2013年浙江高考理科數(shù)學試題及解析

1、b2ig（x+y）=21gx?2igyd2ig（xy）=21gx ?21gy(第5題圖)行2,的2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(浙江卷)數(shù) 學(理科)選擇題部分(共50分)一、選擇題：每小題 5分，共50分.1.已知i是虛數(shù)單位，則(-1+i)(2 - i)=A. -3+iB. - 1+3iC. - 3+3iD. - 1+i【命題意圖】本題考查復數(shù)的四則運算，屬于容易題【答案解析】B2.設(shè)集合 S= xX>- 2 , T=x|x2+3x- 4<0,貝U ( R0U T=A. (-2, 1B. (-8, -4C. (-8, 1D. 1, +8)【命題意圖】本題考查集合的運算，

2、屬于容易題【答案解析】C 因為(RS)=x|x< 2, T=x|-4 今 <1,所以(rS)UT=(-8, 1.3.已知x, y為正實數(shù)，則 a21gx+igy=2 igx+2 回丫c21gx ? igy=2igx+2igy【命題意圖】本題考查指數(shù)和對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于容易題【答案解析】D由指數(shù)和對數(shù)的運算法則，易知選項D正確 4.已知函數(shù) f(x)=Acos( wx+(|)(A>0 , e0 , 4 R),則"f(x)是奇函數(shù)”是A .充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【命題意圖】本題考查簡易邏輯以及函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題

3、. 一 . 一 ，一. 我【答案解析】B由f(x)是奇函數(shù)可知f(0)=0 ,即cos(|f0 ,解出 2+ kn, k Z,所以選項B正確5,某程序框圖如圖所示，若該程序運行后輸出的值是9,則5A . a=4B, a=5C. a=6D. a=7【命題意圖】本題考查算法程序框圖，屬于容易題【答案解析】A106 .已知 a R, sin a+2cos a="2一,貝 1 tan2 a=A. 3B, 334C.【命題意圖】本題考查三角公式的應用，解法多樣，屬于中檔題iomsi z - s y/10 r，口 sin2 a+4cos2 o+4sin ocos 民 10 、升 心出.山一【答案

4、解析】 C 由(sin o+2cos a)2= 2Y 可彳導sin2a+cos2 a=74，進一步整理可得 3tan2o-8tan % 3=0,解得 tan ”=3 或 tan 卡-1,于是 tan2 卡光一=-2 31- tan “ 4、一，、，一1 一 ,，一，7 .設(shè)AABC, P0是邊AB上一定點，滿足 PoB=4AB,且對于 AB上任一點 P,怛有PB?PC ¥oB?PoC,則A. ABC=90 B. BAC =90 C. AB=ACD. AC=BC【命題意圖】本題考查向量數(shù)量積的幾何意義，不等式恒成立的有關(guān)知識，屬于中檔題【答案解析】D由題意，設(shè)|AB|=4,則|PoB|

5、=1,過點C作AB 的垂線，垂足為 H,在AB上任取一點 P,設(shè)HP0=a,則由 數(shù)量積的幾何意義可得，Pb ?PC =| PH | Pb |=( |Pb | 一 一一 r_-(a+1)| PB|, PoB?30c=-|P0H|P0B|=-a,于是 PB ?PC 中oB?30c 恒成立，相當于 (|PB |- (a+1)|PB |>-a恒成立，整理得 |Pb|2-(a+1)|PB |+a潮恒成立，只需？=(a+1)2-4a=(a-1)2q即可，于是a=1 ,因此我們得到 HB =2, 即H是AB的中點，故 ABC是等腰三角形，所以 AC = BC8 .已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x

6、)=(ex-1)(x-1)k(k=1 , 2),則A.當B.當C.當D.當k=1 時, k=1 時, k=2 時, k=2 時,f(x)在x=1處取到極小值 f(x)在x=1處取到極大值 f(x)在x=1處取到極小值 f(x)在x=1處取到極大值【命題意圖】本題考查極值的概念，屬于中檔題29.如圖，F(xiàn)1, F2是橢圓C1：亍+y2=1與雙曲線 C2的公共焦x【答案解析】C當k=1時，方程f(x)=0有兩個解，x1=0,地=1,由標根法可得f(x)的大致圖 象，于是選項 A, B錯誤；當k=2時，方程f(x)=0有三個解，x1=0, x2=x3=1,其中1是二 重根，由標根法可得 f(x)的大致

7、圖象，易知選項 C正確。點，A, B分別是C1, C2在第二、四象限的公共點.若C2的離心率為,3_62四邊形AF1BF2為矩形，則A.啦B.八3一C.2D.【命題意圖】本題考查橢圓和雙曲線的定義和幾何性質(zhì)，(第9題圖)屬于中檔題【答案解析】D由題意，c=5,|AF2|+|AF1|=4，AF2|-|AF1|=2a，+得|AF2|=2+a,-彳4|AFi|=2-a,又 |AFi|2+|AF2|2=| FiF2|2,所以 a=J2,于是 e=-=.a 210 .在空間中，過點 A作平面冗的垂線，垂足為 B,記B=fA).設(shè)a, 0是兩個不同的平面， 對空間任意一點 P, Qi=f<fa(P)

