最少拍及無波紋最少拍系統(tǒng)設計原則實例

1、一、在最少拍設計時，(Z)及e(Z)的選取應遵循下述原則：1 ) e(Z)的分子中必須包含(1 Z1)m因式(保證系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零)。注意：e(z) (1 z 1)mF(z)，式中：F(z)為不含(1 Z 1)因子的待定的Z 1的有限 項多項式。一般取F(z) 1 az 1 bz 2 .為有限項多項式。2) 以z1為變量的(z)展開式的項數(shù)應盡量少(保證瞬態(tài)過程在有限拍內結束， 保證隨動系統(tǒng)為最少拍系統(tǒng))。3) Gc(z)應是物理可實現(xiàn)的有理多項式，其零點數(shù)不能大于極點數(shù)(即(z)的 分母與分子階次之差應大于、等于 G(z)的分母與分子的階次之差)。一般已知的 G(z)這條都滿足。4) e(z

2、)的零點必須包含G(z)中位于單位圓上及單位圓外的極點(保證閉環(huán)系 統(tǒng)穩(wěn)定)。5) (z)的零點必須包含G(z)中位于單位圓上及單位圓外的零點 (保證控制器穩(wěn) 定)。6) (z)中必須包含G(z)中的純延遲環(huán)節(jié)(保證控制器是物理可實現(xiàn)的)。注意：前3條一定需要，后三條不一定需要。二最少拍系統(tǒng)設計實例情況1:假定G(z)無延遲，且不含不穩(wěn)定零點和不穩(wěn)定極點(即不含單位圓上和單位圓外的零極點(p 1,z1除外)，且G(z)的分母多項式最多比分子多項式高一次。在上述條件下構造 (z)和時，只需考慮設計原則中的前三條即可，故取1 me(z)(1 z ) F(Z)，F(xiàn)(z) 1。下面就再這樣的假設條件下

3、，討論最少拍系統(tǒng)在不同典型輸入作用下， 數(shù)字 控制器脈沖傳遞函數(shù)Gc(z)的確定方法。比如：單位階躍輸入：最少拍設計開始當 r(t) 1(t)時，有 R(z) Z 1(t)1，則取 F(z) 1e(z)(1 Z1)mF(z) 1 Z(Z)1 e(z) z所以，數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)為:Gc(z)G(z) e(z)1z1(1 z1)G (z)最少拍設計到此結束注意：幾拍？看誤差脈沖序列和輸出脈沖序列的 Z變換即:E(z) e(z)R(z)1C(z) (z)R(z) z 1 z 2 z 3 L根據(jù)Z變換的定義式E(z) e(nT)z n, C(z)c(nT)z n知:n 0n 0e(0)1,e(T

4、)e(2T) L 0c(0)0,c(T)c(2T) L 1最少拍系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖 P524圖9.42所示?？梢?，最少拍系統(tǒng)經 過一拍便可完全跟蹤輸入r(t) 1(t)，這樣的離散系統(tǒng)稱為一拍系統(tǒng)，其調節(jié)時間 ts T 0J14Cr2T3T4TP524圖9.42最少拍系統(tǒng)的單位階躍響應序列注：若輸入為單位斜坡或單位加速度輸入時方法一樣，只是輸入和e(z)不同。情況2 :若G(z)有延遲或含單位圓上和單位圓外的零極點。例:設單位反饋線性定常離散系統(tǒng)的連續(xù)部分和零階保持器傳遞函數(shù)分別為其中采樣周期T 1s。若要求系統(tǒng)在單位斜坡輸入時實現(xiàn)最少拍控制，試求數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)GJz)。解：1

5、)系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為:G(z)(1 z1) Z10s2(s 1)10(1 z 1)Tz(z 1)2(1 eT)z(z 1)(z eT)3.68z 1(1 0.717Z1)1v(1 z 1)(1 0.368Z1)注意：G(z)中分子和分母的階次同，因此 設計原則中的第三條滿足2)【分析】：G(z)中的純滯后環(huán)節(jié)？-用(z)包含純滯后環(huán)節(jié)來 對消G(z)中在單位圓上的極點？-用e(z)的零點對消Tz 1因為 r(t) t，R(z) Zt z 12，貝U(1 z )試探取F(z) 1 (如果F(z) 1不滿足后面的所有要求，則取 F(z) 1 az 1 bz 2 .有限項多項式)。則 e(z)(

