2020-2021學(xué)年高考數(shù)學(xué)理科模擬試題及答案解析四

1、若要功夫深，鐵杵磨成針!最新高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（六）一、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一 項是符合題目要求的.1 .已知集合 A=x|x2-3xv0, B=1, a,且An B有4個子集，則實數(shù) a的取值范圍是（）A. (0, 3) B. (0, 1) U ( 1, 3)C. (0, 1) D.(一巴 1) U (3, +8)z=2a+/2i的模等于（2 .已知i為虛數(shù)單位，aC R,若三為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)A. 41 B.舊 C.6 D.娓H L 1一、口A. a2< b23 .右£丁°，則下列結(jié)論不正確的是（8

2、. abv b2C. a+bv0 D. |a|+|b| > |a+b|4 .已知向量Z, Z為非零向量，|（a - 2b）la, C-2；） J_Z，則短 工夾角為（A.旨 B.C.D.5.在 ABC中,siA=1屈菽印，則4 ABC的面積為（）A.3 B. 4C.D.6.數(shù)列4中，a二2,A.175C.195D. 47.實數(shù)x, y滿足|x-by |<1,使z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有兩個，則z=ax+y+1的最小值為學(xué)無止境！ A. 0 B. - 2 C. 1 D. - 18 . 一個幾何體的三視圖如圖所示，且其側(cè)（左）視圖是一個等邊三角形，則這個幾何體的體積為正t主視圖

3、惻（左）視圖A.得/3B. -V3C. 2北 D.9 .運行如圖所示的程序，若結(jié)束時輸出的結(jié)果不小于3,則t的取值范圍為（）（癢時>,工=匕 曰=1_：A. tB. tc.D.10.三棱錐為（）P-ABC 中，AB=BC=/15,AC=6, PC平面ABC, PC=2,貝U該三棱錐的夕卜接球表面積A.2537tB.252兀C.8337tD.8327t11. 一矩形的一邊在 x軸上，另兩個頂點在函數(shù)則此矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積的最大值是（2ky< 2 （x>0）的圖象上，如圖,1+工）D.12.已知函數(shù)f （x）兀2(x x)(xx2)(x治)(其中 x1<x2&

4、lt;x3), g (x) =3x+sin (2x+1),且函數(shù)f （x）的兩個極值點為a,3（a<3）.設(shè)入二C. g (入)< gA. g(a) vg (入)vg (3) vg (w) B. g (入)< g(a) vg(3) < g (科)(a) vg(w)vg(3) D. g(a) vg (入)vg(w)vg(3) 二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分，滿分20分.13 .歐陽修賣油翁中寫到：（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢入孔入，而錢不濕，可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止，若銅錢是直徑為2cm的圓, 中間有邊長為0.5c

5、m的正方形孔，若你隨機向銅錢上滴一滴油，則油(油滴的大小忽略不計)正好落入孔中的概率為 .14 .已知函數(shù)f (x) =ax (a>0且awl),其關(guān)于y=x對稱的函數(shù)為g (x).若f (2) =9,貝U g看) +f (3)的值是.15 .設(shè)(1 2x) n=a+aiX+ax2+anXn (xCN ),若 aI+a2=30,貝U n=.16 .已知點A (0,2),拋物線yAx 30) 的焦點為F,射線FA與拋物線C相交于點M, 與其準(zhǔn)線相交于點 N,若|FM|: |MN|=1 : 5,則a的值等于 .三、解答題：解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.17 .如圖所示，在一條海防警

6、戒線上的點 A、B、C處各有一個水聲監(jiān)測點， B、C兩點到點A的距 離分別為20千米和50千米.某時刻，B收到發(fā)自靜止目標(biāo) P的一個聲波信號，8秒后A、C同時 接收到該聲波信號，已知聲波在水中的傳播速度是1.5千米/秒.(1)設(shè)A到P的距離為x千米，用x表示B, C至ij P的距離，并求x的值；(2)求P到海防警戒線 AC的距離(結(jié)果精確到 0.01千米).18 .根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的將數(shù)量X (單位：mm)對工期的影響如下表：降水量 XXV 300300w XV 700700wXV 900 X>900工期延誤天數(shù)Y 02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于30

