2021屆四川省成都市高三第一次診斷性檢測數(shù)學(文)試題Word版含解析

1、2021屆四川省成都市高三第一次診斷性檢測數(shù)學（文）試題一、單選題1 .若復數(shù)4與G=-3-，（i為虛數(shù)單位）在復平面內對應的點關于實軸對稱，則 =（）A. -3/B. -3 + iC. 3 + iD. 3-i【答案】B【解析】直接利用復平面的對稱得到答案.【詳解】數(shù)4與4=-3一（i為虛數(shù)單位）在復平面內對應的點關于實軸對稱，則& =-3 + i故選：B【點睛】本題考查了復平面的對稱問題，屬于簡單題.2 .已知集合4 = -1,0,m, 8 = 1,2,若4uB = -l,0J2,則實數(shù)，的值為（）A. 一1 或 0B. 0或 1C. 一1 或 2D. 1 或2【答案】D【解析】根據(jù)

2、集合并集的定義即可得到答案.【詳解】集合4 = -1,0,», 3 = 1,2,且= 1,0,1,2,所以7 = 1 或? = 2.故選：D【點睛】本題主要考查集合并集的基本運算，屬于基礎題.3 .若sin6 = "cos。，貝!）tan26=（）【答案】C【解析】根據(jù)sin8 = #cos。得到tan6 = ",再利用二倍角公式得到答案.【詳解】sin 8 =邪cos 0 ：. tan 6 =小，tan 20 =- =1-tan2-42故選：C【點睛】本題考查了二倍角公式，意在考查學生的計算能力.4 .已知命題：VxtR, 2r-.V>l» 則一

3、/，為（）A. Yx 生 R, 2' -x2 < 1B.玉。史R，2”一片 <1C. DxeR, 2T-x2 <1D.玉（）e R , 2"-工；<1【答案】D【解析】直接利用全稱命題的否定定義得到答案.【詳解】命題：VxwR, 2x-x2>1，則力為：玉.）eR, 2%一片<1故選：D【點睛】本題考查了全稱命題的否定，意在考查學生的推斷能力.5.某校隨機抽取100名同學進行“垃圾分類”的問卷測試，測試結果發(fā)現(xiàn)這100名同學的得分都在50, 100 內，按得分分成5組：50, 60）, 60, 70）, 70, 80）, 80, 90）,

4、90, 100,得到如圖所示的頻率分布 直方圖，則這100名同學的得分的中位數(shù)為（）A. 72.5B. 75C. 77.5D. 80【答案】A【解析】根據(jù)頻率分布直方圖求得中位數(shù)即可.【詳解】在頻率分步直方圖中，小正方形的面積表示這組數(shù)據(jù)的頻率，中位數(shù)為:” 0.5-0.01x10-0.03x10 0 70 +xl0 = 72.5 .0.04x10故選：A【點評】 本題考查頻率分布直方圖的相關知識，直方圖中的各個矩形的面積代表了頻率，所有各個矩形面積之和為1， 也考查了中位數(shù)，屬于基礎題.6 .設等差數(shù)列與的前項和為S“，且% =3%，則”=()【答案】D【解析】將S, W轉化為用備，力表達的

5、算式即可得到結論.【詳解】,、X) 9 %S) 927由等差數(shù)列的前項和為S“，二不=，且%=3%,，不= = X3= = .'3%'55A J2故選：D.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的前口項和，等差中項的性質，考查計算能力，屬于基礎題.7 .已知。，?是空間中兩個不同的平面，7,是空間中兩條不同的直線，則下列說法正確的是()A.若加a, n/1p ,且a/月,則加8 .若ma, /,且。,4，貝ij?”C.若n/J3 ,且a/0,則加D.若加_La, 尸,且aJL/7,則【答案】C【解析】由空間中直線與直線、直線與平面及平面與平面位置關系逐一核對四個選項得答案.【詳解】由a ,

6、 n/ 0 ,且aB,得s 或zn與a異而，故A錯誤；由m a , n/ P .且a _L S ,得m或s與a相交或0與a異而，故B錯誤：由 m_L a , aB,得 s_L B ,又 n B ,則 s_La,故 C 正確：由m_L a , aB且a_LB,得卬 a或卬與a相交或s與a異面，故D錯誤.故選：C.【點睛】本題考查命題的真假判斷與應用，考查空間中直線與直線、直線與平面及平面與平面位置關系的判定與應 用，考查空間想象能力與思維能力，屬于中檔題.8.將函數(shù),V = sin(4x-J)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再把所得圖象向左平 o移;個單位長度，得到函數(shù)/(X

