全等三角形中輔助線的添加

1、全等三角形中輔助線的添加一.教學(xué)內(nèi)容：全等三角形的常見輔助線的添加方法、基本圖形的性質(zhì)的掌握及熟練應(yīng)用。二.知識(shí)要點(diǎn)：1、添加輔助線的方法和語言表述(1)作線段：連接；(2)作平行線：過點(diǎn)作/；(3)作垂線(作高)：過點(diǎn)作!，垂足為；(4)作中線：取中點(diǎn)，連接；(5)延長并截取線段：延長使等于；(6)截取等長線段：在上截取，使等于；(7)作角平分線：作平分；作角等于已知角；(8)作一個(gè)角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本圖形的構(gòu)造與運(yùn)用常用的輔助線的添加方法：(1)倍長中線(或類中線)法：若遇到三角形的中線或類中線(與中點(diǎn)有關(guān)的線段)，通常考慮倍長中線或類中線，構(gòu)造全等三角形。(2)

2、截長補(bǔ)短法：若遇到證明線段的和差倍分關(guān)系時(shí)，通?？紤]截長補(bǔ)短法，構(gòu)造全等三角形。截長：在較 長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條較短線段延長，延長部 分等于另一條較短線段， 然后證明新線段等于較長線段；或延長一條較短線段等于較長線段，然后證明延長部分等于另一條較短線段。(3) 一線三等角問題("K'字圖、弦圖、三垂圖)：兩個(gè)全等的直角三角形的斜邊恰好是一個(gè)等腰直角三角形的直角邊。(4)角平分線、中垂線法：以角平分線、中垂線為對(duì)稱軸利用”軸對(duì)稱性“構(gòu)造全等三角形。(5)角含半角、等腰三角形的(繞頂點(diǎn)、繞斜邊中點(diǎn))旋轉(zhuǎn)重合法：用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三角

3、形全等。(6)構(gòu)造特殊三角形：主要是 30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、對(duì)稱和弦圖也可以構(gòu)造 )和等邊三 角形的特殊三角形來構(gòu)造全等三角形。三、基本模型：(1) ABC中AD是BC邊中線方式1: 延長 AD到E,使DE=AD連接BEAE方式2:間接倍長，作由 AB段 BCDI出CH AD于F,作B已AD的延長線于 E,連接BE方式3: 延長 MDiij N,使DN=MD連接CD(2)由 ABEi BCDI出由 AB® BCD導(dǎo)出BC=BE+ED=AB+CDED=AE-CDEC=AB-CD(3)角分線，分兩邊，對(duì)稱全等要記全角分線+垂線，等腰

4、三角形必呈現(xiàn)(三線合一)(4)旋轉(zhuǎn):E方法：延長其中一個(gè)補(bǔ)角的線段（延長CDS! E,使ED=BM 連AE延長CB到F,使FB=DN,連AF ）結(jié)論： MN=BM+DNCamn =2AB am an分別平分 /BMNf口/DNM翻折：（5）手拉手模型ABE ACF均為等邊三角形BC結(jié)論：（1） ABFAAECC （2） / B0E=Z BAE=60 （“八字型”模型證明） 拓展：DAcE;(3) OA平分 / EOF思路：分別將 AB林口 ADNA AMffi AN為對(duì)稱軸翻折，但一定要證明 M P、N三點(diǎn)共線.（/ B+/ D=1800且AB=AD條件： ABCCDE勻?yàn)榈冗吶切谓Y(jié)論：(1

5、)、AD=BE (2)、/ACBh AOB (3)、 PCQ等邊三角形(4)、PQ/ AE (5)、AP=BQ (6)、。0¥分/八0£(7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD(7), (8)需構(gòu)造等邊三角形證明)、ABD ACE勻?yàn)榈妊苯侨切谓Y(jié)論：(1)、BE=CD (2) BE! CDABE儕口 ACH明為正方形ASL BC交 FD于 T,結(jié)論：(1)、BD± CF (2)、BD=CF 變形一：ABE林口 ACH的為正方形，求證：T為FD的中點(diǎn).S&BC二S&DF .方法-：,方法三:二B-當(dāng)以AB AC為邊構(gòu)造正多邊形時(shí)，總有：Z

6、1 = Z2=BC四、典型例題：考點(diǎn)一：倍長中線（或類中線）法：核心母題 已知，如圖 ABC中，AB=5, AC=3則中線練習(xí)：1、如圖， ABC中，E、F分別在 AB AC上，DH DF,%一3 360 二 180=n .IBCDAD的取值范圍是.A /hBDCD是中點(diǎn)，試比較 BE+CF與EF的大小.變形二：ABE讀口 ACH的為正方形， M為FD的中點(diǎn)，求證： AN!BC2、如圖， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中點(diǎn)，求證： AD平分/ BAE.4、已知：如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)5、如圖，D是AB的中點(diǎn)，/ ACB=90，求證：2CD=AB.6、已知在 ABC中

