第6章虛功原理及靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

1、位移的概念在材料力學(xué)中已講過。位移的概念在材料力學(xué)中已講過。u vt2(t2 t1)t1 V H A B A BBAAB BAAB 線位移、角位移、相對線位移及相線位移、角位移、相對線位移及相對角位移統(tǒng)稱為對角位移統(tǒng)稱為。 vu圖圖(a)圖圖(b) H V 圖圖(c)圖圖(d)圖圖(e)： fvmax max 如建筑工程中有一種稱為如建筑工程中有一種稱為的工藝，可以保的工藝，可以保證施工完畢后，屋架的下弦各桿接近于原設(shè)計(jì)的水平位證施工完畢后，屋架的下弦各桿接近于原設(shè)計(jì)的水平位置。而置。而 max量及各桿的實(shí)際下料長度是多少，就必須解量及各桿的實(shí)際下料長度是多少，就必須解決結(jié)構(gòu)的變形及位移計(jì)算；

2、決結(jié)構(gòu)的變形及位移計(jì)算； 超靜定結(jié)構(gòu)分析時需超靜定結(jié)構(gòu)分析時需方程，在力法中其補(bǔ)充方程方程，在力法中其補(bǔ)充方程是位移協(xié)調(diào)方程，因此必須了解位移的分析方法。是位移協(xié)調(diào)方程，因此必須了解位移的分析方法。 max又稱又稱線彈性體系線彈性體系，是指位移與荷載，是指位移與荷載的體系，且當(dāng)荷載全部撤除后，位移的體系，且當(dāng)荷載全部撤除后，位移將完全消失。它滿足以下條件將完全消失。它滿足以下條件 (1)應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系滿足虎克定律；應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系滿足虎克定律；(2)體系是幾何不變的，且所有約束都是理體系是幾何不變的，且所有約束都是理想約束；想約束； (3)小變形（位移是微小的）。小變形（位移是微小的）。是指位移

3、與荷載不呈線性關(guān)系的體系。是指位移與荷載不呈線性關(guān)系的體系。 在以前各章中，僅涉及靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算，采用在以前各章中，僅涉及靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算，采用平衡方程求解，研究問題時，把結(jié)構(gòu)視為平衡方程求解，研究問題時，把結(jié)構(gòu)視為“”。在。在研究研究后面的后面的中，結(jié)構(gòu)均視中，結(jié)構(gòu)均視為為。研究問題一般需同時考慮平衡方程，物理方。研究問題一般需同時考慮平衡方程，物理方程及變形協(xié)調(diào)方程三個方面。程及變形協(xié)調(diào)方程三個方面。 對于線彈性桿系結(jié)構(gòu)，物理方程非常簡單，即對于線彈性桿系結(jié)構(gòu)，物理方程非常簡單，即GE(6-1)下面重點(diǎn)討論變形直桿的下面重點(diǎn)討論變形直桿的和和。 如圖如圖(a)所示受一般荷載作用的直桿

4、，處于平衡狀態(tài)。所示受一般荷載作用的直桿，處于平衡狀態(tài)。圖中圖中q(x)為分布的橫向荷載，為分布的橫向荷載，p(x)為分布的軸向荷載，為分布的軸向荷載，m(x)為分布的力偶系。取任一微段為分布的力偶系。取任一微段dx如圖如圖(b)所示。所示。 由平衡方程：由平衡方程：0X0Y0M得得(略去高階微量略去高階微量)0)()(0)()(0)()(xmFdxxdMxqdxxdFxpdxxdFQQN(6-2)上式即為上式即為，它反映了直桿內(nèi)力與外力之間的，它反映了直桿內(nèi)力與外力之間的關(guān)系，求解（關(guān)系，求解（6-2）式微分方程組的）式微分方程組的為為 BQBQNBNAQAQNANMlMFlFFlFlxMM

