乘加乘減混合運算

1、幾何直觀：幫助學生直觀地理解數(shù)學“乘加乘減混合運算”為例為把握對小學生幾何直觀能力的培養(yǎng)， 體會幾何直觀在整個數(shù)學 學習中的作用，下面，我們擬以“乘加乘減混合運算”為例，對些進 行教學分析。之所以選定“乘加乘減混合運算”進行分析，一是因為 修訂后的教材在該課中突出了幾何直觀對理解 “先算乘法、后算加法” 算理的作用；二是意在通過對該課例的研討，體會幾何直觀在“非圖 形與幾何”領域中直觀理解數(shù)學的價值?！俺思映藴p混合運算”是小學階段首次把加減法和乘法混合在一 起的兩步式題運算，是一級運算向二級運算及更高級運算的轉(zhuǎn)折。教 學中，要結合問題解決的過程，讓學生理解算式所表示的意義，體會 運算順序規(guī)定的

2、合理性，明確算理，并能正確計算。下面是北師大版 數(shù)學修訂前后的教材設計：（修訂前的教材（二年級下學期）縱觀教材設計的變化，我們可以看到，修訂后的教材在解決“應付多 少元”時，呈現(xiàn)了兩種解決問題的策略：一是用畫圖的方法表示解決 問題的思考的過程；二是先畫圖表示數(shù)量之間的關系，再根據(jù)幾何直 觀尋找解決問題的思路。無論是把畫圖作為解決問題的工具， 還是把 畫圖作為描述數(shù)學問題、理解數(shù)量關系的手段，兩種策略都注重通過 畫圖幫助學生構建對算法合理性的直觀認識， 體現(xiàn)了幾何直觀解決復 雜問題時的應用價值。義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）（以下簡稱“課標2011 年版”）對“幾何直觀”的論述是：“幾何直

3、觀主要是指利用圖形描述 和分析問題。借用幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象， 有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀 地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。“從這個論述中，我們可以清晰地體會到”幾何直觀“在內(nèi)容、意義和方法上遠 遠超出對幾何圖形本身的研究范疇，其基本思想引導著我們要借助于 直觀看出不同事物之間的關聯(lián)，借助于直觀的形象關系產(chǎn)生對數(shù)量關 系的直接感知、整體把握，借助于直觀提高對研究對象的思考能力。 也正是基于這一點，新修訂的教材對”乘加乘減混合運算”的學習要 求變?yōu)椤皣L試借助直觀圖表示乘加乘減等實際問題的數(shù)量關系，感受畫圖策略的意義和價值，

4、發(fā)展分析問題和解決問題的能力。實踐與思考：我們先看一個依據(jù)修訂教材設計的教學片斷。【教學片斷】教師引導學生用面包和蛋糕圖片擺出要買的 4個面包、1個蛋糕或1個蛋糕、4個面包。（如下圖）師：應付多少元？能列出算式嗎？怎么計算？生1:我列的算式的算式是3M+6,先算4個面包的價錢，再加 上1個蛋糕的價錢，就是應付的價錢。生2:我列的算式是6+3必，也要先算4個面包的價錢，3M=12 元，然后是1個蛋糕的價錢6元，加在一起，就是應付的價錢18元。（對于6+3X4的計算，學生能借助于所來的示意圖，思考為什么先算3通，應該說這得益于直觀情境示意圖的支撐）師：若用這樣短的小棒表示3元，長一點的小棒表示6元