7、)的圖象，則函數(shù)/(X)的解析式為() OA. /(x) = sin(2x + )B. fM = sin(2x )63C. /(x) = sin(8.r + )D. /(x) = sin(8x 一 )63【答案】A【解析】利用函數(shù)的圖象平移變換和伸縮變換的應用求出結果即可.【詳解】函數(shù)y = sin(4x-2)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得到尸sin(2x-3的圖象,66 一再把所得圖象向左平移3個單位長度，得到函數(shù)f (x) = y = sin 2(x + g)-J =sin(2x + f)的圖象.6L O ojo故選：A.【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的平移和伸縮變換的

8、應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基 礎題.9.已知拋物線f=4x的焦點為f，M,N是拋物線上兩個不同的點若明曰+ |*| = 5,則線段MN的中 點到)'軸的距離為()A. 3B.-2C. 5【答案】B【解析】拋物線到焦點的距離轉化為到準線的距離，可求出橫坐標之和，進而求出中點的橫坐標，求出結 果即可.【詳解】由拋物線方程V=4x,得其準線方程為：x = l，設M（mj）, N（x2,yD，由拋物線的性質得，|加尸| +仲戶| =占+1 +1=5,.阿中點的橫坐標為,，3線段MN的中點到）'軸的距離為：2故選:B.【點睛】本題考查了拋物線定義的應用，屬于基

9、礎題.11310.已知4 = 2；， =。= 1叱，則（）A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. b>c>a【答案】C【解析】利用根式的運算性質、基函數(shù)的單調性可得a, 6的大小關系，利用對數(shù)函數(shù)的單調性即可得出。<1.【詳解】,： & =右=近=般,且6 = 3；=3=破，lvav，In彳<lne = l. -b>a>c.故選：C.【點睛】本題考查了根式的運算性質、器函數(shù)的單調性、對數(shù)函數(shù)的單調性，屬于基礎題.2211 .已知直線¥ =心與雙曲線C：子# = 1（“>0力>0）

10、相交于不同的兩點4, B,尸為雙曲線。的左焦點，且滿足|4可=3怛可，= （。為坐標原點），則雙曲線C的離心率為（）A. V2B.退C. 2D. y/5【答案】B【解析】如圖所示：片為雙曲線右焦點，連接人耳，計算得到|AF| = 3a|A"| =。，再利用余弦定理得到10a2 = 2c2+2b2，化簡得到答案.【詳解】如圖所示：匕為雙曲線右焦點，連接根據(jù)對稱性知3/=八耳|AF| = 3陽=3的|, |明-|4胤=勿，|叫=3,|4周=在AA。尸和AAO耳中，分別利用余弦定理得到：9a2 =c2 +b2 - 2bccos ZAOF，=c2+b2-21jccos ZAO兩式相加得到 1

11、0/ = 2c2 + 2b2 ：. c2 = 3a2 :.e = E故選：B【點睛】本題考查了雙曲線的離心率，根據(jù)條件計算出|4F| = M,|A"|=a是解題的關鍵.12 .已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足2-力=/(2 +)，當x42時，f(x) = xex.若關于x的方程 f(x) = k(x2) + 2有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是()A. (-l,0)U(0,l)B. (-1,0)52)C. (-e,0)U(0，e)D. (-e,0)U(e,+°°)【答案】A【解析】根據(jù)函數(shù)的單調性和對稱性畫出函數(shù)圖像，)，=女(一2)+ 2過定點(2,2)

12、,計算直線和曲線相切的情況計算斜率得到答案.【詳解】當 x < 2 時，fx） = xex = （x+）ex函數(shù)在（73,-1）上單調遞減，在（一 1,2）上單調遞增，且/（一1） = 一1 e/（2-x） = /（2+x）,函數(shù)關于x = 2對稱，），=“工-2） + 2過定點（2,2）如圖所示，畫出函數(shù)圖像：當y =女（x2） + 2與/ （x） =相切時，設切點為（,%, %）則（x°+l）eM=A = * = F 八0一2玉）一2=1根據(jù)對稱性考慮x = 2左邊圖像，根據(jù)圖像驗證知與=。是方程唯一解，此時k故答案為kw TO U 04故選：A【點睛】本題考查了零點問題，

