高等代數(shù)最重要的基本概念匯總

1、數(shù)環(huán)和數(shù)域定義定義設(shè)S是復(fù)數(shù)集C的一個(gè)非空子集 稱S是一個(gè)數(shù)環(huán)。設(shè)F是一個(gè)數(shù)環(huán)。如果(i)F是一個(gè)不等于零的數(shù)；,如果對于S中任意兩個(gè)數(shù) a、b來說，a+b,a-b,ab 都在S內(nèi)，那么定理a-F，那么就稱F是一個(gè)數(shù)域。b任何數(shù)域都包含有理數(shù)域，有理數(shù)域是最小的數(shù)域。(ii)如果a、b F,并且b第二章多項(xiàng)式元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算定義數(shù)環(huán)R上的一個(gè)文字的多項(xiàng)式或一元多項(xiàng)式指的是形式表達(dá)式aoa-ixa2X2 LnanX，項(xiàng)式定義定義定理是非負(fù)整數(shù)而a0,a1,a2,L an中，ao叫作零次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng),若是數(shù)環(huán)R上兩個(gè)一元多項(xiàng)式就說f X和ganXn叫作多項(xiàng)式2a0 a1X a2X2.1.1 設(shè)都

2、是iaiXR中的數(shù)。叫作一次項(xiàng)，一般， ai叫作i次項(xiàng)的系數(shù)。x和g x有完全相同的項(xiàng)，或者只差一些系數(shù)為零的項(xiàng)，那么X就說是相等ao2a1Xa2XnanX，ananXn，an0的最高次項(xiàng)，非負(fù)整數(shù)n叫作多項(xiàng)式0的次數(shù)。是數(shù)環(huán)R上兩個(gè)多項(xiàng)式，并且f X 0，g X 0,那么1)ii多項(xiàng)式的加法和乘法滿足以下運(yùn)算規(guī)則:加法交換律：f X g X g X f X ；加法結(jié)合律:乘法交換律:04 ) 乘法結(jié)合律：f xg xg x f x；fxghx f x g xhx5 ) 乘法對加法的分配律：h x f xgx f xh x。推論2.1.1當(dāng)且僅當(dāng) f x 和gx 中至少有一個(gè)是零多項(xiàng)式推論2.

3、1.2f xhx ，且 fx 0 ，那么 g x h x多項(xiàng)式的整除性F 是一個(gè)數(shù)域。x 是 F 上一元多項(xiàng)式環(huán)定義是數(shù)域 F 上多項(xiàng)式環(huán)f x 的兩個(gè)多項(xiàng)式。如果存在x 的多項(xiàng)式 h x ，使gxx ，我們說，整除(能除盡)gx。多項(xiàng)式整除的一些基本性質(zhì)：1)如果，那么xh2)如果，那么gx3)如果，那么對于x 中的任意多項(xiàng)式x 來說， h x fxgx4)fi,i1,2,3,L ,t, 那么對于 f x 中任意gi x i 1,2,3,L,t,5)次多項(xiàng)式，也就是F 中不等于零的數(shù)，整除任意多項(xiàng)式。6)每一個(gè)多項(xiàng)式 f x 都能被 cf x 整除，這里 c 是 F 中任意一個(gè)不等于零的數(shù)。

4、7)如果 fx g x ， g x f x ，那么 f x cg x ，這里 c 是 F 中的一個(gè)不等于零的數(shù)f x，g x 是兩個(gè)任意的多項(xiàng)式，并且 g x0 。那么 f x 可以寫成以下形式gxqxr x ，這里r x 0 ，或者 r x 的次數(shù)小于 g x 的次數(shù)。定理 2.2.1的任意兩個(gè)多項(xiàng)式，并且 g x 0 。那么在 f x 中可以找到多項(xiàng)和 r x ，使3)xqx r x這里或者r x0，或者rX的次數(shù)小于g X的次數(shù)，滿足以上條件的多項(xiàng)式q X和r只有一對。設(shè)數(shù)域F含有數(shù)域和g X是f X的兩個(gè)多項(xiàng)式，如果在f x里g X不能整除那么在F X里g X也不能整除定義1假定h和g