7、，AB=AC D在AB上，E在AC的延長線上，昆55DF 在 CD上,/ FAE=Z BAE,求證：AF=BC+FC.W kC 比DE交 BC于 F,且 DF=EF 求證：BD=CEA3、如圖，CE CB分另1是4 ABCW4ADC的中線，且/ ACBhABC求證：CD=2CEE7、已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且 BE=AC延長BE交AC于F,求證：AF=EE8、已知：如圖，在 AABC中，AB=AC, D E在BC上，且DE=EC過D作DF BA交AE于點(diǎn)F, DF=AC. 求證：AE平分/BAC 。9、以AABC的兩邊AB A腰分別向外作等腰Rt AABD和等腰

8、Rt MCE ? -BAD =CAE = 90*連接DE MN另J是BC DE勺中點(diǎn).探究：AMf D的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(1)如圖 當(dāng)AABC為直角三角形時(shí)，AMf DEE勺位置關(guān)系是 ,線段AMf DEE勺數(shù)量關(guān)系(2)將圖中的等腰 Rt MBD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 日口(0曰90)后，如圖所示，(1)問中得到的兩個(gè)結(jié) 論是否發(fā)生改變？并說明理由.10、已知： ABC八口四兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中BA=BQ DA=DE聯(lián)結(jié)EC取EC的中點(diǎn) M 聯(lián)結(jié) BM口 DM(1)如圖1,如果點(diǎn)D E分別在邊AC AB上，那么BM DM勺數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是 ;(2)將圖1中的 AD磔點(diǎn)A旋

9、轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由.變式1:已知：在 RtABC中,AB=BC在 RtADE中，AD=DE連結(jié) EC,取EC的中點(diǎn) M,連結(jié) DM BM(1)若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合，如圖，探索 BM DM的關(guān)系并給予證明；(2)如果將圖中的 AD遴點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于45°的角，如圖，那么(1)中的結(jié)論是否仍成立？如果不 成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立，請(qǐng)給予證明.圖圖變式:2 :已知： ABCCADEtB是等腰直角三角形，/ AB(=Z ADE90 ，點(diǎn)M是CE的中點(diǎn)，連接 BM (1)如圖，點(diǎn)D在AB上，連接DM并延長DM BC于點(diǎn)N,

10、可探究得出BD與BM勺數(shù)量關(guān)系為 (2)如圖，點(diǎn) D不在AB上，(1)中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，說明理由變式3：四邊形ABCD是正方形，ABEF是等腰直角三角形， /BEF=90，BE = EF ,連接DF , G為DF的中點(diǎn)，連接EG, CG , EC。EC(1)如圖24-1 ,若點(diǎn)E在CB邊的延長線上，直接寫出 EG與GC的位置關(guān)系及 EC的值；GC(2)將圖24-1中的ABEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖24-2所示位置，請(qǐng)問(1)中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)將圖24-1中的iBEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)汽(0Zof <90

11、口)，若BE=1 , AB = J2,當(dāng)E, F, D三點(diǎn)共線時(shí)，求DF的長及/ ABF的度數(shù)。備用圖考點(diǎn)二：截長補(bǔ)短法：核心母題 如圖，AD / BC, EA, EB分別平分/ DAB,/ CBA, CD± 點(diǎn) E,求證：AB=AD+BC.練習(xí):1、如圖a, ABCn CEF是兩個(gè)大小不等的等邊三角形，且有一個(gè)公共頂點(diǎn)C,連接AF和BE.線段AF和BE有怎樣的大小關(guān)系 ？青證明你的結(jié)論；(2)將圖a中的 CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到圖 b, (1)中的結(jié)論還成立嗎？作出判斷并說明理由;、已知：如圖， AABC是等邊三角形， /BDC =120口，求證：AD = BD+CD.、已

12、知四邊形ABCD 中，AB= BC, /ABC =60口BD上一點(diǎn)，且ZAPD =120 °,求證：PA PD PC -BD2、在 ABC中，/BAC=60 , / C=40° , AP 平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC交 AC于 Q,求證：AB+BP=BQ+AQ3、如圖，在 MBC 中，/ABC =60°, AD, CE分另為 ZBAC,ZACB 的平分線，求證：AC=AE+CD4、如圖，在 ABC中，AB=AC D是 ABC外一點(diǎn)，且/ ABD=60 , / ACD=60 求證：BD+DC=AB5、已知：如圖在 ABC中，AB=AC D為 A