13、對稱問題，函數(shù)的單調性，畫出函數(shù)圖像是解題的關鍵.二、填空題'x+y-4<013.已知實數(shù)KJ'滿足約束條件一2），+ 2 2。，則z = x + 2>，的最大值為 y>0【答案】6【解析】作出不等式對應的平而區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求Z的最大值.【詳解】（陰影部分）由圖象可知當直線y=-g田! z經(jīng)過點4時，直線y= -的截距最大，此時z最大.2222x +），-4 = 0,解得月（2, 2）,代入目標函數(shù)z=/2y得z=2X2+2 = 6.x-2y+2=0故答案為：6.【點睛】 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用圖象平行求得目標函數(shù)的最大值和最

14、小值，利用數(shù)形結合是解決線性 規(guī)劃問題中的基本方法，屬于基礎題.14 .設正項等比數(shù)列也滿足%=81,%+3=36,則/ =【答案】3"【解析】將已知條件轉化為基本量A，q的方程組，解方程組得到山，q，進而可以得到即【詳解】 在正項等比數(shù)列4中，4 =81, “2+4=36,q=3.,ka /i=33=3： q = 3故答案為：3“點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，主要考查計算能力，屬于基礎題.15 .已知平面向量，B滿足問=2, W =且必僅B),則向量與B的夾角的大小為.【答案】7 O【解析】根據(jù)必伍-可得到B伍-丹=。，計算得到答案.【詳解】設向量與坂的夾角為8，坂 _1_

15、卜一B 卜.坂.卜/ -5)=“ B -5=2 6 cos 6-3 = 0/. cos 0 =：.0 =26故答案為： O 【點睛】本題考查了向量的夾角，意在考查學生的計算能力.16.如圖，在邊長為2的正方形AA2/中，邊片鳥，尸出的中點分別為8, C,現(xiàn)將24幺8, ABP?C ,CA分別沿A8, BC, C4折起使點4，P?, 8重合，重合后記為點P,得到三棱錐尸ABC.則 三棱錐P - ABC的外接球體積為【答案】疝r(nóng)【解析】根據(jù)尸A. PB,PC兩兩垂直得到2A =+產(chǎn)+ 2?,代入體積公式計算得到答案.【詳解】易知尸A,尸艮PC兩兩垂直，PA = 2,PB = PC = 1將三棱錐P

16、-ABC放入對應的長方體內得到2R = 4+ + 2? . r =巫V =乃r' =逐冗 3故答案為：«加【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，將三棱錐放入對應的長方體是解題的關犍.三、解答題17.在AABC中，角A,及C的對邊分別為a,4c,且+/=逑汝. 3（1）求sin A的值；（2）若AABC的面積為JI,且&sin3 = 3sinC,求AA3C的周長.【答案】|：（2） 2 +#+ 3應【解析】（1）由已知條件結合余弦定理可求cos月的值，進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系式可求sinJ的值.（2）利用三角形的面積公式可求6c的值，由正弦定理化簡已知等式可得a6=

17、3c,解得6,。的值，根據(jù) 余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周長.【詳解】（1） +。2一/=迪反，由余弦定理可得268。5月=出慶，.cos月=些，333*在月6。中，sinJ= -J 1 - cos' A = J（2） 的面積為 yf2，即一6csin/l= be 5/2 ,，6c=6 yf2 >26又sinSnSsin。，由正弦定理可得 0" b=3c,，6=3 ，c=2,則孑=+ - 26ccos1=6,:.a =娓，所以周長為。+。+。= 2 +.【點睛】本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式，三角形的面積公式，正弦定理在解三角形中的綜合 應用，考

