高考立體幾何知識點和例題(文科學(xué)生用)

1、word可編輯 高考立體幾何知識點總結(jié)整體知識框架：一 、空間幾何體一 空間幾何體的類型 1 多面體：由假設(shè)干個平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點。 2 旋轉(zhuǎn)體：把一個平面圖形繞它所在的平面的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體。其中，這條直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。二 幾種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 1 、棱柱的結(jié)構(gòu)特征 1.1 棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。圖1-1 棱柱 1.2 棱柱的分類棱柱底面是四邊形四棱柱底面是平行四邊形

2、平行六面體側(cè)棱垂直于底面直平行六面體底面是矩形長方體底面是正方形正四棱柱棱長都相等正方體性質(zhì)：、側(cè)面都是平行四邊形，且各側(cè)棱互相平行且相等； 、兩底面是全等多邊形且互相平行；、平行于底面的截面和底面全等；1.3 棱柱的面積和體積公式是底周長，是高S直棱柱外表 = c·h+ 2S底V棱柱 = S底 ·h2 、棱錐的結(jié)構(gòu)特征1 棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。2正棱錐：如果有一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的投影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。 2.2 正棱錐的結(jié)構(gòu)特征 、 平行于底面的截面是與底面相似的正多

3、邊形，相似比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比；截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比；、 正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形； ABCDPOH正棱錐側(cè)面積：為底周長，為斜高體積：為底面積，為高正四面體：對于棱長為正四面體的問題可將它補成一個邊長為的正方體問題。 對棱間的距離為正方體的邊長正四面體的高正四面體的體積為正四面體的中心到底面與頂點的距離之比為 正四面體的外接球半徑為，外接球半徑為，外接球半徑3 、棱臺的結(jié)構(gòu)特征定義：用一個平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面和底面之間的局部稱為棱

4、臺。3.2 正棱臺的結(jié)構(gòu)特征 1各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；2正棱臺的兩個底面和平行于底面的截面都是正多邊形； 3正棱臺的對角面也是等腰梯形； 4各側(cè)棱的延長線交于一點。4 、圓柱的結(jié)構(gòu)特征定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱。4.2 圓柱的性質(zhì)1上、下底及平行于底面的截面都是等圓； 2過軸的截面(軸截面)是全等的矩形。4.3 圓柱的側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形。4.4 圓柱的面積和體積公式(r為底面半徑，h為圓柱的高) S圓柱側(cè)面 = 2·r·h S圓柱全 = 2 r h + 2 r2

5、V圓柱 = S底h = r2h5、圓錐的結(jié)構(gòu)特征5.1 圓錐的定義：以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。5.2 圓錐的結(jié)構(gòu)特征 1 平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；圖1-5 圓錐 2軸截面是等腰三角形； 3母線的平方等于底面半徑與高的平方和： l2 = r2 + h2 5.3 圓錐的側(cè)面展開圖：圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形。6、圓臺的結(jié)構(gòu)特征 6.1 圓臺的定義：用一個平行于底面的平面去截圓錐，我們把截面和底面之間的局部稱為圓臺。 6.2 圓臺的結(jié)構(gòu)特征 圓臺

6、的上下底面和平行于底面的截面都是圓； 圓臺的截面是等腰梯形； 圓臺經(jīng)常補成圓錐，然后利用相似三角形進(jìn)行研究。 6.3 圓臺的面積和體積公式 S圓臺側(cè) = ·(R + r)·l (r、R為上下底面半徑) S圓臺全 = ·r2 + ·R2 + ·(R + r)·l V圓臺 = 1/3 ( r2 + R2 + r R) h (h為圓臺的高) 7 球的結(jié)構(gòu)特征 7.1 球的定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體。空間中，與定點距離等于定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體稱為球體。 7-2 球的結(jié)構(gòu)特征 球

7、心與截面圓心的連線垂直于截面； 截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離的平方差：r2 = R2 d2 7-3 球與其他多面體的組合體的問題 球體與其他多面體組合，包括接和外切兩種類型，解決此類問題的根本思路是： 根據(jù)題意，確定是接還是外切，畫出立體圖形； 找出多面體與球體連接的地方，找出對球的適宜的切割面，然后做出剖面圖； 將立體問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓與多邊形的問題； 注意圓與正方體的兩個關(guān)系：球接正方體，球直徑等于正方體對角線； 球外切正方體，球直徑等于正方體的邊長。 練習(xí)：1將直角三角形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)一周, 形成的幾何體一定是 A圓錐 B圓柱 C圓臺 D上均不正確2用一個平面去截一個幾何體，