13、BC外一點(diǎn)，/ ABD=60 , / ADB=90 1 / BDC 求證：AB=BDF DC2考點(diǎn)三：一線三等角問題（“K”字圖）核心母題 已知：如圖，在RtABC中，/ BAC=90 , AB=AC D是BC邊上一點(diǎn)，/ ADE=45 , AD=DE求證：BD=EC.練習(xí)：1、已知：如圖，在矩形 ABCD中，E、F分另1J是邊BC、AB上 的點(diǎn)，且EF=ED, EF± ED.求證：AE平 分 / BAD.2、兩個(gè)全等的含30° , 60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E, A, C三點(diǎn)在一條直 線上，連接BD,取BD的中點(diǎn)M,連接ME, MC 試判

14、斷 EMC的形狀，并說明理由.3、如圖，在 MBC中，NACB =90； AC = BC ,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且AD _L MN于點(diǎn)D, BE _L MN于點(diǎn)E。（1）當(dāng)直線 MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證： DE=AD+BE（2）當(dāng)直線 MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，求證： DE=AD-BE;（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，試問: 加以證明。DE AD, BE有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出等量關(guān)系，并MNBN4、如圖所示，AE± AB, BC± CD且AB=AE, BC=CD, F、A、 G C、H在同一直線上，如 按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)及符號(hào)，則圖中實(shí)

15、線所圍成的圖形面積是？6、小雨遇到這樣一個(gè)問題：如圖 1,直線Il/ 12/13 , 11與12之間的距離是1, 12與13之間的距離是2,試畫出一個(gè)等腰直角三角形 ABC使三個(gè)頂點(diǎn)分別在直線 11、12、13上，并求出所畫等腰直角三角形ABC勺面積.111213圖2小雨是這樣思考的：要想解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法利用平行線之間的距離，根據(jù)所求圖形的性質(zhì)嘗試用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造全等三角形解決問題.具體作法如圖2所示：在直線11任取一點(diǎn)A,作ACL 12于點(diǎn)D,作/ DAH90。：在AH上截取AEAD過點(diǎn)E作EBL AE交13于點(diǎn)B,連接AB,作/ BAG90。，交直線1 2于點(diǎn)C,連接BC即可得

16、到等腰直角三角形 ABC請(qǐng)你回答：圖2中等腰直角三角形 ABC勺面積等于 參考小雨同學(xué)的方法，解決下列問題：如圖3,直線11/ 12/ 13, 1 1與12之間的距離是2, 12與13之間的距離是1,試畫出一個(gè)等邊三角形 ABC使 三個(gè)頂點(diǎn)分別在直線11、12、13上，并直接寫出所畫等邊三角形ABC勺面積（保留畫圖痕跡）.1111121213137、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將直角三角形的直角頂點(diǎn)放在P (5,5)處，兩條直角邊與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B.(1)當(dāng)點(diǎn)A、點(diǎn)B分別在x軸、y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究OA+0B的值或取值范圍；(2)點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) B在y軸負(fù)半軸上時(shí)，試探

17、究 OA-OB的值或取值范圍，直接寫出結(jié)果。9、已知：在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角 ABC頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸上，且/ ACB=90 ° , AC=BC10、 ( 1)如圖1 ,當(dāng)A (0, -2 ) , C ( 1 , 0),點(diǎn)B在第四象限時(shí)，先寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，并說明理由.11、 (2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A (0, a)在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B(m, n)在第四象限時(shí)，作BD)± y軸于點(diǎn)D,試判斷a , m, n之間的關(guān)系，請(qǐng)證明你的結(jié)論.考點(diǎn)四：角平分線、中垂線法核心母題1、在 MBC中，AB >AC , AD是/BAC的平分線. P是A

18、D上任意一點(diǎn).求證：AB -AC >PB -PC .A2、已知等腰直角三角形ABC, BC是斜邊./ B的角平分線交AC于D,過 C作CE與BD垂直且交BD 延長線于E,求證：BD=2CE.3、如圖， ABC的邊BC的中垂線 DF交ABAC的外角平分線 AD于D, F為垂足，DE! AB于E,且AB> AC求證: BE-AC=AE練習(xí)1、如圖所示，在 AABC中，AD是/BAC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比較 PB+PC與AB +AC的大小，并說明理由.2、如圖所示：/ ABC的平分線BF與 ABC中/ ACB的相鄰?fù)饨? ACG的平分線CF相交于點(diǎn)F,過F 作D

19、F/ BC,交AB于D,交AC于E.問：3、(1)寫出圖中的等腰三角形并說明理由.4、(2)若 BD=8cm, DE=3cm,求 CE 的長.3、在 ABC 中，AB =2AC,AD 平分 NBAC, E 是 AD 中點(diǎn)，連結(jié) CE ,求證：BD = 2CE4、如圖， ABC 中，/ABC=2/C, BE 平分 / ABC 交 AC 于 E、AD± BE 于 D,求證：(1 ) AC-BE=AE ;(2) AC=2BD.B5、如圖，在 ABC中，AB> AC, E為BC邊的中點(diǎn)，AD為/ BAC的平分線，過 E作AD的平行線，交AB于F,交CA的延長線于G.6、求證：BF=CG