5、FFFFx；時，；時，0000(6-3)xyABq(x)m(x)p(x)圖圖(a)lQAFNAFAMBMNBFQBFFN(x)+dFN(x)q(x)FN(x)FQ(x)M(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)+dM(x)dx圖圖(b)利用利用(d)、(e)、(f)圖易得圖易得 dxddxdvdxdxdvdxdu(6-4) 對于桿系結(jié)構(gòu)而言，剪切對于桿系結(jié)構(gòu)而言，剪切變形相對較小，若忽略剪變形相對較小，若忽略剪切變形，上式與材料力學(xué)切變形，上式與材料力學(xué)中的結(jié)果相同。中的結(jié)果相同。 (6-4)(6-4)式稱為式稱為。對于幾何相容的變形，還需滿足位移邊界條件：對于幾何相容的變形，還需滿足位移邊界條

6、件： BBBAAAlvlvululxvvuux；時，；時，0000(6-5)xyl圖圖(c)ABAvBvAuBuABu+duudx圖圖(d)圖圖(e)圖圖(f) dx +d dxv+ dx v 功的概念大家都比較熟悉，它包含了功的概念大家都比較熟悉，它包含了兩個要素：力和位移，功定義為兩個要素：力和位移，功定義為力力，兩者之間緊密相關(guān)，兩者之間緊密相關(guān)。若做功的力與相應(yīng)力的位移彼此獨(dú)立無。若做功的力與相應(yīng)力的位移彼此獨(dú)立無關(guān)時，這類的功通常稱為關(guān)時，這類的功通常稱為。 ，如圖所示兩種狀態(tài)，彼此無關(guān)（位移狀態(tài)中，如圖所示兩種狀態(tài)，彼此無關(guān)（位移狀態(tài)中的位移并非由于第一種狀態(tài)上的力所引起的），則第

7、一種的位移并非由于第一種狀態(tài)上的力所引起的），則第一種狀態(tài)上的力在第二種狀態(tài)的相應(yīng)位移上所作的功，即為虛狀態(tài)上的力在第二種狀態(tài)的相應(yīng)位移上所作的功，即為虛功，記為功，記為 2212211112ppFFT一般情況可記為一般情況可記為iipiFT2112(6-6) Fp21Fp11圖圖(a) 力狀態(tài)力狀態(tài)(狀態(tài)狀態(tài)) 12 22圖圖(b)位移狀態(tài)位移狀態(tài)(狀態(tài)狀態(tài))上式中，上式中，F(xiàn)pi1(i=1,2n)為廣義力，為廣義力， i2 (i=1,2n)為為與廣義力與廣義力Fpi1相應(yīng)的廣義位移。相應(yīng)的廣義位移。 ，在虛功方程中，力狀態(tài)與位移狀態(tài)是，在虛功方程中，力狀態(tài)與位移狀態(tài)是，因此，不僅可把位移狀

8、態(tài)視為虛設(shè)的，也可，因此，不僅可把位移狀態(tài)視為虛設(shè)的，也可把力狀態(tài)視為虛設(shè)的。它們各有不同的應(yīng)用。把力狀態(tài)視為虛設(shè)的。它們各有不同的應(yīng)用。 為了便于理解，我們首先討論虛功方程在為了便于理解，我們首先討論虛功方程在剛體剛體上的上的應(yīng)用。應(yīng)用。 對于剛體體系，虛功方程敘述為：對于剛體體系，虛功方程敘述為：012T(6-7)iipiFT2112(6-6) (1)（虛功的應(yīng)用之一（虛功的應(yīng)用之一虛位移原理虛位移原理） 如圖如圖(a)所示簡支梁，現(xiàn)欲求所示簡支梁，現(xiàn)欲求B支座反力支座反力X。步驟如下。步驟如下 首先首先解除解除B支座的約束，以相應(yīng)的未支座的約束，以相應(yīng)的未知力知力X代替代替，于是原結(jié)構(gòu)變

