2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章三角函數(shù)解三角形第4講函數(shù)y=Asinωx+φ的圖象及應(yīng)用講義理含解析

1、高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章三角函數(shù)解三角形:函數(shù)y=4sin（ gx+ 6）的圖象及應(yīng)用考綱解讀1 .了解函數(shù)+ G的物理港義,能用五點(diǎn)法畫(huà)出了小卬3 +囚的圖象，了解參數(shù)兒環(huán)9對(duì)函 數(shù)圖織變化的影響（重點(diǎn).）2,能結(jié)合3AsiM3r十夕）的圖象與三用函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)解折式，熟練掌握對(duì)稱軸與時(shí)稱中心的求解方法及圖象的平 移和伸縮變換.（堂點(diǎn)、難點(diǎn)）3 .了解三角函數(shù)是描述周期變彳匕現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，能用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.考向預(yù)測(cè)從近三年高考情況來(lái)看.本講內(nèi)容一直是高考的一個(gè)考查熱點(diǎn),預(yù)測(cè)2020年會(huì)把函數(shù).y=/*in（3 + M的 圖皇及性質(zhì)和三角恒等變換相結(jié)合進(jìn)行考查,尤其是函

2、數(shù)圖象的平移變換與性質(zhì)的結(jié)合.題型以客觀題的形式為主，有 時(shí)也會(huì)出現(xiàn)于解答題中,試題難度以中檔S3為主.基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)L “五點(diǎn)法”作函數(shù)尸檢in（3X+0）（冷0, 30）的簡(jiǎn)圖“五點(diǎn)法”作圖的五點(diǎn)是在一個(gè)周期內(nèi)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)及與X軸相交的三個(gè)點(diǎn)，作圖 時(shí)的一般步驟為：（1）定點(diǎn)：如下表所示.在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.擴(kuò)展：將所得圖象，按周期向兩側(cè)擴(kuò)展可得尸4sin（，”x+力）在R上的圖象.2.函數(shù)尸sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=Hsin（g*+M （給0,30）的圖象的步驟步驟3，診斷自測(cè)1 .概念辨析(D將函數(shù)y=3sin2.Y的圖象左移寧個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象的解析式是y=3sin(2x-l-

3、J ()(2)利用圖象變換作圖時(shí)，“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的長(zhǎng)度一 致.()(3)將函數(shù)y=2sin.Y的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，得函數(shù)y=2s*的圖象.()(4)由圖象求解析式時(shí)，振幅A的大小是由一個(gè)周期內(nèi)圖象中最高點(diǎn)的值與最低點(diǎn)的值 確定的.()答案 X (2) X (3) X (4) V2 .小題熱身(1)函數(shù)y=2sin(2x+：)的振幅、頻率和初相分別為()答案A解析 函數(shù)y=2si12*+；1的振幅是2,周期n，頻率49上，初相是:,故選A.(2)用五點(diǎn)法作函數(shù)j，=sin(A一/)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，主要確定的五個(gè)點(diǎn)是工 前。譯二T(生

4、。)3五個(gè)點(diǎn)依次是 仔 0)、除 1)、0)、(厚 7)、4(3)將函數(shù)f(x) = -4cos2x的圖象向右平移？個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo) 乙O伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到函數(shù)丫=X)的圖象，則/； )=.答案坐(n 1/ ncos2l-= - -cosl 2-v解析 函數(shù)f(x)=一4cos2x的圖象向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度后得函數(shù)y=-1 ZON ,再將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,得到函數(shù)g(x)= -cos(2x-),所以彳t)=_cos(一)=sirr|=.(4) (2018 長(zhǎng)春模擬)函數(shù)f(x)=Hsin(3x+Ma0, 口0, 同 五)的部分圖象如 圖所示，則函數(shù)f(

