎo)學生共同探 究解決問題 五、教學過程： (一) .問題引入： 在平面直角坐標系 xoy 中,設(shè)直線 l 與拋物線 y22x 相交于 A,B 兩點, (1)假設(shè) l:yx3,求

3、 OAOB,(2)假設(shè) l:y2(x3),求 OAOB (學生分兩組解答問題,老師強調(diào)：聯(lián)立方程組消元時方法的選擇以及常規(guī) 的解題思路) (二) .問題探究： 1. 引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)問題： 上述兩組問題中,所給的直線方程不同,而所得結(jié)果卻是一樣的,考察兩條直線的方程,有何共同之處？不同之處？假設(shè)直線過點(3,0),當它的斜率改為 3,k 或直線斜率不存在,其結(jié)果還是一樣嗎？ 2. 引導(dǎo)學生提出問題： 問題一：從這兩組問題的解答中,你能概括出怎樣的一個命題？它是真命題還是假命題？ 命題：在平面直角坐標系 xoy 中,直線 l 與拋物線 y22x 相交于 A,B 兩點,假設(shè)直線 l過點 T(3,0),

4、那么 OAOB3,是真命題 (學生答復(fù),老師補充歸納) 3. 引導(dǎo)學生進行推廣 問題二：至此,我們已經(jīng)在原來問題的根底上,對直線的斜率進行了推廣,一般來說,對一個問題進行推廣可以從“特殊到一般、數(shù)字到字母、具體到抽象等方面考慮,那么,圍繞這個命題,我們還可以進一步作怎樣的探究？ 學生：在平面直角坐標系 xoy 中,直線 l 與拋物線 y22x 相交于 A,B 兩點,假設(shè)直線 l過點 T(t,0),那么 OAOB? (師生一起通過同上解法,得到如下結(jié)論：) 結(jié)論：在平面直角坐標系 xoy 中,直線 l 與拋物線 y22x 相交于 A,B 兩點,假設(shè)直線 l過點 T(t,0),當點的橫坐標在 x

5、軸正向或負向且直線斜率 c1一一 C 取 k2范圍時,OAOBt22t,即數(shù)量積只與點的橫坐標 2t 有關(guān)而與直線的斜率無關(guān) 4 .引導(dǎo)學生進一步推廣 問題三：至此,我們對直線的斜率、直線過的定點都作了推廣,那么, 圍繞這個問題,還能再作進一步的推廣嗎？ 學生：在平面直角坐標系 xoy 中,直線 l 與拋物線 y22px(p0)相交于 A,B 點,假設(shè)直線 l 過點 T(t,0),貝 UOAOB? (師生一起通過同上解法,得到如下結(jié)論：) 結(jié)論：在平面直角坐標系 xoy 中,直線 l 與拋物線 y22px(p0)相交 于 A,B 兩點,假設(shè)直線 l 過點 T(t,0),當點的橫坐標在 x 軸正

6、向或 負向且直線斜率取 k2衛(wèi)范圍時,OAOBt22pt,即數(shù)量積 2t 只與點的橫坐標及拋物線焦參數(shù)有關(guān),而與直線的斜率無關(guān) 5 .引導(dǎo)學生逆向思考： 問題四：剛剛我們圍繞著問題一中的命題作了縱向考慮,即將特殊情況進行了推廣,獲得了一般的結(jié)論.同學們在平時的學習中,有時會遇到這樣一類問題,即正面解決比擬困難,那么我們可以從其反面來考慮.因此圍繞這個命題,我們的研究還可以作逆向的思考,你可以探究一個怎樣的問題？ 學生：設(shè)直線l與拋物線y22x相交丁A,B兩點,假設(shè)OAOB3,那么直線l過定點T 3,0嗎？ 老師引導(dǎo)：設(shè)直線過定點t,0,由上述研究過程可以得出如下結(jié)論：結(jié)論：在平面直角坐標系 x

7、oy 中直線 l 與拋物線 y22x 相交于 A,B 兩點, 假設(shè) OAOB3,那么當直線 l 與拋物線的交點 A,B 位丁 x 軸兩側(cè)時, 所有直線 l 過定點3,0,當直線 l 與拋物線的交點 A,B 位于 x 軸同側(cè) 21. 且直線 l 的斜率滿足：k時,直線 l 過定點1,0t 6 .引導(dǎo)學生進一步探究: 問題五：既然上述結(jié)論不一定成立,那么我們可以作進一步的探究 在平面直角坐標系 xoy 中,直線 l 與拋物線 y22pxp0相交 uuuuuu 于 A,B 兩點,右OAOBmm 為正的常數(shù),那么直線 l 與 x 軸的交點坐標是什么？是定點嗎? 師生一起通過同上解法,得到如下結(jié)論: 結(jié)

8、論：在平面直角坐標系 xoy 中,直線 l 過點t,0,與拋物線 y22px unnuur p0 相交于 A,B 兩點,假設(shè) OAOBm 也正的常數(shù) ,當直線 l 與拋物線交點 A,B位丁 x 軸兩側(cè)時,所有直線過定點p77,0,當直線 l 與拋物線的交點 A,B 位于 x 軸同側(cè),且直線 l 斜率滿足: k2壹時,直線 l 過定點pJp,0 三.小結(jié)： 這堂課,我們研究了直線與拋物線相交時的定點弦問題.對于一個問題的探究,我們的方法可以從特殊到一般,即作縱向考慮,也可以作逆向的思考.探究一個問題,要學會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,從而解決問題,這里掌握方法最重要 四.作業(yè)： 思考：關(guān)于拋物線的焦點弦問題,我們還可以作哪些方面的探究？ 五設(shè)計說明： 本節(jié)課是一節(jié)探究課,設(shè)計這樣一個問題,主要是為了使學生感悟并學會發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,綜合應(yīng)用知識探究、解決問題的思路和方法. 本節(jié)課設(shè)計的這個問題,有三個可以研究的變量,即直線的斜率、直線經(jīng)過的定點以及拋物線中參變量.教學設(shè)計分兩局部進行,首先我們通過上述問題一至問題三,從特殊到一般,不斷引導(dǎo)學生對問題中的三個變量作縱向的探究；其次進一步引導(dǎo)學生對問題作逆向的思考,培養(yǎng)學生的逆向思維,優(yōu)化學生的思維品質(zhì). 逆向思維是指由果索因,知本求源,從原問題的相反