9、成了具有一，于是原結(jié)構(gòu)變成了具有一個自由度的體系，它在荷載與未知力個自由度的體系，它在荷載與未知力X的共同作用下處于平衡狀態(tài)。的共同作用下處于平衡狀態(tài)。使該體系產(chǎn)生與約束使該體系產(chǎn)生與約束幾何相容幾何相容的的虛虛位移位移，如圖，如圖(c)所示。所示。 在圖在圖(b)所示的力狀態(tài)與圖所示的力狀態(tài)與圖(c)所示的位移狀態(tài)之間建所示的位移狀態(tài)之間建立虛功方程：立虛功方程：012ppxFXT(a)這就是虛功方程的應(yīng)用之一這就是虛功方程的應(yīng)用之一虛位移原理虛位移原理，其特點(diǎn)是將，其特點(diǎn)是將一個靜力問題轉(zhuǎn)化為幾何問題。一個靜力問題轉(zhuǎn)化為幾何問題。 FpBAal圖圖(a)FpX圖圖(b) x p圖圖(c)

10、a012ppxFXT由由(a)易得易得 bpxpFXalpx，) c (pFlaX 若在位移狀態(tài)中令若在位移狀態(tài)中令 X=1，則，則(a)式變?yōu)槭阶優(yōu)?112ppFXTlappFlaX 象這樣，沿未知力方向虛設(shè)單位位移的方法稱為象這樣，沿未知力方向虛設(shè)單位位移的方法稱為。該方法在該方法在做梁的影響線時將會用到。做梁的影響線時將會用到。 FpBAal圖圖(a)FpX圖圖(b) x p圖圖(c) (2)（虛功方程的應(yīng)用之二（虛功方程的應(yīng)用之二虛力原理）虛力原理） 如圖如圖(d)所示的靜定梁，支座所示的靜定梁，支座B處向下移動距離處向下移動距離 ，現(xiàn)，現(xiàn)欲求欲求D點(diǎn)的垂直位移點(diǎn)的垂直位移 DV。 0

11、21BDVpVFT由虛功原理得由虛功原理得 這就是虛功方程的應(yīng)用之這就是虛功方程的應(yīng)用之二二，其特點(diǎn)，其特點(diǎn)是將一個幾何問題轉(zhuǎn)化為是將一個幾何問題轉(zhuǎn)化為靜力問題。靜力問題。 若令：若令：Fp=1，則，則pBFV4343DV43BV此時，稱為此時，稱為。在求結(jié)構(gòu)的位移時將會用到。在求結(jié)構(gòu)的位移時將會用到。同樣可得同樣可得43DV l/2Bll/2A圖圖(d)DCl/2 DV圖圖(e)DFpBACVBVAVC用虛位移原理求圖示梁的用虛位移原理求圖示梁的D截面的內(nèi)力。截面的內(nèi)力。 CADB3m3m4mq=2kN/mCADBq=2kN/m13 01xqdxMD則 xqdxMD237 qDMkN.m21

12、 xCADB3m3m4mq=2kN/mABq=2kN/mQDFQDFCABq=2kN/mCAB1 01xqdxFQD則 xqdxFQD142113qkN10 x 設(shè)受一般荷載作用的設(shè)受一般荷載作用的直桿如圖直桿如圖(a)所示所示xyABq(x)m(x)p(x)圖圖(a)lQAFNAFAMBMNBFQBF圖圖(b)xylABAvBvAuBuABBBBQBBNBMvFuFT12BAdxmvqup(6-8)AAAQAANAMvFuF變形直桿的位移狀態(tài)如變形直桿的位移狀態(tài)如圖圖(b)所示。所示。 任一微段受力如圖任一微段受力如圖(c)所示。所示。FN(x)+dFN(x)q(x)FN(x)FQ(x)M(

13、x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)+dM(x)dx圖圖(c)該微段變形如圖該微段變形如圖(d)所示。所示。u+duudx圖圖(d)v+ dx v dx +d dx微段：微段：dxMdxFdxFdUQN12整根桿：整根桿：) 96 (12BABAQBANdxMdxFdxFU)126(1212UT) 96 (12BABAQBANdxMdxFdxFUBBBQBBNBMvFuFT12BAdxmvqup(6-8)AAAQAANAMvFuF 按照虛力原理建立的虛功方程按照虛力原理建立的虛功方程(6-10)式中，式中，。因此，可以通。因此，可以通過過選擇選擇，把需求的，把需求的包括在外力虛功包括在外力虛功