18、查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題.18.某公司有1000名員工，其中男性員工400名，采用分層抽樣的方法隨機抽取100名員工進行5G手機 購買意向的調查，將計劃在今年購買5G手機的員工稱為“追光族”，計劃在明年及明年以后才購買5G手機 的員工稱為“觀望者”調查結果發(fā)現(xiàn)抽取的這100名員工中屬于“追光族”的女性員工和男性員工各有20人.（I ）完成下列2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為該公司員工屬于“追光族”與“性別”有關;屬于“追光族”屬于“觀望者”合計女性員工男性員工合計100（H）已知被抽取的這100名員工中有6名是人事部的員工，這6名中有3名屬于“追光族”現(xiàn)從這6名中隨機抽取3

19、名，求抽取到的3名中恰有1名屬于“追光族”的概率.附：+，其中 =P(K2>i0.150.100. 05k。2. 0722. 7063. 8410. 0250. 0100. 0050. 0015. 0246. 6357. 87910. 8289【答案】（I）表見解析，沒有95%的把握認為該公司員工屬于“追光族”與“性別”有關.（II） 一20【解析】（I）完善列聯(lián)表,計算片22.778 v 3.841得到結論.（H）設人事部的這6名中的3名“追光族”分別為b，c”, 3名“觀望者”分別為“A，B, C , 列出所有情況計算得到答案.【詳解】（【）由題，2x2列聯(lián)表如下：屬于“追光族”屬于

20、“觀望者”合計女性員工204060男性員工202040K2100(20x20-20x40;40x60x40x60=« 2.778 <3.841 9合計4060100，沒有95%的把握認為該公司員工屬于“追光族”與“性別”有關.(H)設人事部的這6名中的3名“追光族”分別為b, c”，3名“觀望者”分別為“4, B C ”.則從人事部的這6名中隨機抽取3名的所有可能情況有“a,Ac； aA.aB.aC.aA.aB.a.c.C ; b,c,A ; b,c,B ； b,c,C ； a,A,B ； a,A.C ； a,B,C ； b.A,B. b,A,C ； b,B,C ； c,A,3

21、： c,A,C： c,B,C . A,8,C” 共 20 種.其中，抽取到的3名中恰有1名屬于“追光族”的所有可能情況有“a,A8； a,AC： a,8,C： A,A,8：b,A,C ； b,B,C ； c,A,B - c,A,C： c,及C” 共 9 種.9 ，抽取到的3名中恰有1名屬于“追光族”的概率尸=一.20【點睛】本題考查了列聯(lián)表，概率的沖算，意在考查學生的計算能力和應用能力.19.如圖，在四棱錐PA8CD中，人P_1平面尸8。，底面A8CQ為菱形，且NABC = 60。，E, F分 別為8C,。的中點.(I)證明：8CJ_平面Q4E；(H)點。在棱P8上，且黑=：，證明：P。/平面

22、【答案】(I)證明見解析(II)證明見解析【解析】(I )證明8CJ_AE和3CLAP得到平面PAE.（II）根據(jù)相似得到PD H QM證明PD H平面QAF.【詳解】（I ）如圖，連接AC.底而A8CQ為菱形，且NA8C = 60。，三角形ABC為正三角形.七為3。的中點，.3。_14七.又.40_1平而8。，8Cu平面P3C, BC.LAP.V APCAE = A, AP,AEu平面F4E，平面（II）連接3。交人產(chǎn)于點M，連接QM.尸為CD的中點，在底曲A3CZ）中，=» =.MB AB 2 DB 3當=” =!，在三角形中，PD/QM .PB DB 3又.QMu平面。4/，P

23、Z）2平面。A廣，.PQ/平而 04 尸.【點睛】本題考查了線面垂直和線面平行，意在考查學生的空間想象能力和推斷能力.20.已知函數(shù)7（x） = （。-l）lnx+x+J aeR, 7"）為函數(shù)f（x）的導函數(shù). .X（I）討論函數(shù)“X）的單調性；（n當 =2時，證明+ 2對任意的x«l,2都成立.X【答案】（I）見解析（II）證明見解析【解析】（I）求導得到/=討論。之0，。=1和"V1四種情況得到答 案.2i?（II）要證明/'（x）-/''（x）Wx+二即（x） = lnx + -y l«。，求導得到函數(shù) XX X/?（A）

