一元二次方程知識點總結(jié)及典型習(xí)題

1、一元二次方程、本章知識結(jié)構(gòu)框圖二、具體內(nèi)容(一)、一元二次方程的概念1 .理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個數(shù)為1,未知數(shù)的最高次數(shù)為 2,整式方程，可化為一般形式；2 .正確識別一元二次方程中的各項及各項的系數(shù)2(1)明確只有當(dāng)二次項系數(shù) a#0時，整式萬程ax+bx+c = 0才是一元二次方程。(2)各項的確定(包括各項的系數(shù)及各項的未知數(shù) ).(3)熟練整理方程的過程3 . 一元二次方程的解的定義與檢驗一元二次方程的解4 .列出實際問題的一元二次方程(二)、一元二次方程的解法1 .明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而 把一元二次方程轉(zhuǎn)

2、化為一元一次方程求解；2 .根據(jù)方程系數(shù)的特點，熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3 .體會不同解法的相互的聯(lián)系；4 .值得注意的幾個問題：22(1)開平萬法：對于形如 x =門或伯*+0 =n(a ¥0)的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個非負(fù)數(shù)，可用開平方法求解形如x2 = n的方程的解法：當(dāng) n = 0 時，x1 = x2 = 0 ；當(dāng)n <0時，方程無實數(shù)根。2(2)配萬法：通過配萬的萬法把一兀二次萬程轉(zhuǎn)化為(x + m)=門的方程，再運用開平方法求解。配方法的一般步驟：移項：把一元二次方程中含

3、有未知數(shù)的項移到方程的左邊，常數(shù)項移到方程的右邊;“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項的系數(shù)化為1;配方：將方程兩邊分別加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程變形為(x + m)2 = n的形式;求解：若n之0時，方程的解為x = -m ± Jn ,若n < 0時，方程無實數(shù)解。(3)公式法：一元二次方程2ax+ bx + c = 0（a 豐 0）的根 x =- b 二 b2 - 4ac2a當(dāng)b2 -4ac >0時，方程有兩個實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根不相等；2b當(dāng)b -4ac =0時，方程有兩個實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根相等，寫為 xi =x2 =2a.2當(dāng)b 4ac <0時，

4、方程無實數(shù)根.公式法的一般步驟：把一元二次方程化為一般式；確定 a,b,c的值；代入b2-4ac中計算其值，判斷方程是否有實數(shù)根；若 b2 -4ac之0代入求根公式求值，否則，原方程無實數(shù)根。(因為這樣可以減少計算量。另外，求根公式對于任何一個一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一 元二次方程。)(4)因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個因式的積等于0,那么這兩個因式至少有一個為0,即:若 ab = 0,則 a =0M£b = 0 ；因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個因式都為零，得到兩個一元一次方程；

5、解出這兩個一元一次方程的解可得到原方程的兩個解。(5)選用適當(dāng)方法解一元二次方程對于無理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡便的多，只不過應(yīng)注意二次根式的化簡問題。方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解就較為麻煩。(6)解含有字母系數(shù)的方程(1)含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項系數(shù)，以確定方程的類型；(2)對于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時一定不要忘記對字母的取值進(jìn)行討論。(三)、根的判別式1. 了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會用判別式求一元二次方程中符合 題意的

6、參數(shù)取值范圍。(1) = b2 4ac(2)根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程2ax +bx + c= 0 (a#0)(a #0當(dāng) I “時。方程有實數(shù)根;a #0u方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng) A0時a = 0u方程有兩個相等的實數(shù)根；)-： = 0a #0當(dāng)3u方程無實數(shù)根; <0時從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2.常見的問題類型(1) 利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況(2) 已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍(3) 應(yīng)用判別式，證明一元二次方程根的情況先計算出判別式(關(guān)鍵步驟)；用配方法將判別式恒等變

7、形；判斷判別式的符號；總結(jié)出結(jié)論.例：求證：方程(a2+1)x2 2ax+(a2+4) =0無實數(shù)根。(4) 分類討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時未指明是二次方程，后面也未指明兩個根，那一定要對方程進(jìn)行分類討論，如果二次系數(shù)為0,方程有可能是一元一次方程；如果二次項系數(shù)不為0, 一元二次方程可能會有兩個實數(shù)根或無實數(shù)根。(5) 一元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式(組)等知識綜合命題，解答時要在全面分析的前提下，注意合理運用代數(shù)式的變形技巧(6) 一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合(7) 判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點問題(四)、一元二次方程的應(yīng)用1數(shù)字問題：解答這類問題要