5、x)的解析式為.答案 f(x)=in(2x+S解析 由圖象可知月=蛆，=: ，所以=兀，3=2,所以f(x)=，5sin(2x 41. / J 4 o+ 力)，又 d蕓|=一電，所以 2X?+。= 24兀+9，kGZ, 0=2An +y, kGZ,又。I丸，所以 0=y,所以 f(x) =，5sin(2x+g)經(jīng)典題型沖關(guān)題型一 函數(shù)y=/sin(3x+。)的圖象及變換|【舉例說(shuō)明】1 . (2017 ,全國(guó)卷I )已知曲線Ci： y=cosA C： y=sin(2x+5-1,則卜而結(jié)論正確 的是()A.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移高 O個(gè)單位長(zhǎng)度，得

6、到曲線GB.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移5JL乙個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線GC.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的上縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移得個(gè) Zb單位長(zhǎng)度，得到曲線CD.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的右 縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移2個(gè) 單位長(zhǎng)度，得到曲線C答案D解析由G： y=sin|(2x+()=sin(2x+看+)=cos1 2x4根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的規(guī)律，可得D正確.2 . (2018 蚌埠一模)已知6；0,順次連接函數(shù)尸sin，x與尸cos，“才的任意三個(gè)相 鄰的交點(diǎn)都構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，則G=()A. n答案解析當(dāng)正弦值等于余弦

7、值時(shí)，函數(shù)值為土堂，故等邊三角形的高為鏡，由此得到邊=2 長(zhǎng)為2X當(dāng)8坐邊長(zhǎng)即為函數(shù)的周期，故二=羋3 .已知函數(shù)f(x)=2sinGx(g0)在區(qū)間 一上單調(diào)遞增，求公的最大值. _ J I _解函數(shù)f(x) =2sin小(30)在一片，劣上單調(diào)遞增，所以一1 1一含針全n n|2 3 o577 777，所以三23 4.33解得(K3W5,所以g的最大值為J 乙乙4 .已知函數(shù)尸cos(2x御(1)求它的振幅、周期、初相；用“五點(diǎn)法”作出它在區(qū)間0,內(nèi)的圖象；說(shuō)明尸cos,-)的圖象可由尸cos*的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到.012-1.7T .T2.6.L3.0 I .7t .2.2k.3

8、5 式.TL.：解（1）函數(shù) 尸cos（2x-g）的振幅為1,周期 4筌=H ,初相是一?1-201-2 . 15 后一I I * 5式先.3122.解法一：把尸COSX的圖象上所有的點(diǎn)向右平移!個(gè)單位長(zhǎng)度，得到尸cosQ1） 的圖象：再把y=cos（x-g）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的、縱坐標(biāo)不變），得到7= cos（2x鼠）的圖象.解法二：將P=0）的圖象常用的兩種方法（1）五點(diǎn)法作圖：用“五點(diǎn)法”作尸月sin（，”x+力的簡(jiǎn)圖，主要是通過(guò)變量代換，設(shè)z= ax+小,由z取0,卷 丸，2n來(lái)求出相應(yīng)的k通過(guò)列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo), 乙乙描點(diǎn)后得出圖象.（2）圖象的變換：由函數(shù)y=si

9、nx的圖象通過(guò)變換得到片=4sin（，”x+的圖象有兩種 途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.I【鞏固遷移】1.要想得到函數(shù)/=$立2*+1的圖象，只需將函數(shù)y=cos2x的圖象（）A.向左平移亍個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移/個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移+個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移+個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度答案B解析 先將函數(shù)/=8521的圖象向右平移彳個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin2x的圖象，再 向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，即得丫=5丘2*+1的圖象，故選B.2. （2018 青島模擬）將函數(shù)f（x）=2sin（2x+J圖象上的每