5、 X的任一公因式，那么由rk 3rk 2 x qk 1 xrk 1rk 2rk 1 X qk Xrk Xrk 1r X qk 1 X中的第一個(gè)等式,也一定能整除r1 X。同理,由第二個(gè)等式,h X也一定能整除2。如6)此逐步推下去，最后得岀h X能整除rk X，這樣,rk X的確是和g X的一個(gè)最大公因式，這種求最大公因式的方法叫做展轉(zhuǎn)相除法。定義2設(shè)以g X XI n 1 I q Xbn 1Xbn 2X次幕的系數(shù)得bn 1an ,a以下格式annanXnan 1XLa1x所得的商b,Xbb及余式r XCo，比較q x r x兩端同bnan 1aban 1)abn 1bn 1anbn 2用這種

6、方法求商和余式(的系數(shù))稱為綜合除法。)n 1，b0印ad, coa0 ab0，這種計(jì)算可以排成an 2La1ao)abn 2L)ah)abobn 3LboCo多項(xiàng)式的最大公因式設(shè)F是一個(gè)數(shù)域。f X是F上一元多項(xiàng)式環(huán)定義1令設(shè)f X和g X是fx的任意兩個(gè)多項(xiàng)式，若是f Xf X和g X，那么h X叫作f X與g X的一個(gè)公因式。定義2設(shè)d X是多項(xiàng)式f X與g X的一個(gè)公因式。若是 d X因式整除，那么d X叫作f X與g X的一個(gè)最大公因式。的一個(gè)多項(xiàng)式h X同時(shí)整除能被f X與g X的每一個(gè)公定理2.3.1 f X的任意兩個(gè)多項(xiàng)式f X與g X 一定有最大公因式。除一個(gè)零次因式外,與g

7、 X的最大公因式是唯一確定的，這就說，若d X是fx與g X的一個(gè)最大公因式，那么數(shù)域F的任何一個(gè)不為零的數(shù) c與d X的乘積cd X 也是f X與g X的一個(gè)最大公因式；而且當(dāng)f X與g X不完全為零時(shí)，只有這樣的乘積才是f X與g X的最大公因式。11)從數(shù)域F過度渡到數(shù)域F時(shí)，f X與g X的最大公因式本質(zhì)上沒有改變。12)定理若d x是f x的多項(xiàng)式f X與g的最大公因式，那么在f X里可以求得多項(xiàng)式和 v X，使以下等式成立:(2)f X u X g X V X =df X x,g X=x+1，那么以下等式成立:2X+1 X-12x2 2x 1 但 2x22x 1顯然不是f X與g

8、X的最大公因。定義3如果f X的兩個(gè)多項(xiàng)式除零次多項(xiàng)式外不在有其他的公因式,我們就說，這兩個(gè)多項(xiàng)式互素。定理 f X的兩個(gè)多項(xiàng)式f X與g X互素的充要條件是：在f X中可以求得多項(xiàng)式u X和V X，使(4)f X u X g X V X =1從這個(gè)定理我們可以推岀關(guān)于互素多項(xiàng)式的以下重要事實(shí):18)若多項(xiàng)式與g X都與多項(xiàng)式h互素，那么乘積 f X g X也與h X互素。19)若多項(xiàng)式整除多項(xiàng)式f X與g的乘積，而h X與f X互素，那么h X一定整除20)若多項(xiàng)式與h X都整除多項(xiàng)式X，而gX與h X互素，那么乘積 g Xh X也整除最大公因式的定義可以推廣到n n 2個(gè)多項(xiàng)式的情形:若是

9、多項(xiàng)式h X整除多多項(xiàng)式f1 X , f2 X ,L , fnX中的每一個(gè)，那么 h X叫作這n個(gè)多項(xiàng)式的一個(gè)公因式。若是f1 X , f2 X ,L , fn X的公因式d X能被這n個(gè)多項(xiàng)式的每一個(gè)公因式整除，那么d X叫作f1 X , f2 X , L , fn X的一個(gè)最大公因式。若doX是多項(xiàng)式f1X ,f2X , L ,fn1 X的一個(gè)最大公因式，那么doX是多項(xiàng)式fnX的最大公因式也是多項(xiàng)式f1 X , f2 X ,L , fn 1 X的最大公因式。若多項(xiàng)式x , f2 x ,L , fn x 除零次多項(xiàng)式外，沒有其他的公因式，就是說這一組多項(xiàng)式互素。2.4 多項(xiàng)式的分解定義 1