14、中，同時為了能直接得到所求位移，在虛功方程中中，同時為了能直接得到所求位移，在虛功方程中。 為此，在選擇虛力系時，就應(yīng)當(dāng)在為此，在選擇虛力系時，就應(yīng)當(dāng)在，而在其它地方，而在其它地方，并且為了計(jì)，并且為了計(jì)算方便，該算方便，該可取為可取為。這一方。這一方法就是法就是6-2中的中的。 ：如圖示桁架，假設(shè)由于如圖示桁架，假設(shè)由于溫 度 變 化 使 桿溫 度 變 化 使 桿各 伸 長各 伸 長 l=1.2mm，使桁架發(fā)生了變形，求，使桁架發(fā)生了變形，求由此而引起的由此而引起的C點(diǎn)點(diǎn) 豎向位移豎向位移 CV。 )106(1212 UTABCD4m4m3m圖圖(a)位移狀態(tài)位移狀態(tài) CV對于本題對于本題

15、iiNCVlF正號表示所得位移正號表示所得位移 CV的方的方向與虛擬單位荷載的方向一致。向與虛擬單位荷載的方向一致。若求若求AD桿的轉(zhuǎn)角如何應(yīng)用單位荷桿的轉(zhuǎn)角如何應(yīng)用單位荷載法？載法？ 應(yīng)用虛力原理，建立虛功方程如下應(yīng)用虛力原理，建立虛功方程如下 011212dxFUTiNCV由此得由此得 iiNiNiNCVlFdxFdxFmm6 . 1BCNBCACNAClFlF虛擬受力狀態(tài)如圖虛擬受力狀態(tài)如圖(b)所示所示ABCD4m4m3m圖圖(a)位移狀態(tài)位移狀態(tài) CVAFp=1BCD圖圖(b)虛擬受力狀態(tài)虛擬受力狀態(tài)ABCD虛擬受力狀態(tài)虛擬受力狀態(tài)ADl1ADl11/ 21/20-5/ 6-5/ 6

16、12/ 32/ 3 如圖如圖(a)所示的所示的剛架，現(xiàn)欲求其剛架，現(xiàn)欲求其的位移的位移 K 。 KK由虛力原理得由虛力原理得 dxMdxFdxFcRQNiiiK1)116( iiiQNKcRdxMdxFdxF即上式為上式為，它不僅適用于，它不僅適用于靜定結(jié)構(gòu)，靜定結(jié)構(gòu)，。：上式所求的位移為廣義位移，虛擬受力狀態(tài)中的單上式所求的位移為廣義位移，虛擬受力狀態(tài)中的單位荷載是與之相應(yīng)的廣義力。位荷載是與之相應(yīng)的廣義力。KKFp=1圖圖(a)c1c2圖圖(b)虛設(shè)的受力狀態(tài)虛設(shè)的受力狀態(tài)1R2R)106(1212 UT)126 ( dxMdxFdxFQNK且上式中的微段變形且上式中的微段變形 dx、 d

17、x 、 dx僅與荷載有關(guān)。僅與荷載有關(guān)。對于對于，由，由材料力學(xué)材料力學(xué)知知上式中，上式中，F(xiàn)NP、FQP和和MP分別為分別為中，中，dx微段所受微段所受到的到的；EA、GA和和EI分別為實(shí)際狀態(tài)中分別為實(shí)際狀態(tài)中，桿件的抗拉、抗剪和抗彎剛度；，桿件的抗拉、抗剪和抗彎剛度； k為與截面形狀有關(guān)的為與截面形狀有關(guān)的系數(shù)。系數(shù)。 由于僅考慮荷載作用對結(jié)構(gòu)變形的影響，因此有由于僅考慮荷載作用對結(jié)構(gòu)變形的影響，因此有,（6-11）式變?yōu)椋┦阶優(yōu)?)136(;EIMGAFkEAFPQPNP)116( iiiQNKcRdxMdxFdxFAdAbSIAk222k為與截面形狀有關(guān)的系數(shù)：為與截面形狀有關(guān)的系數(shù)

