中考數(shù)學(xué)難題突破——二次函數(shù)與幾何綜合(含解析)

1、中考數(shù)學(xué)難題突破二次函數(shù)與幾何綜合(含解析)1.如圖，拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過點 A (-4, 0), B (1, 0), C (0, 3),點 P 在拋物線y=ax2+bx+c上，且在x軸的上方，點P的橫坐標(biāo)記為t.(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，過點P作y軸的平行線交直線AC于點M,交x軸于點N,若MC平分/ PMO,求t的值；(3)點D在直線AC上，點E在y軸上，且位于點C的上方，那么在拋物線上 是否存在點P,使得以點C, D, E, P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出第1題圖解：(1)如解圖，第1題解圖設(shè)拋物線的解析式為y a(x 4)(x 1),把(0, 3)代入得

2、到a，拋物線的解析式為y翁4)(，即y * 9x 3.(2)如解圖中，第1題解圖. A (-4, 0), C (0, 3), 直線AC的解析式為y -x 3,4， P的橫坐標(biāo)為t, .M (t,3t 3),.CM 平分 PMO ,CMO CMP,. PM/OC, . CMP MCOCMO MCO /.OM=OC=3,2/32t2+ (1+3)2 9解得t 22或0(舍棄).t的值為22.設(shè) P(t, 3t2 9t 3),當(dāng)CE為對角線時，四邊形CPED為菱形，如解圖，則點P和D關(guān)于y軸對 稱,第1題解圖.3 29D(t，/ 4t 3)3 29333 2 9把 D(t, tt3)代入 y x3

3、倚t3t t3444444解得ti 0（舍去），t22,此時pd=4，ce=3,此時菱形的面積2pDcE 6；當(dāng)CE為菱形的邊時，四邊形CEPD為菱形，如解圖，則PD/y軸，CD=PD ,第1題解圖.3川4 3),3 2933 2/. PD-t2-t3(t3)-t23t ,4444而 CD2 t2 (3t 3 3)2 25t2 ,即 CD 5t, 416 44t23t % 解得 t1 0(舍去)，t27,PD 35，此時菱形面積是35 3 265綜上所述,菱形的面積是6或票2.如圖，若在平面直角坐標(biāo)系xOy中，0為坐標(biāo)原點，拋物線y 2x2 -x 8與 33x軸交于點A、C,與y軸交于點B.(

4、1)設(shè)拋物線的頂點為D,求四邊形OADB的面積；(2)如圖，動點P、Q同時從點0出發(fā)，其中點P以每秒2個長度單位的速 度沿折線OAB按O)A-B的路線運動，點Q以每秒4個單位長度的速度沿折線 按O)B-A的路線運動，當(dāng)P、Q兩點相遇時，它們都停止運動，設(shè)t秒時zOPQ 的面積為S.求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；判斷在的過程中，t為何值時，zOPQ的面積最大，最大面積是多少？第2題圖解：(1)，.,拋物線y 2x2 8x 8與x軸交于點A、C,與y軸交于點B,點A的坐標(biāo)為（6,0），點C的坐標(biāo)為（-2,0），點B的坐標(biāo)為（0,-8）.2 2-x3822x 8 一 (x 2)3

5、33233頂點D的坐標(biāo)為（2, 32）.32在解圖中，過點D作DEx軸于點E,則OE=2, DE=32,AE=6-2=4,OB=8, S 四邊形 OADB=S 梯形 OEDB+ S ADE2(8 32) 2 2 4 32=40.第2題解圖（2）AB2=OA2+OB2=62+82=100,AB=10.設(shè)t秒時，P、Q兩點相遇，則：2t+4t=6+8+10,解得：t=4.點P在OA上運動的時間為：6攵=3 （s）,點Q在OB上運動的時間為：84=2 （s）.當(dāng)04W2時，如解圖，點 P在OA上，點Q在OB上,112 S OP OQ 2t 4t 4t2,22OP=2t, OQ=4t,即S關(guān)于t的函數(shù)

6、關(guān)系式為：S 4t2(0 t 2)；當(dāng)2 t 3時，如解圖點P在OA上，點Q在BA上，OP=2t, BQ=4t-8,過點Q作QFLOB于F,由QFBszaob得： 里 OB,即 BQ BAFB4t 88 .4, . FB (4t 8),. . OF10548 -(4t 8),11416 c72.S 1OPOF 12t 8 4(4t8)t2t,22 L 555即S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為：S -t2 72t(2 t 3);55當(dāng)3tW4時,如解圖,P、Q 兩點都在 AB 上，AP=2t-6, BQ=4t-8,PQ=AB- (AP+BQ) =10- (2t-6+4t-8) =24-6t, AAOB 的