10、的任何一個(gè)多項(xiàng)式 f X，那么F的任何不為零的元素 C都是f X的因式，另一方面，C與的乘積 c f x 也總是 f x 的因式。我們把 f x 這樣的因式叫作它的平凡因式，定義 2X 是 f X 的一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式。若是 f X 在 f X 只有平凡因式， f X 說是在數(shù)域 F 上(或在 f X 中)不可約。若 f X 除平凡因式外，在 f X 中還有其他因式， f X 就說是在 F 上(或在 f x 中)可約。如果f X的一個(gè)n (n>0)次多項(xiàng)式能夠分解成f X中兩個(gè)次數(shù)小于 n的多項(xiàng)式g x 與 h x 的乘積：1)x，那么 f x 在 F 上可約。若是 f x 在 f

11、x 中的任一個(gè)形如1)的分解式總含有一個(gè)零次因式，那么f x 在 F 上不可約。不可約多項(xiàng)式的一些重要性質(zhì)：1)如果多項(xiàng)式 p x 不可約，那么F 中任一不為零的元素 c 與 p x 的乘積p x 也不可約。2)設(shè) p x 是一個(gè)不可約多項(xiàng)式而f X 是一個(gè)任意多項(xiàng)式，那么或者 P與 f x 互素，或者p x 整除 f x 。3)4)如果多項(xiàng)式 f X 與 g X 的乘積能被不可約多項(xiàng)式 P X 整除，那么至少有一個(gè)因式被 整除。如果多項(xiàng)式 f1 X , f2 X ,L , fs X s 2 的乘積能被不可約多項(xiàng)式 P X 整除，那么至少有一個(gè)因定理定理式被 p2.4.12.4.2x 整除。f

12、 x 的每一個(gè) n(n>0) 次多項(xiàng)式 f x 都可以分解成 f x 的不可約多項(xiàng)式的乘積。令 f x 是 f x 的一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，并且此處Ci與qj X i 1,2, L , r, j 1,2,L ,s都是f x的不可約多項(xiàng)式，那么r s，并且適當(dāng)調(diào)換qj x的次序后可使qj X c X Pi X ,i 1,2,L ,r,此處c, x是f上的不為形如定義 f解式是唯一的。k1ap1 Xp2 X是唯一確定的。的多項(xiàng)式k2 ktL pt X的多項(xiàng)式叫作多項(xiàng)f X的典型分解式，每一個(gè)典型分解式都重因式的導(dǎo)數(shù)或一階導(dǎo)數(shù)指的是f x 的多項(xiàng)式fXa1 2a2X L nanXn 1一階導(dǎo)

13、數(shù) f x 的導(dǎo)數(shù)叫作f x 的二階導(dǎo)數(shù)，記作 fx ， f x 的導(dǎo)數(shù)叫作 f x 的三階導(dǎo)數(shù)，記作 f X ，等等。 f X 的 k 階導(dǎo)數(shù)也記作x。關(guān)于和與積的導(dǎo)數(shù)公式仍然成立：1)fX2)gXfX3)kfX k1 f X定理 2.5.1設(shè) p x 是多項(xiàng)式 f x的一個(gè) k k1 重因式。那么 p x 是 f x 的導(dǎo)數(shù)的一個(gè) k-1 重因式。定理 2.5.2多項(xiàng)式 f x 沒有重因式的充要條件是f x 與它的導(dǎo)數(shù) f x 互素。多項(xiàng)式函數(shù) 多項(xiàng)式的根設(shè)給定了1 R 的一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)數(shù) cR,那么在f X的表示式里，把 x用c來代替，就得到R的一個(gè)數(shù)這個(gè)數(shù)叫作當(dāng)X c時(shí)，f X的值，

14、并且用 f c來表示。對于 R上的每一個(gè)數(shù)C,就有R中唯一確定的數(shù) f c與它對應(yīng)。就得到 R與R的一個(gè)影射。這個(gè)影射是由多項(xiàng)式f X所確定的，叫作 R上的一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)。定理261 設(shè)f X R X ,c R，用X C除f X所得的余式等于當(dāng) X C時(shí)f X的值f C定義 令f X是R X的一個(gè)多項(xiàng)式而c是R中的一個(gè)數(shù)，若是當(dāng) X c時(shí)f X的值f c 0，那么c叫作 f X 在數(shù)環(huán) R 中的一個(gè)根。定理262的根的充要條件是 f x能被x c整除。定理263x中一個(gè)n 0次多項(xiàng)式。那么 f x在R中至多有n個(gè)不同的根。定理2.6.4x是R x的兩個(gè)多項(xiàng)式，它們的次數(shù)都不大于n。若是以R中n

