2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題練：《四邊形綜合》(包含答案)

1、2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題練：四邊形綜合1.如圖所示，已知正方形 ABC前正方形AEFG連接DG BE (1)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)正方形 AEFG點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖所示.線段DG與BE之間的數(shù)量關(guān)系是 ;直線DG與直線BE之間的位置關(guān)系是 ;(2)探究：如圖所示，若四邊形 ABCDf四邊形 AEFGTB為矩形，且 AD= 2ABi AG= 2AE 時(shí)，上述結(jié)論是否成立，并說(shuō)明理由.(3)應(yīng)用：在(2)的情況下，連接 BG DE若AE= 1, AB= 2,求BG+DE的值(直接 寫出結(jié)果).BE過(guò)點(diǎn)C2.如圖1,在正方形 ABCDh 點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)(不與 C, D兩點(diǎn)重合)，連接作CHL BE于點(diǎn)F,交對(duì)角線

2、 BD于點(diǎn)G,交AD邊于點(diǎn)H,連接GEB AB圖1圖2(1)求證： DHR CEB(2)如圖2,若點(diǎn)E是CD勺中點(diǎn)，當(dāng)BE= 8時(shí)，求線段 GH的長(zhǎng);(3)設(shè)正方形ABCD勺面積為 S,四邊形DEGHJ面積為3.在平面直角坐標(biāo)系中， 四邊形AOB矩形，點(diǎn)0(0, 0),點(diǎn)A (6, 0),點(diǎn)B(0, 8).以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形 A0BC得到矩形 ADEF點(diǎn)0, B, C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 D E,F,記旋轉(zhuǎn)角為 “(0° VaV 90° ).(I)如圖，當(dāng)a = 30°時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(n)如圖，當(dāng)點(diǎn) E落在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求點(diǎn) D的坐標(biāo)；(出)當(dāng)點(diǎn)D落在

3、線段0C±時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可)圖國(guó)4.如圖，BD是平行四邊形ABCD勺對(duì)角線，DEI AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E的直線交 BC于點(diǎn)G 且BG= CG(1)求證：GD= EG(2)若BDL EG足為0 B0= 2, D0= 4,畫出圖形并求出四邊形 ABCD勺面積.(3)在(2)的條件下，以 0為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn) GD0得到 G DQ點(diǎn)G落在 BC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出 G E的長(zhǎng).DC5.(1)【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1,在正方形 ABCM,點(diǎn) M N分別是邊 BC CD上的點(diǎn)，/ MAN= 45° ,若將 DAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到 BA瑜置，可得 MANA M

4、AG若 MCN勺周長(zhǎng)為8,則正方形ABCD勺邊長(zhǎng)為 .(2)【類比延伸】如圖2,在四邊形 ABC由，AB= AD /BAD= 120° , Z B+Z D= 180° ,點(diǎn)M N分別在邊BC CD上的點(diǎn)，/ MAN= 60° ,請(qǐng)判斷線段 BM DN MN之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.(3)【拓展應(yīng)用】如圖3,在四邊形 ABC由，AB= AD= 2, Z ADC= 120° ,點(diǎn)M N分別在邊BC CD上，連接AM MN AN ABM是等邊三角形，AML AD于點(diǎn)A / DAN= 15 ,請(qǐng)直接寫出 CMN6.的周長(zhǎng).(1)如圖1,在 ABC中，AB>

5、;AC點(diǎn)D, E分別在邊 AB AC上，且DB BC若AD= 2,AE=一,貝U二的值是2 CE(2)如圖2,在(1)的條件下，將 ADE第點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定的角度，連接 CE和BD j的值變化嗎？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，請(qǐng)求出不變的值;CD= 6, AD= 3時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段 BD的長(zhǎng)度.(3)如圖 3,在四邊形 ABC由，ACL BC于點(diǎn) C, / BAC= / ADC= 0 ,且 tan。=7.如圖 1,長(zhǎng)方形 ABCDh / DAB= / B= / DCB= Z D= 90 , AD= BC= 6, AB= CD= 10.點(diǎn)E為射線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把 ADEg直線AE翻折

6、得 AD E.(1)當(dāng)D'點(diǎn)落在AB邊上時(shí)，/ DA號(hào)° ;(2)如圖2,當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，D' C與AB交點(diǎn)F,求證：AF= FC求AF長(zhǎng).(3)連接D' B,當(dāng)/ AD B= 90°時(shí)，求 DE的長(zhǎng).S18 .在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A (0, mj) , B (n, Q , AC/ OB且AC= OB 連接BC交x軸于點(diǎn)F,其中m n滿足方程 J與+n2+8n+16 = 0.(1)求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過(guò)A做AE± BC于E,延長(zhǎng)AE交x軸于點(diǎn)D動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2個(gè)單位的 速度向x軸正半軸方向運(yùn)動(dòng)，設(shè) PFD勺