7、0, 700, 900的概率分別為0.3, 0.7, 0.9,求：(I)工期延誤天數(shù) Y的均值與方差；(II)在降水量 X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率.19 .如圖，在三棱柱 ABC- A1B1C1中，面ABBiA為矩形，&K/&, D為AA1的中點,BD 與 ABi 交于點 O, BC± ABi,(1)證明：CD± AB"以橢圓C的左頂點T為圓心作2220.如圖，已知橢圓C： 三 +J =1 (a>b>0)的離心率為 廿b圓T: (x+2) 2+y2=r2 (r>0),設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N.(1)求橢圓

8、C的方程；(2)求幣斤%的最小值，并求此時圓 T的方程；(3)設(shè)點P是橢圓C上異于M, N的任意一點，且直線 MP, NP分別與x軸交于點R, S,。為 坐標(biāo)原點，求證：|OR|?OS|為定值.21.設(shè)函數(shù) f (x) =ln (x+1)-, (aC R) ； g (x) = (1+k) x- kx- 1, kC ( 1, +8).(I )求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n)當(dāng)xe 0, 1時，求函數(shù)g (x)的最大值；(m)求證: 11 1工 TZT<ln(n+1)工 T_*,(nC N )選做題22 .已知C點在。直徑BE的延長線上，CA切。于A點，CD是/ ACB的平分線且交 AE于

9、點F, 交AB于點D.(1)求/ ADF的度數(shù)；AC(2)若AB=AC求于的值.DL-23 .在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以直角坐標(biāo)系的原點 OI尸t 0為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為 " .2丁.sin y(1)求曲線c的直角坐標(biāo)方程和直線 l的普通方程；(2)若直線l與曲線C相交于A、B兩點，求 AOB的面積.24 .設(shè)函數(shù) f (x) =|2x - a|+2a(I)若不等式f(x) W6的解集為x|-6WxW4,求實數(shù)a的值；(n)在(I)的條件下，若不等式 f (x) v (k2-1) x-5的解集非空，求實數(shù) k的取值

10、范圍.考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有 項是符合題目要求的.1.已知集合 A=x|x2-3xv0, B=1, a,且An B有4個子集，則實數(shù) a的取值范圍是()A. (0, 3)B. (0, 1) U ( 1, 3)C. (0, 1) D.(-巴 1) U (3, +8)【考點】交集及其運算.【分析】求出A中不等式的解集確定出 A,根據(jù)A與B交集有4個子集，得到A與B交集有2個 元素，確定出a的范圍即可.【解答】解：由 A中不等式變形得：x (x- 3) <0,解得：0vxv 3,即 A= (0, 3), , B=1

11、, a,且AH B有4個子集，即 AA B有兩個元素，a 的范圍為(0, 1) U ( 1, 3).故選：B.2.已知i為虛數(shù)單位，aC R,若:+j為純虛數(shù),則復(fù)數(shù) z=2a+/i的模等于()A.6B. 丁 C 6 D.瓜【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算.【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義、模的計算公式即可得出.【斛答】斛:f=(/=一兩為純虛數(shù)， 一 年+療o ,斛倚至 則復(fù)數(shù) z=2a+無i=1+、Ji.|z|二J3'+(也)?=沔,故選：C.3.若<0,則下列結(jié)論不正確的是(A. a2< b2 B. abv b2C. a+bv0 D. |a|+|b| >

12、|a+b|【考點】基本不等式.【分析】由題意可得 a和b為負數(shù)且a>b,由不等式的性質(zhì)逐個選項驗證可得.【解答】解：: 工上0,a和b為負數(shù)且a>b,a2<b2,故 A 正確;再由不等式的性質(zhì)可得 abvb2, B正確；由a和b為負數(shù)可得a+bv0,故C正確；再由a和b為負數(shù)可得|a|+|b|=|a+b|, D錯誤.故選：D.4.已知向量a, Z為非零向量,A.B.八 271cC D-【考點】平面向量數(shù)量積的運算.（E則;，E夾角為（）5兀6 .- -*_ *j -* 13. ' I-1 J.【分析】由條件即可得到聲0, （b - 2a）b：O,這樣即可得到，且a|己