8、能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形式。2 .幾何問題：這類問題要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、特征、定理或法則來尋找等量關(guān)系，構(gòu)建方程，對結(jié)果要結(jié)合幾何知識檢驗。3 .增長率問題（下降率）：在此類問題中，一般有變化前的基數(shù)（ a）,增長率（x）,變化的次數(shù)（n）,變化后的基數(shù)（b）,這四者之間的關(guān)系可以用公式a（1+x）n=b表示。4 .其它實際問題（都要注意檢驗解的實際意義，若不符合實際意義，則舍去）。（五）新題型與代幾綜合題（1）有100米長的籬笆材料，想圍成一矩形倉庫，要求面積不小于600平方米，在場地的北面有一堵50米的舊墻，有人用這個籬笆圍成一個長40米、寬10米的倉庫，但面積

9、只有 400平方米，不合要求，問應(yīng)如何設(shè)計矩形的長與寬才能符合要求呢？（2）讀詩詞解題（列出方程，并估算出周瑜去世時的年齡）：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物，而立之年督東吳，英年早逝兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽符，哪位學(xué)子算得準(zhǔn)，多少年華屬周瑜？ （36歲）已知：a,b,c分別是 MBC的三邊長，當(dāng) m>0時，關(guān)于x的一元二次方程c（x2 +m）+b（x2 m）24max = 0有兩個相等的實數(shù)根，求證：AABC是直角三角形。（4）已知：a,b,c分別是&ABC的三邊長，求證：方程 b2x2+（b2+c2 a2）x+c2 =0沒有實數(shù)根。222（5）當(dāng)m是什么整數(shù)時，關(guān)于

10、x的一兀二次方程 mx -4* + 4 = 0與* 4mx+4m 4m5 = 0的根都是整數(shù)？ （ m=1）.2m 1-(6)已知關(guān)于x的萬程x +2x += 0,其中m為實數(shù)，(1)當(dāng)m為何值時，方程沒有實x 2x- 2m數(shù)根？ ( 2)當(dāng)m為何值時，方程恰有三個互不相等的實數(shù)根？求出這三個實數(shù)根。答案：(1) m<2 (2) x = -1,-1 ±<'2.(六)相關(guān)練習(xí)(一)一元二次方程的概念1. 一元二次方程的項與各項系數(shù)把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再寫出二次項，一次項，常數(shù)項：，、一2 一一，一 2一-、(1) 5x -2 =3x(5x ,-3x

11、,-2)(2) ,2-6x2-15x=0(6x2,15x,-,2)(3) 3y(y 1) =7(y 2) -5(3y2,-4y,-9)(4) (m , m)(m - . m) (m -2)2 =7-5m(2m2,0, -3)2_22(5) (5a -1)2 -4(a -3)2(3a2,2a,-5)2.應(yīng)用一元二次方程的定義求待定系數(shù)或其它字母的值2-(1) m為何值時，關(guān)于 x的方程(m M2)xm -(m+3)x = 4m是一元二次方程。(m = J2)(2)若分式x2二 7x二 8|x| -1(x = 8)3.由方程的根的定義求字母或代數(shù)式值(1)關(guān)于x的一元二次方程(a1)x2+x+a2

12、 -1 = 0有一個根為0,則a =(a = 1)2(2)已知關(guān)于x的一兀二次萬程 ax + bx + c = 0(a # 0)有一個根為1, 一個根為一1,則a + b + c =(0, 0)a -b c =22(3)已知c為實數(shù)，并且關(guān)于x的一兀二次萬程 x - 3x+c=0的一個根的相反數(shù)是方程 x +3x-c= 0的一個根，求方程 x2 +3x-c = 0的根及c的值。(0, -3, c=0)(二)一元二次方程的解法1 .開平方法解下列方程：2(1) 5x 125 =0 ( x1 = 5, x2 = 5)25622 169(x-3) =289 (x1=U,x2=一)13132(3) y

13、2 +361 =0 (原方程無實根)(4) (1-J3)m2=0 (m1=m2=0)(5)2(3x 1)2二 85,-1-2.5(x =)32.配方法解方程:2(1) x 2x -5 = 02 .一一5-、，21(2) y +5y+1=0 (x =)2(3) 2y24y =-310(y =1 士)23.公式法解下列方程:_ 2_(1) 3x2 =6x -22(3) 7y =11y p2 +3=2j3p(p1 = p2 = V3)_ 24 4) 9n =5n2 (原方程無實數(shù)根)3-15(5) x+2 =(x -2)(2x1) -3 ( x二)24.因式分解法解下列方程：,“、 1 2(1) -

