方陣的特征值與特征向量課件

1、2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-12009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-2特征值與特征向量的概念特征值與特征向量的概念特征值與特征向量的性質(zhì)特征值與特征向量的性質(zhì)2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-3成立成立,(1)設(shè)設(shè)A為為n階矩陣階矩陣,如果存在數(shù)如果存在數(shù)和和n維非維非零向量零向量x,使使 Ax= x那么稱數(shù)那么稱數(shù)為矩陣為矩陣A的特征值的特征值, ,而稱向量而稱向量x為為矩陣矩陣A屬于特征值屬于特征值的特征向量的特征向量.方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-41. 1. 特征向量特征向量x0,

2、特征向量是方陣特征向量是方陣A屬于特征值屬于特征值2. n階階方陣方陣A的特征值是齊次線性方程組的特征值是齊次線性方程組(A-E)x=0有非零解的有非零解的值值,即滿足方程即滿足方程| A-E|=0的的值均是矩陣值均是矩陣A的特征值的特征值.的向量的向量.方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-50. 3 EA 0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa的特征方程的特征方程.是以是以為未知數(shù)為未知數(shù) 的一元的一元n次方程次方程, 稱稱| A-E|=0為為A記記f()=| A-E|,它是它是 的的n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式, 稱其為方陣

3、稱其為方陣A特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-64. n階方陣階方陣 A=(aij)的特征值的特征值1, 2, n又稱矩陣又稱矩陣A的特征根的特征根.若若 0是特征方程的是特征方程的k重特征根重特征根, 則稱則稱 方陣方陣A的的k重特征根重特征根1.求方陣求方陣 A=(aij)的特征方程的特征方程| A-E|=0的的值值1, 2,n2.對(duì)于方陣對(duì)于方陣 A=(aij)的特征值的特征值0,求求屬屬于于該該特征特征值值的特征向量的特征向量方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2009.7.22方陣的特征值與特征向量

4、4-1-7 1513A01513| EA0)2)(4( ,001512321 xx,00151521 xxA的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式得得A的特征值的特征值 1=-2, 2=4當(dāng)當(dāng)1=-2時(shí)時(shí),有有(A+2E)x=0,即即求求A的特征值與特征向量的特征值與特征向量. .其中其中方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-8 00 212155xxxx即即,0041514321 xx,00551121 xx解之得解之得, 5x1=-x2.矩陣矩陣A屬于屬于1=-2的全部特征向量的全部特征向量 k1(1,-5)T于是相應(yīng)的特征向量可取于是相應(yīng)的特征向量

5、可取p1=(1,-5)T當(dāng)當(dāng)2=4時(shí)時(shí),有有(A-4E)x=0,即即解之得解之得, x1=x2.矩陣矩陣A屬于屬于2=4的全部特征向量的全部特征向量 k2(1,1)T于是相應(yīng)的特征向量可取于是相應(yīng)的特征向量可取p2=(1,1)T方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-9 201034011A0201034011 EA 01)2(2 A的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式得得A的特征值的特征值 1=2, 2= 3=1 當(dāng)當(dāng)1=2時(shí)時(shí),有有(A-2E)x=0求求A的特征值與特征向量的特征值與特征向量. .其中其中方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2

6、009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-10 000001014013321xxx 000000010001321xxx解之得解之得, x1=x2=0, x3為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù)矩陣矩陣A屬于屬于1=2的全部特征向量的全部特征向量于是相應(yīng)的特征向量可取于是相應(yīng)的特征向量可取p1=(0,0,1)Tk1 p1 = k1(0,0,1)T k1 0為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù)方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-11 000101024012321xxx 000000210101321xxx解之得解之得, x1=-x3, x2=-2x3矩陣矩陣A屬于

7、屬于2= 3=1的全部特征向量的全部特征向量于是相應(yīng)的特征向量可取于是相應(yīng)的特征向量可取p1=(-1,-2,1)T當(dāng)當(dāng)2= 3=1時(shí)時(shí),有有(A-E)x=0k2 p2 = k2(-1,-2,1)T k20為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù)方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-12,314020112 A設(shè)設(shè)求求A的特征值與特征向量的特征值與特征向量0314020112 EA 02)1(2 A的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式得得A的特征值的特征值 1=-1, 2= 3=2 當(dāng)當(dāng)1=-1時(shí)時(shí),有有(A+E)x=0方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2009.

8、7.22方陣的特征值與特征向量4-1-13 000414030111321xxx 000000010101321xxx解之得解之得, x2=0, x1=x3為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù)矩陣矩陣A屬于屬于1=-1的全部特征向量的全部特征向量于是相應(yīng)的特征向量可取于是相應(yīng)的特征向量可取p1=(1,0,1)Tk1 p1 = k1(1,0,1)T k1 0為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù)方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-14 000114000114321xxx 000000000114321xxx解之得解之得 -4x1+ x2+x3=0矩陣矩陣A屬于屬于2= 3

9、=2的全部特征向量的全部特征向量于是相應(yīng)的特征向量可取于是相應(yīng)的特征向量可取p2=(0,1,-1)T, p3=(1,0,4)T當(dāng)當(dāng)2= 3=2時(shí)時(shí),有有(A-2E)x=0k2 p2+ k3 p3 = k2(0,1,-1)T+ k3(1,0,4)Tk2 k3 0為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù)方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-15n階方陣階方陣A為奇異矩陣的充要條件是為奇異矩陣的充要條件是A有一有一個(gè)特征值等于個(gè)特征值等于0.必要性必要性 若若A為奇異矩陣為奇異矩陣,則則|A|=0,于是有于是有|0I-A|=(-1)n |A|=0,故故0是是A的一個(gè)