13、二|b，從而可以求出型這樣便可得出 打，國的夾角.【解答】解：（；h2E）_LZ, （b*2aHb；.一 、T T 2 _T T.T T T 2 T (a _ 2b) a=a - 2ab = 0，1b-2a)，b=b -2 ab 二 0； .-»2 t* 2 t*, , a =2a-bi b =2H-b，g 5.在 ABC中，sinA后,屈工 =0,則 ABC的面積為（）ACC-CmA. 3 B. 4 C. 6D.5【考點】平面向量數(shù)量積的運算.【分析】由題意結(jié)合數(shù)量積的運算可得|忘| |菽|,而 ABC的面積S=7 | AB llAClsinA，代U-l入數(shù)據(jù)計算可得.【解答】解：

14、由題意可得 AB *AC=|AB | | AC|cosA=8 ,又sinA=,故可得cosA,故|此| |前|二10二；-二3故 ABC的面積 S- AB | | AC |sinA=故選A6.數(shù)列4中,。=2,A明 B-V C【考點】數(shù)列遞推式.19D. 4【分析】把已知遞推式移項變形，然后分別取n=1, 2, 3,，n,累加后求出數(shù)列通項公式 >2),則明?？汕?【解答】 解：由 an+1=an+-,得:咽一己211 - y),_ 0聲白_)， Z 3一小宿專，“1 J ,、% 日口-產(chǎn)？勺丁丁7 (n ).累加得：% - *2Q -二HSr - S=2 (1 - - )=2-.n n

15、又 a1二2,1-回班二% + 旦一=4 -( n >2).n n n則ai產(chǎn)一番嚙制故選：C.7.實數(shù)x, y滿足,使z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有兩個，則z=ax+y+1的最小值為A. 0B. - 2 C. 1 D. - 1【考點】簡單線性規(guī)劃.【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有 2個，利用數(shù)形結(jié)合確定a的取值即可得到結(jié)論.x>0(K<0【解答】解：不等式組等價為或，x +1 一 k 一不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由 z=ax+y 得 y= - ax+z,若a=0時，直線y=-ax+z=z,此時取得最大值的最優(yōu)解只有一個，不滿足條件.

16、若-a>0,則直線y=- ax+z截距取得最大值時，z取的最大值，此時滿足直線y=-ax+z經(jīng)過點A,D時滿足條件，此時-a=1,解得a=- 1.若-a<0,則直線y= - ax+z截距取得最大值時，z取的最大值，此時 z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有1個或者無數(shù)個，不滿足條件.綜上滿足條件的 a=- 1,即z=- x+y+1,則y=x+z- 1,當(dāng)直線y=x+z- 1經(jīng)過B (1, 0), C (0, - 1)時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，此時 z=- 1+0+1=0,故選：A8. 一個幾何體的三視圖如圖所示，且其側(cè)(左)視圖是一個等邊三角形，則這個幾何體的體積為【考點】由三視圖求面積

17、、體積.【分析】此幾何體是底面積是S=1-XLX 2=1的三棱錐，與底面是邊長為 2的正方形的四棱錐構(gòu)成的組合體，它們的頂點相同，底面共面，高為 代，即可得出.【解答】解：此幾何體是底面積是s/x 1X 2=1的三棱錐，與底面是邊長為 2的正方形的四棱錐構(gòu)成的組合體，它們的頂點相同，底面共面，高為 Vs,，V=1 2- i .9.運行如圖所示的程序，若結(jié)束時輸出的結(jié)果不小于3,則t的取值范圍為（）A-七沾B十W C / D 1嗎【考點】循環(huán)結(jié)構(gòu).【分析】第一次執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)：n-0+2,第二次執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)：n-2+2,第三次執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)：n- 4+2,此時應(yīng)終止循環(huán)結(jié)構(gòu).求出相應(yīng)的x、a即可得出