10、個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移得個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，在x）圖象JL乙的所有對(duì)稱軸中，離原點(diǎn)最近的對(duì)稱軸方程為（）nJiA X= 24B *=W5 njiC，*=藥D*=適答案A解析當(dāng)函數(shù)（x）=2sin（2x+g）圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐 標(biāo)不變時(shí)，此時(shí)函數(shù)解析式可表示為（x）=2sin（4x+3 再將所得圖象向左平移三個(gè)單 位得到函數(shù)x）的圖象，則g（x）可以表示為g（x） =2si JlQ+3+楙 =2sin（4x+）.則函數(shù)g（x）的圖象的對(duì)稱軸可表示為4x+三=5+小，屆Z，即*=一3+, k eZ.則（由的圖象離原點(diǎn)最近的

11、對(duì)稱軸，即由的圖象離y軸最近的對(duì)稱軸為才=一3.乙Q題型二 由圖象確定尸月sin（，”*+的解析式【舉例說(shuō)明】1 .已知函數(shù)f（x）=/lsin（3x+0）（冷0, 30,0。貝），其導(dǎo)函數(shù)f （x）的圖象如圖 所示，則的值為（）16A. 272 B.W C.答案D解析 依題意得（X）=H3COS（3X+。），結(jié)合函數(shù)尸= （由的圖象，則3五，3 = 2.又月3 = 1,因此片=.因?yàn)?小丸，斗+,且F | |=cos（早+e）=-1,所以4+小=n,即 0=寧，所以 F(x)=3sin(2x+S，/(y j=|sin n +t=2.設(shè)F(x)=Hsin(3x+力)(a0, (“0,。| 五)

12、，其圖象上最高點(diǎn)上的坐標(biāo)是木), 曲線上的點(diǎn)尸由點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到相鄰的最低點(diǎn)N時(shí)，在點(diǎn)0(6, 0)處越過(guò)*軸.求月，人。的值；(2)函數(shù)f(x)的圖象能否通過(guò)平移變換得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象？若能，寫(xiě)出變換方法: 若不能，說(shuō)明理由.解(1)由題意知月=/，T= (6-2) X4 = 16,所以，”=芋=5.又因?yàn)?(6, 0)是零 值點(diǎn)，且。|丸，所以/X6+O=%所以0=寧，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意.所以月=平,(2)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)平移變換能得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象.由知當(dāng)f(x)的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象 的函數(shù)解析式為x)=/sin/x,是奇函數(shù).【據(jù)例說(shuō)法】確定y=Hsin(幻*+。)+6

13、(40,功0)中參數(shù)的方法(D求4 b：確定函數(shù)的最大值必和最小值處則力=1, 6=中； 乙乙(2)求3：確定函數(shù)的周期T,則可得3=*：(3)求必常用的方法有：代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)A,，“，b已知)或代入圖象與直線y=b 的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上).五點(diǎn)法：確定力值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)為突破口.具體如下：第一點(diǎn)圖象上升時(shí)與3、軸的交點(diǎn)/M+平=0第二點(diǎn)圖象的“峰點(diǎn)”3彳+(P- 2第三點(diǎn)圖象下降時(shí)與二軸的交點(diǎn)Gl+g=7V第四點(diǎn)圖象的“谷點(diǎn)”_ 3穴O）攵十（P9乙第五點(diǎn)圖象第二次上升時(shí)與 況軸的交點(diǎn)十(p 27r【鞏固遷移】7

14、1. （2018 四川綿陽(yáng)診斷）如圖是函數(shù)f（x）=cos（nx+ 磯0#臼的部分圖象，則1A-2c近L 2答案解析4X）=：。5（口才+力）的圖象過(guò)點(diǎn)（0,孚）,“I也 4=2,.坐=cos 0,結(jié)合CKem，可得0=3，由圖象可得cos（ n XoT Z/bJIJT+三=2五一-解得o o/. /(3-b) =/(5) =cos 5 n2 .已知函數(shù)f(Y)=，tan(，x+ yL y=f(x)的部分圖象如圖所示,則抬等于答案小解析 觀察圖象可知9=/一總，所以六=；,3=2,所以(x)=Htan(2x+0). Z O O乙 37，3 兀 、，3 /、3 n又因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn)(刀，0J,所

