2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷及答案

1、2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷一、選擇題(本題滿分 36分，每小題6分)本題共有6小題，每題均給出(A)、(B)、(C)、(D)四個結(jié)論，其中有且僅有一 個是正確的.請將正確答案的代表字母填在題后的括號內(nèi).每小題選對得6分；不選、選錯或選出的字母超過一個(不論是否寫在括號內(nèi))，一律得0分.1 .函數(shù)f(x) log 1 (x2 2x 3)的單調(diào)遞增區(qū)間是( A )2(A) (, 1)(B) ( ,1)(C) (1, )(D) (3,)2 .若實數(shù)x,y滿足(x 5)2 (y 12)2 142 ,則x2 y2的最小值為( B )(A) 2(B) 1(C)(D)x3.函數(shù)f (x)-1 2x(A)

2、是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)(C)既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)(A )(B)是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)(D)既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)4.直線x y 1與橢圓4 3162y 1相交于A、B兩點，該橢圓上點 P,使 9得 APB的面積等于3.這樣的點P共有(A) 1 個(B) 2 個(C) 3 個(D) 4 個解：設(shè) P(4cos ,3sin ) (0圖，考慮四邊形 PAOB面積SCc11一 .、SSOAP SOBP 一4(3sin)2-),即點P在第一象限的橢圓上，如 21一 3(4 cos 26(sincos ) 6.2 sin(Smax 6貶(此時 一)41- Soab3462.SpAB的最大值為 6(J21),

3、 6J26 3點P不可能在直線 AB的上方，顯然在直線 AB的下方有兩個點 P .5.已知兩個實數(shù)集合A a1,a2,，a10o與 B bi ,b2,b50,若從A到B的映射f使得B中每個元素都有原象，且f(a1) f(a2)f (aioo),則這樣的映射共有(A) %(B)c；9(0Ci4090解：不妨設(shè)Bb2bso,將A中元素ai,a2, ,aioo按順序分為非空的 50組.定義映射f : A B,使第i組的元素在f之下的象都是bi (i 1,2, ,50).易知這樣的映射f滿足題設(shè)要求，每個這樣的分組都一一對應(yīng)滿足條件的映射，于是滿足題設(shè)要求的映射f的個數(shù)與A按足碼順序分為50組的分法數(shù)

4、相等，而A的分法數(shù)為C999,則這樣的映射共有C；.6.由曲線x2 4y , x2 4y, x 4, x 4圍成的圖形繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V1 ；滿足x2 y2 16 , x2 (y 2)2 4 ,2_ 2x (y 2)4的點組成的圖形y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V2 ,則y 11(A) Vi -V2 2(B) V12V23(C) Vi V2(D) Vi 2V2解：如圖，兩圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間.用任意一個與y軸垂直的平面截這兩個旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點距離為|y|,則所得截面面積_22_22_222Si(44|y| ) ,S2(4 y )4 (2

5、 | y |) (4 4y )Si S2,由祖咂原理知，兩幾何體體積相等，Vi V2二、填空題(本題滿分 案寫在橫線上.)54分，每小題9分，本題共有6個小題，要求直接將答7 .已知復(fù)數(shù)乙，Z2滿足|乙| 2 , | Z2 | 3 .若它們所對應(yīng)的向量的夾角為 60 ,則工2| 3ZiZ278.將二項式(4前三項系數(shù)成等差數(shù)列, 項共有 3 個.則該展開式中X的哥指數(shù)是整數(shù)的n的展開式按x降哥排列，若9.已知點P1,P2,尸io分別是四面體的頂點或棱的中點，那么在同一平面上的四點組 (P1，P，Pj,Pk) (1 i j10)有 33 個.10.已知f(x)是定義在R上的函數(shù),f(1) 1且對

6、任意R都有f(x 5)f(x) 5f(x 1)f(x)若 g(x) f (x) 1 x,則 g(2002)解：由g(x)f(x) 1g(x) x 1,所以g(x 5) (x5) 1 g(x)(x 1)g(x 1) (x1) 1g(x)(x 1)即 g(x 5) g(x),g(x 1)g(x)g(x) g(x 5)g(x 4)g(x2)g(x 1)g(x)g(x 1) g(x)即g(x)是周期為1的周期函數(shù)，又g(1)1 ,故 g(2002) 111 .若 log4(x2y) Iog4(x 2y)1 ,則| x | | y |的最小值x 2y 0解：x 2y 0(x 2y)(x 2y) 4由對稱

