動物集群運動行為模型系列之四

1、 . . . 動物集群運動行為模型摘要動物集群運動行為近幾年受到國外學者的廣泛關(guān)注，研究這些集群運動不僅對人們的工作和生活具有重要的現(xiàn)實意義，對了解自然界和生物系統(tǒng)具有深遠的科學意義。問題一，通過題目中給出的圖片和視頻資料，通過互聯(lián)網(wǎng)查資料得到動物集群運動的機理。針對這些機理，我們引用了傳統(tǒng)的Vicsek模型對魚群的集群運動進行數(shù)學表述，并在上述規(guī)則下通過vc+程序?qū)崿F(xiàn)了對模型的仿真，并調(diào)整噪音和密度參數(shù)，詳細說明了上述因素對魚群運動行為的影響。問題二，為了刻畫魚群躲避黑鰭礁鯊魚的運動行為，我們對傳統(tǒng)的The Selfish Gene模型進行了改進，進一步考慮了獵物極限速度的大小，并與傳統(tǒng)模型

2、中考慮的距離因素進行加權(quán)處理，得到優(yōu)化的有捕食者情況下的運動行為模型。問題三，我們借助模型一求解的魚群運動規(guī)律，在此基礎(chǔ)上進行了約束限制，建立了魚群避障模型。關(guān)鍵詞：Vicsek模型 The Selfish Gene模型 避障模型目錄第一部分 問題重述(3)第二部分 問題分析(3)第三部分 模型假設(shè)與說明(4)第四部分 定義與符號說明(4)第五部分 模型的建立與求解(5)1問題1的模型 Vicssek模型(5).2 問題2的模型 優(yōu)化的The Selfish Gene模型(10).3. 問題3的模型 避障模型(12).第六部分 對模型的評價(13)第七部分 參考文獻(13)第八部分 附錄(14

3、)動物集群運動行為模型1、 問題重述在動物界，大量集結(jié)成群進行移動或者覓食的例子并不少見，這種現(xiàn)象在食草動物、鳥、魚和昆蟲中在。這些動物群在運動過程中具有很明顯的特征：群中的個體聚集性很強，運動方向、速度具有一致性。通過數(shù)學模型來模擬動物群的集群運動行為以與探索動物群中的信息傳遞機制一直是仿生學領(lǐng)域的一項重要容。請觀察下面附件中給出的圖片和視頻資料，或者在網(wǎng)上搜索相關(guān)資料觀察，思考動物集群運動的機理，建立數(shù)學模型刻畫動物集群運動、躲避威脅等行為，例如，可以考慮以下問題的分析建模：1. 建立數(shù)學模型模擬動物的集群運動。 2. 建立數(shù)學模型刻畫魚群躲避黑鰭礁鯊魚的運動行為。3. 假定動物群中有一部

4、分個體是信息豐富者(如掌握食物源位置信息，掌握遷徙路線信息)，請建模分析它們對于群運動行為的影響，解釋群運動方向決策如何達成。2、 問題分析本文我們建立了魚群的集體運動行為模型，討論了群體一般情況下、有捕食者的情況下以與有領(lǐng)導者的情況下的運動行為。首先，根據(jù)給出的圖片和視頻資料和網(wǎng)上搜索相關(guān)資料得到魚群集群運動的機理，并把這些機理用數(shù)學語言表述出來，我們采用了Vicsek模型與其算法，模擬出魚群在不同噪音，不同密度情況下的運動狀態(tài)，并對運動狀態(tài)進行了一定的分析，總結(jié)出魚群運動的規(guī)律。其次，為了刻畫魚群躲避黑鰭礁鯊魚的運動行為，我們對傳統(tǒng)的The Selfish Gene模型進行了改進，進一步考

5、慮了獵物極限速度的大小，并與傳統(tǒng)模型中考慮的距離因素進行加權(quán)處理，得到優(yōu)化的有捕食者情況下的運動行為模型。最后，我們借助模型一求解的魚群運動規(guī)律，在此基礎(chǔ)上進行了約束限制，建立了魚群避障模型。3、 模型假設(shè)與說明1.模型表現(xiàn)個體數(shù)為 N 的一群可視為質(zhì)點的個體在 L*L 的二維周期邊界 條件的平面上運動的情況。2.假設(shè)在每一時步中個體的速度大小保持不變，方向取其周圍個體的平均方向， 即以該個體為中心在半徑為 r 的圓所有個體方向的平均。3.假設(shè)每個個體的初始位置在該平面區(qū)域隨機分布，初始運動方向在 - , )間隨機分布。4、假定系統(tǒng)中只有少數(shù)個體帶有信息（知道飛行路線或目的地等），其他個體并