14、x -9=0 (x = ±6)2(2) y +4y45 = 0 (y1=9,y2=5)，、八2 八八13(3) 8x +10x-3=0 (x1= ,x2=)422(4)7x2-.21x=0(為=0,x2 =(5) 6x2 -3 3x =2、, 2x - .6.32x1 =一, x2 =一)23，、 ， 一、2 一，_， ，(6) (x-5) =2(x5) -1 ( x1 =x26)(x2+3x)2 -2(x2+3)-8 = 0 ( x1 =-2,x2=-1,x3=-4,x4= 1)5 .解法的靈活運用（用適當(dāng)方法解下列方程）(1)V2(2x-7)2 =/28 (x=1±&a

15、mp;)2-22八 、22 二、6(2) 2mm +1 = 2(m 2m) (m =)2(3) 6x(x -2) =(x -2)(x 3)(x1 二 2, x2=一)5 y2 3 二 y(3-2y) . y(3y-1)323,3(y = 一，y2 = 2)222273(5)81(2x5) =144(x3)(x1= ,x2=2)1026.解含有字母系數(shù)的方程（ 解關(guān)于x的方程）：,、2_22.(1) x -2mx m 。n = 0(x1 = m - n, x2 ; m n)(2)一 2一，3a =4ax -2a 1(x1 = 3a -1, x2 = a +1)(3)(m+ n)x2 +2nx =

16、 m -n (m+n#0)(X = -1,x2（討論a）(4) a2(x2 x 1) a(x2 7) =(a2 1)x（三）一元二次方程的根的判別式1.不解方程判別方程根的情況：22（1）4x x+3=7x （有兩個不等的實數(shù)根）（2） 3（x+2）=4x（無實數(shù)根）（3） 4x2+5=4、；5x（有兩個相等的實數(shù)根）22 . k為何值時，關(guān)于 x的二次萬程kx 6x+9=0（1）有兩個不等的實數(shù)根（k < 1且k / 0）（2）有兩個相等的實數(shù)根（k = 1）（3）無實數(shù)根（k a 1）3 .已知關(guān)于x的方程 4x2 -（m +2）x=1-m有兩個相等的實數(shù)根.求m的值和這個方程的根.

17、1 -3（m = 2, x 二 x2=一或 m = 10, x 二 x2二一）2 24.若方程 x2 +2(a +1)x + a2 +4a 5 = 0 有實數(shù)根，求：正整數(shù) a. ( a = 1,a = 2,a = 3 )22 一2 一 一5 .對任息頭數(shù) m,求證：關(guān)于x的方程（m +1）x 2mx + m +4=0無實數(shù)根.6 . k為何值時，方程(k 1)x2 (2k+3)x+(k+3) = 0有實數(shù)根.4(當(dāng)k -1 =0時，原方程有一個實數(shù)根，x =；5k -1 ¥ 01A >0時，解得k =121 _21 ,所以當(dāng)k之,-一且k # 1時萬程有兩個實數(shù)根。k >

18、;4、4 ，21綜上所述，當(dāng)k之一一時，方程有實數(shù)根.)47 .設(shè)m為整數(shù)，且4 <m <40時，方程x2 -2(2m-3)x+4m2 14m+8 = 0有兩個相異整數(shù)根，求 m的值及方程的根。(當(dāng)m =12時，方程的根為x1 =16, x2 =26 ；當(dāng)m=24時，方程的根為x1=38,x2 =52 )(四)一元二次方程的應(yīng)用（3, 4, 5,面積為6）1 .已知直角三角形三邊長為三個連續(xù)整數(shù)，求它的三邊長和面積2 . 一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字少4,且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4,求這個兩位數(shù).（84）3.某印刷廠在四年中共印刷 1997萬冊書，已知第后兩年的增長率相同，那么這兩年各印刷了多少萬冊？年印刷了342萬冊，第二年印刷了500萬冊，如果以（550, 605）4.某人把5000元存入銀行，定期一年到期后取出還是一年，且利率不變，到期如果全部取出，正好是300元，將剩余部分（包括利息）繼續(xù)存入銀行，定期275元，求存款的年利率？（不計利息稅） （10%）5.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售增加盈利，盡快減1元，商場每天可多售 出2件,少庫存，商場決定采取適當(dāng)降價措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)