20、.變式一：如圖，在 MBC中，AD交BC于點(diǎn)D ,點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF II AD交CA的延長線于點(diǎn)F ,交AB 于 點(diǎn)G ,若BG =CF，求證：AD為ZBAC的角平分線.變式二：已知： ABC中，AD是 ABC的角平分線，M為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)GFABM作 MIN/ AD,交 AC于點(diǎn) N ,求證：AN+AB=NC.(2)如圖2, M為BC的中點(diǎn)，過 M作MIN/ AD交AC于點(diǎn)N,若AB=4,圖1圖26、如圖，已知 ABC中，AB= AC, / A= 100° , / B的平分線交 求證：AD+ BD= BCAC 于 D,變式三：在 ABC, AD是ABC勺角平分線.(1)如圖1

21、,過C作CE/ AD交BA延長線于點(diǎn)E,若F為CE的中點(diǎn)，連結(jié) AF,求證：AFL ADAC=7,7、如圖，在 ABC中，ADL BC于D, CD= AB+ BD, / B的平分線交 AC于點(diǎn)E,求證：點(diǎn) E恰好在BC的垂直平分 線上。C8、如圖1,在 ABC中，/ ACB=2Z B, / BAC的平分線 AO交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)H為AO上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) H作直線l ±AO于H,分別交直線 AB AC BC于點(diǎn)N、E、M(1)當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)(如圖2),證明：BN=CD(2)當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，寫出 CE和CD之間的等量關(guān)系，并加以證明;(3)請(qǐng)直接寫出BZ CE CD之間的等量關(guān)系.9、

22、如圖所示，在 ABC中，/ ABC=3/ C, AD是/ BAC的平分線，BEX AD于F,求證：2BE=AC-AB變式：如圖，已知在 MBC 中，/ABC =3/C , /1=/2, BE_LAE.求證： ACAB=2BE10、如圖所示，在 MBC 中，AD 平分/BAC , AD =AB , CM _L AD 于 M ,求證 AB + AC = 2AM .M變式一：如圖/ 1=/2, B為 AC中點(diǎn)，CML FB于 M, AN FB于 N,求證： EF=2BM FB=_ ( FM+FN變式二：如圖，在AODC中，/D=9(0, EC是/DCO的角平分線，且OE ± CE，過點(diǎn)E作

23、EF _LOC交OC于點(diǎn)F.猜想：線段EF與OD之間的關(guān)系，并證明.變式三：如圖所示，在 ABC中，AO AB, M為BC的中點(diǎn)，AD是/ BAC的平分線，若 CF± AD且交AD的延長線于1F,求證：MFJ (ACAB)。2AF考點(diǎn)五：角含半角、等腰三角形的(繞頂點(diǎn))旋轉(zhuǎn)重合法核心母題如圖，在正方形ABCD43,E、F分別是BGCD力上的點(diǎn)，/EAF=45,求證：EF=BE+DF.如圖F分別是CD邊上的點(diǎn)ABC珅在正方形求證M N分別在邊 BC CD上移動(dòng)，且滿足 MN=BM+DN如圖，在正方形 ABCD43F分別是邊長為1的正方形ABCD勺邊EAQ=45 , AHL EF,求證：

24、AH=AB.CD上的點(diǎn)，若 ECF的周長是2r./ MAN45 .C2 AB.AM AN分別平分/BM呼口/DNM練習(xí)1、如圖，在四邊形 ABCD, AB=BC/A=/C=90° , / B=135° , K N分別是AR BC上的點(diǎn)，若 BKN的周長是AB的2倍，求/ KDN的度數(shù)？2、已知：正方形ABCD中，/ MAN=45° , / MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB DC （或它 們的延長線）于點(diǎn)Mk N,當(dāng)/MAN繞點(diǎn) A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)（如圖1）,易證BM+DN=MN3、 （ 1 ）當(dāng)/ MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMW DN時(shí)（如圖2）,線段BM

25、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；4、 （ 2）當(dāng)/ MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想.3、如圖，在四邊形ABCD43,AB=AD,/B+Z D=180°,E、F 分別是邊BGCD 上的點(diǎn)，且2/EAF=ZBAD(1)求證：EF=BE+FD（2）如果E、F分別是邊BC CD延長線上的點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論是否仍然成立？說明理由。B5、如圖所示，在五邊形 ABCD即,AB=AE BC+DE=C>D/ ABC吆AED=180求證：AD平分/ CDE.6、如圖，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2, / ABC=Z AED=90 ° , 求五邊形 ABCDE 的面積.7、10、試探究EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系.DC5圖1口圖1.在 四邊形 ABCD中.AB=AD, / B+Z D=180° , E、F