6、不知道誰是領(lǐng)導者。5.多個體的群體運動特征（1） 獨立個體間有相互作用：自驅(qū)動（self-propelled）（2） 有限的感知力，有限的知識，有限的信息。 （3）自組織（self-organization）的復(fù)雜集體行為：同步（consensus ）結(jié)構(gòu)性（pattern）、集體智慧。（4）不一定有領(lǐng)導者（Leader）也許存在外界條件驅(qū)動：天敵攻擊、食物驅(qū)動、目的地等4、 定義與符號說明1、 最優(yōu)攻擊目標：捕食者花費最少量的體力和時間可捕獲的獵物，不僅取決于 獵物與捕食者之間當前距離的遠近；更應(yīng)取決于該獵物極限速度的大小。2、 為個體在t時刻的位置3、 為個體在t時刻的速度4、 為個體在t

7、時刻的速度方向5、 代表噪音，取值為的隨機數(shù)，為可調(diào)常數(shù)6、 為以個體i 為圓心，視野半徑 r 所有個體（包含個體i 自 身）的平均速度方向7、 為第i個獵物的總的量化值8、 為從捕食者到第i個獵物的距離9、 為第i個獵物的極限速度10、 ， 分別為距離與極限速度的權(quán)重11、 為捕食者是否被發(fā)現(xiàn)的標志，未被發(fā)現(xiàn)時為0，被發(fā)現(xiàn)后為112、 為逃避捕食者的力， 為結(jié)合的力5、 模型的建立與求解5.1問題一的求解（Vicsek模型）5.1.1模型的建立位置變換關(guān)系： 速度方向更新規(guī)則：平均速度方向：同時，魚群的運動也需要滿足以下三個規(guī)則：1) 聚集，即盡量與鄰居個體靠的近一些,以避免孤立；2) 排斥

8、，即避免同周圍個體發(fā)生碰撞；3) 速度匹配，即努力與周圍的個體保持速度上的同步。5.1.2模型的仿真模擬 不同噪音和密度下個體速度和位置的示意圖圖一 圖一表示取個體數(shù) N = 300。a.t = 0, L = 7, = 2.0，個體隨機分布在二維平面上。圖二圖二表示密度低噪音情況，這里參數(shù)取為 L = 25, = 0.1，系統(tǒng)經(jīng)過一段時間演化穩(wěn)定后的狀態(tài)，出現(xiàn)了沿任意方向前進的簇團。圖三圖三高密度強噪音情況，這里參數(shù)取為L = 7, = 2.0，經(jīng)過一段時間演化穩(wěn)定后個體之間具有某種關(guān)聯(lián)性地隨機運動。圖四圖四L = 5, = 0.1高密度低噪音的情況，在這種情況下個體經(jīng)過演化后出現(xiàn)了有趣的結(jié)果

9、，它們沿一樣的方向前進，即同步現(xiàn)象。模擬結(jié)果：在高密度低噪音的情況下，個體經(jīng)過有限的運動時間（收斂時間）后，會最終達到同步，即運動方向達到一致。為了表征最后所有個體的同步情況，我們進一步引入了序參量：顯然，01。 取值越大表示個體運動方向的一致性越好，當 = 1時，所有個體運動方向都一致。5.1.3模型因素的進一步分析 （a）密度一樣，不同規(guī)格大小的平面上的收斂情況（從上到下符號對應(yīng)的參數(shù)取值分別為 N = 40, L= 3.1， N = 100, L= 5，N = 400, L= 10， N = 4000, L= 31.6， N = 10000, L= 50， = LN2）由模擬結(jié)果我們可以

10、看出隨著噪音的增大有序度在減小，即只有在低噪音情況下系統(tǒng)才可能最終達到同步狀態(tài)；一樣密度不同規(guī)格下的收斂情況相類似。（b）噪音一定的情況下，（這里，方格邊長取值為 L = 20）有序度隨密度的增加而增大，即只有在密度大于一定圍時系統(tǒng)才可能趨于同步。由上面的模擬結(jié)果我們可以看到當密度一定，隨著噪音的增大，序參量在減小，存在一個臨界噪音值，用 c 表示，使得序參量為 0；當噪音固定的時候，隨著個體密度的減小，序參量也減小，存在一個臨界密度 c，使得序參量為0。即存在類似于平衡系統(tǒng)中的臨界點，并且隨著系統(tǒng)尺寸的增大這種現(xiàn)象就會越明顯。L 時噪音和密度的臨界值分別為 ，則可寫成如下形式：其中，,為臨界