15、以0=Jtan(2XF町，所以一j-+ 6 = An (4Z), 3 nnn所以。=刀pUGZ).又因?yàn)椤?，所以小=7.又圖象過(guò)點(diǎn)(0, 1),多向探究所以 4=1.綜上知，f(x) =tan(2x+j), 故倒熬乂熱+總力. 題型三 三角函數(shù)圖象性質(zhì)的應(yīng)用，例說(shuō)明】9角度1三角函數(shù)模型的應(yīng)用1.如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin(pY+。)+4, 據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值為()A. 5 B. 6 C. 8 D. 1018 %時(shí)間/h答案c解析由圖象可知，%n=2,因?yàn)橥?= - 3+”,所以-3+4=2,解得衣=5,所以這 段時(shí)間水深的

16、最大值是w=3+Z=3+5=8.9角度2函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問(wèn)題2 .已知關(guān)于x的方程2sin(x+/)+ 1一=0在區(qū)間0,弓弓上存在兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是.答案3)解析 2sinQ+w | + l a=0 化為 sin(x+其 |=令=*+看，由0,二一得,n n 5兀-n 5n -a-11 a-1=X+工 79 q 畫(huà)出函數(shù)產(chǎn)上， 7 6 的圖象和宜線y= -一,當(dāng)一O L o o jL o o jz z zji 5 無(wú)10,；小?)的部分圖象如圖，貝！1()A.函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸方程為x=4行+-J-UeZ)8 .函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為184n+7，8kn +J(Aez)C.

17、函數(shù)/(分的遞增區(qū)間為84+1,84+5(左力r i 7D.f(x)21 的解集為 8A-, 8A4- UeZ) _ J答案D解析 由題圖知，月=2,函數(shù)f(x)的最小正周期X4X(3-1)=8,故口=?=；,84所以f(x) =2sin(鏟+力)，因?yàn)辄c(diǎn)(1, 2)在圖象上，所以2sin(-j+。) = 2,因?yàn)? G,ji/Ji it n itji所以 0=丁，即/*(*)=23詞7*+丁，由丁x+7=An+k(AZ)得 *=44+1,即函數(shù) 4 44/442(x)的對(duì)稱軸方程為才=4+1(42),所以八項(xiàng)錯(cuò)誤：由2kx +y+n +(k CZ)得8A+lWxW84+5,即函數(shù)f(x)的單

18、調(diào)減區(qū)間為84+1,84+5 GWZ),所以B, C 兩項(xiàng)錯(cuò)誤：由 25時(shí)1*+了乒 1,得 5111| 丁下+丁 |河,所以 2kn +x+：2k n + (4Z),解得8A-*xW8A+GZ),即不等式 4)21的解集為限一/8A+JaeZ), JJL J故選D.I【據(jù)例說(shuō)法】(1)三角函數(shù)模型在實(shí)際應(yīng)用中體現(xiàn)的兩個(gè)方面已知三角函數(shù)模型，利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的 意義及自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)法則；把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解 決問(wèn)題，其關(guān)鍵是建模.(2)三角函數(shù)的零點(diǎn)、不等式問(wèn)題的求解思路把函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)形式y(tǒng)=Jsin(Y+6(40,，”0):畫(huà)出一個(gè)周期上的函數(shù)圖象：利用圖象解決有關(guān)三角函數(shù)的方程、不等式問(wèn)題.研究尸出in(，”x+的性質(zhì)時(shí)可將，“x+力視為一個(gè)整體，利用換元法和數(shù)形結(jié) 合思想解題.【鞏固遷移】1 .設(shè)函數(shù) f(x) = |sin(x+R(xR),則 f(x)()2 n 7 nlA,在區(qū)間,三