動(dòng)物集群運(yùn)動(dòng)行為模型系列之四

1、 . . . 動(dòng)物集群運(yùn)動(dòng)行為模型摘要?jiǎng)游锛哼\(yùn)動(dòng)行為近幾年受到國(guó)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，研究這些集群運(yùn)動(dòng)不僅對(duì)人們的工作和生活具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，對(duì)了解自然界和生物系統(tǒng)具有深遠(yuǎn)的科學(xué)意義。問(wèn)題一，通過(guò)題目中給出的圖片和視頻資料，通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)查資料得到動(dòng)物集群運(yùn)動(dòng)的機(jī)理。針對(duì)這些機(jī)理，我們引用了傳統(tǒng)的Vicsek模型對(duì)魚群的集群運(yùn)動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)表述，并在上述規(guī)則下通過(guò)vc+程序?qū)崿F(xiàn)了對(duì)模型的仿真，并調(diào)整噪音和密度參數(shù)，詳細(xì)說(shuō)明了上述因素對(duì)魚群運(yùn)動(dòng)行為的影響。問(wèn)題二，為了刻畫魚群躲避黑鰭礁鯊魚的運(yùn)動(dòng)行為，我們對(duì)傳統(tǒng)的The Selfish Gene模型進(jìn)行了改進(jìn)，進(jìn)一步考慮了獵物極限速度的大小，并與傳統(tǒng)模型

2、中考慮的距離因素進(jìn)行加權(quán)處理，得到優(yōu)化的有捕食者情況下的運(yùn)動(dòng)行為模型。問(wèn)題三，我們借助模型一求解的魚群運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了約束限制，建立了魚群避障模型。關(guān)鍵詞：Vicsek模型 The Selfish Gene模型 避障模型目錄第一部分 問(wèn)題重述(3)第二部分 問(wèn)題分析(3)第三部分 模型假設(shè)與說(shuō)明(4)第四部分 定義與符號(hào)說(shuō)明(4)第五部分 模型的建立與求解(5)1問(wèn)題1的模型 Vicssek模型(5).2 問(wèn)題2的模型 優(yōu)化的The Selfish Gene模型(10).3. 問(wèn)題3的模型 避障模型(12).第六部分 對(duì)模型的評(píng)價(jià)(13)第七部分 參考文獻(xiàn)(13)第八部分 附錄(14

3、)動(dòng)物集群運(yùn)動(dòng)行為模型1、 問(wèn)題重述在動(dòng)物界，大量集結(jié)成群進(jìn)行移動(dòng)或者覓食的例子并不少見(jiàn)，這種現(xiàn)象在食草動(dòng)物、鳥、魚和昆蟲中在。這些動(dòng)物群在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中具有很明顯的特征：群中的個(gè)體聚集性很強(qiáng)，運(yùn)動(dòng)方向、速度具有一致性。通過(guò)數(shù)學(xué)模型來(lái)模擬動(dòng)物群的集群運(yùn)動(dòng)行為以與探索動(dòng)物群中的信息傳遞機(jī)制一直是仿生學(xué)領(lǐng)域的一項(xiàng)重要容。請(qǐng)觀察下面附件中給出的圖片和視頻資料，或者在網(wǎng)上搜索相關(guān)資料觀察，思考動(dòng)物集群運(yùn)動(dòng)的機(jī)理，建立數(shù)學(xué)模型刻畫動(dòng)物集群運(yùn)動(dòng)、躲避威脅等行為，例如，可以考慮以下問(wèn)題的分析建模：1. 建立數(shù)學(xué)模型模擬動(dòng)物的集群運(yùn)動(dòng)。 2. 建立數(shù)學(xué)模型刻畫魚群躲避黑鰭礁鯊魚的運(yùn)動(dòng)行為。3. 假定動(dòng)物群中有一部

4、分個(gè)體是信息豐富者(如掌握食物源位置信息，掌握遷徙路線信息)，請(qǐng)建模分析它們對(duì)于群運(yùn)動(dòng)行為的影響，解釋群運(yùn)動(dòng)方向決策如何達(dá)成。2、 問(wèn)題分析本文我們建立了魚群的集體運(yùn)動(dòng)行為模型，討論了群體一般情況下、有捕食者的情況下以與有領(lǐng)導(dǎo)者的情況下的運(yùn)動(dòng)行為。首先，根據(jù)給出的圖片和視頻資料和網(wǎng)上搜索相關(guān)資料得到魚群集群運(yùn)動(dòng)的機(jī)理，并把這些機(jī)理用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來(lái)，我們采用了Vicsek模型與其算法，模擬出魚群在不同噪音，不同密度情況下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行了一定的分析，總結(jié)出魚群運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。其次，為了刻畫魚群躲避黑鰭礁鯊魚的運(yùn)動(dòng)行為，我們對(duì)傳統(tǒng)的The Selfish Gene模型進(jìn)行了改進(jìn)，進(jìn)一步考