18、：上式中，上式中，S為截面上任一點(diǎn)為截面上任一點(diǎn)y以上或以下面積對中性軸的以上或以下面積對中性軸的，b為截面上任一點(diǎn)為截面上任一點(diǎn)y處的截面寬度；對于矩形截面處的截面寬度；對于矩形截面1.2，圓形截面，圓形截面10/9。將將(6-13)式代入式代入(6-12)式可得，對于式可得，對于有有 )146 ( dxEIMMdxGAFFkdxEAFFPQPQNPNK在靜定結(jié)構(gòu)中，上式中在靜定結(jié)構(gòu)中，上式中 、 、 和和FNP、FQP、MP等均可等均可通過靜力平衡條件求得，因此，可以利用上式確定靜定通過靜力平衡條件求得，因此，可以利用上式確定靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移。結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移。 NFQFM

19、dxMdxFdxFQNK (6-12) EIMGAFkEAFPQPNP;(6-13) 特點(diǎn)特點(diǎn):軸向和剪切變形一般很小，可以忽軸向和剪切變形一般很小，可以忽略不計(jì)，因此略不計(jì)，因此 dxEIMMPK(6-15) 特點(diǎn)特點(diǎn):只有軸力的影響，且均為常數(shù)，因此只有軸力的影響，且均為常數(shù)，因此EAlFFdxEAFFNPNNPNK(6-16) 特點(diǎn)特點(diǎn):一些桿只有軸力，另一些桿主要承受一些桿只有軸力，另一些桿主要承受彎矩，因此彎矩，因此 dxEIMMEAlFFPNPNK(6-17) )146 ( dxEIMMdxGAFFkdxEAFFPQPQNPNK在拱結(jié)構(gòu)中，當(dāng)拱軸曲率為在拱結(jié)構(gòu)中，當(dāng)拱軸曲率為時，其

20、位移時，其位移可近似按可近似按(6-15)計(jì)算，僅在計(jì)算，僅在的水平位移計(jì)的水平位移計(jì)算或當(dāng)拱軸與合理拱軸線比較接近時，才考慮算或當(dāng)拱軸與合理拱軸線比較接近時，才考慮軸向變形對位移的影響。軸向變形對位移的影響。 dxEIMMPK(6-15) dsEIMMdsEAFFPNPNK (6-18) )146 ( dxEIMMdxGAFFkdxEAFFPQPQNPNK 在含有彈簧的混合結(jié)構(gòu)中，一些桿只有軸力，另在含有彈簧的混合結(jié)構(gòu)中，一些桿只有軸力，另一些桿主要承受彎矩，另外還存在一些非桿構(gòu)件一些桿主要承受彎矩，另外還存在一些非桿構(gòu)件 設(shè)設(shè)的剛度系數(shù)為的剛度系數(shù)為kN（）；）； （也稱（也稱彈性鉸彈性鉸

21、）的的剛度系數(shù)為剛度系數(shù)為kM （），利用虛力原理易得），利用虛力原理易得 )196( MPNNPNPNPNKkMMkFFdxEIMMEAlFF注注:上式中上式中為任為任在荷載作用下的變形；在荷載作用下的變形；為任一為任一在荷載作用下的變形。在荷載作用下的變形。 )146 ( dxEIMMdxGAFFkdxEAFFPQPQNPNK 如圖示等截面圓弧曲桿如圖示等截面圓弧曲桿AB，求，求B點(diǎn)垂直位移點(diǎn)垂直位移 V（EI=常數(shù)）。常數(shù)）。 解：解：對于曲桿一般僅需考慮彎曲變形。對于曲桿一般僅需考慮彎曲變形。曲線坐標(biāo)系如圖所示曲線坐標(biāo)系如圖所示 22sin2121RqqxsMP sinRxsMRdds