18、結(jié)果.【解答】解：第一次執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)：n-0+2, x2沖，a- 2-1; / n=2< 4, .,繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu).第二次執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)：n-2+2, x 2>2t, A4T; / n=4=4,繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)，第三次執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)：n-4+2, x 2>4t, A6-3;n=6>4, .,應(yīng)終止循環(huán)結(jié)構(gòu)，并輸出38t.由于結(jié)束時輸出的結(jié)果不小于3,故 38: 3,即 8t>1,解得 t>故答案為：B.10.三棱錐PABC中，AB=BC=/15, AC=6, PC平面ABC, PC=2,貝U該三棱錐的外接球表面積 為（）.四 .251831=83A.彳兀B.兀

19、 C. 3兀 D.工?！究键c】球的體積和表面積.【分析】根據(jù)已知條件得出ABC的外接圓的半徑，利用勾股定理得出外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球表面積.【解答】解： AB=BC=/15, AC=6, c cosC= : t, . sinC=）V15V15.ABC的外接圓的半徑=_V6,設(shè)三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離為d,則R2=d2+ （）2= （2-d） 2+ （謂巨）：該三棱錐的外接球半徑為R2=7T-,表面積為：4兀R2=4兀 第岑 兀，故選：D.11. 一矩形的一邊在 X軸上，另兩個頂點在函數(shù) y=2K（X>0）的圖象上，如圖，則此矩形繞X軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積的最

20、大值是（D.【考點】定積分在求面積中的應(yīng)用.【分析】先求出y的范圍，再設(shè)出點AB的坐標(biāo)，根據(jù) AB兩點的縱坐標(biāo)相等得到 X2?Xi=1 ,再求出高h,根據(jù)圓柱體的體積公式得到關(guān)于y的代數(shù)式，最后根據(jù)基本不等式求出體積的最大值.【解答】解：2京 y=l+x2當(dāng)且僅當(dāng)X=1時取等號, X+ =xy矩形繞X軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體一個圓柱, 設(shè)A點的坐標(biāo)為（Xi, y）, B點的坐標(biāo)為（X2, y）,則圓柱的底面圓的半徑為V,高位h=X2-Xi,- f （Xi） = 2 , f（X2） =2775x+1叼+12工i 2七工rr=乂 +1+1即（X2 Xi）（此取1） =0,X2/iX1=1,.2/、 2h

21、 =(X2+X1) 4x2?Xi= h=2?Lv=y2(i_y2)； V V圓柱=兀y=2兀=2嗚殉 三種 2兀卷(y2+1-y2)=兀，當(dāng)且僅當(dāng)y邛時取等號, 故此矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積的最大值為兀，故選：A12.已知函數(shù) f (x) = (x Xi) (xX2) (xX3)(其中 Xi<X2<X3), g (x) =3x+sin (2x+1),且函X 4-太X + K數(shù)f(X)的兩個極值點為a , 3 ( a < 3 ) .設(shè)入=! = =?，則()22A. g(a) vg (入)vg(3)vg(w) B. g (入)vg(a)vg(3)vg(w) C. g(入

22、)vg(a) vg(w)vg(3) D. g(a) <g(X)<g()<g(3)【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.【分析】化簡f (x),求函數(shù)g (x)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù) g (x)的單調(diào)性，結(jié)合一元二次函數(shù)的性 質(zhì)判斷“ v入v科v 3 ,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行判斷即可.【解答】解：由3f(X)=(X Xi)(X X2)(X X3)可得 f (x) =X -(X1+X2+X3) X2+(X1X2+X1X3+X2X3)X- X1X2X3, f'(x) =3x2- 2(X1+X2+X3) x+(X1X2+X1X3+X2X3) =0,=4(X1+

23、X2+X3) 2 - 12(X1X2+X1X3+X2X3) =2(Xi X2) 2+(X2 X3) 2+(X3 Xi) 2,X1VX2VX3.，> 0,，方程f (x) =0有兩個不相等的實數(shù)根;g' (x) =3+2cos (2x+1) >0,則g (x)為增函數(shù)，X + Xi下面證明a V 1rl ： V 3 ,由 f' (x) =3x2-2(X1+X2+X3) x+(X1X2+X1X3+X2X3) =0 可得a )2,、,、(町一右)(X1+X2+X3) (X1+X2) +X1X2+X1X3+X2X3- X1X2= -*:z4-3) < 0,<0同