10、特征值的一個(gè)特征值.若若0是是A的一個(gè)特征值的一個(gè)特征值,其相應(yīng)的特征向量其相應(yīng)的特征向量x,充分性充分性由定義知由定義知 Ax=0 x=0 ,因特征向量因特征向量x0,要使齊次線性方程組要使齊次線性方程組Ax=0 有有非零解非零解,則需要?jiǎng)t需要|A|=0,即即A為奇異為奇異.方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-16證明證明 若若是矩陣是矩陣A的特征值的特征值,x是是A的屬于的屬于 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再繼續(xù)施行上述步驟再繼續(xù)施行上述步驟m-2次次,就得就得xxAmm 的特征向量的特征向量,則有則有(1)m 是是Am

11、的特征值的特征值(m是任意常數(shù)是任意常數(shù))故故m 是是Am的特征值的特征值,且且x是是Am 屬于屬于m的特征的特征向量向量.(2)當(dāng)當(dāng)|A|0時(shí)時(shí),則則-1 是是A-1的特征值的特征值.方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-17可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 故故-1 是是A-1的特征值的特征值,且且x是是A-1 屬于屬于-1的特征向量的特征向量.(2)若若|A|0時(shí)時(shí),則則A可逆可逆,于是知于是知A的特征值的特征值0.方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-18xA

12、x0 使使)()(0 xkAxk xkxkA)()(0 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)設(shè)0 是是A的特征值的特征值,則則k0 是是kA的特征值的特征值 證明證明若若0 是是A的特征值的特征值, 則則x0于是于是k0 是是kA的特征值的特征值.2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-19方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量性質(zhì)性質(zhì)2 設(shè)設(shè)0 是是A的特征值的特征值,且且|A|0,則則-1 是是A-1的的 證明證明 見例見例5特征值特征值2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-20方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量性質(zhì)性質(zhì)3 n階方陣階

13、方陣A與其轉(zhuǎn)置矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征值有相同的特征值. . 證明證明 ,TTAIAI 因因?yàn)闉門TAIAIAI )(故故A與與AT有相同的特征值有相同的特征值. .2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-21 nianjij,2,111 njaniij, 2 , 11)2(1 或或.xAx ., 2 , 11nixxaijnjij 即即有有kjjxxmax 設(shè)設(shè)性質(zhì)性質(zhì)4 n階方陣階方陣A=(aij), 如果如果(1)有一個(gè)成立有一個(gè)成立,則則A的所的所有特征值有特征值k (k=1,2, ,n)的模的模| |k |1.只需證只需證A的任意特征值的任意特征值的模的模| | |1

14、即可即可.設(shè)設(shè)A的屬于的屬于的特征向量為的特征向量為x,于是有于是有方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-22 njkjkjkkxxaxx11 所所以以有有111 njkjnjkjkjaxxa ., 2 , 11nkk 既有既有 | | |1,再由再由的任意性知的任意性知 類似證明類似證明(2). (2). 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-23).x(xAx0 既既有有 ji),n,i(xAxjiii 且且21性質(zhì)性質(zhì)5 設(shè)設(shè)1,2, ,m為方陣為方陣A的的m個(gè)特征值個(gè)特征值, 量

15、量,如果如果1,2, ,m各不相同各不相同,則則x 1, x 2, , x mx1, x2, , xm 分別為方陣分別為方陣A的與之相應(yīng)的的與之相應(yīng)的特征向特征向利用數(shù)學(xué)歸納法證明利用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)當(dāng)k=1=1時(shí)時(shí), ,結(jié)論顯然成立結(jié)論顯然成立. .假設(shè)假設(shè)k= =m-1-1時(shí)時(shí), ,結(jié)論成立結(jié)論成立, ,那么當(dāng)那么當(dāng)k= =m時(shí)時(shí), ,有有) 1 (. 02211 mmxkxkxk線性無關(guān)線性無關(guān).方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-24,AxkAxkAxkmm02211 20222111 mmmxkxkxk 302211 mmmmm

16、xkxmkxk ,x)(kx)(kx)(kmmmmmm0111222111 用用A左乘左乘(1)有有用用m左乘左乘(1)有有(3)-(2)有有因因1,2, ,m-1各不相同各不相同,且且x1, x2, ,x m-1線性線性則則k 1=k 2= = k m-1=0 , 代入代入(1)式得式得 k m=0 .于是于是x 1, x 2, x m線性無關(guān)線性無關(guān).無關(guān)無關(guān),方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-25性質(zhì)性質(zhì)6 設(shè)設(shè)n階方陣階方陣A的全部特征值的全部特征值 1,2, ,n,則有則有 (1) 1+2+ +n=a11+a22+ann略略.

17、 .即即A的所有特征值的和等于的所有特征值的和等于A的主對(duì)角線元素之和的主對(duì)角線元素之和;方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量(2) 12 n=|A|A的所有特征值的積等于的所有特征值的積等于A的行列式值的行列式值.2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-26,12402111 xA設(shè)設(shè)2= 2, 求求x值和值和A的另一特征值的另一特征值利用上述性質(zhì)利用上述性質(zhì)6,知知而而|A|=x+2,于是解得于是解得 3=3,x=4方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量已知已知A有有特征值特征值 1=1, 1+2+ 3=1+x+112 3=|A|2009.7.22方陣的特征值與特征向量4-1-27注意注意1.屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的2.屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量3.矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的而言的,一個(gè)特征值具