22、 034sin2dEIqRdsEIMMPV34cos31cos322EIqR2若EIqRV34則qRBA xBA1 如圖如圖(a)所示桁架結(jié)構(gòu)，求下弦所示桁架結(jié)構(gòu)，求下弦5號結(jié)點(diǎn)號結(jié)點(diǎn)垂直位移垂直位移 5V，設(shè)各桿的截面面積均為設(shè)各桿的截面面積均為A=144cm2，E=850kN/cm2。 lFFEANPNV15本題也可造表計(jì)算。本題也可造表計(jì)算。荷載作用下各桿的內(nèi)力荷載作用下各桿的內(nèi)力FNP如圖如圖(b)所示。所示。 在單位荷載作用下各桿的內(nèi)在單位荷載作用下各桿的內(nèi)力力 如圖如圖(c)所示。所示。 NFm0044. 0144850260512510kN10kN20kN12345678圖圖(a

23、)42 2m1m1m4000010404040520510510圖圖(b)FNP(kN)510510010001111252525251NF) c (圖10kN10kN20kN12345678圖圖(a)42 2m1m1m12345678515151514000010404040520510510圖圖(b)FNP510510000000002545454343NF)d(圖lFFEANPN1)rad(10078. 11448505 .12555虛功M* 如圖如圖(a)所示剛架，求所示剛架，求C截面的水平位移截面的水平位移 CH。設(shè)各桿。設(shè)各桿的彎曲剛度的彎曲剛度EI=常數(shù)。常數(shù)。 aaqABCD1

24、(a)求約束反力求約束反力 2qa2qaqa111xxxx(b)內(nèi)力方程內(nèi)力方程設(shè)內(nèi)側(cè)受拉為正設(shè)內(nèi)側(cè)受拉為正0)(DCxMp段：0)(xM2)(CBqaxxMp段：xxM)(22)(BA22qxqaxMp段：xaxM)(aadxxaqxqaxdxqaxEI0220CH22201EIqa834 如圖如圖(a)所示梁，求所示梁，求C結(jié)點(diǎn)垂直位移結(jié)點(diǎn)垂直位移 CV設(shè)設(shè)EI=常數(shù)常數(shù),3lEIkN，lEIkM9x(a)求約束反力求約束反力 qlRB2123qlMA0BRlMA2(b)內(nèi)力方程內(nèi)力方程BC段：段： ,22)(2xqxqlxMP0)(xMCA段：段：,22)(2xqxqlxMPxxM)(M

25、AANBBPCVkMMkRRdxEIMM則MlkqlldxxqxxqlEI220232021210EIqlEIql3231044ABC2lqlkNkMRBMAABC1AMBREIql44用虛位移原理求圖示梁的用虛位移原理求圖示梁的D截面的內(nèi)力。截面的內(nèi)力。 作業(yè)作業(yè)CADB3m3m4mq=2kN/mCADBq=2kN/m13 01xqdxMD則 xqdxMD237 q求求MDDMkN.m21 x求求FQDCADB3m3m4mq=2kN/mABq=2kN/mQDFQDFCABq=2kN/mCAB1 01xqdxFQD則 xqdxFQD142113qkN10 x在求梁和剛架的位移時，經(jīng)常會遇到如下

26、形式的積分在求梁和剛架的位移時，經(jīng)常會遇到如下形式的積分dxEIMMP上式積分中，若滿足下列條件上式積分中，若滿足下列條件 (1)EI=常數(shù)，或分段為常數(shù)；常數(shù)，或分段為常數(shù)；(2)桿軸線為直線或分段為直線；桿軸線為直線或分段為直線； (3) 圖或圖或MP圖中至少有一個為直線圖形。圖中至少有一個為直線圖形。M則上述積分可以用則上述積分可以用 和和MP圖乘簡化計(jì)算。圖乘簡化計(jì)算。 MdxMxEIdxxMEIdxEIMMPPPtantan1CMxEItan1圖的豎標(biāo)值。圖形心所對應(yīng)的為圖的圖形面積，為MMyMpcpM)196(1CMyEI即xyMP圖圖圖圖 CMtanxM ，則圖為直線形式不失一般