5、慮了獵物極限速度的大小，并與傳統(tǒng)模型中考慮的距離因素進(jìn)行加權(quán)處理，得到優(yōu)化的有捕食者情況下的運(yùn)動(dòng)行為模型。最后，我們借助模型一求解的魚群運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了約束限制，建立了魚群避障模型。3、 模型假設(shè)與說(shuō)明1.模型表現(xiàn)個(gè)體數(shù)為 N 的一群可視為質(zhì)點(diǎn)的個(gè)體在 L*L 的二維周期邊界 條件的平面上運(yùn)動(dòng)的情況。2.假設(shè)在每一時(shí)步中個(gè)體的速度大小保持不變，方向取其周圍個(gè)體的平均方向， 即以該個(gè)體為中心在半徑為 r 的圓所有個(gè)體方向的平均。3.假設(shè)每個(gè)個(gè)體的初始位置在該平面區(qū)域隨機(jī)分布，初始運(yùn)動(dòng)方向在 - , )間隨機(jī)分布。4、假定系統(tǒng)中只有少數(shù)個(gè)體帶有信息（知道飛行路線或目的地等），其他個(gè)體并

6、不知道誰(shuí)是領(lǐng)導(dǎo)者。5.多個(gè)體的群體運(yùn)動(dòng)特征（1） 獨(dú)立個(gè)體間有相互作用：自驅(qū)動(dòng)（self-propelled）（2） 有限的感知力，有限的知識(shí)，有限的信息。 （3）自組織（self-organization）的復(fù)雜集體行為：同步（consensus ）結(jié)構(gòu)性（pattern）、集體智慧。（4）不一定有領(lǐng)導(dǎo)者（Leader）也許存在外界條件驅(qū)動(dòng)：天敵攻擊、食物驅(qū)動(dòng)、目的地等4、 定義與符號(hào)說(shuō)明1、 最優(yōu)攻擊目標(biāo)：捕食者花費(fèi)最少量的體力和時(shí)間可捕獲的獵物，不僅取決于 獵物與捕食者之間當(dāng)前距離的遠(yuǎn)近；更應(yīng)取決于該獵物極限速度的大小。2、 為個(gè)體在t時(shí)刻的位置3、 為個(gè)體在t時(shí)刻的速度4、 為個(gè)體在t

7、時(shí)刻的速度方向5、 代表噪音，取值為的隨機(jī)數(shù)，為可調(diào)常數(shù)6、 為以個(gè)體i 為圓心，視野半徑 r 所有個(gè)體（包含個(gè)體i 自 身）的平均速度方向7、 為第i個(gè)獵物的總的量化值8、 為從捕食者到第i個(gè)獵物的距離9、 為第i個(gè)獵物的極限速度10、 ， 分別為距離與極限速度的權(quán)重11、 為捕食者是否被發(fā)現(xiàn)的標(biāo)志，未被發(fā)現(xiàn)時(shí)為0，被發(fā)現(xiàn)后為112、 為逃避捕食者的力， 為結(jié)合的力5、 模型的建立與求解5.1問(wèn)題一的求解（Vicsek模型）5.1.1模型的建立位置變換關(guān)系： 速度方向更新規(guī)則：平均速度方向：同時(shí)，魚群的運(yùn)動(dòng)也需要滿足以下三個(gè)規(guī)則：1) 聚集，即盡量與鄰居個(gè)體靠的近一些,以避免孤立；2) 排斥

