異面直線所成的角直線與平面所成的角二面角專題復習與提高

1、知識梳理一、異面直線所成的角及求法(1) 定義：在空間任意取一點，過該點分別作兩異面直線的平行線所成的銳角或直角 稱為兩異面直線所成的角.n 取值范圍：若0是異面直線a和b所成的角，則其取值范圍是 0 (0，冗當0=亍時，稱異面直線a和b垂直，記為a丄b.(3)求法：平移法：將兩異面直線中的一條或兩條平移至某特殊點后，構(gòu)造三角形, 通過解該三角形而求其大小;二、直線與平面所成的角及求法(1)定義：設(shè)I和a分別表示直線與平面.若I /a或I a，則稱直線I和平面a所成的角為0;若I丄a,則稱I與a所成的角為一；若I與a相交，貝9 I2與I在a內(nèi)的射影所成的銳角為直線I與平面a所成的角.(2) 取

2、值范圍：設(shè)0是直線I與平面a所成的角，則0的取值范圍是0,.2(3) 求法：定義法：探尋直線I在平面a內(nèi)的射影，(通常由垂直法找射影)構(gòu)造直線丨與平面a所成角對應(yīng)的直角三角形，通過解該直角三角形而求得直線與平面所成的角.三、二面角及求法 (1)定義：在二面角的棱上任取一點，分別在二面角的兩個面內(nèi)作棱的垂線，則這兩 垂線所成的角稱為該二面角的平面角，且定義平面角的大小為該二面角的大小. 取值范圍：規(guī)定二面角的取值范圍為0，n .(3)求法：定義法：分別在二面角的兩個面內(nèi)作棱的垂線，則這兩垂線所成的角稱為 該二面角的平面角練習提升 1.如圖，E、F分別是三棱錐 P ABC勺棱AP BC的中點，PG

3、= 10，A吐6，EF=乙 則異面直線AB與PC所成的角為(B. 45.90A. 30 C. 60 答案：C2.已知長方體 ABCABiCD 中，AB= BO4,CC= 2,則直線BC和平面DBBD所成的角的正弦值為(答案：C3.如圖，在邊長為1的菱形ABC中，/ ABG= 60,將菱形沿對角線 AC折起，使折起后BD= 1,則二面角B- AC- D的余弦值為 (BAC答案：A4.在正方體 ABCB ABCD中，BC與對角面DDBiB所成角的大小是B. 30A. 15 C. 45 D. 60答案：B5.如圖，ABCB ABiCD是長方體，AA= a,/ BAB =/ BAC = 30，貝y A

4、B與AC所成的角為，AA與BiC所成的角為答案：30，4506. 在正方體 ABCB ABCD中,直線AiB與平面ABCDff成的角是CA6(2)直線AB與平面ABC所成的角是 (3)直線AB與平面ABCD所成的角是答案 (1)45 (2)30 (3)90 7.設(shè)直線與平面所成角的大小范圍為集合P,二面角的平面角大小范圍為集合Q異面直線所成角的大小范圍為集合R,則P、Q R的關(guān)系為()A. R= PQB. RPQC. PRQD.RP= Q答案：B8 .設(shè) ABCffiA DBC所在兩平面互相垂直,且 AB= BO BD= a,/CBAZ CB4120,則AD與平面BCD所成角的大小為.45.7

5、5A. 30C. 60解析：作AQL CB交CB的延長線于O,連接OD則OD即為AD在平面BCD內(nèi)的射影，/ ADC即為AD與平面BCD所成的角. AO O亠梟,/ AD345.答案：B9.如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點（不同于A B）且PA= AC則二面角P BC A的大小為A. 60B. 30C. 45D. 15答案 C10 .如圖，已知四棱錐 P- ABCD勺底面是正方形，PAI平面ABCD 且 PA= AD,則平面PAB與平面PCD所成的二面角的度數(shù)為（.60A. 90C. 45.30解析： AB/ CD面PAB與平面PCD的交線丨必為過P點與AB平行的直線

6、. PAL平面 ABCD PAL AB PA! CD 又 CDL AD DCL平面 PAD DC PD PAl , PDLl，即/ APD為所求二面角的平面角,/ AP&45.答案：C11.把正方形ABCD&對角線BD折成直二面角，對于下列結(jié)論:ACL BD ADO正三角形；AB與CD成 60角；AB與平面BCD成 60角則其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A. 1個 B . 2個 C . 3個 D . 4個C2 / ADC解析：取BD的中點0,貝y BDIOC BDIOA得BDIA0C 二 BDI AC 正確；cosADGcos45 cos45=60，AD= DC ADC是正三角形，正確； AB與CD

7、成 60角，正確；AB與平面BCD成角/ AB945，錯誤.答案：CC的平面角的余弦值是12.如圖所示的正方體 ABCBABCD中，過頂點B、D C作截面，則二面角 B- DCr111ri! /1 /礎(chǔ)解析：取CD的中點0,連接BO CO則BOL CD, COL CD,/ BO（是二面角B DG- C的平面角.設(shè)正方體的棱長為1,則CA 0& 乎，且 1, cos / B0. OB0謬ff13 .如圖，在直三棱柱 ABC- ABC中，AB= BO AA,棱AB BB的中點.則直線EF和BG所成的角是（A. 45B. 60C. 90D. 120解析：取BC的中點G, AB的中點H,連結(jié)FG BG