8、, Q2=fjf RP),恒有 PQi= PQ2,則A .平面a與平面0垂直B .平面a與平面0所成的(銳)二面角為45C.平面a與平面0平行D.平面a與平面0所成的(銳)二面角為60【命題意圖】本題考查新定義問題的解決，重在知識的遷移，屬于較難題 【答案解析】A用特殊法立即可知選項A正確非選擇題部分(共100分)k4俯視圖二、填空題：每小題 4分，共28分. 511 ,設(shè)二項式 返十 的展開式中常數(shù)項為 A,則A= x【命題意圖】考查二項式定理，屬于容易題【答案解析】-1012 .若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積等于 cm3.【命題意圖】本題考查三視圖和體積計算，屬

9、于容易題(第12題圖)【答案解析】24由題意，該幾何體為一個直三棱柱截去一個 三棱錐所得x+y- 2R,12,貝I實數(shù)k=13 .設(shè)z=kx+y,其中實數(shù)x, y滿足x- 2y+4 0,若z的最大值為 2x- y- 4<0.【命題意圖】本題考查線性規(guī)劃，屬于容易題 【答案解析】2作出平面區(qū)域即可14 .將A, B, C, D,E, F六個字母排成一排，且A,B均在C的同側(cè)，則不同的排法有 種 (用數(shù)字作答).【命題意圖】本題考查排列組合，屬于中檔題【答案解析】480 第一類，字母 C排在左邊第一個位置，有 A5種；第二類，字母 C排在 左邊第二個位置，有 a2A3種；第三類，字母 C排在

10、左邊第三個位置，有 a2a3+ a 2A3種，由 對稱性可知共有 2 ( A5+ A4A3+ A2A3+ A2A3)=480 種。15 .設(shè)F為拋物線C: y2=4x的焦點，過點 F(-1, 0)的直線l交拋物線C于A, B兩點，點Q 為線段AB的中點.若|FQ|=2,則直線l的斜率等于 .【命題意圖】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題【答案解析】±1設(shè)直線l的方程為y=k(x+1),聯(lián)立y；=+x)'消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,2 k2- 4 一 - xa+ xb 22由韋達7E理，Xa+ xb =-T,于是 xq=-=72- 1,把 xq市入 y

11、=k(x+1),得至U yQ=T,根據(jù) k2 kk2 2 2 2|FQ|=、J 記-2 + =2,解出 k=± 1 .16 .在AABC,C=90 , M 是 BC 的中點.若 sin BAM=1,則 sin BAC =3【命題意圖】本題考查解三角形，屬于中檔題【答案解析】申 設(shè) BC=2a, AC=b,貝U AM川a2+b2, AB=>4a2+b2, sin ABM= sin ABC=AC_ b -'4a2+b2,在AABM中，由正弦定理BMAMsin BAM sin ABM,即韋葉M ,解得2a2=b2,3 4a2+b2于是 sin BAC =BC 2a 6AB -

12、；4a2+b2 317 .設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量b=xe+ye2, x, y R.若e, e2的夾角為6t,則昌的最大值|等于.【命題意圖】本題以向量為依托考查最值問題，屬于較難題【答案解析】2|x|x|b|V (xe1+ ye2)2vx2+y2+, 3xy1 x2+y2+. 3xy1y+ ；y+1=1 1"，所以臂的最大值為2y- -3 2+11b1x x 24三、解答題：本大題共5小題，共72分.18.(本小題滿分14分)在公差為 d的等差數(shù)列an中，已知a=10,且a1, 比數(shù)列(I)求 d, an；2a2+2,5a3成等(n)右 d<0 ,求 1a1|+|a2

13、|+|a31+|an|.【命題意圖】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，等差數(shù)列通項公式、求和公式等基礎(chǔ) 知識，同時考查運算求解能力?！敬鸢附馕觥?I)由題意5a3 ai=(2a2+2)2,d2-3d-4=0.d=- 1 或 d=4.所以(n)當nan=- n+11 , n N*或 an=4n+6, n設(shè)數(shù)列an的前n項和為Si.因為d<0,由(I)得11時，*Nd=- 1, an=- n+11.貝 I12時,1 2|a1|+|a2|+|a3|+- +|an|=Sn=- 2n21+ 2 n|a1|+|a2|+|a3|+|an|=- Sn+2Sn=2n2- n+110綜上所述,1 2 21-

14、2n +-2-n, n 11,|ai|+|a2|+|a3|+|an尸 ?I2n2 -n+110, n 12.19 .(本題滿分14分)設(shè)袋子中裝有 a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得 2分，取出一個藍球得3分.(I)當a=3 , b=2, c=1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量 E為取出此2球所得分數(shù)之和，求E的分布列；(n)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量 刀為取出此球所得分數(shù). 若 E 75, D /5,求 a ： b ： c.【命題意圖】本題考查隨機事件的概率和隨機變量的分布列、數(shù)學期望、數(shù)學