5、，同學雖然上述擺法與用實物圖的擺法從結構上看沒有太大的差別，但是用有長短的小棒來擺的過程，一方面是發(fā)揮了直觀替代物的作用， 是抽 象的符號化表示；另一方面是直觀化的表象，是從幾何直觀抽象出相 同的幾何結構。可貴的是，這樣的擺法就是數(shù)線（數(shù)軸）的雛形，這 一點在我們的前測中（見下文）也得到了例證。我們觀察到，兩個學生在表述自己的計算時，都輔以手勢，特別是先圈出4個面包，再圈一個大圈，表示購買 4個面包和1個蛋糕。 從心理學角度分析，這是符合學生認知規(guī)律的。對于小學生來說，幾 何直觀首要的是學習如何用圓（圈）或者三角形等幾何圖形去替代實 物，畫出所述情境的示意圖來。從實物圖到示意圖是幾何直觀的初始

6、 階段。盡管“課標2011年版”在第一演（1 3年級）沒有對幾何直觀提 出具體的要求，但可以更多地通過教師的示范，讓學生作為一個旁觀 者去感受幾何直觀的價值，滲透幾何直觀的意識，隨著年級的升高， 逐步發(fā)展幾何直觀的能力。從這個角度看，我們以“乘加乘減混合運 算”為例，來闡述幾何直觀如何幫助學生更直觀地理解數(shù)學，就順理 成章了。為了更深入地分析幾何直觀在乘加乘減混合運算中所發(fā)揮的作用，以及乘加乘減混合運算中所發(fā)揮的作用， 以及乘加乘減混合運算 對后續(xù)學習的影響，我們分別對還沒有學習乘加乘減混合運算的二年 級學生和學習了兩位數(shù)乘除法四年級學生進行了測試。下面是其中幾道試題的測試情況。四年級:3X5

7、+5=204 刈-9=27畫圖表示用畫一畫的方法表示+5個©H5000xw4十位個位從測試情況看，對即使沒有學習乘加乘減混合運算的二年級學生 39 m=(9)(3)驗算：4X9+3=36+3=39AAAAAAAAA AAAAAAA7V aaaaaaa7v AAAAAAAAA2 7X 1 82 1 62 74 8 6上面的計算正確嗎？陰影部分“21”是號樣得到的？答：上面的計算正確，陰 以部分“ 21”是因為7X8=56,寫“6” 注 “ 5"，2X 6=16, 16+5=21 ,陰影部 予“21”是這樣得到的。2 7X 1 82 1 62 74 8 6上面的計算正確嗎？陰影

8、部分 “21”是 怎樣得到的？正確。 陰影部分“21”是 因為 7X 8=56,寫 “6” 進 “5"，2X6=16, 16+5=21 ,表示 “ 21” 個 10。來說，通過畫圖表示 3>5+5、4X9-9,并進行正確計算的有近 70%的 學生；而對于“乘在后”（如6+3乂7 9-4 >2）的算式，有近60%的學 生出現(xiàn)錯誤。四年級學生中，能正確填寫 39F=（）（）并進行驗算 的，占95%,但采用4X9+3=39綜合算式進行驗算的，不足20%;能 說明“ 21 ”是怎么得來的及其表示什么的，正確率相對低一些，有52%。當然，在這里我們不是強調(diào)必須用“ 4X9+3=39

9、”的綜合算式來 驗證“39乂=93”的正確性，而是可以看出學生從整體上運用 “乘 加”的意識不強，對“39%=93”的直觀表征及乘加之間的關系 理解不到位。為了從另一個側(cè)面探討幾何直觀在乘加乘減混合運算中的作用，我們創(chuàng)設了根據(jù)學生的座位情況，提出與乘加乘減混合運算有關的“一共有多少位同學 “的實際問題， 以激發(fā)學生的學習興趣和探究欲望，進一步觀察學生對幾何直觀意識的把握情況。那么， 如何幫助學生利用幾何直觀更加直觀地理解數(shù)學呢？我們認為，一是教師本身要有幾何直觀的課程意識，二是要注意挖掘、利用幾何直觀的資源，三是要關注學生對數(shù)學問題的個性化直觀表征與直觀理解，四是要加強借助幾何直觀主動思考數(shù)學問題能力的培養(yǎng)以推動思維展開。從低年級開始，借助豐富的學習素材，