15、+1個(gè)或更多不定理2.6.5同的數(shù)來代替x時(shí),每次所得f x與g x的值都相等，那么f x =g x 。R x的兩個(gè)多項(xiàng)式f x與g x相等，當(dāng)且僅當(dāng)她們所定義的R上多項(xiàng)式函數(shù)相等。這個(gè)公式叫作拉格朗日(Lagra nge)插值公式。復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式定理2.7.1(代數(shù)基本定理)任何n n 0次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中至少有一個(gè)根。定理2.7.2 任何n n 0次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中有n個(gè)根(按重根重?cái)?shù)計(jì)算)。復(fù)數(shù)域C上任一 n n 0次多項(xiàng)式可以在 C x里分解為一次因式的乘積。負(fù)數(shù)域上任一次大于1的多項(xiàng)式都是可約的。定理2.7.6若實(shí)數(shù)多項(xiàng)式f x有一個(gè)非實(shí)的復(fù)數(shù)根，那么的共軛數(shù) 也是f X的根，

16、并且 與定理定理2.7.42.7.5有同一重?cái)?shù)。換句話說，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的非實(shí)的非實(shí)的復(fù)數(shù)根兩兩成對。 實(shí)數(shù)域上不可約多項(xiàng)式，除一次多項(xiàng)式外，只含非實(shí)共軛復(fù)數(shù)根的二次多項(xiàng)式。 每一個(gè)次數(shù)大于0的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式都可以分解為實(shí)系數(shù)的一次和二次不可約因式的乘積。有理數(shù)域上多項(xiàng)式那么定義引理定理是整數(shù)環(huán)Z上的一個(gè)n 0次多項(xiàng)式。如果存在 g x ,h x Z x，它們的次數(shù)都小于n,使得f x(1)、g X、h x自然可以看成有理數(shù)域Q上的多項(xiàng)式。等式(1)表明,f x在Q x中是可約的。若是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式 f x的系數(shù)互素，那么 f x叫作一個(gè)原本多項(xiàng)式。2.8.12.8.1兩個(gè)原本多項(xiàng)式的乘積仍然是

17、一個(gè)原本多項(xiàng)式。若是一個(gè)整系數(shù) n 0次多項(xiàng)式f x在有理數(shù)域上可約，那么總可以分解成次數(shù)都小于n的兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。定理是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。若是能夠找到一個(gè)素?cái)?shù)2.8.2(艾森斯坦(Eisenstein )判別法)設(shè) P，使得(i )最高次項(xiàng)系數(shù)an不能被P整除;(ii)其余各項(xiàng)都能被 P整除;(iii )常數(shù)項(xiàng)a0不能被P2整除,那么多項(xiàng)式f x在有理數(shù)域上不可約。有理數(shù)域上任意次的不可約多項(xiàng)式都存在。定理2.8.3 設(shè)f Xa0xn a1xn 1 Lan是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。若是有理數(shù)-是f x的一個(gè)根,v這里u和v是互素的整數(shù)，那么(i)v整除f X的最高次項(xiàng)系數(shù)ao，而u整除f

18、X的常數(shù)項(xiàng)an ；(ii)，這里q X是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。多元多項(xiàng)式在這一節(jié)里，R總表示一個(gè)數(shù)環(huán),令X, ,x2, x3,L ,xn 是 n 個(gè)文字,形如k1 k2kn ,亠一 4 ,ax1 X2L Xn 的表示式。其中R,ki, k2,Lkn是非負(fù)整數(shù)，叫作R上x,X2丄,xn的一個(gè)單項(xiàng)式。a叫作這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)，如果某一ki0，那么kiX可以不寫，約定 ax1k1 LxJXji L x/nki 1 ki 1axk1LL xnkn。因此,n個(gè)文字的單項(xiàng)式總可以看成n個(gè)文字的單項(xiàng)式。特別，當(dāng)k k? ks L kn 0時(shí)，我們有ax/xL形式表達(dá)式 aiX,k11k12, k1nX2 L Xn