8、得到的截面是四邊形，這個幾何體可能是 A圓錐 B圓柱 C 球體 D 以上都可能3下左一圖是一個物體的三視圖,根據(jù)圖中尺寸單位：cm,計算它的體積為 cm3. 二、典型例題分析例1：幾何體的側(cè)面展開圖如上左二圖,長方體的長、寬、高分別是5cm、4cm、3cm，一只螞蟻從到點，沿著外表爬行的最短距離是多少練習(xí)：1如上右二圖, 四面體P-ABC中, PA=PB=PC=2, APB=BPC=APC=300. 一只螞蟻從A點出發(fā)沿四面體的外表繞一周, 再回到A點, 問螞蟻經(jīng)過的最短路程是_2邊長為5cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面, 那么從E點沿圓柱的側(cè)面到相對頂點G的最短距離是_練習(xí).1一個幾何體的

9、主視圖及左視圖均是邊長為2的正三角形,俯視圖是直徑為2的圓,那么此幾何體的外接球的外表積為 A B C D2棱長為1的正方體的八個頂點都在同一個球的外表上，那么這個球的外表積為 2 3 12三空間幾何體的外表積與體積空間幾何體的外表積棱柱、棱錐的外表積：各個面面積之和圓柱的外表積 ： 圓錐的外表積：圓臺的外表積： 球的外表積：扇形的面積公式其中表示弧長，表示半徑，表示弧度空間幾何體的體積柱體的體積 ： 錐體的體積 ： 臺體的體積 ： 球體的體積： 四空間幾何體的三視圖和直觀圖 正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖。 側(cè)視圖：光線從幾何體的左邊向右邊正投影，得到的投影圖。 俯視圖

10、：光線從幾何體的上面向右邊正投影，得到的投影圖。畫三視圖的原那么： 主視圖反映了物體的上、下和左、右位置關(guān)系；俯視圖反映了物體的前、后和左、右位置關(guān)系；側(cè)視圖反映了物體的上、下和前、后位置關(guān)系。三個視圖之間的投影關(guān)系為：正俯長相等、正側(cè)高相同、俯側(cè)寬一樣注：球的三視圖都是圓；長方體的三視圖都是矩形直觀圖：斜二測畫法斜二測畫水平放置的平面圖形的根本步驟(1)建立直角坐標(biāo)系，在水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐標(biāo)系；(2)畫出斜坐標(biāo)系，在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對應(yīng)的Ox，Oy，使xOy45°(或135°)，它們確定的平面表示水平平面；(3)畫對應(yīng)圖形，

11、在圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x軸，且長度保持不變；平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?4)擦去輔助線，圖畫好后，要擦去x軸、y軸及為畫圖添加的輔助線(虛線)原視圖與直觀圖的關(guān)系：例1、將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如下圖，那么該幾何體的側(cè)視圖為 ()解析：如下圖，點D1的投影為點C1，點D的投影為點C，點A的投影為點B. 答案：D練習(xí)：1如下圖為某一平面圖形的直觀圖，那么此平面圖形可能是 2判斷：水平放置的正方形的直觀圖可能是等腰梯形兩條相交的線段的直觀圖可能是平行線段兩條互相垂直的直線的直觀圖仍然垂直平行四邊形的直觀圖仍為平行四邊形長度

12、相等的兩線段直觀圖仍然相等3三角形是邊長為正三角形，求其直觀圖三角形的面積4如圖，正方形的邊長為，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，求原圖形的周長和面積 (5)如上右圖，用斜二測畫法作ABC水平放置的直觀圖形得A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1邊上的中線，由圖形可知在ABC中，以下四個結(jié)論中正確的選項是 AAB=BC=AC B ADBC C AC>AD>AB>BC D AC>AD>AB=BC空間幾何體三視圖重點例 1如下圖，某幾何體的正視圖是平行四邊形，側(cè)視圖和俯視圖都是矩形，那么該幾何體的體積為 () A6 B9 C12 D18解析：由三