7、面積為S,請(qǐng)用含t的式子表示S,并直接寫出 t的取值范圍；(3)在(2)的條件下，連接PE將 PEDgPE翻折到 PEG勺位置(點(diǎn)D與點(diǎn)G對(duì)應(yīng))， 當(dāng)四邊形PDE由菱形時(shí)，求點(diǎn) P和點(diǎn)G的坐標(biāo).圖1圖2圖39 .已知四邊形 ABC訝口四邊形 CEFCfB是正方形，且 AB> CE(1)如圖1,連接BG DE求證：BG= DE(2)如圖2,如果正方形 CEFG疑點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到某一位置恰好使得 CG/ BD BG= BD求/ BDE勺度數(shù)；若正方形 ABCD勺邊長(zhǎng)是，弓，請(qǐng)求出 BCG勺面積.10.1綜合與實(shí)踐】如圖，在正方形ABCDK 點(diǎn)E、F分別在射線 CD BC上，且BF= CE將線段FA

8、繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段FG連接EG試探究線段 E® BF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.【觀察與猜想】任務(wù)一：“智慧小組”首先考慮點(diǎn)E、F的特殊位置如圖，當(dāng)點(diǎn) E與點(diǎn)D重合，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，易知：EG與BF的數(shù)量關(guān)系是 , EG與BF的位置關(guān)系是 .【探究與證明】任務(wù)二：“博學(xué)小組”同學(xué)認(rèn)為E、F不一定必須在特殊位置，他們分兩種情況，一種是點(diǎn)E、F分別在CD BC邊上任意位置時(shí)（如圖）；一種是點(diǎn) E F在CD BC邊的延長(zhǎng)線上的任意位置日（如圖），線段EG與BF的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系仍然成立.請(qǐng)你選擇其中一種情況給出證明.【拓展與延伸】“創(chuàng)新小組”同學(xué)認(rèn)為，若將“正方形 ABCD改為“

9、矩形ABCD且饕 = BCk （kwi） ”，點(diǎn) E F分別在射線CD BC上任意位置時(shí)，仍將線段 FA繞點(diǎn)F順時(shí)針旋 轉(zhuǎn)90。，并適當(dāng)延長(zhǎng)得到線段 FG連接EG（如圖），則當(dāng)線段 BE CE AF FG滿足 一個(gè)條件 時(shí)，線段EG與BF的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系仍然成立.（請(qǐng)你在橫線上直接寫出這個(gè)條件，無(wú)需證明）11.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，四邊形 OAD偽正方形，點(diǎn) D的坐標(biāo)為（4, 4）,動(dòng)點(diǎn)E沿 邊AO從A向O以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F沿邊OC從O向C以同樣的速度運(yùn)動(dòng)， 連接AR DE交于點(diǎn)G（1）試探索線段 AR DE的關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說(shuō)明理由；（2）連接EE DF,分另1

10、J取 AE ER FD DA的中點(diǎn)HH I、J、K,則四邊形 HIJK是什么 特殊平行四邊形？請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全圖形，并說(shuō)明理由.（3）如圖當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AO中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M是直線EC上任意一點(diǎn)，點(diǎn) N是平面內(nèi)任意一 點(diǎn)，是否存在點(diǎn) N使以Q C M N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.Ar圖圄12 .綜合與實(shí)踐動(dòng)手操作:第一步：在矩形紙片 ABCD勺邊BC AD上分別取兩點(diǎn) E, F,使CE AF;第二步：分別以 DE BF為對(duì)稱軸將 CDE 4ABF翻折得到 C DE與 A BF,且邊 CE與A B交于點(diǎn)G邊A F與C D交于一點(diǎn)H.問(wèn)題解決：(1)求證： BE

11、G2 DFH(3)已知 tan ZEBG=3(2)請(qǐng)判斷四邊形 A HCG的形狀，并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;,A' G= 6, CG= 1,求矩形紙片 ABCD勺面積.13 .如圖 1,矩形 ABCD, /ACB= 30° ,將 ACDg C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) a (0° VaV 360° )至 A'CD位置.(1)如圖 2,若 AB= 2, a = 30° ,求 Sabcd .(2)如圖3,取AA中點(diǎn)O,連OB OD、BD .若 OBD存在，試判定 OBD的形狀.(3)當(dāng)a = a 1時(shí)，OB= OD，則a產(chǎn)° ；當(dāng)a = a 2時(shí)， O