19、a2x,k21k22 . k2n .ks1 ks2 . ksnX2L XnLasX1 X2L Xn ,aiR，kj是非負(fù)整數(shù)i 1,2,3, L ,s; j1,2,L ,n，叫作R上n個(gè)文字X1, X2,X3,L ,Xn的一個(gè)多項(xiàng)式，或簡稱 R上一個(gè)n元多項(xiàng)式。我們通常用符號f Xi,X2,L ,Xn ，g X|,X2丄,Xn等來表示R上n個(gè)文字Xi, X2,X3,L , Xn的多項(xiàng)式。定理2.9.1數(shù)環(huán)R上的兩個(gè)n元多項(xiàng)式f X|,X2,L , Xn與g X1,X2,L ,Xn的乘積是首項(xiàng)等于這兩個(gè)多項(xiàng)定理2.9.2式首項(xiàng)的乘積。特別，兩個(gè)非零多項(xiàng)式的乘積也不等于零。 數(shù)環(huán)R上兩個(gè)不等于零的

20、 n元多項(xiàng)式的乘積的次數(shù)等于這兩個(gè)多項(xiàng)式次數(shù)的和。定理2.9.3X1,X2,L ,Xn是數(shù)環(huán)R上的一個(gè)n元多項(xiàng)式，如果對于任意c1,C2,L cnRn都有q,C2丄 Cn0，那么 f n,X2,L ,Xn0推論2.9.1X1,X2,L ,Xn與g X-i, X2 ,L , Xn是數(shù)環(huán)R上n元多項(xiàng)式，如果對于任意G,C2,L CnRn 都有 f C1,C2,L Cng G,C2,L Cn，那么fX1,X2,L,Xngc1,c2,Lcn. 換句話說，如果由fX1,X2 ,L,Xn與g X|,X2,L ,Xn確定的多項(xiàng)式函數(shù) f與g相等，那么這兩個(gè)多項(xiàng)式相等。對稱多項(xiàng)式定義Xi,X2,L ,Xn是數(shù)

21、環(huán)R上的一個(gè)n元多項(xiàng)式，如果對于這n個(gè)文字Xi,X2,X3,L , Xn的指標(biāo)集1,2,L ,n 施行任意一個(gè)置換后，f X1,X2,L ,Xn 都不改變，那么就稱 f X1,X2,L ,Xn是 R 上一個(gè) n 元對稱多項(xiàng)式。定義n 1X1X2L Xn 1X1X2LXn2XnLX2X3L Xn, nX1X2L Xn，這里 r 表示x1, x2, x3,L , xn中k個(gè)所作的一切可能乘積的和，這樣的n個(gè)多項(xiàng)式顯然都是 n元對稱多項(xiàng)引理2.10.1式。我們稱這 n 個(gè)多項(xiàng)式1, 2,L , n 為 n 元對等對稱多項(xiàng)式。設(shè) f X1,X2,L ,XnaL inx11x； L Xn是數(shù)環(huán)R上一個(gè)n

22、元對稱多項(xiàng)式，以i代替xi，1 i n ，得到關(guān)于2,L , n 的一個(gè)多項(xiàng)式1, 2,L , nai1i2 L in12 L n 。如果 f1, 2,L , n 0，那么一切系數(shù)ai1i2L i0 ，即 fX1,X2,L ,Xn0定理2.10.1數(shù)環(huán)R上一 n元對稱多項(xiàng)式 f Xi,X2,L ,Xn都可以表示成初等對稱多項(xiàng)式1, 2,L , n 的系數(shù)在 R 中的多項(xiàng)式，并且這種表示法是唯一的。推論2.10.1設(shè)f x是數(shù)域F上的一個(gè)一元n次多項(xiàng)式，它的最高次項(xiàng)系數(shù)是1 。令 1,2,L , n 是f X 是復(fù)數(shù)域內(nèi)的全部根（按重根重?cái)?shù)計(jì)算）。那么2,L ,n 的每一個(gè)系數(shù)取自 F 的F 的

23、一個(gè)數(shù)。對稱多項(xiàng)式都是 f x的系數(shù)的多項(xiàng)式（它的系數(shù)在 F內(nèi)）因而是第三章 行列式排列定義 1定義n個(gè)數(shù)碼1, 2，n的一個(gè)排列指的是由這 n個(gè)數(shù)碼組成的一個(gè)有序組，叫做數(shù)碼的排列。2 一般的在一個(gè)排列里，如果某一個(gè)較大的數(shù)碼排在一個(gè)較小的數(shù)碼前面，就說這兩個(gè)數(shù)碼構(gòu)成一個(gè)反序，在一個(gè)排列里出現(xiàn)的反序總數(shù)的總和叫做這個(gè)排列的反序數(shù)（逆序數(shù)）。一個(gè)排列的逆序數(shù)可能是偶數(shù)也可能是奇數(shù)，有偶數(shù)個(gè)逆序數(shù)的排列叫作一個(gè)偶排列；有奇數(shù)個(gè)逆序數(shù)的 排列叫作一個(gè)奇排列。定義3如果把這個(gè)排列里任意兩個(gè)數(shù)碼i與j交換一下，而其余的數(shù)碼保持不動(dòng)，那么就得到一個(gè)新的排列，對于排列所施行的這樣一個(gè)變換叫作一個(gè)對換，并且

