【KS5U解析】北京市清華附中2019-2020學(xué)年高一新生分班考試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、高一新生分班考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1. 化簡(jiǎn)（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化即可求解.【詳解】.故選：b【點(diǎn)睛】本題考查了根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2. 分式的值為0，則的值為（ ）a. 或2b. 2c. d. 【答案】b【解析】【分析】將該分式化為，求解即可.【詳解】，解得故選：b【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解法，涉及了一元二次方程的解法，屬于基礎(chǔ)題.3. 如圖，在四邊形中，、分別是、的中點(diǎn).若，則等于（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】連接，是的中位線可得的長(zhǎng)，根據(jù)邊長(zhǎng)判斷可得答案.

2、【詳解】連接，因?yàn)椤⒎謩e是、的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，所以，故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查了中位線、三角函數(shù)求值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.4. 如圖，、是切線，、為切點(diǎn)，是直徑，則（ ）a. 40°b. 80°c. 20°d. 10°【答案】c【解析】【分析】由為等腰三角形求出，再證明，最后由得出答案.【詳解】為等腰三角形，且是切線，為切點(diǎn)，是直徑即故選：c【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5. 在兩個(gè)袋內(nèi)，分別裝著寫有1、2、3、4四個(gè)數(shù)字的4張卡片，今從每個(gè)袋中各任取一張卡片，則所取兩卡片上數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是（ ）a. b. c. d. 【

3、答案】d【解析】【分析】確定抽取兩張卡片的情況一共有16種，列舉法求出兩張卡片之積為偶數(shù)的情況共有12種，代入古典概型概率公式求解即可.【詳解】抽取兩張卡片的情況一共有16種，其中兩張卡片之積為偶數(shù)的情況有以下幾種：，共12種，故所取兩卡片上數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是.故選：d【點(diǎn)睛】本題考查列舉法求古典概型問(wèn)題的概率，屬于基礎(chǔ)題.6. 如圖，矩形紙片abcd中，已知ad =8，折疊紙片使ab邊與對(duì)角線ac重合，點(diǎn)b落在點(diǎn)f處，折痕為ae，且ef=3，則ab的長(zhǎng)為 （ ）a. 6b. 4c. 5d. 3【答案】a【解析】【分析】先根據(jù)矩形的特點(diǎn)求出的長(zhǎng)，再由翻折變換的性質(zhì)得出是直角三角形，利用勾股

4、定理即可得出的長(zhǎng)，再在中利用勾股定理即可得出的長(zhǎng).【詳解】因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，是翻折而成，所以，是直角三角形，在中，設(shè)，在中，即，解得，所以.故選：a.【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換及勾股定理，熟知折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變.屬于較易題.7. 如圖，正方形abcd的邊長(zhǎng)為4，p為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)路線是adcba，設(shè)p點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為x，以點(diǎn)a、p、d為頂點(diǎn)的三角形的面積是y.則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)d出發(fā)，首先向點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)，此時(shí)y隨x的增加而增大，當(dāng)點(diǎn)p在dc上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y隨著

5、x的增大而增大，當(dāng)點(diǎn)p在cb上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y不變，當(dāng)點(diǎn)p在ab上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y隨著x的增大而減小，據(jù)此作出選擇即可【詳解】當(dāng)點(diǎn)p由點(diǎn)a向點(diǎn)d運(yùn)動(dòng)，即0x4時(shí)，y的值為0；當(dāng)點(diǎn)p在dc上運(yùn)動(dòng)，即4x8時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)點(diǎn)p在cb上運(yùn)動(dòng)，即8x12時(shí)，y不變；當(dāng)點(diǎn)p在ba上運(yùn)動(dòng)，即12x16時(shí)，y隨x的增大而減小故選：b【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象問(wèn)題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)y隨x的變化而變化的趨勢(shì)，屬于基礎(chǔ)題8. 若直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)p、q滿足條件p、q都在函數(shù)y的圖象上，p、q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)（p，q）是函數(shù)y的一個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)（p，q）與（q，p）看作同一個(gè)“友