11、指數(shù)。對于L有限的情況，噪音臨界值c 和密度臨界值c都是依賴于L的，分別記為c(L),c(L)，對上式兩邊分別取對數(shù)并由圖 1.3可得如下圖所示的關(guān)系，由直線的斜率可得值，直線的截距可得噪音臨界值c和密度臨界值 c。上圖分別是 l n V al n( c(L)/c( L)和lnva ln(-c(L)/c( L)之間的關(guān)系。其中，參數(shù)取值為（a） = 0.4，（b） L = 20, = 2.0。由圖中斜率可算出文中參數(shù)情況下的 , 值，分別為： = 0.45 ± 0.07， = 0.35 ± 0.06。5.2問題二的求解（優(yōu)化The Selfish Gene模型）5.2.1模

12、型的建立以黑鰭礁鯊與魚群為例，對黑鰭礁鯊魚來說，應(yīng)考慮選擇哪條魚作為獵捕對象，即確定最佳捕食目標。而對魚群則相反，應(yīng)該考慮如何逃避，不讓自己成為那個犧牲品。在根據(jù)Richard Dawkins提出的The Selfish Gene所建的模型中8：捕食者僅依據(jù)距離的遠近來判斷最佳捕食目標，而獵物群個體執(zhí)行的是拼命往群體中心跑以減小自身的危險區(qū)域，該模型有加以改進的必要。為此，本文提出最優(yōu)攻擊目標的概念。定義最優(yōu)攻擊目標為捕食者花費最少量的體力和時間可捕獲的獵物，不僅取決于獵物與捕食者之間當前距離的遠近；更應(yīng)取決于該獵物極限速度的大小。在現(xiàn)實中，獵物的極限速度是由老弱病幼、饑餓、疲勞等諸多因素決定

13、的。顯然，對捕食者而言，這兩個指標均應(yīng)是越小越好。當兩者的加權(quán)和為最小時，就是合理的最優(yōu)攻擊目標。量化計算公式如下： （1）v2v1r2r1圖2確定最優(yōu)攻擊目標的相關(guān)參數(shù)示意，三角形為獵物，矩形為捕食者為使模擬更逼真，還應(yīng)考慮到現(xiàn)實中捕食者往往采取隱蔽的手段悄悄潛近獵物，直至足夠近時，才突然發(fā)起進攻，以增大捕食成功率。而獵物中無論哪一個發(fā)現(xiàn)有威脅逼近時，均會以各種特有的方式向同伴示警，比如，魚以高高跳躍來示警。因此，在捕食者被發(fā)現(xiàn)前，獵物群的運動相對靜止或很慢，上式中的第2項不應(yīng)對捕食者確定攻擊目標起作用。因為獵物的極限速度在模擬中是用其即時速度來估計的，這也是合理的，一般說來獵物在受到捕食威

14、脅時，都會以最快的速度逃離險境的。當捕食者被獵物發(fā)現(xiàn)時，顯然存在著兩種情況，一是捕食者認為距離已足夠近而主動攻擊，可設(shè)置一個下限閾值來表述；二是因捕食者隱蔽的不夠好而被某些機警的獵物提前發(fā)現(xiàn)，這時對捕食者來說，要么立即出擊，要么只得放棄，可再為距離設(shè)置一個上限閾值。上下閾值的大小均與捕食者的極限速度有關(guān)。于是可將公式改寫為 （2）其中，flag為捕食者是否被發(fā)現(xiàn)的標志，未被發(fā)現(xiàn)時為0，被發(fā)現(xiàn)后為1，vi為第i個獵物的即時速度。另設(shè)標志位sign指示捕食者當前所處狀態(tài)，隱蔽潛近時為0，攻擊時為1。當flag = 0時不斷檢查， (3)其中，V為捕食者的極限速度，c1為系數(shù)，R1為距離下限閾值。如

15、(3)式成立，則主動攻擊，sign改為1；當flag從0變1時，如捕食者還未主動攻擊，即sign=0，則檢查 (4)其中，c2為系數(shù)， R2為距離上限閾值。如果(4)式成立，選擇放棄，否則立即出擊，sign改為1。顯然有c2>c1和R2>R1成立。對于獵物則應(yīng)選擇向遠離捕食者的方向跑，同時注意不脫離大群體，即 （5）其中，k1，k2為系數(shù)，且k1>k2，F(xiàn)evasion為逃避捕食者的力，F(xiàn)cohesion為結(jié)合的力。關(guān)于捕食結(jié)束的時機選擇，或是隨著捕食成功而結(jié)束，或是當捕食過程超過某一設(shè)定的時間閾值t后，捕食者最終選擇放棄。5.3 問題三的求解（避障模型）5.3.1模型的建立