24、用符號i, j 來表示。定理3.2.1設(shè)ilizL in和jljzL jn是n個(gè)數(shù)碼的任意兩個(gè)排列，那么總可以通過一系列對換由ilizL in得定理3.2.2定理3.2.3我們用符號岀 jlj2L jn。每一個(gè)對換都改變排列的奇偶性。n 2時(shí)，n個(gè)數(shù)碼的奇排列與偶排列的個(gè)數(shù)相等，各為n階行列式j(luò)L jn來表示排列j1 j2L jn的逆序數(shù)。定義1用符號表示的n階行列式指的是n項(xiàng)的代數(shù)和，這些項(xiàng)是一切可能取自的不同的行與不同的列上的n個(gè)元素的乘積。項(xiàng) a1 j a2 j L anjn的符號為1j1j八jn，也就是說，當(dāng)j1j2L jn是偶排列時(shí)，這一項(xiàng)的符號為正，當(dāng)j1 j2L jn是奇排列時(shí)，

25、這一項(xiàng)的符號為負(fù)。定義2 如果把n階行列式D的行變?yōu)榱?，就得到一個(gè)新的行列式D叫作D的轉(zhuǎn)置行列式。引理3.3.1從n階行列式的第 m丄,in行和j1, j2,L , jn列取岀的元素作積ai, j1 ai2 j2L a.'njn，這里i1, i2,L Jn和j1 , j 2,L , jn都是1，2，n這n個(gè)數(shù)碼的排列，那么這一項(xiàng)在行列式中的符s t號是 1 ,s il in ,tjL jn命題 命題 推論 命題 推論 推論 推論 命題3.3.13.3.23.3.13.3.33.3.23.3.33.3.43.3.4行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。交換一個(gè)行列式的兩行（或兩列），行列式改變符號

26、。如果一個(gè)行列式有兩行（列）完全相同，那么這個(gè)行列式等于零。把一個(gè)行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一個(gè)數(shù)k，等于以數(shù)k乘以這個(gè)行列式。一個(gè)行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的符號外邊。如果一個(gè)行列式中有一行（列）的元素全是零，那么這個(gè)行列式等于零。如果一個(gè)行列式有兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，那么這個(gè)行列式等于零。設(shè)行列式D的第行的所有元素都可以表示成兩項(xiàng)的和:a11Ma12Ma1nMb1Ci1Mb2Ci2MbinCtnMan1Lann命題定義定義那么D等于兩個(gè)行列式Di與02的和，其中Di的第i行的元素是bii,bi2,L bin , D2的第i仃兀素是cii,ci2 ,

27、L , Cin ,而Di與 02的其他各行都和 D的一樣。3.3.5把行列式的某一行（列）的元素乘以同一數(shù)后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上，行列式不變。子式和代數(shù)余子式行列式的依行列展開1在一個(gè)n階行列式D中任意取定k行和k列。位于這些行列式的相交處的元素所構(gòu)成的 叫作行列式D的一個(gè)k階子式。k階行列式2 n n 1階行列式j(luò)后，叫作元素aij的代數(shù)余子式。元素aj的代數(shù)余子式用符號 Aj來表示：Aj1 i j Mi的某一元素aij的余子式 Mij指的是在D中劃去aij所在的行和列后所余下的n 1階子式。定義3 n階行列式D的元素aij的余子式 M ij附以符號 1 i定理3.4.1若在一個(gè)n階

28、行列式中，第i行（或第j列）的元素除aij都是零，那么這個(gè)行列式等于aij與它的代數(shù)余子式 Aj的乘積:D aij Aij定理3.4.2 行列式D等于它任意一行（列）的所有元素與它們對應(yīng)代數(shù)余子式的乘積的和。換句話說，行 列式有依行或依列展開式：Dai1Ai1ai2 A2 LainAini 1,2，L ，nDaj1Aj1aj2Aj2L ajnAjn1,2,L , n定理3.4.3 行列式的某一行（或列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積的和等于零。換句話說,ai1Ai1ai2Ai2L ain An0 i3.5 克拉默法則設(shè)給定了一個(gè)含有 n個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組利用1的系數(shù)