6、1 z1)2 ( 1 )注：e(z)既滿足穩(wěn)態(tài)誤差為0，且其零點正好補償G(z)在單位圓上的極點貝 y (z)1 e(z) 2z1 z2 z1(2 z1)(2)注： (z)已包含G(z)的純滯后環(huán)節(jié)z 1。(z)0.543(1 0.368z)(1 0.5z )G(z) e(z)(1 z1)(1 0.717z1)例9.23已知系統(tǒng)結構圖如圖。其中開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為:R(z)G(1 z1)(10.2z1)(10.015Z1)0.5z 1 (10.05z 1)(1 1.2z 1)試設計Gc(z)在單位階躍輸入時實現(xiàn)最少拍控制。解：注意：G(z)中分子和分母的階次同，因此 設計原則中的第三條滿足?！痉?/p>

7、析】：G(z)中的純滯后環(huán)節(jié)？-用(z)包含純滯后環(huán)節(jié)來 對消G(z)中在單位圓外有不穩(wěn)定零點(11.2z 1) ？-用(z)的零點來對消G(z)中在單位圓上的極點？-用e(z)的零點對消1因為 r(t) 1(t)，R(z) Z 1(t)1 ，貝U1 z試探取F(z) 1 az 1 (注意，F(xiàn)(z) 1不滿足后面的所有要求)。貝 y e(z)(1 z1)(1 az 1)( 1 )注：e(z)含(1 z 1)既滿足穩(wěn)態(tài)誤差為0,且其零點正好補償G(z)在單位圓上的極點。注意：之所以F(z) 1 az 1，是因為，(z)中必須有z 1(1 1.2z 1)，因為1 e(z)，故 e(z)(1 z 1

8、)( 1 aZ 。貝y (z) bz 1(11.2z1)(2)注： (z)中z 1(11.2z 1)已包含G(z)的純滯后環(huán)節(jié)z 1以及G(z)中在單位圓外有不穩(wěn)定零點(1 1.2z 1)。注意：之所以(z) bz 1(1 1.2z 1)增加這個系數(shù) b，是為了滿足 (Z)1 。根據(jù)有：(Z)1e(z) ( 3 )將(1) (2)代入(3 )式，則b z 11.2b z 2(1 a)z 1 az 2 (注意：等式兩側z 1和z 2系數(shù)分別相等)b 1 aa 0.5451.2b ab 0.455于是:e(z)(1 z1)(10.545z1)(z)0.455 z 1(11.2 z 1)(z)0.9

9、1(1 0.2z 1)(1 0.015z 1)1 1G(z) e(z)(10.05z 1)(10.545Z1)最少拍設計結束問題：幾拍?E(z) e(z)R(z)10.545z分析：該最少拍系統(tǒng)響應階躍輸入的調整時間為兩拍。顯然由于G(z)在單位圓外存在一個零點，使調整時間比典型最少拍系統(tǒng)多一拍，這增加的一拍，是 保證控制器Gc(z)穩(wěn)定所必須的。應當指出，當開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) G(z)中包含有單位圓上和單位圓外的零極 點以及純延遲時，應用e(z) (1 z 1)mF(z)選擇e(z)時，一般不能再取F(z) 1，而必須使F(z)的零點能補償G(z)的單位圓上或單位圓外的極點。顯然， 在這種情況

10、下，線性離散系統(tǒng)響應典型控制輸入的調整時間長于相應典型最少拍 系統(tǒng)(如P525表9.4所示)的調整時間，從而變成次最少拍或準最少拍系統(tǒng)。 三無波紋最少拍系統(tǒng)設計原則最少拍系統(tǒng)對輸入信號適應性差，在有限拍數(shù)后，只能作到采樣時刻上無誤 差。由于最少拍系統(tǒng)的輸出在非采樣時刻存在紋波，這是工程上所不容許的，應設法消除。無紋波最少拍系統(tǒng)的設計要求是：在某一種典型輸入作用下設計的系 統(tǒng)，其輸出響應經過盡可能少的采樣周期后，不僅在采樣時刻上輸出可以完全跟蹤輸入，而且在非采樣時刻不存在紋波。在無波紋最少拍設計時，(Z)及 e(z)的選取應遵循下述原則：1 ) e(z)的分子中必須包含(1 z 1)m因式(保證

11、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零)。1 m11注意：e(z)(1 z ) F(z)，式中：F(z)為不含(1 z 1)因子的待定的z 1的有限項多項式。一般取F(z) 1 az 1 bz 2.為有限項多項式。2 )以z 1為變量的(z)展開式的項數(shù)應盡量少(保證瞬態(tài)過程在有限拍內結束，保證隨動系統(tǒng)為最少拍系統(tǒng))3) GJz)應是物理可實現(xiàn)的有理多項式，其零點數(shù)不能大于極點數(shù)(即(z)的分母與分子階次之差應大于、等于 G(z)的分母與分子的階次之差)。一般已知的G(z)這條都滿足。(4) (z)中必須包含G(z)中的純延遲環(huán)節(jié)(保證控制器是物理可實現(xiàn)的)。(5) e(z)的零點必須包含 G(z)中位于單位圓上及

