專題08數(shù)學歸納法與極限(原卷版)

1、專題08數(shù)學歸納法與極限專題點撥1 .數(shù)學歸納法證明問題有兩個步驟：先證當n取第一個值n0時命題成立，然后假設當n=k(kCN*, k勘0)時命題成立，并利用假設證明當n=k+1時命題也成立，這兩步缺一不可，要完整地書寫.用數(shù)學歸納法證明的問題有：可以證明一些與正整數(shù)有關的命題，如數(shù)列求和公式，整除性和平面幾何問題等.2 .數(shù)列的極限的四則運算，特別是掌握只有在數(shù)列an和bn的極限存在的條件下，才有四則運算，且數(shù)列運算性質是針對有限項數(shù)列運算的性質，不能推廣至無限項.數(shù)列的三個基本極限：lim n一0°c= c, 1而n= 0, lim n>ooqn= 0(|q|< 1)

2、,它們是極限運算的基礎，但是要區(qū)別，如果q是收斂的等比數(shù)列的公比時，0v|q|v1.計算數(shù)列極限的類型也有兩種：一是根式型；二是分式型，它們都有自己的運算特點.無窮等比數(shù)列各項和的公式S= -a,可用于化循環(huán)小數(shù)為分數(shù)和解相應的應用題，這時關鍵是找出等1 q比數(shù)列的首項和公比，然后代入公式計算.真題賞析1. (2016上海)已知無窮等比數(shù)列的公比為q,前n項和為Sn,且Sn=S.下列條件中，使得 2Sn<S(nCN*)恒成立的是()A. a1>0, 0.6<q<0.7B. a1<0, -0.7<q<-0.6C. a1>0, 0.7<q<

3、;0.8D. a1<0, -0.8<q<-0.72. (2016上海)對于無窮數(shù)列an與bn,記 A=x|x=an,nCN*,B=x|x=bn,dCN*,nCN*,若同時滿足條件： an, bn均單調遞增；CAAB= C且ACB=N*,則稱an與bn是無窮互補數(shù)列.(1)若an=2n 1, bn=4n-2,判斷an與bn是否為無窮互補數(shù)列，并說明理由；(2)若an=2n且an與bn是無窮互補數(shù)列，求數(shù)列 bn的前16項的和；(3)若an與bn是無窮互補數(shù)列，an為等差數(shù)列且a16=36,求an與 bn的通項公式.【例 1】已知數(shù)列an滿足：nan 2 1007(n 1同120

4、18(n 1)an(n N ),且 a1 1, a2 2,若lim 如【例3】觀察下列式子:1 31 + 22<2,11 51+ 落 32<3 ,1117 + 27+ 32+ 42<0根據(jù)上述規(guī)律，第n個不等式應該為.【變式訓練】數(shù)列2n1的前n項1,3, 7,，2n1組成集合An=1, 3,7,2n1(nCNj,從集合An中任取k(k=1, 2, 3,，n)個數(shù)，其所有可能的 k個數(shù)的乘積的和為 Tk(若只取一個數(shù)，規(guī)定乘積為此 數(shù)本身)，記 Sn=T1 + T2+ Tn,例如當 n=1 時，A1 = 1, T1 = 1, S1=1;當 n=2 時，A2=1, 3, T1

5、= 1 + 3, T2= 1 X3, S2= 1 + 3+ 1 X3= 7,試寫出 Sn=.【例4】已知n為正整數(shù)，試比較 n2與2n的大小.【變式訓練】已知fn(x)=(1 + 6n, nCN*.(1)若 g(x)= f4(x)+ 2f5(x)+3f6(x),求 g(x)中含 x2 項的系數(shù);A,則 A1,，an),則a1的取值范圍是2nan【例2】在無窮等比數(shù)列 陶中，lim(a1 a2 n鞏固訓練一、填空題1.無窮等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若a 2,且S20152&0163s2017,則無窮等比數(shù)列an的各項和為2.已知數(shù)列an,其通項公式為an3n 1, n N * , a

6、n的前n項和為Sn,則limnSnngan3.已知數(shù)列an是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，Sn是其前n項和,則limnSn-2 an4.若二項式(2x a)7的展開式中一次項的系數(shù)是 x2370,貝U lim(a a annxa )5.若數(shù)列an的前n項和Sn3n2 2n 1(n一 一*一anN )，則 lim n3n二、選擇題n,n 2k6.數(shù)列an滿足anak,n2k2013f 2012 ()A.22012B. 22013C. 42012D.201347.設 an1 .一 sin nn)Sn a125a2an，在 Sl,S2,S100中，正數(shù)的個數(shù)是(A. 25三、解答題8.是否存在常數(shù)如

7、，使等式1份對一切正整數(shù)盟成立？證明你的結論2?ii+ 39.若4和且分別表示數(shù)列口;和同前n項的和，對任意正整數(shù)抬，*2,4a-124 =13”(1)求數(shù)列I”的通項公式；(2)設有拋物線列 G, % ，拋物線6 (MEN,)的對稱軸平行于y軸，頂點為('”，2lim也+&+/且通過點“°內十»,求點鼻且與拋物線&相切的直線斜率為&,求極限 咽 .10. (2019浦東新區(qū)三模)已知數(shù)列?滿足？私+1 = -?+ 2?3?e ?，且0 < ?< 1.(1)求證：0 < ?< 1;(2)令?= lg(1 - ?丸且？=

8、5,試求無窮數(shù)列4的所有項和；(3)求證：? ?，當？?> 2時,2(? +?+?+? + ?) - (?彳？+ ?+ ? + ?2?-1 ?+ ?2?) < ?（2020?閔行區(qū)一模）計算:2.（2020?奉賢區(qū)一模）計算:3.（2020?浦東新區(qū)一模）lim n2一 3nlimn 1 3(2n 3n 2lim n 2n 123n2 1 1)4.（2020?靜安區(qū)一模）計算 lim(1 0.9n)n5.（2020?普陀區(qū)一模）3n 12nlim nn 316.（2020?青浦區(qū)一模）已知數(shù)列an中，a 1,anan 11 ，一F(n 2N*)7. （2020?楊浦區(qū)一模）已知數(shù)列4的通項公式為ann1(2)(n, 2)(n 3)(n_ *.一 一 、， 一一N ） , Sn是數(shù)列an的前n項和,則 lim Snn8. （2020?松江區(qū)一模）在無窮等比數(shù)列an中，若lim（a 為 n、1an）-