29、可以構(gòu)成一個(gè)n階行列式a11a12a1 na21a22a2nMMMan1an2 Lann這個(gè)行列式叫作方程組1的行列式。定理3.5.1（克拉默Cramer）法則）一個(gè)含有n個(gè)未知量的n個(gè)方程的線性方程組1當(dāng)它的行列式 D 0時(shí)，有且僅有一個(gè)解X,D1,x2d2,LD D,XnDn，此處的Dj是把行列式的第j列的元定義定理定義定義定理定義定義定理定理素?fù)Q以方程組的常數(shù)項(xiàng)b,b2,L ,bn而得到的n階行列式。第四章線性方程組我們對線性方程組施行這三個(gè)初等變換：（i）（ii）（iii）消元法交換兩個(gè)方程的位置；用一個(gè)不等于零的數(shù)乘以某個(gè)方程；用一個(gè)數(shù)乘以某個(gè)方程后加到另一個(gè)方程;叫作線性方程組的初

30、等變換。4.1.1初等變換把一個(gè)線性方程組變?yōu)榕c它同解的線性方程組。1由st個(gè)數(shù)Cj排成的一個(gè)s行和t列的表叫作一個(gè)s行t列（或s t）矩陣。Cj叫作這個(gè)矩陣的元素。2矩陣的行（或列）初等變換指的是對一個(gè)矩陣施行的下列變換:（i）交換矩陣的兩行（或列）；（ii）用一個(gè)不等于零的數(shù)乘以矩陣的某一行 （列），即用一個(gè)不等于零的數(shù)乘以矩陣的某一行 的每一個(gè)元素；（iii ）用某一個(gè)數(shù)乘以矩陣的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一數(shù)乘以矩陣的某一行的每一個(gè)元素后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上。4.1.2 設(shè)A是一個(gè)m行n列的矩陣：通過行初等變換和第一種列初等變換能把A化為以下形式：進(jìn)而化為以下形式：

31、這里r 0, r m,r n,*表示矩陣的元素，但不同的位置上*的表示的元素未必相同。矩陣的秩線性方程組可解的判別法（列）（列）1在一個(gè)s行t列的矩陣中，任意取k行k列k s, k t。位于這些行列式的交點(diǎn)處的元素變元素的相對位置）所構(gòu)成的2 一個(gè)矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫作這個(gè)矩陣的秩。若一個(gè)矩陣沒有不等于領(lǐng)的子式，就認(rèn) 為這個(gè)矩陣的秩是；零。4.2.1初等變換不改變矩鎮(zhèn)的秩。k階行列式叫作這個(gè)矩陣的一個(gè)k階子式。4.2.2（線性方程組可解的判別法）線性方程組1有解的充要條件是：它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有（不改相同的秩。定理4.2.3設(shè)線性方程組1的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩r，那么r

32、等于方程組所含有未知量的個(gè)數(shù)n時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng) r n時(shí)，方程組有無窮多個(gè)解。線性方程組的公解定理4.3.1設(shè)方程組1有解，它的系數(shù)矩陣 A和增廣矩陣 A共同秩是r 0。那么可以在 1的m個(gè)方程中選岀r個(gè)方程，使得剩下的 m r個(gè)方程中的每一個(gè)都是這r個(gè)方程的結(jié)果，因而解方程組1可以歸結(jié)為解這r個(gè)方程所組成的線性方程組。定義定理推論4.3.23若是一個(gè)線性方程組的常數(shù)項(xiàng)等于零，那么這個(gè)方程組叫作一個(gè)齊次線性方程組。4.3.2一個(gè)齊次線性方程組有非零解的充要條件是：它的系數(shù)矩陣的秩r小于它的未知量的個(gè)數(shù)4.3.1 含有n個(gè)未知量的n個(gè)方程的齊次線性方程組有非零解的充要條件是：方程組的系數(shù)行