24、理可知a < -_512_< 3 ,|2|.宜1+燈”+口,7,22叼+工2 初+工即 aV 入, g (x)為增函數(shù)，g(a) Vg (入)vg(w)vg(3), 故選：D 二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分，滿分20分.13 .歐陽修賣油翁中寫到：(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢入 孔入，而錢不濕，可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止，若銅錢是直徑為2cm的圓,中間有邊長為0.5cm的正方形孔，若你隨機向銅錢上滴一滴油，則油(油滴的大小忽略不計)正好落入孔中的概率為.Q JI【考點】幾何概型.【分析】求出圓和正方形的面積，結(jié)合幾何概型的概率

25、公式進行計算即可.【解答】解：正方形的面積 S=0.5>O.5=0.25,若銅錢的直徑為 2cm,則半徑是1,圓的面積S=7tX12=7t,則隨機向銅錢上滴一滴油，則油(油滴的大小忽略不計)正好落入孔中的概率故答案為：-rV.114 .已知函數(shù)f (x) =ax (a>0且awl),其關(guān)于y=x對稱的函數(shù)為g (x).若f (2) =9,貝U g ()+f (3)的值是 25 .【考點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).【分析】根據(jù)題意可知 f (x)與g (x)化為反函數(shù)，再依據(jù) f (2) =9求得a值，代值計算即可.【解答】解：函數(shù) f (x) =ax (a>。且aw 1),其關(guān)于

26、y=x對稱的函數(shù)為g (x).則函數(shù)f (x) =ax反函數(shù)為：y=logax,1- g (x) =lOgax,又 f (2) =9,a =9,a=3,1- g (x) =log3x,1、_ ,、13 -g (專)+f (3) =) =log+3=25, yy故答案為：25.15.設(shè)(1 2x) n=a0+aix+a2X2+anxn (xCN ),若 ai+a2=30,貝U n= 59+，可* 彳導(dǎo) a+a2= - 2+4 x【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì).【分析】(1-2x) n=a0+a1x+a2x2+anxn=l+ -+12 ( - 2k)nnL)=30,化簡解出即可得出.【解答】解：（1 -

27、 2x） n=a：）+a1x+a2x2+anxn=L+1（工工）+（ ）”+,itM=30,化為 n2- 2n- 15=0, nCN*.c .- 1) . a1+a2= 2 n+4 乂 解得n=5.故答案為：5.16 .已知點A （0, 2）,拋物線Q0）的焦點為F,射線FA與拋物線C相交于點M,與其準(zhǔn)線相交于點 N,若|FM|: |MN|=1 : 5,則a的值等于 一 .3【考點】拋物線的簡單性質(zhì).【分析】作出 M在準(zhǔn)線上的射影，根據(jù)|KM|: |MN|確定|KN|: |KM|的值，進而列方程求得 a.【解答】解：依題意 F點的坐標(biāo)為（，0），設(shè)M在準(zhǔn)線上的射影為 K,由拋物線的定義知|MF

28、|=|MK|,|KM|: |MN|=1 : 5,貝U|KN|: |KM|=2遍：1 ,: kFN=1 q.f=2娓,求得a華.a32V6故答案為：.三、解答題：解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.17 .如圖所示，在一條海防警戒線上的點 A B、C處各有一個水聲監(jiān)測點， B、C兩點到點A的距 離分別為20千米和50千米.某時刻，B收到發(fā)自靜止目標(biāo) P的一個聲波信號，8秒后A、C同時 接收到該聲波信號，已知聲波在水中的傳播速度是1.5千米/秒.(1)設(shè)A到P的距離為x千米，用x表示B, C至ij P的距離，并求x的值；(2)求P到海防警戒線 AC的距離(結(jié)果精確到 0.01千米).【考點】解

29、三角形的實際應(yīng)用.【分析】(1)根據(jù)題意可用 x分別表示PA, PC, PB,再利用cos/PAB求得AB,同理求得AC, 進而本據(jù)cos/ PAB=cos/ PAC,得到關(guān)于x的關(guān)系式，求得 x.(2)作PD)± AC于D,根據(jù)cos/PAD,求得sin / PAD,進而求得 PD.【解答】解：(1)依題意，有 PA=PC=x，PB=x- 1.5X8=x- 12.在4PAB 中，AB=20；gNpABnPA2+AB2-PB2 x2+202PA-AB2x20同理，在 PAB 中，AC=50：O5ZPAC-FA- PC22PAAC- _x2 _252mt50 x. cos / PAB=