12、BD不存在，則a 2=14 .已知矩形 ABCW, AB= 2, BC= m點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，BE= 1,連接 AE(1)沿AE翻折ABE點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接CF,若CF AE求m的值；連接DF,若，"WDF<W” 求m的取值范圍.(2) ABE點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得 ABE,點(diǎn)Ei落在邊AD上時(shí)旋轉(zhuǎn)停止.若點(diǎn) B落在矩 形對(duì)角線AC上，且點(diǎn)Bi到AD的距離小于 看時(shí)，求m的取值范圍.15 .如圖1,正方形 ABCD勺邊。皿正方形ECGF勺邊CE上，連接BE DG(1) BE和DG勺數(shù)量關(guān)系是,BE和DG勺位置關(guān)系是(2)把正方形ECGFg點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，如圖2, (1)中的結(jié)論是否還成

13、立？若成立，寫出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)設(shè)正方形 ABCD勺邊長(zhǎng)為4,正方形 ECGF勺邊長(zhǎng)為3-72,正方形 ECG度點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DG勺長(zhǎng).16 .如圖，正方形ABCD勺邊長(zhǎng)為a,射線AM>/ BAD7卜角的平分線，點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動(dòng)（不 與點(diǎn)A B重合），點(diǎn)F在射線AM上，且AF=&BE CF與AD相交于點(diǎn) G連結(jié)EC EFEG（1）求證：CE= EF;（2）求 AEG勺周長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）；（3）試探索：點(diǎn) E在邊AB上運(yùn)動(dòng)至什么位置時(shí)， EAF的面積最大.17 .問(wèn)題情境：矩形ABCDK Z ACB= 30° ,將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在兩

14、對(duì)角線的交點(diǎn)處，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，并保證三角板的兩直角邊分別與邊AB BC所在的直線相交，交點(diǎn)為 E F.探究1:如圖1,當(dāng)PEI AB PF± BC時(shí)，則瞿=.Pt*探究2:如圖2,在（1）的基礎(chǔ)上，將三角板繞點(diǎn) P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為 “，（0° <6 < 60 ),試求pp市的值.探究3:在（2）的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn),1pg=言時(shí)，如圖3,試求量的值.2ri*60° v< 90。時(shí)，將頂點(diǎn)P在AC上移動(dòng)且使PAPCE218 .在RtABC3, / B= 90° , AB= 6, BC= 8,點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒 3個(gè)單位的

15、速度沿B一A-C運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn) C停止.在點(diǎn) D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，過(guò)點(diǎn) D作DE!BC垂足為E,以 DE為一邊在右側(cè)作矩形 DEFG點(diǎn)F在BC邊上，且EF DE= 4： 3,連結(jié)AG CG設(shè)運(yùn)動(dòng) 時(shí)間為t (秒)，矩形 DEFGf ABC1疊部分面積為 S.(1)當(dāng)AG= CG寸，求t的值.(2)當(dāng)點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求 S與t的函數(shù)關(guān)系式.(3)當(dāng)八。®勺面積為6時(shí)，直接寫出t的值.19 .如圖，在四邊形 ABC麗，AD/ BC /C= 90° , BC= 32, DC= 24, AD= 42,動(dòng)點(diǎn) P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在

16、線段 CB上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn) B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P, Q分別從點(diǎn)D C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t (秒).(1)設(shè) BPQ勺面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，以B, P, Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？(3)是否存在時(shí)刻t ,使得PQL BD若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.3Q C20. (1)【發(fā)現(xiàn)證明】如圖1,在正方形 ABCM,點(diǎn)E, F分別是BC CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且/ EAF= 45° ,求證:EF= DF+BE小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把 AB磔點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至 ADG使AB與AD重合時(shí)能夠證明，請(qǐng) 你給

17、出證明過(guò)程.(2)【類比引申】如圖 2,在正方形ABCDK如果點(diǎn)E, F分別是CB DC延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，且/ EAF= 45。，則(1)中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)寫出證明過(guò)程.如圖3,如果點(diǎn)E,F分別是BCCD延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，且/EAF= 45。，則EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系是 (不要求證明)(3)【聯(lián)想拓展】如圖1,若正方形 ABCD勺邊長(zhǎng)為6, AE= 3苣,求AF的長(zhǎng).參考答案1 .解：(1)如圖中,四邊形ABC前四邊形AEFO正方形,- AE=AG AB=AD Z BAD=Z EAG= 90 ;Z BAE= Z DAG在ABES DAGK產(chǎn)ADZBAE=ZDAG,(AE=AG . AB摩

