導數在實際問題中的應用(一) 北師大版高中數學選修2-2課件

1、北師大版高中數學選修北師大版高中數學選修2-22-2第三第三章章導數應用導數應用一、教學目標：一、教學目標：1、知識與技能：讓學生掌握在、知識與技能：讓學生掌握在實際生活中問題的求解方法；會利用導數求解最實際生活中問題的求解方法；會利用導數求解最值。值。2、過程與方法：通過分析具體實例，經歷由、過程與方法：通過分析具體實例，經歷由實際問題抽象為數學問題的過程。實際問題抽象為數學問題的過程。3、情感、態(tài)度、情感、態(tài)度與價值觀：讓學生感悟由具體到抽象，由特殊到一與價值觀：讓學生感悟由具體到抽象，由特殊到一般的思想方法般的思想方法二、教學重點：二、教學重點：函數建模過程函數建模過程 教學難點：教學難

2、點：函數建模過程函數建模過程三、教學方法：三、教學方法：探究歸納，講練結合探究歸納，講練結合四、教學過程四、教學過程1 1、實際問題中的應用、實際問題中的應用. . 在日常生活、生產和科研中在日常生活、生產和科研中,常常會遇到求函數的常常會遇到求函數的最大最大(小小)值的問題值的問題.建立目標函數建立目標函數,然后利用導數的方法求然后利用導數的方法求最值是求解這類問題常見的解題思路最值是求解這類問題常見的解題思路. 在建立目標函數時在建立目標函數時,一定要注意確定函數的定義域一定要注意確定函數的定義域. 在實際問題中在實際問題中,有時會遇到函數在區(qū)間內只有一個點有時會遇到函數在區(qū)間內只有一個點

3、使使 的情形的情形,如果函數在這個點有極大如果函數在這個點有極大(小小)值值,那么不與端點值比較那么不與端點值比較,也可以知道這就是最大也可以知道這就是最大(小小)值值.這里所說的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間這里所說的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間.0)( xf滿足上述情況的函數我們稱之為滿足上述情況的函數我們稱之為“單峰函數單峰函數”.3、求最大（最小）值應用題的一般方法、求最大（最小）值應用題的一般方法(1)分析實際問題中各量之間的關系，把實際問題化為分析實際問題中各量之間的關系，把實際問題化為數學問題，建立函數關系式，這是關鍵一步。數學問題，建立函數關系式，這是關鍵一步。(2)確定函數定義域，并求

4、出極值點。確定函數定義域，并求出極值點。(3)比較各極值與定義域端點函數的大小，比較各極值與定義域端點函數的大小， 結合實際，結合實際，確定最值或最值點。確定最值或最值點。2、實際應用問題的表現形式，常常不是以、實際應用問題的表現形式，常常不是以純數學模式反映出來。純數學模式反映出來。首先，通過審題，認識問題的背景，抽象出問題的實質。首先，通過審題，認識問題的背景，抽象出問題的實質。其次，建立相應的數學模型其次，建立相應的數學模型, 將應用問題轉化為數學問題將應用問題轉化為數學問題,再解。再解。6060解解:設箱底邊長為設箱底邊長為x cm， 箱子容積為箱子容積為V=x2 h例例1 在邊長為在

5、邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？則箱高則箱高260 xh 26032xx xxV =60 x3x/2令令V =0，得，得x=40, x=0(舍去舍去)得得V (40)=16000答：當答：當箱底邊長為箱底邊長為x=40時時,箱子容積最大，箱子容積最大，最大值為最大值為16000cm3)600( x;0()40, 0( ）時時，當當xVx. 0()60,40

6、( ）時時，當當xVx。為為極極大大值值，且且為為最最大大值值)40(V 在實際問題中，如果函數在實際問題中，如果函數 f ( x )在某區(qū)間內在某區(qū)間內只有一個只有一個x0 使使f (x0)=0,而且從實際問題本身又可而且從實際問題本身又可以知道函數在以知道函數在 這點有極大這點有極大(小小)值，那么不與端點值，那么不與端點比較，比較， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值就是所求的最大值或最小值.(所說區(qū)間的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間所說區(qū)間的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間)hR例例2. 要生產一批帶蓋的圓柱形鐵桶，要求每個鐵桶的容積要生產一批帶蓋的圓柱形鐵桶，要求每個鐵桶的容積為定值為定值V

7、，怎樣設計桶的底面半徑才能使材料最??？此時高，怎樣設計桶的底面半徑才能使材料最??？此時高與底面半徑比為多少？與底面半徑比為多少？解解:設桶底面半徑為設桶底面半徑為R,2RVh 則桶高為則桶高為,2222)(222RVRRVRRRS 桶的用料為桶的用料為,24)(2RVRRS , 024)(2 RVRRS 令令2VR 解得2322 VVRVh此時，此時，224VVRh2即因為因為S(R)只有一個極值只有一個極值,所以它是最小值。所以它是最小值。答：當罐高與底的直徑想等時，所用材料最省。答：當罐高與底的直徑想等時，所用材料最省。例例3.已知某商品生產成本已知某商品生產成本C與產量與產量q的函數關系