33、列式等 于零。若在一個(gè)齊次線性方程組中，方程的個(gè)數(shù)m小于未知量的個(gè)數(shù) n，那么這個(gè)方程組一定有非零解。定理4.4.1 如果多項(xiàng)式結(jié)式和判別式mm 11ca0xa-iX L am m 0 ，定理有公共根，或者4.4.2 設(shè)a0bo0 ,那么它們的結(jié)式等于零。是復(fù)數(shù)域C上多項(xiàng)式。f,g是它們的結(jié)式。(i)如果a。0，而1,C是f X的全部根，那么 R f,g0 .an g 1 g 2 L g m(ii )如果b0 0 ,而1,n C是g X的全部根，那么R f,g1 nmb0mf定理4.4.3 如果多項(xiàng)式fX的結(jié)式等于零，那么或者它們的最高次項(xiàng)系數(shù)都等于零，或者這兩個(gè)多項(xiàng)式有公共根。第五章矩陣矩陣

34、的運(yùn)算定義令F是一個(gè)數(shù)域。用F的元素aij作成的一個(gè)m行n列的矩陣a11ai2La1na21a22La2nMMMam1am2Lamn叫作一個(gè)F上的矩陣。A也簡記作 aij ，為了指明A的行數(shù)和列數(shù)，有時(shí)也把它記作Amn或 amn。求數(shù)與矩陣定義1數(shù)域F上的一個(gè) m n矩陣A aj的乘積aA指的是m n矩陣aa的乘積的運(yùn)算叫作數(shù)與矩陣的乘法。定義2兩個(gè)m n矩陣A aij , B bj的和a+b指的是m n矩陣aijbij 。求兩個(gè)矩陣的和的運(yùn)算叫作矩陣的加法。注意：我們只能把行數(shù)相同，列數(shù)相同的兩個(gè)矩陣相加。以上兩種運(yùn)算的一個(gè)重要的特例是 數(shù)列的運(yùn)算我們把由F的n個(gè)數(shù)所組成的數(shù)列 al,a2,

35、L , an叫作F上的一個(gè)n元數(shù)列。這樣的一個(gè)n元素列可以理解為一個(gè)一行n列矩陣a1,a2,L ,an，也可以理解為一個(gè)n行一列矩陣a,，這樣，作為以上定義的矩陣運(yùn)M算的特例，就得到F的數(shù)與n元數(shù)列的乘法以及兩個(gè)n元數(shù)列的加法:a ai ,a2,L , anaa, aa?, L , aa*由定義1和定義2,得岀以下運(yùn)算規(guī)律:這里A, B,和C表示任意 m 利用負(fù)矩陣我們定義矩陣的減法:于是有A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C);0+A=A;A+(-)A=0a(A+B)= aA+Bb ；(a+b)A= aA+Ab;A(Ba)=(ab)A;n矩陣，而a和b表示F中的任意數(shù)。A-B=A+

36、(-B),B定義3數(shù)域F上m n的矩陣aij與n p矩陣B(bj)的乘積AB指的是這樣的一個(gè) m n矩陣，這個(gè)矩陣的第i行和第列1,2, L ,m, j 1,2,L ,p的元素q等于a的第i行的元素與B的第j列的對應(yīng)元素的乘積的和:cijai1b1 jai2b2 j Lain bnj律：C=A ( BC)這個(gè)乘法可以圖示如下:矩陣乘法滿足定義我們把者E是1,結(jié)合(AB)主對角線(從左上腳到右下腳的對角線)上元素 的n階方陣叫作n階單位矩陣，記作In ,有時(shí)簡記作I。I有以下性質(zhì)：矩陣的乘法和加法滿足分配律:A(B C) AB AC , (B C)A BA CA。矩陣的乘法和數(shù)與矩陣的乘法顯然滿足以下運(yùn)算規(guī)律:a(AB) aA BA aB。定義4設(shè)m n矩陣m n矩陣把A的行變?yōu)榱兴玫降?叫作矩陣A的轉(zhuǎn)置。矩陣的轉(zhuǎn)置滿足以下規(guī)律：可逆矩陣矩陣乘積的行列式定義 令A(yù)是數(shù)域F上的一個(gè)n階矩陣，若是存在 F上的一個(gè)n階矩陣B,使得AB BA I，那么叫作一 個(gè)可逆矩陣（或非奇異矩陣），而 B叫作A的逆矩陣。定義我們把以下三種矩陣叫作初等矩陣：初等矩陣都是可逆的，并且它們的逆矩仍然是初等矩陣。引理5.2.1設(shè)對矩陣A施行一個(gè)初等變