18、 ADG(SAS ,. BE=DQ如圖2,延長(zhǎng)BE交AD于T,交DGF H.由知， ABA DAGZ ABE= Z ADG. Z ATBZ ABE=90 , .Z ATBZ AD=90 , Z ATB= Z DTH / DTK/ADG 90 , .Z DHB=90 ,. BE1DQ故答案為：B&DG BHDG(2)數(shù)量關(guān)系不成立，DG=2BE位置關(guān)系成立.如圖中，延長(zhǎng) BE交AM T,交DGF H.DGB四邊形ABC西四邊形AEFOB為矩形,Z BAD= Z EAGZ BAE= Z DAQ.AD=2AB AG=2AE.ab|=ae=1"AD AG 2' . AB 回

19、ADG ./ ABE=Z ADQ . DG=2BE / Z ATB-Z ABB 90 Z ATB-Z AD© 90 . Z ATB= Z DTH Z DTHZ AD= 90 ./ DHB=90° ,. BE1DQ(3)如圖中，作 E7XAD于T, GHLBA交BA的延長(zhǎng)線于 H.設(shè)ET=x, AT=y. AHpA ATE.迪一組:超j ET AT AE '. GH= 2x, AH= 2y,4x2+4y2= 4, .x2+y2= 1,.BG+DE2： ( 2x) 2+ (2y+2) 2+x2+ (4 y) 2= 5x2+5y2+20= 25.2.證明(1) .四邊形

20、ABCD1正方形， .CD= BC / HDC= / BC號(hào) 90 , / DHC/ DCH= 90 ,. CHL BE ./ EFC= 90° , ./ ECF+Z BEC= 90 , ./ CHD= / bec. .DH等 CEB(AAS .(2)解：. DH孽 CEB. CH= BE, DH= CECE= DE= tCD cd= cbdh= bc 2. dh/ bcDH GH 1 . =BC CG 2. GC= 2GH設(shè) GH= x,則，則 C5 2x, -3x=8, 1. x =即GH.CE 3(3)斛：- de -4，CE 3 二 DC 7'. dh= ce dc=

21、 bc- DH_3_- =,BC 7. DH/ BC圖里mBC CG 7.SAbM 0 £adgh 3- =,=,SaHCG 49 SADC(J ：設(shè) Sdgff 9a,貝U S»abcg= 49a, SAdcg= 21 a,Sa bcd= 49a+21a=70a,Si=2SabcD= 140a, SadeG Sa ceG= 4: 3 ,Sa deg= 12a,.&= 12a+9a=21a.,Si 140a 20.=.S& 21a320 故答案為：-二.3.解：(I)過(guò)點(diǎn)D作DGL x軸于G如圖所示： 點(diǎn) A (6, 0),點(diǎn) B (0, 8). OA= 6

22、, OB= 8, 以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形 AOBC得到矩形 ADEF，AD= AO= 6, “=/ OAD= 30° , DE= OB= 8,在 RtAADG, DG='4 3, AG= «DG= 3寸之 .OG= OA- AG= 6-3. .：,.點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6 - 3/l, 3);(n)過(guò)點(diǎn) D作DGLx軸于 G DHLAE于H,如圖所示：則 ga= DH ha= dg . DE= OB= 8, /ADE= Z AOB= 90 , AE= 7aD2+DE2=V62+82= 10，AEX DH=ADK DE.nADXDE 6X8 24DH=-10OG= O

23、A GA= OAt DH= 6-24 6，dZad2lAg2|=.點(diǎn)D的坐標(biāo)為（185（出）連接AE作EGL x軸于G,如圖所示:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZDAE= / AOC AD= AO / OA匿 / ADO/ DAE= / ADO .AE/ OC / GAE= / AOD/ DAE= / GAE在 AEGF 口 AE計(jì),rZAGE=ZAEE=90° /GAE =/DAEbkE=AE .AEG2 AED(AAS , .AG=AD=6, EG=ED=8,. OG= OA+AG=12,.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(12, 8)尸E1a©圖圖H四邊形ABC比平行四邊形,H,. AD= BC AD

24、/ BC AB= CD AB/ CD . AB/ CD» GEB 且 BG= CG / BGB / CGH CG澤 BGE(AASGE= GHDEL AB DC/ AB. DCL DE 且 GE= GH. D& E生 GH(2)如圖 1: ,DBL EG ./ DOE= / DEB= 90 ,且/ EDB= / EDQDE。 DBQ,DE _DB DO -DE .DEX DE= 4X (2+4) =24, .DE= 2 .1,EO= 4近2-口0'=橘24T 6 = 2近, AB/ CD，畋存J, HO DO 2. HO= 2EO= 4EHh 6 二，且 EG= GH

