等比數(shù)列典例剖析

1、等比數(shù)列典例剖析例1 已知an是等比數(shù)列，且a1a9=64,a3+a7=20.求a11.【解法一】 由a1a9=64,a3+a7=20得由a1q4=8 ,或a1q4=8 ÷得,整理得2q45q2+2=0解得q2=或q2=2.當(dāng)q2=時(shí)，a1=32,a11=a1q10=1當(dāng)q2=2時(shí),a1=,a11=a1q10=64.÷得整理得2q4+5q2+2=0q2= (舍去)或者q2=2(舍去)【解法二】 由已知由x220x+64=0得x=4或x=16或a11=64或a11=1.【點(diǎn)評(píng)】 充分地利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證明，往往可起到事半功倍的作用.例2有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差

2、數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù).【解】 設(shè)四個(gè)數(shù)依次為ad,a,a+d,由題意得由得d=122a,代入得a(122a)+=16,整理得a213a+36=0解得a1=4,a2=9,得d1=4,d2=6.從而得所求四個(gè)數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1.【點(diǎn)評(píng)】 這種類(lèi)型的題要注意"設(shè)"的技巧，這里只設(shè)了兩個(gè)字母，給下面的運(yùn)算帶來(lái)很大方便，設(shè)的過(guò)程中已經(jīng)把條件"等差、等比"用上了.例3已知三個(gè)正數(shù)a、b、c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：,不成等差數(shù)列.【證明】 假設(shè),成等差數(shù)列，則

3、2=+4b=a+c+2根據(jù)已知條件：a、b、c成等比數(shù)列，b2=ac由知2b=a+c此與a，b，c不成等差數(shù)列相矛盾，因此,不成等差數(shù)列.【點(diǎn)評(píng)】 證明數(shù)列成等比(或等差)數(shù)列可利用等比(或等差)數(shù)列的定義，或用等比(或等差)中項(xiàng)的概念；而證明數(shù)列不成等比(或等差)數(shù)列可考慮反證法等.例4Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，公比q1,已知1是S2和S3的等差中項(xiàng)，6是2S2與3S3的等比中項(xiàng).(1)求S2和S3；(2)求此數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)求數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和.【解】 (1)由已知條件得：,即 可解得S2=2,S3=3(2)又q1,÷整理得2q2q1=0，即(2q+1)(q1)=0q1

4、,q=代入可得a1=4an=4()n1(3)Sn=Sn的前n項(xiàng)和Tn為T(mén)n=【點(diǎn)評(píng)】 本題給出了確定等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本解法，在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中應(yīng)注意對(duì)公比的判斷和討論，同時(shí)對(duì)于數(shù)列的求和問(wèn)題，要注意通過(guò)對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的觀察，進(jìn)行求和類(lèi)型的判斷.例5已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn之間滿(mǎn)足關(guān)系Sn=23an.(1)求a1;(2)求an與an1(n2,nN*)的遞推關(guān)系；(3)求Sn與Sn1(n2,nN*)的遞推關(guān)系.【解】 (1)當(dāng)n=1時(shí)，S1=23a1,即a1=23a1a1=(2)Sn=23an當(dāng)n2時(shí)，Sn1=23an1得an=3an13an,即an=an1(3)Sn=23(SnSn1)Sn=【點(diǎn)評(píng)】 通過(guò)已知條件得到an與an1(n2,nN*)的遞推關(guān)系或者Sn與Sn1(n2,nN*)的遞推關(guān)系，都可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，進(jìn)而求出an的通項(xiàng)公式.例6已知數(shù)列an的遞推關(guān)系，求滿(mǎn)足下列條件數(shù)列的通項(xiàng).(1)a1=1,an=3an1+2(n2,nN*)(2)a1=1,an=2an1+2n(n2,nN*)【解】 (1)由an=3an1+2得an+1=3(an1+1)=3，即an+1為等比數(shù)列.an+1=(a1+1)3n1,an=(an+1)3n11=2·3n1