15、方差等概念, 同時考查抽象概括、運算求解能力和應用意識?！敬鸢附馕觥?I)由題意得字2, 3, 4, 5, 6 故3 3 1P(F2尸藐=4'P（諄3）=P(4)二2 3 1+2 2_ 56 6-18P（諄5）=2 2 11 -6 6 91 1 1P（6）=6-6=365所以E的分布列為23456P115114318936(n)由題意知 刀的分布列為123abcPa+b+ca+b+ca+ b+c所以2b3c 5E 刀-a+b+c+a+b+c+a+b+c=3化簡得5D干 1-3a5 b5a+b+c3 a+b+c3c _5 a+b+c 92a- b- 4 c=0, a+4b- 11c=0解

16、彳導a=3c, b=2c,故a ： b ： c=3 ： 2 ： 120.(本題滿分15分)如圖，在四面體 A-BCD中，AD 平面BCD, BC CD,AD=2, BD=2*. M是AD的中點，P是BM的中點， 點Q在線段 AC上，且 AQ=3QC.(I )證明：PQ II平面BCD ;(n)若二面角 C-BM-D的大小為60 ,求 BDC的大小.【命題意圖】本題考查空間點、線、面位置關(guān)系，二面角等基 礎(chǔ)知識，空間向量的應用，同時考查空間想象能力和運算求解 能力?！敬鸢附馕觥?第20題圖)(I)取 BD的中點O,在線段 CD上取點F,使得DF=3FC,連接 OP, OF, FQ.因為AQ=3Q

17、C,所以一 一 一 1 一QF / AD ,且 QF=AD因為O, P分別為BD, BM的中點，所以O(shè)P是 BDM的中位線，所以一一 一一 1一OP / DM ,且 OP=2DM又點M是AD的中點，所以O(shè)P / AD ,且 OP=1AD4從而OP / FQ,且 OP=FQ所以四邊形 OPQF是平行四邊形，故PQ II OF又PQ 平面BCD , OF 平面BCD ,所以PQ II 平面 BCD .(n)作 CG BD于點G,作GH BM于點HG ,連接 CH ,則CH BM ,所以 CHG為二面角的平面角。設(shè)BDC= 0.在 RtABCD 中，CD =BDcos 6=2V2cos 0,CG=C

18、D sin 6=2*72cos Qsin 0,BG = BCsin 6=2>/2sin2e在 RtABDM 中,HG =BG DM 2業(yè)n2 8BM =3在 RtACHG 中,tanCG 3cos 0 chg=HG=M7 =3所以tan = 3從而二60即 BDC=60 .x2 y221 .(本題滿分15分)如圖，點 P(0, -1)是橢圓Ci：+9=1 (a>b>0)的一個頂點，Ci的長軸是圓C2: x2+y2=4的直徑.li, 12是過點P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)i交圓C2于A,B兩點，12交橢圓Ci于另一點D.(I)求橢圓 Ci的方程；(n)求 ABD面積取最大值時

19、直線li的方程.【命題意圖】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓的位置 關(guān)系，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析 幾何的基本思想方法和綜合解題能力(第2i題圖)【答案解析】(I)由題意得所以橢圓C的方程為X22 .4 +y2=i .(n)設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2), D(xo, yo).由題意知直線li的斜率存在，不妨設(shè)其為k,則直線li的方程為又圓所以又liy=kx- i .C2： x2+y2=4,故點O到直線li的距離i弓二百，l2,故直線l2的方程為AB|=2 .4- d2=2.4 k2+3；k2+ix+ky+k=0 .由x+ky+k=0,x24+y2=i .消去

20、y,整理得(4+k2)x2+8kx=0所以設(shè)AABD的面積為S,則所以當且僅當k= 士8k x0=-7+k2-|PD尸8 ；k +14+k218 4k2+3S二2|AB|PD尸 4+k2手時取等號所以所求直線li的方程為10y=±_l2-x-i22.(本題滿分 14 分)已知 a R,函數(shù) f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3(I)求曲線y=f(x)在點(1 , f(1)處的切線方程;(n)當x 0, 2時,求|f(x)|的最大值.【命題意圖】本題考查導數(shù)的幾何意義，導數(shù)應用等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，分 類討論等分析問題和解決問題的能力【答案解析】(I)由題意f (x)=3x2-6x+3a,故f (1)=3 a-3.又f(1)=1 ,所以所求的切線方程為 y=(3a- 3)x- 3a+4(n)由于 f (x)=3(x-1)2+3(a-1), 0x 2.故(i )當a 0時，有f (x) 0,此時f(x)在0, 2上單調(diào)遞減，故|f(x)|max=max| f(0)|, |f(2)|=3 - 3a(ii)當a 1時，有f (x) 0,此時f(x)在0, 2上單調(diào)遞增，故|f(x)|max=max| f(0)|, |f|= 3 a- 1(而)當 0<a<1 時，設(shè) x1=1-qr_a, x2=1+«a,則0V x1< x2<2