7、 AB 邊上的高 OAgOB 6-8 24AB 105二 S12 (24 6t)24572288t55即S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為：S72t52885(3 t4).4t2(0 t 2)綜上所述：S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為：S-t2 72t(2 t 3);5572t 里8(3 t 4)55當(dāng)0 t 2時，S最大=4 22=16 ;當(dāng) 2 t 3時，S=旦2 72t2t 9)2 81;55545當(dāng)t 9時，%大=? 45當(dāng)3 t 4時，s=-72 3 288 Z2. 555圖圖第2題解圖綜上所述，當(dāng)t 9時，zOPQ的面積最大，最大面積為81. 453.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線y=x2平移

8、，使平移后的拋物線經(jīng)過點 A (-3, 0)、B (1, 0).(1)求平移后的拋物線的表達式；(2)設(shè)平移后的拋物線交y軸于點C,在平移后的拋物線的對稱軸上有一動點 P,當(dāng)BP與CP之和最小時，P點坐標(biāo)是多少？(3)若y=x2與平移后的拋物線對稱軸交于 D點，那么，在平移后的拋物線的對稱軸上，是否存在一點 M,使得以M、0、D為頂點的三角形與ABOD相似？若存在，求點M坐標(biāo)；若不存在，說明理由.第3題圖解：(1)設(shè)平移后拋物線的表達式為y=a (x+3) (x-1). 由平移的性質(zhì)可知原拋物線與平移后拋物線的開口大小與方向都相同, 平移后拋物線的二次項系數(shù)與原拋物線的二次項系數(shù)相同. 平移后

9、拋物線的二次項系數(shù)為1,即a=1.平移后拋物線的表達式為y= (x+3) (x-1),整理得：y=x2+2x-3; / y=x2+2x-3= (x+1) 2-4,拋物線對稱軸為直線x=-1,與y軸的交點C (0,-3),則點C關(guān)于直線x=-1的對稱點C (-2, -3),如解圖，連接B, C,與直線x=-1的交點即為所求點P,由B (1, 0), C (-2, -3)可得直線BC解析式為y=x-1,y x 1則y ,x 1解得x 1,y 2點P坐標(biāo)為(-1, -2);圖圖第3題解圖(3)如解圖，2由 y x ,得 ，即 D (-1, 1),x 1 y 1貝U DE=OE=1 , A DOE為等

10、腰直角三角形，DOE ODE 45o, BOD 135o,OD ；2BO 1,BD 3 BOD 135點M只能在D上方,BOD ODM 135.當(dāng)DMDOOD DM OB 屏或時，以M、O、OB DO ODD為頂點的三角形與4AOB相似,若DOOB,則此手解得DM 2,此時點M坐標(biāo)為(-1, 3);若DO ob，則器/解得dm 1,此時點M坐標(biāo)為(-1, 2);綜上，點M坐標(biāo)為(-1, 3)或(-1, 2).4.如圖，二次函數(shù)y=0.5x2+bx+c的圖象過點B (0, 1)和C (4, 3)兩點，與x軸交于點D、點E,過點B和點C的直線與x軸交于點A.(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在x軸上

11、有一動點 巳 隨著點P的移動，存在點P使4PBC是直角三角形， 請你求出點P的坐標(biāo)；(3)若動點P從A點出發(fā)，在x軸上沿x軸正方向以每秒2個單位的速度運動，同時動點Q也從A點出發(fā)，以每秒a個單位的速度沿射線AC運動，是否存在以A、P、Q為頂點的三角形與4ABD相似？若存在，直接寫出a的值；若不存在,說明理由.-3第4題圖解：(1) .二次函數(shù)y 0.5x2 bx c的圖象過點B(0.1)和C(4,3)兩點,. c 13 8 4b c一，3解得：b2，c 1, 1 23, 拋物線解析式y(tǒng) 2乂 2乂 1，設(shè)點P坐標(biāo)為(x,0), P(x,0),B(0,1),C(4,3), . PB J(x 0)

12、2 (0 1)2 Jx2 1 ,CP J(4 x)2 (3 0)2 Jx2 8x 25 ,BC (4-0)L11)2 25,若 BCP 90,則 BP2 BC2 CP2.x2 1 20 x2 8x 25 ,11 x 萬.若 CBP 90，則 cp2 BC2 BP2. . x2 1 20 x2 8x 25 ,1 x . 2若 BPC 90,則 BC2 BP2 CP2.,22_ . x 1 x 8x 25 20x1 1,x2 3綜上所述：點P坐標(biāo)為(1, 0), (3, 0),(，0), (，0) 22(3)存在.1 23 ，;拋物線解析式y(tǒng) -x -x 1與x軸交于點D,點E 22.c 123.