25、EG= 3 =，GO= EG- EO=.GB=而再m=|71豆=近，.BC 2 尸 ADAD= DE，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，如圖2:D 用,CS 四邊形 abcD= 2SaabdS 四邊形 abcD= 2 X X BD< AO= 6X2/2=12V2；(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)O作OB BC如圖3旋轉(zhuǎn) GDO得至G D QOGf OG,且 OU BCGE G F, . OF/ AR. G曰=BG=逅， 33 .GG=2gM , 3BG = BG GG =EG = AG = 曲之鋁,B、，1145.解：（1）如圖1中,MA陣 MAG . DN= BG GM= BGBM.MN= BM+DNCMN勺周長(zhǎng)為：

26、MNCMCN= 8, . BMCMCN+DN= 8, .BQCD= 8,BC= CD= 4,故答案為4;(2)如圖2中，結(jié)論：MN= NM+DN延長(zhǎng)CB至E,使BE= DN連接AE /ABC/D= 180 , /ABG/ABE= 180 ,.Z D= / ABE'四三AD在ABEADN4ABE=/D, 二DN AB眸 ADN(SAS ,. AN= AE / DAN= / BAEBAD= 2 / MAN / DAN/ BAIW / MAN/ MAN= / EAM蝴: AE在 MA闞 MA即，* /MAN=/MAE , .MA陣 MAE(SAS ,.MN= EM= BEfBM= BMDN

27、即 MN= BMDN(3)如圖 3,延長(zhǎng) BA C或于 G / BAM= 60 , / MAD= 90 , ./ BAD= 150 , ./ GAD= 30° ,. AD= 2,DG= 1, AG=二， / DAN= 15° ,.Z GAN= 45° ,. AG= GN='：,.BG= 2+ :;,. BC= 2BG= 4+2 :, CG= ：BG= 2. ：+3,. CD= CO DG= 2 ：;+2,由(2)得，MN= BM+DN . CMN勺周長(zhǎng)=CMCN+MN= CMDNCI+BM= BGCD= 4+24+24工+2 = 6+4月.5 腹C圄26.

28、解：(1) DE/ BQ4.ADAE故答案為:(2)的值不變化，值為理由如下:由(1)得：DB B,.AD 田 ABC,AD = AE一 AB AC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：Z BAO/CAEBDCEADAE(3)在AB上截取AM= AD=3,過(guò)M作MN/ BC交AC于N,把 AM僦 A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得ADE連接CE如圖所示:則 MNLAC DE=MN / DAE=Z BAC . Z AED= Z ANM= 90 ,AC1BC于點(diǎn) C, Z BAG= Z ADG=%且 tan 9 =.BC AC AB=3: 4: 5,同（2）得： AB及 ACE，盟=闡聿, CE AC 4 MN/ BC .AM沖 ABC

29、.MN_ AM一而一而 .MN='三x AMh-x 3=三， AB 55. / BAC= / ADC= 0 ,/ DAE= / ADC= 0 ,.AE/ CD，/ CDEZ AED= 180 ,，/ CDE= 90° ,.BD=AcE=3x "演 4457.解：（1）由題意知 ADE2AAD E, / DAE= / D' AE.D'點(diǎn)落在 AB邊上時(shí)，/ DAE Z D AE= 90° ,，/ DAE= / D' AE= 45° ,故答案為：45;（2）如圖2,由題意知/ ACD= /ACD , 四邊形ABCDI矩形， .

30、AB/ CD/ ACD= / BAC ./ ACD = / BACAF= FG設(shè) AF= FC= x,則 BF= 10-x,在 RtBCF中，由 BP+BC=C戶得（10 x） 2+62=x2,解得 x= 6.8 ,即 AF= 6.8 ;（3）如圖3,. AD E0 ADE./AD E=Z 4 90 , / AD B= 90° ,，B、D'、E三點(diǎn)共線，又 ABD s BEC AD = BC . ABD BECBE= AB= 10,; BD =-/內(nèi)膜-皿，2=J1o2_64=8'DE= D' E= 10-8=2;如圖4,. /ABD +/CBE= Z ABD

31、 +/BAD =90 ,/ CBE= / BAD ,在 ABD 和 BEO,Nd" =Zbce AD”二BC , /BAD" =ZCBE ABD BECBE= AB= 10,DE= D E= 8+10=18.8.綜上所知，DE= 2或18.解：(1) ; Jni14+(n+4)2=。, (n+4) >0,，m 4= 0, n+4= 0,m= 4, n= - 4,.A (0, 4) , B ( - 4, 0);(2) AC/ OB / O / CBO / CA展 / BOF. AC= OB .ACg OBF(ASA ,. AF= OF= 2,. OA= OB / OAD