24、nm =0得到證明.【詳解】（I）/,3="+iY=k+（'-）x-J（xf（H）. ' ' X rk廠；x > 0, a e R ,.,.當420時，X + 4>0,函數(shù)/（x）在（0,1）內單調遞減，在（1，+8）內單調遞增：當一1<<0時，0<4<1,函數(shù)/（五）在（0, 一 ）內單調遞增，在（一a1）內單調遞減，在（1，+8）內單調遞增；當 =1時，/（刈=（=1匚20,函數(shù)“X）在（0,+8）內單調遞增；當“V1時，一”>1,函數(shù)/（X）在（0）內單調遞增，在（1,一。）內單調遞減，在（-"，+&q

25、uot;）內單調遞增.719（H）當 n = 2 時，/（x） = lnx+x + - , /1（x） = - + l-xel,2. XAA:.f （x） - f'（x）-x- = n x- - +.令/?（工）=111工一,十二一1,貝=-1 二八一八.XXX X- XX令 Mx） = f+x-4, .,函數(shù) ”x）在1,2內單調遞增，"l）<0, “（2）>0,存在唯一的與£（1，2）,使得力,（%） =（）.當x«l,/）時，當xe（xo,2）時，/?'（x0）>0；函數(shù)（x）在。用）內單調遞減,在（,2）內單調遞增.又.饞

26、）=0, /?（2） = ln2-l<0,9，（肛3 =°，即/'（x）-1（x）4x +二對任意的x71,2都成立.X【點睛】本題考查了函數(shù)的單調性，恒成立問題，將恒成立問題轉化為函數(shù)的最值是解題的關鍵21.已知橢圓C： ： + 丁=1的右焦點為尸，過點尸的直線（不與x軸重合）與橢圓。相交于A , B兩點, 直線/： x = 2與軸相交于點，E為線段切的中點，直線8/與直線/的交點為。.（I ）求四邊形。（。為坐標原點）面積的取值范圍； （II）證明直線與x軸平行.【答案】（I）仙點（II）證明見解析 【解析】（I）令直線43： x = " + l（mwR）

27、,聯(lián)立方程利用韋達定理得到nr + 2'=一去'5=注手'換元E一帶入化簡得到答案（ID直線BE的方程為）33) y24令文=2得,17 >2）% = P代入（I）中式子化簡得到答 四，5案.【詳解】(I )由題,0(1,0),令直線A8： x=nty+l(meR)9x = my +1X2 )2_ 消去X，得(/+2)V+2沖 1 = 0S2+y =: = 4/ + 4(/+2)>0, y+ y2 =2m川+ 2 'I2： |vi-y2| = J(y+ %)2-4弘力=2 f:；+ 1四邊形OAHB的面積S = 口。川回一齊| =&一力| =

28、 2'/廠+1 2nr + 22萬_ 2點令 yjllV +1 = /，2 1， f2 +11 .r + t.，+ ；22 (當且僅當/ = 1即7 = 0時取等號)，0<S<JT.四邊形OAHB而積的取值范圍為（。,應.(ID ；F(1,O), A£j|,0 .k- >2丫_ %3直線BE的斜率 3,直線把的方程為) 32).X,一一占一一 7-22 215 y2令x = 2得，yD =/ t2m1由(I ), )1 + %=二=，)1% = nr + 2廠 + 2y. + y7 1)、+ 為=2州通研=寸=寸次.115 >25 %化簡，得)力= c

29、=-j=r='rny 一一 一+ 二一一-2 2 2% 2直線AO與軸平行.【點睛】本題考查了面積的范圍，直線的平行問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.22.在平面直角坐標系X。)，中，已知尸是曲線G： /+(>-2)2=4上的動點，將。尸繞點。順時針旋轉90,得到。，設點。的軌跡為曲線。2.以坐標原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線G，的極坐標方程;(2)在極坐標系中，點M(3,g),射線夕=?(夕20)與曲線G，C?分別相交于異于極點。的48兩點, 2o求A/MA8的面積.【答案】(1)曲線G： p = 4sin®,曲線C)：夕= 4cos8； (2)。二心一 2【解析】(1)由題意，點0的軌跡是以(2, 0)為圓心，以2為半徑的圓，寫出其普通方程，再結合P'=Ay, A-= P cos o , y= psinO ,可得曲線G，G的極坐標方程；(2)在極坐標系中，設4 6的極徑分別為Pi, PS,求得"=|PP，再求出"(3,：)到射線 26 =看(22 0)的距離h= 3sin := 芋，即可求得.碗的面積.【詳解】(1