7、性只考慮y 0,因為x令x y u公代入x24y2x 2|y| 0x2 4y2 40,所以只須求x y的最小值.4,有 3y2 2uy (4 u2) 0這是一個關(guān)于y的二次方程顯然有實根，故16(u2 3) 0, u 33油 4-3當x 丁，y工3時，u V3.故|x| 3|y|的最小值為J312.使不等式- 22sin x acosx acosx對一切x R恒成立的負數(shù)a的取值范圍是解：原不等式可化為(cosx2 (a 1)2a 4a 1.1 cosx 1, a 0, 02 當cosx 1時，函數(shù)y (cosx a)2有最大值(1 a)2, 222從而有(1 a2)2 a2 (a 1) ,整

8、理得a2 a 2 024a 1 或 a 2 ,又 a 0, a 2三、解答題(本題滿分 60分，每小題20分)13.已知點A(0,2)和拋物線y2x 4上兩點B, C使得ABBC ,求點C的縱坐標的取值范圍.解：設(shè)B點坐標為(y12 4, y1) , C點坐標為(y24,y).顯然y；40 ,故kABy1 21y 4y12由于 AB BC,所以 kBC(y1 2),2/ 2、從而y y1(y1 2Mx (y1 4),消去X,注意到y(tǒng) %得：y2 x 42_ _一一(2 yi)(yyi)1 0 yi2(2y)yi(2y1) 0由 0解得：y 0或y 4.當y 0時，點B的坐標為(3, 1);當y

9、 4時，點B的坐標為(5, 3),均滿足是題意.故點 C的縱坐標的取值范圍是 y 0或y 4.14.如圖，有一列曲線PO,Pi，P2,已知P。所圍成的圖形是面積為1的等邊三 角形，Pk 1是對Pk進行如下操作：將 Pk的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形， 再將中間部分的線段去掉 (k 0,1,2,3, ) .記Sn為曲線Pn 所圍成圖形的面積.(1)求數(shù)列Sn的通項公式；(2)求 lim Sn .n解：(1)對Po進行操作，容易看出 Po的每條邊變成Pi的4條邊，故Pi的邊數(shù)為23 4；同樣，對Pi進行操作，Pi的每條邊變成P2的4條邊，故P2的邊數(shù)為3 4 ,從而不難

10、得到Pn的邊數(shù)為3 4n.已知Po的面積為So 1 ,比較R與Po .容易看出R在Po的每條邊上增加了一1 一11個小等邊二角形，其面積為 ,而Po有3條邊，故Si So 3 二 1 -333再比較P2與Pi,可知P2在Pi的每條邊上增加了一個小等邊三角形，其面積為112- -2" , 而 P1 有 332 324條邊,故S2Si4 31433類似地有：S3S2 342 4364235于是有Sn143342354n 132n 14t 1-2t 1t 1 33 91(加491 31 軟 5(機以下用數(shù)學(xué)歸納法證明 sn 8 - (4) n成立.5 5 9n 1時，由上面已知等式成立假設(shè)

11、n k時，有sk 8 3(-)k5 5 9當n k 1時，易知第k 1次操作后，比較 Pk 1與Pk, Pk 1在Pk的每條邊上增加了一個小等邊三角形，其面積為1k .萬，而Pk有3 4條邊，故 3k 1Sk 1 Sk 3 432- 1)Sk4k 8 332k 1554 k 1(9)綜上，由數(shù)學(xué)歸納法知Sn(2) lim Snlim8n n 585(乎9(4)n成立.98一.515.設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc ( a,b,cR,a 0)滿足條件:(1)當 x R時，f (x 4)f (2 x),且 f (x) x ;(2)當 x (0,2)時,f(x),x 12(丁)；(3) f (x)在

12、R上的最小值為0.求最大的m ( m 1),使得存在t R ,只要x 1,m,就有f (x t) x .解：: f (x4)f (2 x) ,函數(shù)的圖象關(guān)于x1對稱,b2a2a由(3)知,1 時，y 0,即 a b c 0,由(1)得 f(1)1 ,由(2)得 f (1) 1f(1) 1 ,即a b c 1,又 a b c.111一、 b -, a - , c . f(x)244假設(shè)存在t R ,只要x 1,m,就有f (xt)取x 1 有 f(t 1)r 11 .即,(I41)22(t1)0.1(t m)2412(t m)4,0有 f (t m)化簡有,m2 2(1t)m(t22t 1) 0