32、= / OBF / BOF= / AOD. .BOm AOD(ASA ,. OF= O氏 2,BD= 6,當(dāng)當(dāng)0wtv3 時(shí)，S=-PD?OF=226-2t) X 2 = 6- 2t ;t>3 時(shí)，S=2t 6) X 2=2t 6;(3)當(dāng)0wtv3,如圖2, . AO= 4, OD= 2,，AD= i,. BDx OA= ADx BE125b BE=,5675DE=,5.四邊形PDEG;菱形，. DP= DE= EG=,5D (2, 0),P (2-p-, 0), $作 EHL BD于 H,. BB DE= BDX EH12.EH= 一5.HD=4E (125. EG/ OB.G與E的

33、縱坐標(biāo)相同,P (2+§_, 0),5當(dāng)t>3時(shí)，如圖3,同理求得ifD X圖29.(1)證明：.四邊形 ABC加四邊形CEF正方形,. BC= DC C& CE / BCD= Z GCE= 90° . / BCD/ DCG / GCE/DCG/ BCGf / DCEfbc=dc在 BC畫 DC坤，* /BCG=/DCE , kCG=CE. .BC窿 DCE(SAS .(2)解：連接BE如圖2所示:由(1)可知：BG= DE. CG/ BD / DCS / BDC= 45 , ./ BCG= / BCD/ DCG 90° / GC£ 90

34、,./ BCE= 360° - / BCG / G ./ BCG= / BCE"BC=BC在ABC畫 BCE, * /BCG1cG=CE BC轡BCE(SAS ,.BG=BE. BG= BD= DE. BD= BE= DE . BD曰等邊三角形， ./ BDE= 60° ;延長(zhǎng)EC交BD點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)pE=DE在 BCEF口 DC坤，BC=CD bCE=CE. .BC降"CGISSS , Z BEO / DEC.EHLBD BH= -,-BDBO。氏五，. BD= /2BO 2,BE= 2, BH= 1 ,. CH= 1,在RtBHE中，由勾股定理得：.ce

35、=73- i ,=135° ,360° - 135° - 90° = 135GNL BC于N,如圖3所示:EH=VbE2-BH2 =22-12 ;近，.Z GCN= 45 ,， GC塌等腰直角三角形，GN= 。6孚（V3- D ,SAbcf BCGN= - x6乂叵（Vs-1）=.2222D圖3D10.【觀察與猜想】解：二四邊形ABC比正方形，. ./B= / BCD= Z ADC= 90 , AB= BC= CD= AQ Z ACB= Z ACD 45 ,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得： GC= AC Z ACG= 90° , . / ACB= / GCD=

36、 45 ,fBC=DC在ABG 口 AGDC,.Iac=gc. .AB室 GDQSAS ,.AB= GD / GDC/ B= 90 ,DG/ BC CDG1等腰直角三角形，. DG= CD= BC點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，. EG= BF, EG/ BF;故答案為：EG= BF, EG/ BF;【探究與證明】證明：點(diǎn) E、F分別在CD BC邊上任意位置時(shí)，如圖所示:作GM_ BC 交BC延長(zhǎng)線于 M 則/ GMF90 , MG DC四邊形ABC匿正方形，.AB= BC / BCD= / B= 90° , ./ BAF+Z BFA= 90 ,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得： GF= AF Z A

37、FG= 90° , / BFA/ MF8 90 ,/ BAF= / MFG在 ABFn FMCG3,，/BAF=/NFG , 1kF=GF. .AB口 FMG(AAS , .AB= FM BF= MG. AB= BC .BF= CMBF= CE .MG= CE. MG CE四邊形CEGML平行四邊形，又. / GMF= 90° ,四邊形CEGML矩形， EOCM EG/ CMEG= BF, EG/ BF;點(diǎn)E、F在CD BC邊的延長(zhǎng)線上的任意位置時(shí)，如圖所示:作GM_ BC,交BC延長(zhǎng)線于 M則/ GMF90 , MG DC 四邊形 ABCDI正方形，.AB= BC / B

38、CD= / B= 90° , ./ BAF+Z BFA= 90 ,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得： GF= AF, Z AFG= 90° , / BFA/ MFG 90 ,/ BAF= / MFG|rZB=ZGMF=90s在ABFW FM(5, /BAF =/MFG,(AF=GF .ABBFMGAAS ,.AB= FM BF= MG .AB= BC .BF= CMBF= CE.MG= CE. MG CE，四邊形CEGML平行四邊形，又/ GMF= 90° ,，四邊形CEGML矩形， .EG= CM EG/ CM. EG= BF, EG/ BF;【拓展與延伸】解： 黑=罌=卜(kw

