五年級(jí)數(shù)學(xué)思維拓展完全平方數(shù)第三講

1、【五年級(jí)數(shù)學(xué)思維拓展】趣味入門一勇闖智慧島(二)完全平方數(shù)(3)學(xué)習(xí)目標(biāo)認(rèn)識(shí)完全平方數(shù)1.認(rèn)識(shí)完全平方數(shù)2.完全平方數(shù)的性質(zhì)3.完全平方數(shù)的解題技巧1. 123456787654321X (1 + 2+ 3+4 + 5 + 6+7+8+7+ 6+5+4+3+ 2+ 1)是 的平方。2. 1 2+ 22 + 32+ 20092+ 20102除以4的余數(shù)是多少?3.14444,問n等于多少.得到的數(shù)字是L JI口個(gè)4個(gè)完全平方數(shù)？4. 120與一個(gè)自然數(shù)的乘積是一個(gè)完全平方數(shù)，則這個(gè)自然數(shù)最小值是多少?(即是該課程的課后測(cè)試)1 .三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，中間一個(gè)是完全平方數(shù)，將這樣的三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積稱

2、為“美妙數(shù)”.問：所有小于2008的美妙數(shù)的最大公約數(shù)是多少？2 .記S (1 2 3 L n) (4k 3),這里n 3 .當(dāng)k在1至100之間取正整數(shù)值時(shí), 有 個(gè)不同的k,使得S是一個(gè)正整數(shù)的平方.3 .稱能表示成1 2 3 L k的形式的自然數(shù)為三角數(shù).有一個(gè)四位數(shù)N,它既是三角數(shù)，又是完全平方數(shù).則 N .4.自然數(shù)的平方按大小排成 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,，問：第612個(gè)位置的數(shù)字是 幾？5. A是由2002個(gè)“4”組成的多位數(shù)，即 442/4，A是不是某個(gè)自然數(shù) B的平方？如果 是，寫出B;如果不是，請(qǐng)說明理由.j參考答案1. 60 3 4 5是一個(gè)美妙數(shù)

3、，因此美妙數(shù)白最大公約數(shù)不會(huì)大于60.任何三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，必有一個(gè)能為 3整除，所以，任何美妙數(shù)必有因子3.若中間的數(shù)是偶數(shù)，它又是完全平方數(shù)，必定能為 4整除；若中間的數(shù)是奇數(shù)，則第一和第三個(gè)數(shù)是偶數(shù)，所以任何美妙數(shù)必有因子4.另外，由于完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字只能是0, 1, 4, 5, 6, 9,若其個(gè)位是0和5,則中間的數(shù)能被 5整除；若其個(gè)位是1和 6,則第一個(gè)數(shù)能被 5整除；若其個(gè)位是 4和9,則第三個(gè)數(shù)能被 5整除.所以， 任何美妙數(shù)必有因子 5.由于3, 4, 5的最小公倍數(shù)是60,所以任何美妙數(shù)必有因 子60,故所有美妙數(shù)的最大公約數(shù)至少是60.綜合上面分析，所有美妙數(shù)的最大公約

4、數(shù)既不能大于60,又至少是60,所以，只能是60.2. 一個(gè)平方數(shù)除以4的余數(shù)是0或1 .當(dāng)n 4時(shí)，S除以4余3,所以S不是平方數(shù)；當(dāng)n 3 時(shí)，S 4k 9,當(dāng)k在1至100之間時(shí)，S在13至409之間，其中只有 8個(gè)平方 數(shù)是奇數(shù)。 42 72 Q2 2 2 2 2 2 苴中為 1個(gè)平方斯對(duì)應(yīng) 1 5-/-5- 5) 7 )9) 11) 13)15) 17 ) 19| 1 1 I _J1_1 1個(gè)k,所以答案為8.3. 依題有1 2 3 L k a2,即k(k 1) 2 a2,因?yàn)閗與k 1是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，其中 必有一個(gè)奇數(shù)，有奇數(shù)相鄰偶數(shù) a2.又由相鄰自然數(shù)互質(zhì)知，“奇數(shù)”與“相鄰

5、偶數(shù)”22，一 一 一2 相鄰偶數(shù)2一 2也互質(zhì)，于是奇數(shù) m , n (a m n),而a為四位數(shù)，有 32 a 99,即232 m n 99,又 m2 與 2n2 相鄰，有 7 m 12.當(dāng)m 7時(shí)，m2 49,相鄰偶數(shù)為50時(shí)，n 5滿足條件，這時(shí)a2 (7 5)2 1225, 即 N 1225;當(dāng)m 9時(shí)，m2 81 ,相鄰偶數(shù)為80和82都不滿足條件；當(dāng)m 11時(shí)，m2 121 ,相鄰偶數(shù)為120和122都不滿足條件.所以，N 1225.4. 1 到3的平方是一位數(shù)，占去3個(gè)位置；4到9的平方是二位數(shù)，占去 12個(gè)位置；10到31的平方是三位數(shù)，占去 66個(gè)位置；32 到 99 的平

6、方是四位數(shù)，占去272 個(gè)位置；將 1 到 99 的平方排成一行，就占去353 個(gè)位置，從612 減去353，還有259 個(gè)位置從 100 到 300的平方都是五位數(shù)，因此， 第 612個(gè)位置一定是其中某個(gè)數(shù)的平方中的一個(gè)數(shù)字因?yàn)?259 51 5 4， 即從 100 起到150， 共 51 個(gè)數(shù)， 它們的平方都是五位數(shù)，要占去 255 個(gè)位置， 而 151 151 22701， 它的第 4個(gè)數(shù)字是0， 所以第 612個(gè)位置的數(shù)字是05. A 414442L434 22 1121L31 如果 A 是某個(gè)自然數(shù)的平方，則1121L31 也應(yīng)是某個(gè)自然數(shù)的2002個(gè) 42002個(gè) 12002個(gè) 1平方，并且是某個(gè)奇