30、cosZ PAC,2 25一一二解之，得 x=31.(2)作 PD)± AC于 D,在 ADP 中,sinZPAD=V1 " cos2ZPAD,25由?？?s/F知二ry得J -L4-Jp7PD=PAsinZAPD=31 ； =Wia33 千米 答：靜止目標(biāo)P到海防警戒線 AC的距離為18.33千米.18 .根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的將數(shù)量X (單位：mm)對工期的影響如下表：降水量 XXV 300300wXV 700700wXV900 X>900工期延誤天數(shù)Y 02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300, 700, 900的概率分別為0.3,

31、 0.7, 0.9,求：(I)工期延誤天數(shù) Y的均值與方差；(II)在降水量 X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率.【考點】概率的應(yīng)用；離散型隨機變量的期望與方差.【分析】(I)由題意，該工程施工期間降水量X小于300, 700, 900的概率分別為0.3, 0.7, 0.9,結(jié)合某程施工期間的降水量對工期的影響，可求相應(yīng)的概率，進而可得期延誤天數(shù)Y的均值與方差；(n)利用概率的加法公式可得P (X> 300) =1- P (Xv 300) =0.7, P=P (Xv 900) - P (Xv 300)=0.9- 0.3=0.6,禾1J用條件概率，即可得到結(jié)論【解答】(I)由

32、題意，P(XV 300)=0.3,P=P (Xv 700) - P(XV300)=0.7- 0.3=0.4, P=P(Xv900) - P (XV 700) =0.9- 0.7=0.2, P (X> 900) =1 - 0.9=0.1Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1E (Y) =0 >0.3+2 >0.4+6 >0.2+10 >0.1=3D (Y) = (03) 2X0.3+ (23) 2X0.4+ (63) 2X0.2+ (10 3) 2>0.1=9.8，工期延誤天數(shù) Y的均值為3,方差為9.8;=0.9- 0.3=0.6(n) P (X

33、>300) =1 - P (X< 300) =0.7, P=P (XV 900) P (XV 300)由條件概率可得P (Y<6|X> 300)P(3CiO<X<900) 0.6 6=-P(X>300)0.7 719.如圖，在三棱柱 ABC- A1B1G中，面ABBA為矩形，福=BC=1AA產(chǎn)D為AA1的中點,BD 與 AB1 交于點 O, BC± ABi.AD若度差(1)證明：CD± AB",求二面角 A- BC- Bi的余弦值.【考點】二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.BDC,由此能證明 CD

34、77; AB1.y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用【分析】(1)推導(dǎo)出DBABi, BC±ABi,從而ABi,平面(2)以。為坐標(biāo)原點 OA、OD OC所在直線分別為x軸,向量法能求出二面角 A - BC- Bi的余弦值.【解答】證明:(1) , ABiB與 DBA相似，DB± AB1,又 BC，ABi, BDABC=B, AB平面BDC,. CD?平面 BDC,CDXABi，解：(2) .在 ABD 中JJBOC是直角三角形，且 BOX CO.由(1)知 CO± ABi,貝U COL平面 ABBiAi,以O(shè)為坐標(biāo)原點OA、OD、OC所在直線分別為x軸，y軸，z軸

35、建立空間直角坐標(biāo)系,則,0, o), B(o,-造,0),0,0,u),n= (x, y, z), rr= (a, b, c),設(shè)平面ABC,平面BCB的法向量分別為.取x=j2得三=(近，-L盤),.,.取 a=i,得 1r= (i, Vs, - 2),又如圖所小A- BC- Bi為鈍二面角以橢圓C的左頂點T為圓心作2220.如圖，已知橢圓C: 三+J =1 (a>b>。)的離心率為廿b圓T: (x+2) 2+y2=r2 (r>0),設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N.(1)求橢圓C的方程；(2)求幣斤%的最小值，并求此時圓 T的方程；(3)設(shè)點P是橢圓C上異于M, N的任意一點

