同濟(jì)版高數(shù)教學(xué)設(shè)計完美版曲面及其工程

1、§7. 3曲面及其方程一、曲面方程的概念在空間搟析幾何中，任何曲面都可以看件點的幾何軌跡一在這祥的意義下, 如果曲面用與三元方程鳳心腫)=0有下述關(guān)系：(1) 曲面S上任一點的坐標(biāo)都滿足方程F3 沁(2) 不在曲面S上的點的坐標(biāo)都不滿足方稈那么，方程 幣腫司就叫做曲面£的方程，而曲擊S就凹做方程F(xrz)=0的 圖瑕第見的曲面的方程：例1建立球心在點M伽，嚴(yán)的卜半徑為J?的球面的方程.解 設(shè)碩壯)是球面丄命任一點，那么即以x-旳)X曠片)北F =盤,或 匕-則卩旳-嚴(yán)尸檢-甜尸眾3*這聯(lián)是球面上的點的坐標(biāo)所滿足的方程.而不在球面上的點的坐標(biāo)都不滿足這 個方程.所以注.F

2、=丘-就是球心在點耐小3 半徑為j?的球耐方程.特殊地，球心在原點qso川卜半徑為尺的球面的方程為眄備眾，例2設(shè)有點叔1,2”)和鳳2,-1,/求線段的的垂直平分面的方程.解 電題意知道所菠的平面就是與貝和E等距離的點的幾何軌跡 設(shè)Mx PM)為所求平面上的任一點，則有即曲-D旳-2)*聊=檢書)等式兩邊平方，然后化簡得2x-fy+2z7=Q -這就是所求平面上的點的坐標(biāo)所滿京的方程，而不在此平面上的點的坐棟都不 滿足這個方程，所以這個方程就是所求平面的方程研究曲面的兩個基本問題：(1) 己知一曲面作為點的幾何軌跡時，逹立這曲面的方程；(2) 已知坐標(biāo)恥丿和間的一個方程時，研穽這方程所表示的曲

3、面的形狀一例？方程*/+-2卄4嚴(yán)0表示怎祥的曲面？解通過配方，原方程可以改寫成(1)3>+2)+z3=5.這呈一個球面方程，球心在點Mo(lT-2,0>.半徑炯占.-般地，設(shè)有三元二?欠方彈，Ax + 孕"七a+D+另+F+*G,這個方程的特點是猷昭，“，訪各項，而且平方項系數(shù)相同，只要將方程經(jīng)過配 方就可以化成方程(工恥)'切屮)丄+(曠期丫 =養(yǎng)的形式，它的51形就星一亍球面.二、旋轉(zhuǎn)曲面以一條平面曲銭繞真平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面, 這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸.設(shè)在0工坐標(biāo)面上宥一已知曲線J它的方程為如)迅把這曲線繞z軸施轉(zhuǎn)一周，就得到

4、一個以£軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面一它的方程可U求 得如下：設(shè)皿“,"為曲面上任一點、，它是曲線C上點3(0護(hù),刃爆£軸旌轉(zhuǎn)而得到 嗚粥虹關(guān)系等式',1卅何兀從而得g斥怦這就呈所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程一在曲鏡C的方程畑冋中榕J改成,便得曲線C繞蠱釉旋轉(zhuǎn)所成 的能轉(zhuǎn)曲面的方程H壞虧,J)=o.同理十曲錢c繞)釉旋轉(zhuǎn)用爾闘購再頁的方程為例4直線L養(yǎng)另一條與相交的直線雄轉(zhuǎn)一周”所得旌轉(zhuǎn)曲面叫做風(fēng)錐面” 兩直錢的交庖叫做圓錐面的頂點”兩直錢的夾角a嚴(yán)*乎剛做風(fēng)錐面的半頂 角 試建立頂點在坐標(biāo)原點Q讀轉(zhuǎn)軸為器軸，半頂角為a的圓錐面的方程，解 yOz坐標(biāo)面內(nèi)，直線的方程為scotct

5、 ,z=i(?-tp; cotcx ,將方程少皿 中的改成到所要求的圓錐面的方程或苴中a=co a例予.將£0坐標(biāo)面上的取曲線<=1分別繞x軸和占軸艇轉(zhuǎn)一周，求所生 成的施轉(zhuǎn)曲面的方程.解 繞X釉施轉(zhuǎn)所在的旄轉(zhuǎn)曲面的方程為 繞£釉旋轉(zhuǎn)所在的謹(jǐn)轉(zhuǎn)曲面的方程為15-1X +P Z這兩種曲面分別叫做雙葉靛轉(zhuǎn)雙曲面和單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.三"柱面例6方程/勺丄左表示怎樣的曲面？解 方程?+/= s xc面上表示hi心在原點a半徑為兄的圓.在空間 直角坐標(biāo)系中，這方程不含豎坐標(biāo)&即不論空間點的豎坐標(biāo)占怎祥，只要它的橫 坐標(biāo)x和飆坐標(biāo)能滿足這方程，那么這些點就在這曲面