8、式為的函數關系式為C=100+4q,價格價格p與產量與產量q的函數關系式為的函數關系式為 求產量求產量q為何值為何值時時,利潤利潤L最大。最大。.8125qp 分析分析:利潤利潤L等于收入等于收入R減去成本減去成本C,而收入而收入R等于產量乘價格等于產量乘價格.由此可得出由此可得出利潤利潤L與產量與產量q的函數關系式的函數關系式,再用導數求最大利潤再用導數求最大利潤.281258125qqqqpqR解：收入)2000(1002181)4100(812522 qqqqqqCRL利潤利潤2141qL021410 qL，即，即令令求得唯一的極值點求得唯一的極值點84q因為因為L只有一個極值點只有一個

9、極值點,所以它是最大值所以它是最大值.答答:產量為產量為84時時,利潤利潤L最大最大.xy練習練習1: 如圖如圖,在二次函數在二次函數f(x)=4x-x2的圖象與的圖象與x軸所軸所 圍成的圖形中有一個內接矩形圍成的圖形中有一個內接矩形ABCD,求這求這 個矩形的最大面積個矩形的最大面積.解解:設設B(x,0)(0 x2), 則則 A(x, 4x-x2).從而從而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面積的面積為為:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x2).16246)(2 xxxS令令 ,得得.3322,33220)(21 xxxS),2

10、, 0(1 x所以當所以當 時時,.9332)(3322max xSx因此當點因此當點B為為 時時,矩形的最大面積是矩形的最大面積是) 0 ,3322( .93322 2、 一艘輪船在航行中的燃料費和它的速一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比。已知在速度為度的立方成正比。已知在速度為10km10km/h/h時，時，燃料費是燃料費是6 6元元/h/h。而其他與速度無關的費。而其他與速度無關的費用為用為9696元元/h/h。問以何種速度航行時。能使。問以何種速度航行時。能使行駛每公里的費用總和最少？行駛每公里的費用總和最少？3、如圖、如圖,鐵路線上鐵路線上AB段長段長 100km,工廠工

11、廠C到鐵路的到鐵路的 距離距離CA=20km.現在要現在要 在在AB上某一處上某一處D,向向C修修 一條公路一條公路.已知鐵路每噸已知鐵路每噸 千米與公路每噸千米的運費之比為千米與公路每噸千米的運費之比為3:5.為了使原料為了使原料 從供應站從供應站B運到工廠運到工廠C的運費最省的運費最省,D應修在何處應修在何處?B D AC解解:設設DA=xkm,那么那么DB=(100-x)km,CD= km. 2220 x2400 x 又設鐵路上每噸千米的運費為又設鐵路上每噸千米的運費為3t元元,則公路上每噸千米則公路上每噸千米的運費為的運費為5t元元.這樣這樣,每噸原料從供應站每噸原料從供應站B運到工廠

12、運到工廠C的的總運費為總運費為).1000()100(34005352 xxtxtBDtCDty令令 ,在在 的范圍內有的范圍內有唯一解唯一解x=15.0)34005(2 xxty1000 x所以所以,當當x=15(km),即即D點選在距點選在距A點點15千米時千米時,總運費總運費最省最省.注注:可以進一步討論可以進一步討論,當當AB的距離大于的距離大于15千米時千米時,要找的要找的 最優(yōu)點總在距最優(yōu)點總在距A點點15千米的千米的D點處點處;當當AB之間的距離之間的距離 不超過不超過15千米時千米時,所選所選D點與點與B點重合點重合.練習練習4:已知圓錐的底面半徑為已知圓錐的底面半徑為R,高為

13、高為H,求內接于這個圓求內接于這個圓錐體并且體積最大的圓柱體的高錐體并且體積最大的圓柱體的高h.答答:設圓柱底面半徑為設圓柱底面半徑為r,可得可得r=R(H-h)/H.易得當易得當h=H/3 時時, 圓柱體的體積最大圓柱體的體積最大.例例4、如圖，扇形如圖，扇形AOB中，半徑中，半徑0A=1，AOB=900，在在OA的延長線上有一動點的延長線上有一動點C，過，過C作作CD與弧與弧AB相相切于點切于點E，且與過點，且與過點B所作的所作的OB的垂線交于點的垂線交于點D，當點當點C在什么位置時，直角梯形在什么位置時，直角梯形OCDB的面積最??？的面積最??？OBDECA注注：在實際問題中，若：在實際問

14、題中，若函數在區(qū)間內只有函數在區(qū)間內只有一個一個點使點使y=0,如果函數在這如果函數在這點有點有極值極值，那么不與端，那么不與端點比較，就可確定這個點比較，就可確定這個點就是點就是最值最值。解 決 數 學解 決 數 學模型模型作答作答用函數表示的數學問題用函數表示的數學問題優(yōu)化問題優(yōu)化問題用導數解決數學問題用導數解決數學問題優(yōu)化問題的答優(yōu)化問題的答案案回顧總結：回顧總結：建立建立數學數學模型模型 1 1利用導數解決優(yōu)化問題的基本思路：利用導數解決優(yōu)化問題的基本思路：2解決優(yōu)化問題的方法：解決優(yōu)化問題的方法：通過搜集大量的統(tǒng)計數據，通過搜集大量的統(tǒng)計數據，建立與其相應的數學模型，再通過研究相應函數的性建立與其相應的數學模型，再通過研究相應函數的性質，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決在這個過程中，質，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決在這個過程中，導數往往是一個有利的工具。導數往往是一個有利的工具。3、導數在實際生活中的應用主要是解決有關函