6、好點(diǎn)對(duì)”）.已知函數(shù)，則函數(shù)y的“友好點(diǎn)對(duì)”有（ ）個(gè)a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】c【解析】【分析】根據(jù)“友好點(diǎn)對(duì)”的概念知，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y的“友好點(diǎn)對(duì)”個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象分析即可.【詳解】根據(jù)“友好點(diǎn)對(duì)”的概念知，作出函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象與函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知它們的交點(diǎn)有兩個(gè)，所以函數(shù)y的“友好點(diǎn)對(duì)”有2對(duì).故選：c【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象，理解新定義的概念是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題9. 已知、是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值等于_【答案】【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】根據(jù)根

7、與系數(shù)的關(guān)系得則故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了由一元二次方程的根求值，屬于基礎(chǔ)題.10. 有一個(gè)六個(gè)面分別標(biāo)上數(shù)字1、2、3、4、5、6的正方體，甲、乙、丙三位同學(xué)從不同的角度觀察的結(jié)果如圖所示.如果記2的對(duì)面的數(shù)字為，3的對(duì)面的數(shù)字為，則方程的解滿足，為整數(shù)，則_【答案】0【解析】【分析】由甲、乙、丙的圖看出，2和6,1,3,2都相鄰，可得出2的對(duì)面的數(shù)字和3的對(duì)面的數(shù)字，然后解方程即可.【詳解】由圖知，2和6,1,3,2都相鄰，所以2的對(duì)面的數(shù)字為4，即=4，3的對(duì)面的數(shù)字為6，=6，所以方程即為， 解得， 即，因?yàn)闈M足，為整數(shù)，所以0故答案為：0【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體相對(duì)面問(wèn)題以及

8、指數(shù)方程的解法，還空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.11. 如圖，直角梯形紙片中，折疊紙片使經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，是折痕，且，則的長(zhǎng)為_(kāi)【答案】6【解析】【分析】先判斷出，然后在中求出的長(zhǎng)度，繼而在中求出【詳解】，（折疊的性質(zhì)），在中，在中，故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的知識(shí)，涉及了解直角三角形的相關(guān)知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是判斷出為直角，難度一般12. 記函數(shù)在處的值為（如函數(shù)也可記為，當(dāng)時(shí)的函數(shù)值可記為）.已知，若且，則的所有可能值為_(kāi)【答案】1或【解析】【分析】根據(jù)題意得，或，進(jìn)而得的所有可能值為1或.【詳解】解：因且，所以，或，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，.故答案為：1或【點(diǎn)睛】本題考查函

9、數(shù)值得求解，解題的關(guān)鍵在于由已知得，或，是基礎(chǔ)題.13. 有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn).已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為2，且該塔形的表面積（含最底層正方體的底面面積）超過(guò)39，則該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是_【答案】6【解析】【分析】分析各正方體的邊長(zhǎng)，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】底層正方體的表面積為，第層正方體的棱長(zhǎng)為，每個(gè)面的面積為，第層正方體的棱長(zhǎng)為，每個(gè)面的面積為，第層正方體的棱長(zhǎng)為，每個(gè)面的面積為，則該幾何體為層，則它的表面積為 ，解得，該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是6.故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查了等比

10、數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.14. 如圖，三棱柱中，底面，三個(gè)側(cè)面都是矩形，為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)最小時(shí)，_【答案】1【解析】【分析】將三棱柱的側(cè)面和側(cè)面剪開(kāi)在同一平面內(nèi)，連接，此時(shí)最小，再利用三角形相似求解.【詳解】將三棱柱的側(cè)面和側(cè)面剪開(kāi)在同一平面內(nèi)，如圖所示：連接與交于點(diǎn)m時(shí)， 最小，因?yàn)?，所以，所以，即，解得故答案為?【點(diǎn)睛】本題主要考查立體圖形的展開(kāi)圖形和兩點(diǎn)間距離最短問(wèn)題以及相似三角形的應(yīng)用，還考查轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.15. 如圖，是半圓的直徑，四邊形和都是正方形，其中，在上，在半圓上.若，則正方形的面積與正方形的面積之和是_【答案】25【解