6、上 也就是說，過xQp 面上的回/勺亠丘，且平行于占軸的直銭一定在x3+pJ«jr表示的曲面上 所以這 個曲面可以看成是由平行于£軸的直線I沿xOy面上的圓xy2=移動而形成 的.這曲面叫撇凰拄面面上的圓H卻乙R叫做它的堆線，這平行于占軸的直 線i叫橄它的母線.例6方程疋表示怎樣的曲面？解 在空間直角坐標(biāo)系中，過面上的圓新=於作平行于芯軸的直線1 ,則直銭J上的點祁滿足方程乩 因此直線L定在，護(hù)眾 表示的曲面上. 所以這個曲面可以看成是由平行于z釉的直銭I沿面上的圓移動 而形成的，這曲面叫做厠柱面面上的凰/*堆疋叫做它的堆蛾，it平行于蠱 軸的直線/叫儆它的母線.拄面:平行

7、于定直線并沿定曲線C移動的直線形成的就跡叫做荘面，定曲 線C叫做拄面的準(zhǔn)線，動言線L叫做柱面的母銭一第7頁共6頁上面我們看到，不含Z的方程在空間直角坐標(biāo)系中表示圓柱面，它的母 線平行于占軸，它的堆線星片0面上的圓,勺?=疋1般地，只含於丿而缺占的方程F（x>D?在空間直角坐標(biāo)茶中表示母線平 行于£軸的柱面，苴準(zhǔn)馥是xOy面上的曲銭C只切）E例如*方程表示母線平行于z釉的柱直，它的準(zhǔn)線是心 面上的施物 銭才毛為該柱面叫做拋物柱面肌 方程表示母線平行于£軸的柱面”其準(zhǔn)裟是 心 面的直線 jr-ji=O,所以它是過占軸的平面.類似地，只含工乜而缺$的方程G>,&quo

8、t;=0和只含嚴(yán)占而缺薄的方程再,2）=0 分別表示母鏡平行于卩軸和x釉的柱面.例如，方程x-0表示母線平行于y軸的柱面，苴準(zhǔn)線是 心 面上韻直線20、所以它是過/軸的平面四*二次曲面與平面解祈幾何中規(guī)定的二次曲銭相類似，我們把三元二次方程所恚示的 曲頁叫做二次曲面.把平面叫儆一衣曲面.怎祥了解三元方程 geo所表示的曲面的形狀呢？方法之一是用坐標(biāo)面 和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相雷t考察苴交線的眾狀，然后加以蹤合，從而了 解曲面的立體形狀，這種方法叫做誌痕;去.硏究曲面的另一種方程是件縮變形法:設(shè)$是一亍曲面，苴方程為網(wǎng)兒是將曲面S沿*軸方向伸縮久倍所 得的曲面顯然*若aM）認(rèn)則e宀対,若（為

9、屮護(hù)門則弄”誑S 一因此”對于任意的（X J 級匚有珂4”亦0,即訊;"3“是曲面f的方由方程所表示的曲面稱為楠圓錐面一111 J例如J把園錐面沿丿軸方向伸舞 倍，所得曲面的方程為 X（ y X-卅弋井嚇si即，&L ,-z?圓錐曲面孫護(hù)萍方向伸縮而得的曲面一X / 、把圜椎面°沿丿軸方向伸彼倍，所得曲面稱為楠圓錐面°劭以垂直于芯軸的平面T截此曲面*當(dāng)“時得一點（0,0,0）;當(dāng)&0時，潯乎£斗上的楠風(fēng)雙曲拋物面又稱馬靈面再沿T軸方把面上的雙曲線亠么包繞遲軸旋轉(zhuǎn)，得旋轉(zhuǎn)單葉孜曲面一廠"所表示的曲面稱為雙曲拋物面向伸縮£

10、倍，即得楠球面B+歹再沿丿軸方向伸縮?倍，即得戒葉雙曲面廠 Q滯風(fēng)拋物審由方程T=S所表示的曲面諭為楠圓拋物面把 曲 面上的拋物線乂円繞選軸鏈轉(zhuǎn)，所得曲面叫做旋轉(zhuǎn)拋恢面亠廠fl-再沿丿軸方向伸縮£倍，所得曲面別做橢圓拋物面赤培 F佢譚曲翹海面由方程商(&T當(dāng)f孌化時，上式表示一族長短軸比例不吏的楠圓，當(dāng)旳從大至小并變?yōu)镚時，這 族捕圓從大到小并縮為一點.綜合上述討論*可得楠圓錐面的形狀如國.(2滯球面由方程召*石手"所表示的曲面稱為楠球面.球面在7釉* 軸或£釉方向伸縮而得的曲面.把夕“*沿占軸方向伸篦 倍，得旋轉(zhuǎn)楠球面1芋再沿丿軸方向忡縮?倍，即得單葉雙曲.(4)雙葉雙曲面井.y x由方程所表示的曲面稱為雙葉雙曲面(3厚葉雙曲面由方程F+_r-r所表示的曲面稱為單葉雙曲面JT H 2 把 血 面上的雙曲銭£二司繞X軸施轉(zhuǎn)，得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲赫"丁用平面x=t截此曲