13、視圖可復(fù)原幾何體的直觀圖如下圖此幾何體可通過分割和補形的方法拼湊成一個長和寬均為3，高為的長方體，所求體積V3×3×9.答案：B2一個空間幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的外表積為()A48 B328 C488 D80(3)某幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為()A12 B18 C942 D3618【答案】1C(2)B【解析】 (1)由三視圖可知此題所給的是一個底面為等腰梯形的放倒的直四棱柱(如下圖)，所以該直四棱柱的外表積為S2××(24)×44×42×42××4488.2.由三視圖可得這個幾

14、何體是由上面是一個直徑為3的球，下面是一個長、寬都為3、高為2的長方體所構(gòu)成的幾何體，那么其體積為：VV1V2××33×3×218，應(yīng)選B.3.【2012高考真題理7】某三棱錐的三視圖如下圖，該三梭錐的外表積是 A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+12 【答案】B可得：，因此該幾何體外表積，應(yīng)選B。當(dāng)堂練習(xí)： 1. 一空間幾何體的三視圖如下右圖所示,那么該幾何體的體積為( ).A. B. C. D. 2、上中圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的外表積是A.9 B.10 C.11 D123、 假設(shè)一個正三棱柱的體

15、積為，其三視圖如上左圖所示，那么這個正三棱柱的側(cè)視圖的面積為_。4.【2012高考真題理6】某幾何體的三視圖如下圖，它的體積為 C A12 B.45 C.57 D.81二、典型例題考點一：三視圖2 2 側(cè)(左)視圖 2 2 2 正(主)視圖 1一空間幾何體的三視圖如圖1所示,那么該幾何體的體積為_.俯視圖 第1題2.假設(shè)某空間幾何體的三視圖如圖2所示，那么該幾何體的體積是_.第2題 第3題3一個幾何體的三視圖如圖3所示，那么這個幾何體的體積為 .4假設(shè)某幾何體的三視圖單位：cm如圖4所示，那么此幾何體的體積是 .3正視圖俯視圖112左視圖a 第4題 第5題5如圖5是一個幾何體的三視圖，假設(shè)它的

16、體積是，那么 .6某個幾何體的三視圖如圖6，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸單位：cm，可得這個幾何體的體積是 .2020正視圖20側(cè)視圖101020俯視圖 第6題 第7題7.假設(shè)某幾何體的三視圖單位：如下圖，那么此幾何體的體積是 8.設(shè)某幾何體的三視圖如圖8尺寸的長度單位為m，那么該幾何體的體積為_m3。 8題 10.一個三棱柱的底面是正三角形，側(cè)棱垂直于底面，它的三視圖及其尺寸如圖10所示單位cm，那么該三棱柱的外表積為_.俯視圖正視圖 圖10 11.如果一個幾何體的三視圖如圖14所示(單位長度: ), 那么此幾何體的外表積是_. 圖1412圖16是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的外表積

17、是_.俯視圖正(主)視圖側(cè)(左)視圖2322圖16 圖1713.如圖17，一個空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個幾何體的體積為_.二 、點、直線、平面之間的關(guān)系一、立體幾何網(wǎng)絡(luò)圖：公理4線線平行線面平行面面平行線線垂直線面垂直面面垂直三垂線逆定理三垂線定理1.平面的根本性質(zhì)公理1 假設(shè)一條直線上的兩點在一個平面，那么這條直線上所有的點都在這個平面.公理2 如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線.公理3 經(jīng)過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面.根據(jù)上面的公理，可得以下推論.推論1 經(jīng)過一條直線和這條直

18、線外一點，有且只有一個平面.推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.2.等角定理及其推論定理 假設(shè)一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等. 推論 假設(shè)兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的角相等.2.空間線面的位置關(guān)系 共面 平行沒有公共點(1)直線與直線 相交有且只有一個公共點異面(既不平行，又不相交) 直線在平面有無數(shù)個公共點(2)直線和平面 直線不在平面 平行沒有公共點 (直線在平面外) 相交有且只有一公共點(3)平面與平面 相交有一條公共直線(無數(shù)個公共點)平行沒有公共點唯一性定理：1過點