11、析】【分析】連接，設(shè)，由勾股定理得，兩式相減得，從而可求得【詳解】連接，設(shè)，則，兩式相減得：，即，故故答案為：25【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，正方形的性質(zhì)，題中證明是解題關(guān)鍵16. 如圖，為直角斜邊上的高，長(zhǎng)度為1，設(shè)，的周長(zhǎng)分別是，當(dāng)取最大值時(shí)，_【答案】2【解析】【分析】易證，令，即可求得，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求得答案.【詳解】因?yàn)椋砸椎?，令，則，于是由二次函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)，即時(shí)，取最大值時(shí)，因?yàn)?，所以故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比值相等性質(zhì)，考查了相似三角形的證明，本題中求一元二次方程的最大值時(shí)的取值是解題的關(guān)鍵17. 如圖放置的等腰直角薄片（，）沿軸滾動(dòng)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌

12、跡曲線與軸有交點(diǎn)，則在兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間點(diǎn)的軌跡曲線與軸圍成圖形面積為_(kāi)【答案】【解析】【分析】先根據(jù)題意畫出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡中相鄰兩個(gè)零點(diǎn)間的軌跡圖象，再根據(jù)圖象求面積即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意得點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡中相鄰兩個(gè)零點(diǎn)間的軌跡圖象如圖所示，其軌跡與軸圍成的圖形是由以為半徑的四分之一的圓弧，以為半徑的的圓弧以及構(gòu)成，故兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間點(diǎn)的軌跡曲線與軸圍成圖形面積為： 故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡（圓），考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.18. 如圖是一個(gè)數(shù)表，第1行依次寫著從小到大的正整數(shù)，然后把每行相鄰的兩個(gè)數(shù)的和寫在這兩數(shù)正中間的下方，得到下一行，數(shù)表從上到下與從左到右均為無(wú)限項(xiàng)，則這個(gè)

13、數(shù)表中的第11行第7個(gè)數(shù)為_(kāi)（用具體數(shù)字作答）【答案】12288【解析】【分析】設(shè)表示第行第個(gè)數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及遞推公式求通項(xiàng)的方法得出，從而得出這個(gè)數(shù)表中的第11行第7個(gè)數(shù).【詳解】設(shè)表示第行的第個(gè)數(shù)由數(shù)表可知，每一行成等差數(shù)列，且第行的公差為則，則即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列則，即即故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求等差數(shù)列的項(xiàng)，屬于中檔題.三、解答題19. 如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于另一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn).（1）求直線的函數(shù)關(guān)系式；（2）動(dòng)點(diǎn)在線段上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)移

14、動(dòng)的時(shí)間為秒，的長(zhǎng)度為個(gè)單位，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)重合的情況），連接，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形為平行四邊形？問(wèn)對(duì)于所求的值，平行四邊形能否為菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）；（3）或2；不是菱形；答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由條件可得，可求得直線的解析式.（2）由秒時(shí)，點(diǎn)，所以 ，再根據(jù)得出答案.(3) 若四邊形為平行四邊形，則有，此時(shí)，有，解得，,再分別計(jì)算能否為菱形.【詳解】解：（1）拋物線與軸交于點(diǎn)，則.軸，垂足為點(diǎn),所以設(shè)直線的解析式為則 ，解得可得直線的解析式為（2）點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)共要3秒,所以秒時(shí)，點(diǎn)，所以 （3）若

15、四邊形為平行四邊形，則有，此時(shí)，有，解得，所以當(dāng)或2時(shí)，四邊形為平行四邊形.當(dāng)時(shí)，故，又在中，故，此時(shí)四邊形為菱形當(dāng)時(shí)，故，又在中，故，此時(shí)四邊形不是菱形.【點(diǎn)睛】本題主要考查求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的應(yīng)用以及特殊四邊形的性質(zhì)和判定，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.20. 函數(shù)，若自變量取值范圍內(nèi)存在，使成立，則稱以為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)圖像上的不動(dòng)點(diǎn). （1）若函數(shù)有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的不動(dòng)點(diǎn)，求，應(yīng)滿足的條件；（2）在（1）的條件下，若，直線：與軸、軸分別相交于、兩點(diǎn)，在的圖象上取一點(diǎn)（點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2），過(guò)作軸，垂足是，若四邊形的面積等于2，求點(diǎn)的坐標(biāo)（3）定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，對(duì)任意的有恒成立.下