39、i)時(shí)，線段EG與BF的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系仍然 CE FG成立；理由如下：作GM_ BC,交BC延長(zhǎng)線于 M如圖所示：則/ GMF90 , MG/ DC 四邊形 ABC比正方形，.AB= BC / BCD= / B= 90° , / BAF/ BFA= 90 , / B= / GMF由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：/ AFG= 90。， Z BFA/ MF3 90 , / BAF= / MFG，F(xiàn)M= BC GM= CEBF= CM. MG CE四邊形CEGMb平行四邊形,又. / GMF= 90° ,四邊形CEGMb矩形，.EG= CM EG/ CM. EG= BF, EG/ BF;(k

40、wi).A 口圖11.解：(1) AF= DE理由如下：四邊形OADC1正方形，OA= AD / DAE= Z AOF= 90° ,由題意得：AE= OFfoa=ae在 AOFn DAE43, ZA0F=ZDAE, b0F=AE. .AOm DAE (SAS ,，AF= DE(2)四邊形HIJK是正方形.理由如下：如圖所示： H、I、J、K分別是 AE EF FD DA的中點(diǎn)，. HI = KJ= AF, HK= IJ=ED HI/AE HK/ ED .AF= DE. HI = KJ= HK= IJ , 四邊形HIJK是菱形， AOm DAE/ ADE= / OAF/ ADEZ AE

41、D= 90 , ./ OAFZ AED= 90 , .Z AGE= 90 ,. .AF± EDHI/AF, HK ED. HIXHK ./ KHI=90 , 四邊形HIJK是正方形.(3)存在，理由如下：四邊形OADC；正方形，點(diǎn) D的坐標(biāo)為(4, 4),. OA= AD= OG= 4,C (4, 0),點(diǎn)E為AO的中點(diǎn)，OE= 2, E (0, 2);分情況討論：如圖所示，當(dāng)OC是以Q C M N為頂點(diǎn)的菱形的對(duì)角線時(shí)，OC與MN互相垂直平分，則 M為CE的中點(diǎn)，.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2, 1),點(diǎn)M和N關(guān)于OC對(duì)稱，Nl (2, 1);當(dāng)OC是以Q C、M N為頂點(diǎn)的菱形的邊時(shí), 若M

42、在y軸的左側(cè)時(shí)，四邊形OCMN是菱形，.OM=OC= 4, MN /IOC. MF& COE.IF CCEFOE=2,設(shè) EF= x,則 MF= 2x, OF= x+2,在RtOMF中，由勾股定理得：（2x） 2+ （x+2） 2=42,解得：x =,或x= - 2 （舍去）， .MF=,FN= 4-MF, OF=51616若M在y軸的右側(cè)時(shí)，作 N' Pl OCT P, ON / CM , ./ PON =Z OCE.tan / PONPN"- Itan / OCE=OBOC設(shè) PN =y,則 OP= 2y,在RtOPN中，由勾股定理得:y2+ (2y) 2=42,

43、解得：y = p-,PN =-X, of3=-l£, 55N'綜上所述，存在點(diǎn) N使以Q C M N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2,1)12s®(1)證明：.四邊形 ABC時(shí)矩形,. BC= AD CD= AR / C= /ABO / A= / AD仔 90 ,. CE= AF,. BC- CE= AD- AF,即 BE= DF,在 DC麗 BAF中，ZC=ZA ,.CE 二 AF. .DC摩 BAI3(SAS , / CDE= / ABF / CED= / AFB由折疊的性質(zhì)得：/ CDE= /C' DEABF= /A' BF, Z CED

44、= Z C ED, / AFB= /A'FB /CDE/C' DE-Z HDF= 90 , /ABR/A' BF+Z GBE= 90° , /CED/C' ED-ZGEB=180 , /AF8/A' F3/HFD= 180 , ./ HDF= / GBE / GEB= / HFDNgbenhdf在 BEGF口 DFH43,，BE=DF , i/G&B二/HFD .BEG2DFH(ASA ;(2)解：四邊形 AHCG的形狀是矩形；理由如下：由折疊的性質(zhì)得：/ C= /DC E= /A= /BA F=90° ,由（1）得： BE等

45、 DFH .Z BGE= / DHF. / BG號(hào) /A' GC , / DHF= /A' HC ,. . / A' GC = /A' HC ,. /DC E+/BA F+/A' GC +/A' HC = 90 +90 +/A' GC +/A' HC = 360 ,. ./A' GC +/A' HC = 180 ,. ./A' GC = /A' HC = 90° , ./DC E= /BA F= /A' GC = /A' HC =90 ,四邊形 AHCG是矩形；（3）解：由