19、，有且只能作一直線和平面垂直。2過平面外一點，有且只能作一平面和平面平行。3過兩條異面直線中的一條能且只能作一平面與另一條平行。1、線線平行的判斷方法： 1.中位線、證明平行四邊形、相似邊互相平行初中的方法、錯角同位角相等、平行公理等 2.線面平行的性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)3.線面垂直的性質(zhì)：垂直于同一平面的兩直線平行。4.向量法，證明2、線線垂直的判斷：1.勾股定理2.正方形、菱形、圓等特點3.等腰、等邊三角形的中線4.線面垂直和面面垂直的轉(zhuǎn)化補充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。3、線面平行的判斷： 如果平面外的一條直線和平面的一條直線平行，那么這條直線和這個平面

20、平行。符號表示：4.線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。5、面面平行的判斷： 一個平面的兩條相交直線分別平行于另一個平面，這兩個平面平行。注：垂直于同一條直線的兩個平面平行5、面面平行的性質(zhì)：性質(zhì)定理：1.如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。 2.兩個平面平行，其中一個平面的直線必平行于另一個平面。判斷或證明線面平行的方法 利用定義(反證法)：，那么 (用于判斷)； 利用判定定理：線線平行線面平行 (用于證明)； 利用平面的平行：面面平行線面平行 (用于證明)； 利用垂直于同一條直線的直線和平面平行(用于判

21、斷)。2 線面斜交和線面角： = A2.1 直線與平面所成的角(簡稱線面角)：假設(shè)直線與平面斜交，那么平面的斜線與該斜線在平面射影的夾角。 2.2 線面角的圍：0°，90°圖2-3 線面角 注意：當(dāng)直線在平面或者直線平行于平面時，=0°；當(dāng)直線垂直于平面時，=90°4、線面垂直的判斷： 判定定理如果一直線和平面的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個平面。5.線面垂直性質(zhì)：1假設(shè)直線垂直于平面，那么它垂直于平面任意一條直線。即： 2垂直于同一平面的兩直線平行。 即： 推論：6、面面垂直的判斷： 一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，這兩個平面互相垂直。判定定理：

22、6、面面垂直的性質(zhì)：如果兩個平面垂直，那么在個平面垂直于交線的直線必垂直于另個平面。圖2-10 面面垂直性質(zhì) 定義法：假設(shè)兩面垂直，那么這兩個平面的二面角的平面角為90°；判斷或證明線面垂直的方法 利用定義，用反證法證明。 利用判定定理證明。 一條直線垂直于平面而平行于另一條直線，那么另一條直線也垂直與平面。 一條直線垂直于兩平行平面中的一個，那么也垂直于另一個。 如果兩平面垂直，在一平面有一直線垂直于兩平面交線，那么該直線垂直于另一平面。考點六 線面、面面關(guān)系判斷題1直線l、m、平面、，且l，m，給出以下四個命題：1，那么lm2假設(shè)lm，那么3假設(shè)，那么lm4假設(shè)lm，那么其中正確

23、的選項是_.2. 是空間兩條不同直線，是空間兩條不同平面，下面有四個命題： 其中真命題的編號是_寫出所有真命題的編號。4. 對于平面和共面的直線、 (1)假設(shè)那么(2)假設(shè)那么(3)假設(shè)那么 (4)假設(shè)、與所成的角相等，那么其中真命題的序號是_.5. 關(guān)于直線m、n與平面與，有以下四個命題：假設(shè)且，那么； 假設(shè)且，那么；假設(shè)且，那么； 假設(shè)且，那么；其中真命題的序號是_.練習(xí)1.判斷下面命題的正確的選項是 平行于同一直線的兩平面平行. 垂直于同一平面的兩直線平行. 平行于同一平面的兩直線平行. 垂直于同一直線的兩平面平行. 平行于同一平面的兩平面平行. 垂直于同一平面的兩平面平行.2空間不重合