36、，且直線 MP, NP分別與x軸交于點R, S,。為 坐標(biāo)原點，求證：|OR|?OS|為定值.【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【分析】(1)依題意，得a=2,巴/當(dāng)，由此能求出橢圓 C的方程.a 2(2)法一：點 M與點N關(guān)于x軸對稱，設(shè) M (xi, yj, N (x1，- yj ,設(shè)yi>0.由于點M在橢圓C上，故由 T ( 2, 0),知二 (町+2,- F喏卬譜)"-春，由此能求出圓T的方程.法二：點 M 與點 N 關(guān)于 x 軸對稱，故設(shè) M (2cos 0 , sin 0 ) , N (2cos 0 , - sin 0 ),設(shè) sin 0

37、> 0,由 T ( 2, 0),得TM *Tlk (2上口號8+2, sin = ) * (2cos = +2- sin 8 =5(3S 白+母)一看，由此能求出圓T的方程.(3)法一：設(shè) P (x°, y°),則直線 MP的萬程為：第一y0=Z令y=0,得同理:量1山口+町產(chǎn)1x0 X1皿 勺幾一西口 V ,故XR Xg-21，由此能夠證明 |OR|?OS|=|xr|?|xs|=|xr2<s|=4 為定值.法二：設(shè) M (2cos 0 , sin 0 ) , Na w 土sin。.則直線MP的方程為:(2cos 0 , sin 0),設(shè) sin 0 >

38、0, P (2cos a , sin a ),其中 sinV f sinQ =(x - 2cos U )由此能夠證明|0R|?0S|=|xr|?xs|=|xr?xs|=4 為定值.【解答】解：（1）依題意，得a=2,G Vs a 2c=Rb，b=J 4 - 3=1,故橢圓C的方程為己卜J二.（2）方法一：點 M與點N關(guān)于x軸對稱,設(shè) M (xi, y“，N (xi, - yi),不妨設(shè) yi>0.由于點M在橢圓C上，所以由已知T（2, 0）,貝uliJ二（7十2,）,(*)X十2,- y1),二. TM TM 二(叼+2, F”(X+2, 一 為) -【町+2 /-(1 一 : )：K

39、芯+5黑玲)2卷由于-2 Vxi <2,8 , 一 f ，1故當(dāng)r 1二一 m時，TH * TN取得最小值為 一 V由（*）式，力4，故心得，又點M在圓T上，代入圓的方程得到2_11r -25：,7故圓T的方程為：（工卜2 ） +y2 1125方法二：點M與點N關(guān)于x軸對稱，故設(shè) M (2cos 0 , sin 0) , N (2cos 0 , - sin 0 ),不妨設(shè)sinQ >0,由已知T ( -2, 0),則："二二二；二一二,二sin日=(2cos 0 +2) 2 - sin2 0 =5cos2 0 +8cos 0 +3=5(cos 9 +"I&quo

40、t;)'一看J4故當(dāng)心口呂白二- W時，而丁而取得最小值為-, b5此時M（一。555 13又點M在圓T上，代入圓的方程得到 匚二. 25故圓T的方程為：（肝2 ） .y=（3）方法一：設(shè) P （xo, 丫0）,y y則直線MP的方程為：廠Lg宣j ,K0 X1同理:令 y=0,得 Kr=xoV1X I#" KgV 1又點M與點P在橢圓上,* )故耳口七4（1 一 yJ），耳1一第J）,得:代入（*）式,XR *，S=2222-二 4。一/y。%所以 |OR?OS|=|Xr|7|Xs|=|xRXs|=4 為定值.方法二：設(shè) M (2cos 0 , sin 0 ) , N (2

41、cos 0 , - sin 0), 不妨設(shè) sin 0 > 0, P (2cos a , sin a ),其中 sin a 豐 ±sin 0 .則直線 MP的萬程為：果一 £工“油二2廠產(chǎn)口 _ 2-口. J工-2c 豆)2 (sin1- cos cosG sin )令y=0,得直尺二.口 . 口，久sinQ - sin口2(sina cos ® +casa sin® )向理：叼一二二-8，一 _ (sin2 a cos2 9 cos2 a sin2 6 5 _4(sinZCL sin2 9 )故, i- 1 ,-, _- - _- _,sin2