16、述命題“若函數(shù)的圖像上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)”是否正確？若正確，給予證明；若不正確，舉反例說(shuō)明.【答案】（1）且；（2）；（3）正確；證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義，得出方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，且互為相反數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解；（2）由（1）和，求得，設(shè)上任意一點(diǎn)，根據(jù)，列出方程，即可求解；（3）定義在上的奇函數(shù)必有，再設(shè)為函數(shù)圖像上的不動(dòng)點(diǎn)，結(jié)合奇函數(shù)的定義得出也為函數(shù)圖像上的不動(dòng)點(diǎn)，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的不動(dòng)點(diǎn)，可得有兩個(gè)互為相反數(shù)的根即有兩個(gè)互為相反數(shù)的根，帶入得，兩式相減得，所以，方程變?yōu)?，所以?/p>

17、.（2）由（1）得，所以：，即，設(shè)上任意一點(diǎn)，所以又因?yàn)?，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo).（3）正確在，令，可得，所以，所以為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)為函數(shù)圖像上的不動(dòng)點(diǎn)，則，所以，所以也為函數(shù)圖像上的不動(dòng)點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的新定義的應(yīng)用，以及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中正確理解函數(shù)的新定義，以及合理應(yīng)用函數(shù)的奇偶性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.21. 已知圓圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，直線：交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)（1）求（2）設(shè)圓與軸的兩交點(diǎn)是，若從發(fā)出的光線經(jīng)上的點(diǎn)反射后過(guò)點(diǎn)，求光線從射出經(jīng)反射到經(jīng)過(guò)的路程（3）點(diǎn)是軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)反射后與圓相切.若光線從

18、射出經(jīng)反射到相切經(jīng)過(guò)的路程最短，求點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由題意得，則，得出答案.(2) 由對(duì)稱性可知，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且傾斜角為60°的直線上, 光線從射出經(jīng)反射到經(jīng)過(guò)的路程為可得出答案.(3) 對(duì)稱性可知，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且傾斜角為60°的直線,上，所以路程最短即為上點(diǎn)到切點(diǎn)的切線長(zhǎng)最短.連接，在中，只要最短，即可得答案.【詳解】解：（1）直線：交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)則由題，所以，所以（2）如圖（1）由對(duì)稱性可知，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且傾斜角為60°的直線上,在中，所以為直角三角形，.所以光線從射出經(jīng)反射到經(jīng)

19、過(guò)的路程為（3）如圖（2）由對(duì)稱性可知，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且傾斜角為60°的直線,上，所以路程最短即為上點(diǎn)到切點(diǎn)的切線長(zhǎng)最短.連接，在中，只要最短，由幾何知識(shí)可知，應(yīng)為過(guò)原點(diǎn)且與垂直的直線與的交點(diǎn)，這一點(diǎn)又與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，故點(diǎn)的坐標(biāo)為圖（1）圖（2）【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)、切線的性質(zhì)，對(duì)稱性，光線的反射原理，考查點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱性以及最值問(wèn)題，屬于中檔題.22. 在金融危機(jī)中，某鋼材公司積壓了部分圓鋼，經(jīng)清理知共有根.現(xiàn)將它們堆放在一起.（1）若堆放成縱斷面為正三角形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多根)，并使剩余的圓鋼盡可能地少，則剩余了多少根圓鋼?（2）若堆成縱斷面為等腰梯形(每一層

20、的根數(shù)比上一層根數(shù)多根)，且不少于七層，（）共有幾種不同的方案?（）已知每根圓鋼的直徑為，為考慮安全隱患，堆放高度不得高于，則選擇哪個(gè)方案，最能節(jié)省堆放場(chǎng)地？【答案】（1）當(dāng)時(shí)，能使剩余的圓鋼盡可能地少，此時(shí)剩余56根圓鋼；（2）（）共有4中方案；（）選擇堆放41層這個(gè)方案，最能節(jié)省堆放場(chǎng)地.【解析】【分析】（1）n層一共放了根圓鋼，需滿足條件，求解不等式使剩余圓鋼盡可能少；（2）分析出從上到下每層圓鋼根數(shù)是以x為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式列出圓鋼總數(shù)，根據(jù)與n的奇偶性不同來(lái)確定方案；（3）層數(shù)越多，最下層堆放得越少，占用面積也越少，所以討論當(dāng)與兩種情況是否符合題意即可.【詳解】（1）由題意