8、，即避免同周圍個(gè)體發(fā)生碰撞；3) 速度匹配，即努力與周圍的個(gè)體保持速度上的同步。5.1.2模型的仿真模擬 不同噪音和密度下個(gè)體速度和位置的示意圖圖一 圖一表示取個(gè)體數(shù) N = 300。a.t = 0, L = 7, = 2.0，個(gè)體隨機(jī)分布在二維平面上。圖二圖二表示密度低噪音情況，這里參數(shù)取為 L = 25, = 0.1，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間演化穩(wěn)定后的狀態(tài)，出現(xiàn)了沿任意方向前進(jìn)的簇團(tuán)。圖三圖三高密度強(qiáng)噪音情況，這里參數(shù)取為L(zhǎng) = 7, = 2.0，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間演化穩(wěn)定后個(gè)體之間具有某種關(guān)聯(lián)性地隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。圖四圖四L = 5, = 0.1高密度低噪音的情況，在這種情況下個(gè)體經(jīng)過(guò)演化后出現(xiàn)了有趣的結(jié)果

9、，它們沿一樣的方向前進(jìn)，即同步現(xiàn)象。模擬結(jié)果：在高密度低噪音的情況下，個(gè)體經(jīng)過(guò)有限的運(yùn)動(dòng)時(shí)間（收斂時(shí)間）后，會(huì)最終達(dá)到同步，即運(yùn)動(dòng)方向達(dá)到一致。為了表征最后所有個(gè)體的同步情況，我們進(jìn)一步引入了序參量：顯然，01。 取值越大表示個(gè)體運(yùn)動(dòng)方向的一致性越好，當(dāng) = 1時(shí)，所有個(gè)體運(yùn)動(dòng)方向都一致。5.1.3模型因素的進(jìn)一步分析 （a）密度一樣，不同規(guī)格大小的平面上的收斂情況（從上到下符號(hào)對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值分別為 N = 40, L= 3.1， N = 100, L= 5，N = 400, L= 10， N = 4000, L= 31.6， N = 10000, L= 50， = LN2）由模擬結(jié)果我們可以

10、看出隨著噪音的增大有序度在減小，即只有在低噪音情況下系統(tǒng)才可能最終達(dá)到同步狀態(tài)；一樣密度不同規(guī)格下的收斂情況相類似。（b）噪音一定的情況下，（這里，方格邊長(zhǎng)取值為 L = 20）有序度隨密度的增加而增大，即只有在密度大于一定圍時(shí)系統(tǒng)才可能趨于同步。由上面的模擬結(jié)果我們可以看到當(dāng)密度一定，隨著噪音的增大，序參量在減小，存在一個(gè)臨界噪音值，用 c 表示，使得序參量為 0；當(dāng)噪音固定的時(shí)候，隨著個(gè)體密度的減小，序參量也減小，存在一個(gè)臨界密度 c，使得序參量為0。即存在類似于平衡系統(tǒng)中的臨界點(diǎn)，并且隨著系統(tǒng)尺寸的增大這種現(xiàn)象就會(huì)越明顯。L 時(shí)噪音和密度的臨界值分別為 ，則可寫成如下形式：其中，,為臨界

11、指數(shù)。對(duì)于L有限的情況，噪音臨界值c 和密度臨界值c都是依賴于L的，分別記為c(L),c(L)，對(duì)上式兩邊分別取對(duì)數(shù)并由圖 1.3可得如下圖所示的關(guān)系，由直線的斜率可得值，直線的截距可得噪音臨界值c和密度臨界值 c。上圖分別是 l n V al n( c(L)/c( L)和lnva ln(-c(L)/c( L)之間的關(guān)系。其中，參數(shù)取值為（a） = 0.4，（b） L = 20, = 2.0。由圖中斜率可算出文中參數(shù)情況下的 , 值，分別為： = 0.45 ± 0.07， = 0.35 ± 0.06。5.2問(wèn)題二的求解（優(yōu)化The Selfish Gene模型）5.2.1模

12、型的建立以黑鰭礁鯊與魚群為例，對(duì)黑鰭礁鯊魚來(lái)說(shuō)，應(yīng)考慮選擇哪條魚作為獵捕對(duì)象，即確定最佳捕食目標(biāo)。而對(duì)魚群則相反，應(yīng)該考慮如何逃避，不讓自己成為那個(gè)犧牲品。在根據(jù)Richard Dawkins提出的The Selfish Gene所建的模型中8：捕食者僅依據(jù)距離的遠(yuǎn)近來(lái)判斷最佳捕食目標(biāo)，而獵物群個(gè)體執(zhí)行的是拼命往群體中心跑以減小自身的危險(xiǎn)區(qū)域，該模型有加以改進(jìn)的必要。為此，本文提出最優(yōu)攻擊目標(biāo)的概念。定義最優(yōu)攻擊目標(biāo)為捕食者花費(fèi)最少量的體力和時(shí)間可捕獲的獵物，不僅取決于獵物與捕食者之間當(dāng)前距離的遠(yuǎn)近；更應(yīng)取決于該獵物極限速度的大小。在現(xiàn)實(shí)中，獵物的極限速度是由老弱病幼、饑餓、疲勞等諸多因素決定

