2020_2021學年新教材高中數學直線與平面的夾角課后提升訓練(含解析)新人教B版選擇性必修第一冊

1、新教材高中數學課后提升訓練：1.2.3直線與平面的夾角課后篇鞏固提升“基礎達標練L設直線/與平而a相交，且/的方向向量為a。的法向量為n.若<a.n>=，則/與a所成的角力( )A aB-C-D-A3%66:.11>=第二/與法向量所在直線所成角為投 00 :/與a所成的角為I0警案|c2 .若平而a的一個法向量為n=(4.Ll),直線/的一個方向向量a=(-2,-3,3),則/與a所成角的余弦 值為()、vTTD vTTvTIffvTOAfbTTc-丁D3"麗I設a與,所成的角為6,則sin6=lcos<a.n>l=v品篝磊=品L蜉,故直線I與a所成角

2、的余弦值為1一(嗎2 =答3 .在棱長為1的正方體ABC。/由C5中石為CG的中點，則直線A山與平面3OE所成的角 為()忸。為原點建立空間直角坐標系,如圖.則而=（1,0）.放二（0p,設平面 BDE 的法向量為 ii=（a;）z）, DB n=0,DE n=0, 可得平面BDE的法向量1=（1,-1,2）,而瓦彳=（0,-1,1）,>14-2 高 » :cosvBni.n>=y= Z<Bi41.n>=30u .:直線A山與平面8DE成60口角.1b4已知三棱柱A8C-4&G的側棱與底而垂直，體積為京底而是邊長為6的正三角形.若P為底面CHA山Ci的

3、中心，則PA與平面A5C所成角的大小為（）A ,運M圖所示，由棱柱體積為，底面正三角形的邊長為VI可求得棱柱的高為代設p在平面ABC上射影為。，則可求得AO長為1.故AP長為=2,故/力。=目,即PA與平面ABC0所成的角為*3答案|B5.在空間直角坐標系04憶中，已知41,-20）.8（2,遍）,則向冕而與平面工。工的法向量的夾角的 正弦值為.解析I設平面xOz的法向量為11=（0/0）（區(qū)0）.荏=（13遍）,所以85<11工方>=上空-=因為mu砒<n.荏>£0.用,所以 sin<nJJ>=jl-舄）6.正方體山中.881與平而AC。所成角的

4、正弦值為. 曲設正方體的校長為1,建立空間直角坐標系，如圖所示，Ai則 £)(0,0,0)£( 1,1,0)8( 1,1).平面 AC5 的一個法向量為遍=(1,1,1),又福=(0,0,1),則 sin<DB, BB>=cos<DBf Bb1>二西甌西西|7,正三棱柱ABCAxBxCx的所有棱長都相等，則AG與平面BBCC的夾角的余弦值為.曲設三棱柱的枝長為1,以5為原點,建立坐標系如圖,則 G(0,l1)d(苧，去.o),/Q =(-半又平面BBCC的一個法向量n=(lA0), 設AG與平面8SGC的夾角為夕sin6=lcos<nSCi&g

5、t;l =AC-n _ 跖鬲面=不'Zcos=71-sin20 =苧.如圖所示，在棱長為a的正方體A8CQ-A/C。中,£F分別是BCAiD,的中點.(1)求直線AC與。E所成角的余弦值；(2)求直線AD與平而BtEDF所成角的余弦值.解|以A為坐標原點,分別以A8/DA4所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系Axyz.Ai(O,OM,C(a“O),D(Ox/,O),£ '人:力修=3,4,-),族=(若,0), ,：cos<C,DE>=&=.I福麗I故AiC與DE所成角的余弦值為真.X D(2)連接 DBi,：，NADE=NAD

6、F,/.AD在平面BxEDF內的鉆影在NEDF的平分線上.又BiEDF為菱形,：O8i為ZEDF的平分線， 故直線A。與平面BiEDF所放的的為NADBi.由 A(O.OQ), W0,O(0m,0), 得55=(0, y,0),西=3,-4/),777 K'f DA DBi VCOS<DA, DBX>=-=,o|DA|Db7|又直線與平面所成角的范圍是()§.故直線AD與平面BiEDF所放憊的余弦值為:. O9.(2019 浙江,19)如圖，己知四棱錐P-ABCDMAD是以A。為斜邊的等腰直角三角形,8CADCD_LAD.PC=AD=2DC=2CB£ 為