24、的三平面可以把空間分成 局部,正方體六個面所在平面把空間分成 局部.3假設(shè)是異面直線, b, c是異面直線, 那么a ,c的位置關(guān)系是 ) A.相交,平行或異面 B.相交或平行 C.異面 D.平行或異面4設(shè)b,c表示兩條直線,a,b表示兩個平面,以下命題中正確的選項是A假設(shè)ba ,ca,那么bcB假設(shè)ba,bc,那么caC假設(shè)ca,cb,那么ab D假設(shè)ca,ab,那么cb 5設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,以下命題正確的選項是 )A,假設(shè),那么 B,假設(shè)那么C,假設(shè),那么 D,假設(shè)那么6設(shè)是兩條直線,是兩個平面,那么能推出的一個條件是 ( )A. B. 7直線及平面,以下命題中錯誤的選

25、項是 ) A. 假設(shè),那么 B. 假設(shè),那么 C. 假設(shè),那么 D. 假設(shè),那么8對于平面和直線,以下命題中正確的選項是( )A. 假設(shè)m,mn,那么n B. 假設(shè)m,n,那么可能有C. 假設(shè)m,n,那么mn D. 假設(shè)與所成的角相等,那么nm9為兩條不同的直線, 為兩個不同的平面,那么以下命題中正確的選項是 )10兩條直線,兩個平面,給出下面四個命題： 其中正確命題的序號是 ) A B C D11設(shè)有直線和平面.以下四個命題中,正確的選項是( )A.假設(shè)m,n,那么mn B.假設(shè)m,n,m,n,那么C.假設(shè),m,那么m D.假設(shè),m,m,那么m12設(shè)是兩個不同的平面,是一條直線,以下命題正確

26、的選項是 )A假設(shè)那么 B假設(shè),那么 C假設(shè),那么 D假設(shè),那么 13直線和平面,下述推理中正確的有 .14如下左圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，BM與ED平行；CN與BE是異面直線；CN與BM成角；DM與BN垂直；以上四個命題中，正確命題的序號是 練習(xí)：下左二圖是一個正方體的展開圖，在原正方體中，有以下命題：AB與EF所在直線平行；AB與CD所在直線異面；MN與BF所在直線成60°；MN與CD所在直線垂直；其中正確命題的序號是_.考點四 平行與垂直的證明1. 正方體，E為棱的中點() 求證：；() 求證：平面；求三棱錐的體積2.正方體，是底對角線的交點.求證：() C1O面

27、；(2)面3如圖，矩形所在平面，、分別是和的中點.求證：平面；求證：；假設(shè)，求證：平面.AFEBCDMN4如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點，N為AE的中點，AF=AB=BC=FE=AD(I) 證明平面AMD平面CDE；(II) 證明平面CDE；PDABCOM 5在四棱錐PABCD中,側(cè)面PCD是正三角形,且與底面ABCD垂直,菱形ABCD中ADC60°,M是PA的中點，O是DC中點.1求證：OM / 平面PCB；2求證:PACD；3求證:平面PAB平面COM.7如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面

28、ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EFPB交PB于點F.1證明PA/平面EDB；2證明PB平面EFD異面直線所成的角，線面角，二面角的求法1求異面直線所成的角：1.定義法：解題步驟：一找作：利用平移法找出異面直線所成的角；1可固定一條直線平移另一條與其相交；2可將兩條一面直線同時平移至某一特殊位置。常用中位線平移法 二證：證明所找作的角就是異面直線所成的角或其補角。常需要證明線線平行；三計算：通過解三角形，求出異面直線所成的角；2求直線與平面所成的角：關(guān)鍵找“兩足：垂足與斜足1.定義法：解題步驟：一找：找作出斜線與其在平面的射影的夾角注意三垂線定理的應(yīng)用；二證：證明所找作的角就是直線與平面所成的角或其補角常需證明線面垂直；三計算：常通過解直角三角形，求出線面角。3求二面角的平面角(不做要求解題步驟：一找：根據(jù)二面角的平面角的定義，找作出二面角的平面角； 二證：證明所找作的平面角就是二面角的平面角常用定義法，三垂線法，垂面法； 三計算：通過解三角形，求出二面角的平面角。五、距離的求法：1點點、點線、點面距離：點與點之間的距離就是兩點之間線段的長、點與線、面間的距離是點到線、面垂足間線段的長。求它們首先要找到表示距離的線段，然后再計算。注意：求點到面的距離的方法：直接法：直接確定點到平面的垂線段長垂線段一般在二面角所在的平面上；轉(zhuǎn)移法：轉(zhuǎn)化為另一點到該平面的距離利用線面平行的性