函數(shù)的定義域與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)

1、函數(shù)的定義域與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng) 丹陽中學(xué) 林文玉關(guān)鍵詞：函數(shù)定義域 思維品質(zhì) 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，它在高中數(shù)學(xué)中是起著提綱的作用，它融匯在整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)中，其中有數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想方法；如：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，它也是高考的重點(diǎn)，近年來，高考?jí)狠S題都以函數(shù)題為考察方法的。高考題中與函數(shù)思想方法有關(guān)的習(xí)題占整個(gè)試題的60%以上。函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三大要素之一，函數(shù)的定義域(或自變量的允許值范圍)似乎是非常簡(jiǎn)單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會(huì)使人誤入歧途。思維品質(zhì)是指?jìng)€(gè)體在思維活動(dòng)中智力特征的表現(xiàn)，也就是人與人之間的思維活動(dòng)上表現(xiàn)的差異，它包括思維的嚴(yán)密性、思維的獨(dú)立

2、性與批判性、思維的廣闊性與深刻性、思維的邏輯性、思維的靈活性與敏捷性等品質(zhì)。在解函數(shù)題中強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的影響與作用，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是十分有益的。下面從求解函數(shù)關(guān)系式、最值(值域)、單調(diào)性、奇偶性各方面分別闡述函數(shù)定義域?qū)τ谒鼈兊挠绊懪c數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)。一、 函數(shù)關(guān)系式與定義域函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對(duì)應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤。如：例1：某單位計(jì)劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長(zhǎng)度為200m，求矩形的面積S與矩形長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系式？ 解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x米，則寬為(100x)米，由題意得： 故函數(shù)關(guān)系式為：如果解

3、題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式缺少實(shí)際問題中自變量的范圍，也就是說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)榫匦蔚拈L(zhǎng)與寬都應(yīng)該存在，也即，否則面積S的值是負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量的范圍： 即：函數(shù)關(guān)系式為： （）從這個(gè)例子可以看到，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問題時(shí)，必須要注意到函數(shù)定義域?qū)?shí)際問題的影響。若考慮不到這一點(diǎn)，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性；而若注意到定義域的變化，就說明學(xué)生的解題思維過程體現(xiàn)出較好思維的嚴(yán)密性。二、 函數(shù)值域與定義域函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之確定。因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域的影響。如：例2：求函數(shù)的值域 錯(cuò)解：令

4、 故所求的函數(shù)值域是 剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有，而函數(shù)在0,+)上是增函數(shù)， 所以當(dāng)t=0時(shí)，ymin= 故所求的函數(shù)值域是, +）以上例子說明，自變量的允許范圍是何其重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，仔細(xì)檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生。也就是說，學(xué)生若能在做好題目后，檢驗(yàn)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯(cuò)誤，便體現(xiàn)出良好的思維批判性。三、 函數(shù)最值與定義域函數(shù)的最值是指函數(shù)值中取到最大(小)值的問題。由于本身函數(shù)的值域就受到定義域的影響，所以對(duì)于函數(shù)最值得求解，如果不注意定義域，將會(huì)導(dǎo)致最值的錯(cuò)誤。如：例3：求函數(shù)在1，4上的最值 解： 當(dāng)時(shí)，初看起來，本題似乎解決得比較順手，

5、就是按照求二次函數(shù)最值的思路求出函數(shù)的最小值，并且還判斷函數(shù)沒有最大值，產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的學(xué)生都沒有注意到已知條件發(fā)生的變化。這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學(xué)生思維缺乏靈活性。其實(shí)以上結(jié)論只是對(duì)二次函數(shù)在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間上，它的最值應(yīng)分如下情況： 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，在上最值情況是： ， 即最大值是中最大的一個(gè)值。故本題要重新做下去： ， 又 函數(shù)在1，4上的最小值是0，最大值是33 這個(gè)例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時(shí)，若能注意定義域的取值范圍對(duì)函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性。四、 函數(shù)單調(diào)性與定義域函數(shù)單調(diào)

6、性是指函數(shù)在給定的定義域的某一區(qū)間上，當(dāng)函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。如：例4：指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 錯(cuò)解：由 又，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)法則知， 函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。剖析：對(duì)于，也即要在的范圍內(nèi)才能確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。正解：先求定義域： 函數(shù)定義域?yàn)?令，知在上時(shí)，u為減函數(shù)， 在上時(shí)， u為增函數(shù)。 又 函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間是。從上面的例題可以發(fā)現(xiàn)，在做題時(shí)很多學(xué)生沒有在定義域的兩個(gè)區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，這說明學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，因而在做練習(xí)或作業(yè)時(shí)，只是對(duì)題型，套

7、公式，而不去領(lǐng)會(huì)解題方法的實(shí)質(zhì)，也說明學(xué)生的思維缺乏深刻性。五、函數(shù)奇偶性與定義域判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對(duì)稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。否則再用奇偶性定義加以判斷函數(shù)的奇偶性。如：例5：判斷函數(shù)的奇偶性 錯(cuò)解： 函數(shù)是奇函數(shù)錯(cuò)誤剖析：因?yàn)橐陨献龇ㄊ菦]有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學(xué)生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯(cuò)誤的原因。 解： 定義域區(qū)間（-3,3關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對(duì)稱 函數(shù)是非奇非偶函數(shù) 若學(xué)生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現(xiàn)出學(xué)生解題思維的敏捷性。綜上所述，在求解函數(shù)關(guān)系式、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能仔細(xì)地回