27、性，設(shè) MCxCcy注意注意: (1)(6-19)式中必須滿足上述三個條件下使用；式中必須滿足上述三個條件下使用；(2) 必須從直線型的內(nèi)力圖中取得；必須從直線型的內(nèi)力圖中取得； Cy(3) M和和 均為代數(shù)量，當(dāng)均為代數(shù)量，當(dāng)MP和和 在同側(cè)時，取在同側(cè)時，取正，反之取負(fù)。正，反之取負(fù)。 CyM(4)當(dāng)當(dāng) 圖為分段直線時，應(yīng)分段考慮，即圖為分段直線時，應(yīng)分段考慮，即 MCMyEI1(5)對于對于 ， 的積分，若的積分，若滿足相應(yīng)的條件滿足相應(yīng)的條件,同樣可得類似的圖乘公式。同樣可得類似的圖乘公式。 dxEAFFNPNdxGAFFkQPQCMyEI1 (6-19) 如圖剛架，求如圖剛架，求C截

28、面的轉(zhuǎn)角，已知截面的轉(zhuǎn)角，已知EI=5 104kN.m2。 (1)求約束反力求約束反力kN12AHkN20DVkN12AV(2)作作MMP P圖圖，如，如圖圖(b)(b)所示所示。 所示。圖，如圖作) c ()3(M16484BC段分段分解解 (4)求轉(zhuǎn)角求轉(zhuǎn)角 314842132164211EIC4102 . 31616966431EIEI214432負(fù)號說明負(fù)號說明C截面的轉(zhuǎn)角與單位力偶截面的轉(zhuǎn)角與單位力偶的轉(zhuǎn)向相反。的轉(zhuǎn)向相反。 16481644812 0 kN2kN/m2kN/m4m4mABCD圖圖(a) 圖圖(b) MP(kN.m)1圖圖(c)HAVAVD1/41/40 如圖如圖(a

29、)所示梁，所示梁，B截面有一個彈性鉸，截面有一個彈性鉸，D支座有一個線支座有一個線彈簧，求彈簧，求C鉸處相鄰截面的相對轉(zhuǎn)角。鉸處相鄰截面的相對轉(zhuǎn)角。lEIklEIkEIMN8483，常數(shù)，設(shè)：(1)求約束反力求約束反力 ，如圖示。，如圖示。(2)作作MP圖圖，如圖，如圖(b)所示。所示。,212qlMBqlRD21(3)求在一對單位力偶作用下求在一對單位力偶作用下約束反力約束反力，如圖，如圖(c)所示所示 所示圖，如圖作)d()4(M同時求得同時求得 同時求得同時求得 ,2BMlRD1132圖圖(d) 圖圖M圖圖(b) MP圖圖 (ql2)10.125ABClqllD圖圖(a) 11圖圖(c)

30、 qi2ql/2ql/21/l-1/l3(4) 求相對轉(zhuǎn)角求相對轉(zhuǎn)角 NMCkqllkql12112122 218132332131221122qllqllEIEIqlEIql3277241379618133221qlMBqlRD212BMlRD1)196( MPNNPNPNPNKkMMkFFdxEIMMEAlFF圖圖(b) MP 圖圖 (ql2)10.125132圖圖(d) 圖圖MABClqllD圖圖(a) 在靜定結(jié)構(gòu)中，支座位移不會產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，因在靜定結(jié)構(gòu)中，支座位移不會產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，因此，由此，由(6-11)式得式得 iiiKcR (6-20) 如圖如圖(a)所示梁，支座所示梁，支