16、假設(shè)障礙物為半徑為的圓形，則魚群在距離障礙物圓心r（r>）時就開始偏轉(zhuǎn)，稱到r的區(qū)域為影響區(qū)域。并且假設(shè)在R>r時障礙物對魚的運動影響為零。則繼續(xù)引用第一問模型，再添加約束條件可得：其中，表示在t時刻由于要躲避障礙物而使魚產(chǎn)生的沿魚和障礙物連線方向的速度的變化。表示t時刻魚真正的總速度。6、 對模型的評價6.1 模型的優(yōu)點1模型一引用了Vicsek模型，形式簡單易懂，在二維平面較好的表現(xiàn)了集群的運動行為。2.模型二充分考慮到捕食者和被捕食者的優(yōu)化情況，將傳統(tǒng)的The Selfish Gene模型考慮的距離因素和極限速度結(jié)合起來進行一定的加權(quán)處理，更好的表現(xiàn)了有捕食者情況下的集群運動

17、行為。3、模型三沿用問題一的模型，加上一定的約束條件，總體來說簡單易懂。再引入約束條件時，類比萬有引力定律得出群體與障礙物之間的排斥模型，具有一定的現(xiàn)實意義。6.2 模型的缺點1. 模型一并沒考慮到收斂時間對集群運動行為的影響。2. 模型二只是有捕食者的集群運動進行了一定的定量分析，并沒有對仿真過程進行模擬。3. 模型三也只是對行為進行定量描述，由于時間原因沒有進行編程仿真模擬。6.3模型的改進1. 對于模型一可以考慮收斂時間與魚群的視角進一步優(yōu)化模型。2. 對于模型二和模型三可以根據(jù)定量描述編程實現(xiàn)仿真模擬。參考文獻：1 Vicsek, T., Czirók, A., Ben-Ja

18、cob, E. et al.(1995) Novel type of phase transition in a system of self-driven particles. Phys. Rev. Lett., 75: 1226-12292 基于 Vicsek 模型的自驅(qū)動集群動 田寶美 碩士學位論文 中國科學技術(shù)大學 二零零九年五月3 一種提高Vicsek模型收斂效率的新方法 蔡云澤、高建喜 200240 交通大學4 Vicsek模型的連通與同步 志新、郭雷 中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院 1000805 敵對群體行為動畫的攻擊模型建立 肖華、文俊 大學影視藝術(shù)與技術(shù)學院， 200072

19、七、 附錄a#include<iostream>#include<time.h>using namespace std;#define NETSIZE 100#define DIM 10#define POPSIZE 100#define VISUAL 10double cp142=16.47,96.10,16.47,94.44,20.09,92.54,22.39,93.37,25.23, 97.24,22.00,96.05,20.47,97.02,17.20,96.29,16.30,97.38,14.05,98.12,16.53,97.38,21.52,95.59,1

20、9.41,97.13,20.09,92.55; double PathNETSIZENETSIZE; void InitPath() for(int i=0;i<NETSIZE;i+) for(int j=0;j<NETSIZE;j+) Pathij=(cpi0-cpj0)*(cpi0-cpj0)+(cpi1-cpj1)*(cpi1-cpj1); class Artificial_fish public: Artificial_fish(); /float prey(); void updateneiborflag(Artificial_fish *Pointer); / floa

21、t follow(); / float swarm(); void evaluate(); void ShuiJi(); void display(); void display1(); int fishDIM; bool neiborflagPOPSIZE; double fitness; ; Artificial_fish:Artificial_fish() this->ShuiJi(); for(int flag=0;flag<POPSIZE;flag+) neiborflagflag=false; void Artificial_fish:ShuiJi() int i,nu

22、m; bool *tag=new boolDIM; for(i=0;i<DIM;i+) tagi=false; while(-i>=0) do num=rand()%DIM; while(tagnum); fishi=num; tagnum=true; delete tag; void Artificial_fish:display() for(int i=0;i<DIM;i+) cout<<fishi<<" " cout<<endl; cout<<"fitness="<<fitness; cout<<endl; void Artificial_fish:display1() for(int j=0;j<POPSIZE-1;j+) cout<<neiborflagj; cout<<endl; /你的程序這里少了一個，仔細看下。void Artificial_fish:updateneiborflag(Artificial_fish * Pointe