13、,解得1t . 4t于是有m 1 t . 4t(4) , 4( 4)當t 4時，對任意的x1,9,恒有9) 0.121f (x 4) x (x 10x 9) (x 1)(x 44所以m的最大值為9.2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試卷一、(本題滿分50分)如圖，在 ABC 中，A 60 , AB AC ,點 O 是外心，兩條高 BE、CF交于H點.點M、N分別 在線段BH、 HF上，且滿足BM CN .求MH NH.古的值.OH解：在BE上取BK CH，邊接OB,OC,OK .外心的性質(zhì)知BOC 2 ABHC 180 BHC120 ,由三角形垂心的性質(zhì)知A 120BOCB,C,H,O四點共圓.O

14、BH OCH，又 OB OC, BK CH , . BOKA COH . BOK COH , OK OH KOH BOC 120 , OKH OHK 30觀察 OKH , KH 0H ，則 KH 33 OH ； sin120 sin 30又.BM CN , BK CH , . KM NHMH NH MH KM KH V3 OH ,故她一NH M .OH 二、(本題滿分50分)實數(shù)a,b, c和正數(shù) 使得f (x) x3足2ax bx c有二個實根x1，X2,X3,且滿(1) x2 x1;,c、1.、(2) x3-(x1 x2).2求2a-27c 9abM曰擊-的最大值.3解：由于 f(x) f

15、(x) f(x3)(xx3)x2 (a x3)x x； ax3 b所以Xi ,X2是方程x2(a X3)x x2 ax3 b0的兩個根，由1）可得2222(a x3)4(x3 ax3 b) ，即 3x3 2ax3224b a再由（2）可得x3易L a J4a2 12b 3 2 ,且 4a2 12b 3 2 0 3f(x)2.ax bx c32 a (3a 231b)(x -)a c - ab327312 Q由f(x3)?？傻靡籥b a c 327(x3a 33)b)(x3 1)x 1x33.4a2 12b 32,x334a212b 3 22、3 .1a2b,則且1ab32 3a272、3(P

16、2)0,1-ab32一a27由于所以3ab于是2a32、. 3/ 2 y(y2)1y2 a 2727c 9ab(y(y32Ty2)(y22)2(y(2)32-)4_ 3 一 一 ,2a 27c 9ab33 3取 a 2屈,b 2, c 0,2,則 f(x) x3 273x2 2x 有根 J3 1 ,332一 3_ 一一一、2a3 27c 9abv3 1 , 0 , 顯然假設(shè)條件成立，且 3_ 32a 27c 9abM 曰上/古* 3,3綜上可知,的最大值為3 2三、（本題滿分50分）在世界杯足球賽前,F國教練為了考察 Ai, A2, A7 ,這七名隊員，準備讓他們在 三場訓(xùn)練比賽（每場 90分

17、鐘）都上場.假設(shè)在比賽的任何時刻，這些隊員中有且僅有一人在場上，并且 Ai, A2, A3, A4每人上場的總時間（以分鐘為單位）均被 7整除,A5, A6, A7每人上場的總時間（以分鐘為單位）均被 13整除.如果每場換人次數(shù)不限，那么按每名隊員上場的總時間計算，共有多少種不同的情況.解：設(shè)第i名隊員上場的時間為 xi分鐘（i 1,2, ,7）,問題即求不定方程x1 x2x7 270（1）在條件7，（1 i 4）且13|xj （5 j 7）下的正整數(shù)解的組數(shù).若（x1,x2, ,x7）是滿足條件（1）的一組正整數(shù)解，則應(yīng)有4 7為 7m,513n , m,n Ni 1i 5于是m,n是不定方

18、程7m 13n 270（2）在條件m 4且n 3下的一組正整數(shù)解由于 7（m 4） 13（n 3） 203令 m m 4, n n3,有 7m 13n203（3）所以，求（2）滿足條件 m 4, n 3的正整數(shù)解等價于求（3）的非負整數(shù)解.易觀察到7 2 13 （ 1） 1于是有 7 406 13 （ 203） 203即 m0406n0203 是（3）的整數(shù)特解，從而（3）的整數(shù)通解為m 406 13k n 203 7k k Z令 m 0， n 0解得29 k 31 取 k 29, 30,31 ，得到（3）滿足條件的三組非負整數(shù)解：m29m16m3n0n7n14從而得到（2）滿足條件的三組正整數(shù)解：m33m20m7n3n10n17在 m 33， n 3時，顯然x5x6 x7 13僅有一種可能；又設(shè)xi 7yi （ i 1,2,3,4） ，于是由不定方程y1 y2 y3 y4 33 有413C33 1 C324960 組正整數(shù)解可知此時（1 ）有滿足條件的C332 4960 組正整數(shù)解在 m 20， n 10時，設(shè) xi 7yi （ i 1,2,3,4）