12、單位圓外的極點(保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定)(6) (z)的零點必須包含 G(z)的全部零點(保證控制器穩(wěn)定，無紋波)。注意：只有(6)區(qū)別于最少拍系統(tǒng)設計，其余同最少拍系統(tǒng)的設計方法四無波紋最少拍系統(tǒng)設計實例例9.25已知開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為3.68z1(1 0.717Z1)(1 z 1)(10.368z 1)T =1秒，試設計Gc(z)。要求：1. 在單位斜坡輸入時實現(xiàn)無波紋最少拍控制。2. 在單位階躍輸時實現(xiàn)無波紋最少拍控制。C(z)C(單 c(t)解：注意：G(z)中分子和分母的階次同，因此設計原則中的第三條滿足【分析】：G(z)中的純滯后環(huán)節(jié)？-用(z)包含純滯后環(huán)節(jié)來對消G(z)中在單位圓內的

13、零點(1 0.717z ) ?-用(z)的零點來對消G(z)中在單位圓上的極點？-用e(z)的零點對消1.單位斜坡輸入：1)設計 Gc(z):r(t) t,則 R(z)TzK2(1 z )根據(jù)無紋波最少拍系統(tǒng)的設計原則，有：e(z)(1 z1)1r(t) 1(t)，則 R(z)1。1 z根據(jù)無紋波最少拍系統(tǒng)的設計原則，有：e(z)(1 z 1)(1 az1)( 1 )注：e(z)包含(1 z 1)既滿足穩(wěn)態(tài)誤差為0，又抵消了 G(z)中在單位圓上的極點。注意：之所以F(Z)1 az 1 ,是因為，(z)中必須有z 1(1 0.717Z1),因為(1 az1)( 1 )注：e(z)包含(1 z1

14、)2既滿足穩(wěn)態(tài)誤差為0,又抵消了 G(z)中在單位圓上的極點。注意：之所以F(z) 1 az 1，是因為，(z)中必須有z 1(1 0.717Z1)，因為(z)1 e(z)，故 e(z)(1 z )2(1 aZ 1)。則(z) z 1(10.717z 1)(b cz 1) ( 2)注：(z)中z 1(10.717Z1)已包含G(z)的純滯后環(huán)節(jié)z 1以及G(z)中在單位圓內的零點(10.717z 1)。注意：之所以(z)z1(110.717z )(bcz 1)增加這項(bcz 1)，是為了滿足(z) 1 e(z)將(1)根據(jù)有：(Z) 1(2)代入(3)式，則bz1 (c 0.717b)z20

15、.717cz3e(Z)(3)(2 a)z1(2a 1)z23 az和z 3系數(shù)分別相等)0.5920.717b c2a 11.4080.717c0.826曰是,e(z)(1z1)2(10.592 z 1)(z)1.408 z 1(10.717z1 11)(10.587z 1)1 1G ()0.383(10.368z )(10.587z )(1 z 1)(10.592z 1)c(Z) G(Z) e(z)2)檢驗是否有波紋:M(z) Gc(z)E(z) Gc(z) e(z)R(z)0.383Z 1(z) 1e(z)，故 e(z) (1 z )(1 aZ )。貝y (z) bz 1(10.717z

16、1)( 2 )注：(z)中z 1(10.717z 1)已包含G(z)的純滯后環(huán)節(jié)z 1以及G(z)中在單位圓內的零點(1 0.71 7z 1)。注意：之所以(z) bz 1(1 0.717Z1)增加這個系 數(shù)b , 是為了滿足 (Z)1 e(Z)。根據(jù)有：(Z)1 e(z) ( 3 )將(1 ) ( 2 )代入(3 )式，則b z 10.717b z 2(1 a)z 1 az 2 (注意：等式兩側z 1和z 2系數(shù)分別相等)得到 0.0172zb 1 a a 0.4180.717 b ab 0.582于是e(z)(1 Z 1)(10.418Z1) 0.1(z1 1 z(z)0.582 z (10.717z ) L )數(shù)字控制器的輸出序列m(0)0,m仃)0.383,m(2T)0.017, m(3T)m(4T) L 0.1顯然，m(nT)經過三拍后達到穩(wěn)態(tài)值 0.1。從此，輸出c(t)無波紋跟蹤單位斜坡輸入r(t)。2