46、（2）知：/ BGE= /A' GC = 90° ,. tan / EBG=卷，設(shè) EG= 3x,貝U BG= 4x, BE= J/ GG2= 5x,由折疊的性質(zhì)得： CE= C E= EGC' G= 3x+1, CD= AB= A' B= BGA' G= 4x+6,BC= CRBE= 3x+1+5x=8x+1,S矩形 ABC C?BC= 4X-i-CD?CEn2X-i-E（?BO A G?C G,=4X寧（3x+1） （ 4x+6） +2X53x?4x-6X 1 ,（不合題意舍去），CB= 8X2+1 = 17,即（4x+6） （ 8x+1）整理得：

47、x2- 2x=0, 解得：x1=2, x2=0 .CD= 4X2+6=14,S矩形abcL CDBC= 14X 17= 238.13解：（1）作DE± BC交BC的延長(zhǎng)線于E,如圖2所示:則/ E= 90° ,四邊形ABCD1矩形, ./ABC= 90° , AB/ CD AD/ BC CD= AB= 2, / ACD= / BAC / DAO / ACB= 30° ,. Z ACB= 30° ,BC= V3AB= 2衣，/ACD= Z BAC= 60 ,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CD = CD= 2, /ACA=30° ,/ D CE= 18

48、0° - 30° - 30° - 60° = 60° , ./ CDE= 30 ,CE二CD = 1, DE= V3CE=V3， Sa BCD =BO D E弓 X 2 gxG 3;(2) AOBD是直角三角形，理由如下:連接OC如圖3所示:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得： CA = CA /ADC= /ADC= 90° , / D A'C= Z DAC= 30° , O是AA'的中點(diǎn)， . OCL AA ,/ AOC= / AOC= 90 = / ABC= / ADC, / ABG/AO© 180 ,.A、R C

49、 O四點(diǎn)共圓， .Z BOC= / BAC= 60 , 同理；A、D、C O四點(diǎn)共圓, ./ DOC= / DA C= 30° , ./ BOD = 90 , . BOD是直角三角形；(3)若B、C D三點(diǎn)不共線，如圖 3所示：由(2)得：/ OBC= / OAC / ODC= / OAC, / OAC= / OAC,/ 0B6=Z ODC,OB=OD.Z OBD=Z ODB, ./ CBD=Z CDB,. CB=CD ,. CD = CD.BOCQ這與已知相矛盾，：B、G D三點(diǎn)共線；分兩種情況：當(dāng)點(diǎn) D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖 4所示:故答案為：90 ：或270;當(dāng)a = a 2

50、時(shí)，AOBD不存在時(shí)，分兩種情況:當(dāng)。與D重合時(shí)，如圖6所示: . CA = CA /CAD=/CAD=30 ,，/ACA=120 , a = a 2 = 360 - 120 = 240 ;當(dāng)O與B重合時(shí)，如圖7所示：則 AA = 2AB= 4,. CA= CA = 2AB=4 = AA, . ACA是等邊三角形，A'CA= 60° , a = a 2 = 360 - 60 = 300 ； 故答案為：240°或300.14.解：（1）如圖 1，= CF/ AE / FCE= / AEB / CFE= / AEF.ABE1 折得到 AFE .EF= BE= 1, /

51、AEF= Z AEB ./ FCE= / CFE，CE= EF= 1BC BECE= 2，m的值是2.ESi如圖2,過(guò)點(diǎn)F作GHLAD于點(diǎn)G交BC于點(diǎn)H. GH_ BC .Z AGF= / FHE= 90°四邊形ABCDI矩形.Z BAD= / B= 90°四邊形ABH俚矩形. GH= AB= 2, AG= BH ABE1 折得到 AFE .EF= BE= 1, AF= AB= 2, / AFE= Z B= 90° / AFG/ EFH= / AFG/FAG= 90°/ EFH= / FAG . EFhh FAG.FH EH EF 1AG -FG AF

52、-2設(shè) EH= x,貝U AG= BH= x+1FG= 2EH= 2x .FH= GH- FG= 2- 2x2a 1解得：x =，F(xiàn)G=r. AD= BC= m. DG= | AD- AG=| mr 勺dU= dG+fC= ( m-)2+36259m的二次函數(shù)，拋物線開(kāi)口向上，最小值為解得:m*J，n2= 13625，根據(jù)二次函數(shù)圖象可知,1<m (2)如圖3,過(guò)點(diǎn)B作MNL AD于點(diǎn)M 交BC于點(diǎn)N.MN/ AB, MN= AB= 2 AJ ：.-：一；- L：AB 2AD/ BC點(diǎn)B在AC上點(diǎn)B至AD的距離小于.MB=解得:.sin /ACB=75_=J&+ g.m 一酈如圖4,當(dāng)E落在邊AD上，且B在AC上時(shí)，m最大,此時(shí)，/ ACB= / B1AE = Z BAEtan Z ACB= tan / BAEBC A