31、座A發(fā)生圖示發(fā)生圖示位移，求位移，求。 (2)求位移求位移 (1)求單位荷載下的約束反求單位荷載下的約束反力，如圖力，如圖(b)所示。所示。 iiiBHcR haha011圖圖(b) iiiQNKcRdxMdxFdxF (6-11) h圖圖(a) lABab 01h 在靜定結(jié)構(gòu)中，由于僅考慮溫度變化的影響，因此，在靜定結(jié)構(gòu)中，由于僅考慮溫度變化的影響，因此，由由(6-11)式得式得 )a (dxMdxFdxFQNK 由于在靜定結(jié)構(gòu)中溫度變化不引起內(nèi)力，因由于在靜定結(jié)構(gòu)中溫度變化不引起內(nèi)力，因此上式中此上式中dx微段的變形是材料自由膨脹或收縮產(chǎn)生的微段的變形是材料自由膨脹或收縮產(chǎn)生的d t1dx

32、 t2dx 設(shè)設(shè)dx微段上邊沿溫度升高微段上邊沿溫度升高t1，下邊沿溫度升高下邊沿溫度升高t2(t2 t1)并假設(shè)并假設(shè)材料的線脹系數(shù)為材料的線脹系數(shù)為 ，溫度沿，溫度沿截面厚度截面厚度h線性變化，因此發(fā)生線性變化，因此發(fā)生變形后，變形后，。 t1t2t0根據(jù)線性插值公式，中性層溫度升高值為根據(jù)線性插值公式，中性層溫度升高值為 hththt21120(b) dxt1t2h1h2hiiiQNKcRdxMdxFdxF (6-11) 將將(c)、(d)、(e)式代入式代入(a)式得式得 ）（2160 dxhtMdxtFNK若每一段桿若每一段桿，且，且，上式可化為，上式可化為 )226(0MNFKht

33、t。圖的面積為圖的面積，為上式中.MFMNNF:)c(0dxtdx:)d(21dxhtdxhttdxd:)e(0dxd t1dx t2dxdxt1t2h1h2ht0)a (dxMdxFdxFQNK )226 (0MNFKhtt：比較虛擬狀態(tài)（單位比較虛擬狀態(tài)（單位荷載單獨(dú)作用時）的變形與實(shí)際狀態(tài)由于溫度變化荷載單獨(dú)作用時）的變形與實(shí)際狀態(tài)由于溫度變化所引起的變形所引起的變形:。相應(yīng)的和計(jì)算時只取絕對值。相應(yīng)的和計(jì)算時只取絕對值。 如圖如圖(a)所示結(jié)構(gòu)，各桿截面相同，且關(guān)于中性軸對所示結(jié)構(gòu)，各桿截面相同，且關(guān)于中性軸對稱，截面的高度為稱，截面的高度為h，材料的線脹系數(shù)為，材料的線脹系數(shù)為 ，求

34、，求C截面的截面的垂直位移垂直位移 CV 。 圖作NF)1(圖作M)2(1 1圖NF)b(圖M) c (1ll(3) 求求C截面的垂直位移截面的垂直位移 CV 。 C5010o221120hhthththC10o21ttt10ltCVhll155llhtllht21 )226 (0MNFKhttll圖圖(a)+10 C+10 CABC如圖所示兩種受力狀態(tài)如圖所示兩種受力狀態(tài) 設(shè)：用設(shè)：用T12表示狀態(tài)表示狀態(tài) I 的荷載的荷載在狀態(tài)在狀態(tài) II 的位移上所作的外力虛的位移上所作的外力虛功，根據(jù)虛力原理有功，根據(jù)虛力原理有 1212UTFp1 21Fp2 12設(shè)設(shè):狀態(tài)狀態(tài)I下的內(nèi)力分別為下的內(nèi)力分別為FN1、FQ1和和M1；狀態(tài)狀態(tài)II下的內(nèi)下的內(nèi)力分別為力分別為FN2、FQ2和和M2。Fp1狀態(tài)狀態(tài) 21Fp2狀態(tài)狀態(tài) 12dxMdxFdxFUQN21212112dxEIMMdxGAFkFdxEAFFQQNN2121211212112UFTp) a (212121121dxEIMMdxGA