7、 PD 的中點.證明:CE平面PA8;(2)求直線CE與平面P8C所成角的正弦值.1)如圖，設PA中點為F,連接EF.FB.因為E,F分別為PD.PA中點，所以EF/AD且EFAD.又因為3CAO.3C=/。.所以 EFBC 且 EF=BC,即四邊形BCEF為平竹臼邊形，所以CEBF.:BFu平面PAB.CEU平面PAB.因此CE平面PAB（2）分別取BCAD的中點為MM連接PN交EF于點Q,連接M。, 因為E,F,N分別是PD.PAAD的中點，所以。為EE中點.在平行四邊形BCEF中.MQCE由%/）為等腰直角三角形得PN_LAD由DC上ADN是A。的中點得BN1AD.所以AO_L平面P8M

8、由 BC/AD 得 BC_L 平面 PBN,那么平面P8C_L平面PBN.過點。作PB的垂線.垂足為凡連接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影，所以NQMH是直線CE與平面P8C所成的角.設 8=1.在PCO 中.由 PC=2,CO=1 ,尸。=心得 CE=V2,在P8N 中，由 PN=BN=.PB=得 QH4在 RSMQH 中.。=3/。二夜，所以 sinNQMH=9O所以，直線CE與平面P8 C所成角的正弦值是1. O”能力提升練1.2V5B丁如圖所示，在長方體ABCDHSGQ中8=8C=2A4| = 1,則BG與平而BBQ。所成角的正弦值為（）AT解科如圖所示，建立空間直角坐標系，則0(

9、000)4(2,0,0),B(220)C(0,2,0)4(0,0,1 )6(021), 設BCX與平面BBiDiD所成角的大小為& :濟=(-2,0,1 ).連接AC,易證AC«L平面BB1DM :平面BBDD的一個法向量為a=M=(-2,2,0). :所求角的正弦值為 sin=lcos<a.5Ci>l= fi BC1 =y voXv bI。I 際 I如圖,三棱柱A8CA山Q的側面，且AC與底而成45°角,則該棱柱體積 的最小值為()A.4V3B.3百C.4D.3解困由已知得8C_LA&平面A1A8S，平面ABC且交線為A氏故點Ai在平面ABC上

10、的射影D 在AB上.由AC與底面成45°角得AiO=DC,當CD最小即CQ=BC時最小，此時Vmin=2,A8,5CAi/)=2x2x2x2=4.管案|C3/5“4_1%4'是垂足石夕是。的一條斜線段8為斜足,若"，=9山方=6后則直線仍與平面 a所成角的大小為.警案|60。4.如圖，圓錐的高2。=心,底而OO的直徑AB=2,C是圓上一點，且NC48=3(r Q為AC的中點, 則直線0。和平而PAC所成角的余弦值為.麗|設點O到平面PAC的距離為"，設直線OC和平面PAC所成角為6則由等體積法得,Vow Vp.oAC,即 SPAC d=PO-Sa oac.

11、 oo5在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是正方形側棱底面ABCD.PD=DC,E是PC的中點 求EB與底而ABC。所成角的正弦值.由向量加法知麗 =EC+= PC + CB = *而+比）+而，設I而1=1,則I萬？1=1,1萬1 = 1.且PD, DCf CB兩兩垂直，可得出81=彳,/JebDP =4- cos<M DP> = EB DP =4=J：直線EB與底面ABCD所成角的正弦2麗麗I:6八素養(yǎng)培優(yōu)練在棱長為1的正方體A8CQ-A/CQ中,在側棱CCi上求一點P.使得直線AP與平面8。向 所成的角的正切值為3夜.如圖，以。為坐標原點，分別以D4.OC。所在直線為人,軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.設 CP=m(m>Q1則 A( 1,0,0)石(1J,0),P(0,1 ,M,C(0,1,0)Q(0,0,0),Bi(1,1,1), 所以前=(-11.