《線性代數期末復習》呂 代數ch

1、2221122nnfk yk yk y標準形標準形一一 化二次型為標準形的化二次型為標準形的原因原因nkkk21問題問題:f = xT A x化為化為標準形標準形?2222211nnykykykf nnijcC )(令令()()()TTTTf xA xCyA CyyCACy. .nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,(4)將二次型化為將二次型化為標準形標準形,即即:對于二次型對于二次型 尋求一個尋求一個可逆的線性替換可逆的線性替換 : ,Tfx Ax二二 化二次型為標準形化二次型為標準形 nnnyyykkkyyy212121),

2、(2222211nnykykyk 由此可知由此可知,若能找到若能找到C使得使得CTAC=D為對角陣為對角陣,則標準形可得則標準形可得.這樣就這樣就把把二次型化標準形問題二次型化標準形問題轉化為轉化為對稱陣合同對角陣問題對稱陣合同對角陣問題.兩種方法兩種方法: 1.正交變換法正交變換法; 2.配方法配方法.對于給定的實對稱矩陣對于給定的實對稱矩陣A,尋求可逆矩陣尋求可逆矩陣C,使使CTAC成為對角陣成為對角陣.把此結論用于二次型，即有把此結論用于二次型，即有對給定的對給定的n階階實對稱實對稱矩陣矩陣A，必存在，必存在n 階階正交正交矩陣矩陣P ,使得使得1TPAPP AP = n 21方法方法1

3、 正交變換法正交變換法 定定理理1222112212nijijijjii. jnnnijfa x x (aa ),xPyf: fyyy .A(a ). 總總有有正正交交變變換換，把把化化為為標標準準形形其其中中 ， ，是是二二次次型型矩矩陣陣的的特特征征值值3.求求A的的n個標準正交個標準正交的的特征向量特征向量:4. 求求正交矩陣正交矩陣P=正交變換法的基本步驟：正交變換法的基本步驟：;:. 221nA ，的特征值的特征值求求12()TTTTnfx AxyP AP yyy2222211nnyyy 1. 寫出二次型的矩陣寫出二次型的矩陣A；;,21n12(,);n正交變換正交變換: , 則則

4、例例 用正交變換法將二次型用正交變換法將二次型222123121323444fxxxx xx xx x化成標準形，并求正交變換矩陣化成標準形，并求正交變換矩陣. .解解 二次型二次型f 的矩陣為的矩陣為122212221A(1)(1)求求A的特征值的特征值. . 12315, 得得A的特征值的特征值 212221251221AE ( (2) ) 求求3個標準正交的特征向量個標準正交的特征向量. . 35 當當時時，解方程組解方程組 422242224123xxx=0， 可得可得 121 當當時時，解方程組解方程組 123xxx=0， 222222222可得可得 12100111,施行施密特施行

5、施密特正交正交單位化單位化，得到，得到 12, 將將121111022611p,p 3111 將其單位化，得到將其單位化，得到 311131p 211122111- ，令令， 12121( (3) ) 求正交變換矩陣求正交變換矩陣P. . 316121316203161211115TP APP AP 2Pppp13(,)令令于是于是(4) 作正交變換作正交變換x=Py, , 則則2322215yyyyAPPyAxxfT )(TT注意注意 (1) 矩陣矩陣P是正交矩陣，是正交矩陣，一般情況下一般情況下不唯一不唯一； (2) 得到的得到的f 的標準形中，平方項的系數恰是的標準形中，平方項的系數恰是

6、A的的特征值特征值， (3) 對角陣中特征值對角陣中特征值 的的順序順序是和它們對應的特征向量在是和它們對應的特征向量在P中中的的排列順序排列順序一致的一致的. 將實二次型將實二次型 f (x) = x TAx 化為化為標準形標準形后，后，不妨設不妨設正正平方項在平方項在前前，負負平方項在平方項在后后, 即即d1 y12 + + dp yp2 - dp +1yp+12 - - dr yr2 , ), 2 , 1(riydziii 令令得得 f (x) = x TAx 的的規(guī)范形規(guī)范形為為: z12 + + zp2 zp+12 - - zr2 例例.542324232221的的規(guī)規(guī)范范形形求求xxxxf443322115423xyxyxyxy 令令解解.24232221yyyy: :則規(guī)范形為則