13、的。顯然，對(duì)捕食者而言，這兩個(gè)指標(biāo)均應(yīng)是越小越好。當(dāng)兩者的加權(quán)和為最小時(shí)，就是合理的最優(yōu)攻擊目標(biāo)。量化計(jì)算公式如下： （1）v2v1r2r1圖2確定最優(yōu)攻擊目標(biāo)的相關(guān)參數(shù)示意，三角形為獵物，矩形為捕食者為使模擬更逼真，還應(yīng)考慮到現(xiàn)實(shí)中捕食者往往采取隱蔽的手段悄悄潛近獵物，直至足夠近時(shí)，才突然發(fā)起進(jìn)攻，以增大捕食成功率。而獵物中無(wú)論哪一個(gè)發(fā)現(xiàn)有威脅逼近時(shí)，均會(huì)以各種特有的方式向同伴示警，比如，魚以高高跳躍來(lái)示警。因此，在捕食者被發(fā)現(xiàn)前，獵物群的運(yùn)動(dòng)相對(duì)靜止或很慢，上式中的第2項(xiàng)不應(yīng)對(duì)捕食者確定攻擊目標(biāo)起作用。因?yàn)楂C物的極限速度在模擬中是用其即時(shí)速度來(lái)估計(jì)的，這也是合理的，一般說(shuō)來(lái)獵物在受到捕食威

14、脅時(shí)，都會(huì)以最快的速度逃離險(xiǎn)境的。當(dāng)捕食者被獵物發(fā)現(xiàn)時(shí)，顯然存在著兩種情況，一是捕食者認(rèn)為距離已足夠近而主動(dòng)攻擊，可設(shè)置一個(gè)下限閾值來(lái)表述；二是因捕食者隱蔽的不夠好而被某些機(jī)警的獵物提前發(fā)現(xiàn)，這時(shí)對(duì)捕食者來(lái)說(shuō)，要么立即出擊，要么只得放棄，可再為距離設(shè)置一個(gè)上限閾值。上下閾值的大小均與捕食者的極限速度有關(guān)。于是可將公式改寫為 （2）其中，flag為捕食者是否被發(fā)現(xiàn)的標(biāo)志，未被發(fā)現(xiàn)時(shí)為0，被發(fā)現(xiàn)后為1，vi為第i個(gè)獵物的即時(shí)速度。另設(shè)標(biāo)志位sign指示捕食者當(dāng)前所處狀態(tài)，隱蔽潛近時(shí)為0，攻擊時(shí)為1。當(dāng)flag = 0時(shí)不斷檢查， (3)其中，V為捕食者的極限速度，c1為系數(shù)，R1為距離下限閾值。如

15、(3)式成立，則主動(dòng)攻擊，sign改為1；當(dāng)flag從0變1時(shí)，如捕食者還未主動(dòng)攻擊，即sign=0，則檢查 (4)其中，c2為系數(shù)， R2為距離上限閾值。如果(4)式成立，選擇放棄，否則立即出擊，sign改為1。顯然有c2>c1和R2>R1成立。對(duì)于獵物則應(yīng)選擇向遠(yuǎn)離捕食者的方向跑，同時(shí)注意不脫離大群體，即 （5）其中，k1，k2為系數(shù)，且k1>k2，F(xiàn)evasion為逃避捕食者的力，F(xiàn)cohesion為結(jié)合的力。關(guān)于捕食結(jié)束的時(shí)機(jī)選擇，或是隨著捕食成功而結(jié)束，或是當(dāng)捕食過(guò)程超過(guò)某一設(shè)定的時(shí)間閾值t后，捕食者最終選擇放棄。5.3 問(wèn)題三的求解（避障模型）5.3.1模型的建立