13、0 x x 1, 22. . x11, x22 ,.點 D (1, 0),點 B (0, 1), C (4, 3),， 一 .、1直線BC解析式y(tǒng) 2x1.當(dāng)y 0時，x 2,.點 A (-2, 0),點 A (-2, 0),點 B (0, 1),點 D (1, 0),.AD 3,AB 、,5,設(shè)經(jīng)過t秒，AP 2t, AQ at.若 APQs ADB ,.空 ADAQ AB 2t 3即一 T 5at 、5.2.5 . . a .3若 APQs ADB ,APAQ .a 05 ，綜上所述：a2.56、5亍或可.15.如圖，直線y 2x 2與x軸交于點B,與y軸交于點C,已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點

14、B、C和點A (-1, 0).(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式；(2)若拋物線的對稱軸與x軸的交點為點D,則在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使 PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出 P點的坐標(biāo);如果不存在，請說明理由.第5題圖1.1,一解：(1)在直線y 2X 2中，令y 0, x 2=0,解得x 4.B (0, 4).令 x=0 得：y=2,/. C (0, 2).設(shè)拋物線的解析式為y a(x 1)(x 4),將點C的坐標(biāo)代入得：4a 2,解得2拋物線的解析式為(2)如解圖所示:拋物線的對稱軸為x卷宗t OD又 OC 2 ,DC，22(3)25.第5題解圖當(dāng) PD=DC,P(3,52

15、 2當(dāng) P，D=CD寸，P(3,-52 2過點C作CE垂直于對稱軸，垂足為E.又 CP =CD,.DE=EP .DE=CO =2,DP =4.P（3,4）.點 p 的坐標(biāo)為 p（2,2）或 p3，-5）或 p（3,4）.6.閱讀理解：在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線li： y=kix+bi （ki, bi為常數(shù)，且k-Q,直線I2： y=k2x+b2 （卜2, b2為常數(shù)，且 卜2#0,若 li，l2,貝U ki?愴=-1.解決問題：（1）若直線y -x 2與直線y mx 2互相垂直，求m的值; 4（2）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過A （-1, 0）, B （i, i）兩點.求該拋物線

16、的解析式;在拋物線上是否存在點P,使得APAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.第6題圖解：（1） ;直線y 1x 2與直線y mx 2相互垂直, 4.1，, -m 1 , m 4;4(2)拋物線 y ax2 bx 1 經(jīng)過 A(-1,0), B(1,1)，兩點a b 1 0 a b 1 1，1a -, 2b 1，b 2拋物線的解析式為y1x2 1x 1;22. A(-1,0),B(1,1),直線AB的解析式為y x 22PAB是以AB為直角邊的直角三角形,.當(dāng) PAB 90o 時，PA AB直線PA的解析式為y 2x 2 (I),:拋物線的解析式為

17、y2x2 2x JIAy 2x 2聯(lián)立(I) (II)得 12 1y - x x 122(舍)或x 6y 14P(6,-14),當(dāng) PBA 90o時，PB AB,直線PB的解析式為y 2x 3(III),;拋物線的解析式為y /TIv)，y聯(lián)立(III) (IV)得，2x 31 21 小-x - x 122二 P（4,-5）,即點P的坐標(biāo)為(6,-14）或（4, -5）.7.拋物線y ax2+bx的頂點M (73, 3)關(guān)于x軸的對稱點為B,點A為拋物線與x軸的一個交點，點A關(guān)于原點。的對稱點為A；已知C為A B的中點，P為拋物線上一動點，作 CDx軸，PELx軸，垂足分別為點D,E.(1)求

18、點A的坐標(biāo)即拋物線的解析式;當(dāng)0x273時，是否存在點P使以點C,D,P,E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.解：(1)依題意得：拋物線y ax2+bx經(jīng)過頂點M (73, 3)和(0, 0).點A與原點關(guān)于對稱軸 產(chǎn)曲對稱, A （2、3,0）.12a 2 3b 03a ,3b 3解得：a 2I拋物線的解析式為：yx2 2.3x ;假設(shè)存在點P使以點C,D,P,E為頂點的四邊形是平行四邊形.貝U PE/CD 且 PE=CD.由頂電M （口，3）關(guān)于x軸的對稱軸點B （#,-3),可得 BF=3,.CDx 軸,BMx 軸,.CDBF.C為A B的中點,.

19、CD 是 ABF 的中位線，得 PE=CD = 1BF=3. 22點A的坐標(biāo)為（273, 0）, 當(dāng)0x2x/3時，點P應(yīng)在x軸上方.可設(shè)點P的坐標(biāo)為（x,3）,2 y x2 2怎 3, 2解得 x 73滿足 0x2s/3,存在點P（V37，3）或（731,2）使得四邊形是平行四邊形8.如圖，拋物線y=-x2+bx+c.經(jīng)過A （-1, 0）, B （5, 0）兩點，與y軸交于C點.已知M (0, 1), E (a, 0), F (a+1, 0),點P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點.(1)求此拋物線的解析式;(2)當(dāng)a=1時，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時點 (3)若4PCM是以CM為底邊的等腰三角形，求a為何值時, 周長最小？請說明理由.P的坐標(biāo)；四邊形PMEF備用圖第8題圖解：(1)將點 A(-1,0),B(5,0)代入 y=-x2+bx+c,得:1 b c 025 5b c 0解得: 此拋物線解析式為y=-