42、口 一 sini 8sin2 口 一 號 in 8所以 |OR?OS|=|Xr|?|Xs|=|Xr?<s|=4 為定值.x.21.設(shè)函數(shù) f(x)=ln (x+1),(aC R) ； g (x) = (1+k)-kx- 1,kC( 1,+8).x+1(I )求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n)當(dāng)xe 0, 1時，求函數(shù)g (x)的最大值；I IJ? 1*(in)求證：工-< ln (n+1)工 一(nC N )k=lk+1klk【考點】對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用.【分析】(1)只要x+1 W0即可；(2)先對k進行討論，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最值；(3)利用函數(shù)f (x)在(0, +8)

43、上遞增證明.1 _ a (x+1) - ax h+1 -3【解答】解:(I) f ( x)的定義域為(-1 , +°°) , f (翼)二 1Q KI (x+1)2(z+1)2令？ f' ( x) =0,得 x=a- 1,i )當(dāng) a- 1 < - 1? a< 0 時：在區(qū)間(-1 , +8)上，fZ (x) >0恒成立，故f (x)的增區(qū)間為(-1 , +00)； ii)當(dāng) a- 1 > - 1? a>0 時：在區(qū)間(-1,aT)上，f(x)v 0恒成立，故f (x)的減區(qū)間為(-1, a- 1);在區(qū)間(a- 1, +8)上，f(x

44、)> 0恒成立，故f (x)的增區(qū)間為(a- 1, +00).(II) i) k=0 時，g (x) =0,所以 g (x) max=0；ii) kw0 時，易知 g' (x) = (1+k) xln (1+k)k,于是：g' ( 1) = (1+k) In (1+k) - k, g(0) =ln (1+k) - k,由(I)可知 g' (1)>0,下證 g' ( 0) v 0,即證明不等式 In ( 1+x) - x<0 在 x C ( - 1, 0) U (0, +8)上恒成立.由上可知：不等式 11n (x+1) >一：在xC (-

45、 1, 0) U ( 0, +8)上恒成立，若 xC (- 1, 0)u(0, +8)貝u - 1EC-1, 0)U(0, +0°；故工1一即當(dāng) xC (1, 0) U (0, +8)時，in (x+1) > - x,從而 in (x+1),故當(dāng) xC (1,0) U (0, +8)時，in (x+1) x<0 恒成立，即 g' (0) <0.又 g (0) =g (1) =0,綜上，當(dāng)kC (- 1, +8), g (x)在0, 1上的最大值為 0.(出)由(I)知，當(dāng) a=1時，f (x)在(0, +8)上遞增，知 f (x) > 0,I 1 n

46、1令支；,有 in (n+1) - inn>V,得,II 1 IT j Ji. X由(n )已證 ln (x+1) - lnx<0,得 ln ( n+1) < x,有 In (n+1) - lnn>上得 In (n+1) <,故ln(n+lX CnE N ,),得證.選做題22.已知C點在。O直徑BE的延長線上，CA切。于A點，CD是/ ACB的平分線且交 AE于點F, 交AB于點D.(1)求/ ADF的度數(shù)；Ar(2)若AB=AC求表的值.DL-【考點】與圓有關(guān)的比例線段.【分析】(1)根據(jù)直徑上的圓周角是直角、弦切角定理以及三角形內(nèi)內(nèi)角和定理等通過角的關(guān)系 求

47、解.(2)先證明 BCA ACE再確定/ CAE=Z B=Z ACB=30° ,即可得到結(jié)論.【解答】解：(1)設(shè)/ EAC=a ,根據(jù)弦切角定理，/ ABE=a .根據(jù)三角形外角定理，/ AEC=90.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，/ACE=90 2a.由于CD是/ ACB的內(nèi)角平分線，所以 FCE=45再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，/CFE=180° - 90°+a) - ( 45° - “)=45° .根據(jù)對頂角定理，/ AFD=45° .由于/ DAF=90° ,所以/ADF=45 .(2) AB=AC / CAE=/ B=Z ACB,又. / ACB=Z ACB,A 人AC AE .BCA ACEL, =ry, DU rJj又180 =/ ACE+Z