16、假設(shè)障礙物為半徑為的圓形，則魚群在距離障礙物圓心r（r>）時(shí)就開始偏轉(zhuǎn)，稱到r的區(qū)域?yàn)橛绊憛^(qū)域。并且假設(shè)在R>r時(shí)障礙物對(duì)魚的運(yùn)動(dòng)影響為零。則繼續(xù)引用第一問(wèn)模型，再添加約束條件可得：其中，表示在t時(shí)刻由于要躲避障礙物而使魚產(chǎn)生的沿魚和障礙物連線方向的速度的變化。表示t時(shí)刻魚真正的總速度。6、 對(duì)模型的評(píng)價(jià)6.1 模型的優(yōu)點(diǎn)1模型一引用了Vicsek模型，形式簡(jiǎn)單易懂，在二維平面較好的表現(xiàn)了集群的運(yùn)動(dòng)行為。2.模型二充分考慮到捕食者和被捕食者的優(yōu)化情況，將傳統(tǒng)的The Selfish Gene模型考慮的距離因素和極限速度結(jié)合起來(lái)進(jìn)行一定的加權(quán)處理，更好的表現(xiàn)了有捕食者情況下的集群運(yùn)動(dòng)

17、行為。3、模型三沿用問(wèn)題一的模型，加上一定的約束條件，總體來(lái)說(shuō)簡(jiǎn)單易懂。再引入約束條件時(shí)，類比萬(wàn)有引力定律得出群體與障礙物之間的排斥模型，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。6.2 模型的缺點(diǎn)1. 模型一并沒(méi)考慮到收斂時(shí)間對(duì)集群運(yùn)動(dòng)行為的影響。2. 模型二只是有捕食者的集群運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了一定的定量分析，并沒(méi)有對(duì)仿真過(guò)程進(jìn)行模擬。3. 模型三也只是對(duì)行為進(jìn)行定量描述，由于時(shí)間原因沒(méi)有進(jìn)行編程仿真模擬。6.3模型的改進(jìn)1. 對(duì)于模型一可以考慮收斂時(shí)間與魚群的視角進(jìn)一步優(yōu)化模型。2. 對(duì)于模型二和模型三可以根據(jù)定量描述編程實(shí)現(xiàn)仿真模擬。參考文獻(xiàn)：1 Vicsek, T., Czirók, A., Ben-Ja

18、cob, E. et al.(1995) Novel type of phase transition in a system of self-driven particles. Phys. Rev. Lett., 75: 1226-12292 基于 Vicsek 模型的自驅(qū)動(dòng)集群動(dòng) 田寶美 碩士學(xué)位論文 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 二零零九年五月3 一種提高Vicsek模型收斂效率的新方法 蔡云澤、高建喜 200240 交通大學(xué)4 Vicsek模型的連通與同步 志新、郭雷 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院 1000805 敵對(duì)群體行為動(dòng)畫的攻擊模型建立 肖華、文俊 大學(xué)影視藝術(shù)與技術(shù)學(xué)院， 200072

19、七、 附錄a#include<iostream>#include<time.h>using namespace std;#define NETSIZE 100#define DIM 10#define POPSIZE 100#define VISUAL 10double cp142=16.47,96.10,16.47,94.44,20.09,92.54,22.39,93.37,25.23, 97.24,22.00,96.05,20.47,97.02,17.20,96.29,16.30,97.38,14.05,98.12,16.53,97.38,21.52,95.59,1

20、9.41,97.13,20.09,92.55; double PathNETSIZENETSIZE; void InitPath() for(int i=0;i<NETSIZE;i+) for(int j=0;j<NETSIZE;j+) Pathij=(cpi0-cpj0)*(cpi0-cpj0)+(cpi1-cpj1)*(cpi1-cpj1); class Artificial_fish public: Artificial_fish(); /float prey(); void updateneiborflag(Artificial_fish *Pointer); / floa

21、t follow(); / float swarm(); void evaluate(); void ShuiJi(); void display(); void display1(); int fishDIM; bool neiborflagPOPSIZE; double fitness; ; Artificial_fish:Artificial_fish() this->ShuiJi(); for(int flag=0;flag<POPSIZE;flag+) neiborflagflag=false; void Artificial_fish:ShuiJi() int i,nu

22、m; bool *tag=new boolDIM; for(i=0;i<DIM;i+) tagi=false; while(-i>=0) do num=rand()%DIM; while(tagnum); fishi=num; tagnum=true; delete tag; void Artificial_fish:display() for(int i=0;i<DIM;i+) cout<<fishi<<" " cout<<endl; cout<<"fitness="<<fitness; cout<<endl; void Artificial_fish:display1() for(int j=0;j<POPSIZE-1;j+) cout<<neiborflagj; cout<<endl; /你的程序這里少了一個(gè)，仔細(xì)看下。void Artificial_fish:updateneiborflag(Artificial_fish * Pointe