8、 HG EH則 FG/ BC,且601cos/ EFG= 2,故所求角為/ EFG或其補角就是所求的角，利用余弦定理可求得答案：B14.如圖，將Rt ABC沿斜邊上的高AD折成120的二面角C-AD-C，若直角邊AB= 4（3, AC= 46,則二面角A-BC D的正切值為（）D. 1解析：/ CDC= 120,過D作DEL BC于E,連結(jié)AE,則/ AED即為所求.又知ADI平面BC D, AD= 42,在 BC D中，由余弦定理求得 BC = 4、/3,再由面11AD -積公式 SaBC D=尹C DE= 2 BD- C D- sin60 知 DE= 4, / tan / AED= deV

9、2.答案：A點評：考查二面角的知識，余弦定理及三角形的邊角計算.如何作出二面角的平面角是解決此類問題的關(guān)鍵.15.在矩形ABC沖，A養(yǎng)3, AD= 4, PA!平面ABCDPA= 學，那么二面角 A BD-P5的度數(shù)是（）A. 30B. 45C. 60D. 75解析：如右圖所示，過A作AEI BD垂足為E,連結(jié)PE則PH BD三垂線定理）,故/ PEA為二面角P BD A的平面角.在 Rt BAD中,AB- AD 12 AB B 二號.在 Rt PAE中,tan / PE心AA=申，/ PE*30.答案：A16.正四棱錐P ABCD勺兩個側(cè)面角的平面角為（）A. 60C. 120解析：如圖，作

10、BE丄PC連結(jié)DE PDQA PBC DEL PC/ DEB就是二面角D- PC- B的平面角,0為DB的中點,又面 PABL面 PCD Pd 2ab,在 Rt POCK OC=所以PC=Oabtan / OEB=yj3，晉ABn2 n/OEB=，丄 DE*亍.答案：C17.如圖，在四棱錐V ABC沖，底面ABC兎邊長為2的正方形，其它四個側(cè)面都是側(cè)棱長為心的等腰三角形，則二面角 V- AB- C的度數(shù)是答案 60n18 .如圖，直角梯形 ABCDK AB/ CD / DA* ，點N分別在AB CD上,且MNL AB MCL CB BG= 2, MB= 4,現(xiàn)將梯形 ABCD& MN折起，使平

11、面 AMN與平面MNC垂直（如圖）.（1）求證：AB/平面DNC3當DN= 2時，求二面角D- BC- N的大小.解：（1）證明：MB/ NC MB平面DNC NC平面DNC； MB/平面DNC同理MAT平面DNC又M總MB= M 且MA MB平面MAB平面MA/平面NCDAE平面 MABAB* DNC過N作NHL BC交BC延長線于H,平面 AMND平面 MNCBDN!MNflDNL平面 MBCN從而 DHL BC/ DHN為二面角D- BC- N的平面角.由 MB= 4, BC= 2,Z MC&90 知/ MBC= 60,CN= 4-2cos60= 3,二 NHk3sin60 =由條件知：

12、tang 需零/ NHD= 30.占八、PA丄平19.如圖，已知在四棱錐P ABC呼，底面ABC是矩形,面 ABCD PA= AD= 1, A養(yǎng)2, E、F分別是 AB PD的中(1)求證：AF/平面PEC求PC與平面ABCDff成的角的正切值; 求二面角P EC D的正切值.解：(1)證明：如圖，取 PC的中點Q連接 OF OE 貝y F0/ DC1且 F0=2DC FO/ AE又E是AB的中點, F8 AE四邊形AEOF是平行四邊形,C AF/ OE又OE平面PECAF平面PEC AF/平面 PEC如圖，連接AC PAL平面 ABCD/ PCA是直線PC與平面ABCD所成的角.在 Rt P

13、AC中,tan / PC比 AC即直線PC與平面ABCD所成的角的正切值為如圖，作AMLCE交CE的延長線于M連接PM由三垂線定理得 PMLCE/ PMA是二面角P EC- D的平面角.AW半, tan / PMA=體型.二面角P- EC- D的正切值為羽.20.如圖所示，四棱錐 P ABC啲底面ABC是邊長為1的菱形,/ BCD= 60, E是 CD的中點，PAI底面 ABCD PA=a/3.(1)證明：平面PBEL平面PAB戶求二面角A BE P的大小.因為E是CD的中點，所以 BE!CDc(1)證明 如圖所示,連接BD由ABC是菱形且/ BC圧60知， BC是等邊三角形.又 AB/ CD

14、所以BE!AB又因為PA!平面ABCDBE平面ABCD所以PA BE而 PAG AB= A因此BE!平面PAB又BE平面PBE所以平面PBEL平面PAB解 由(1)知，BE!平面PAB PB平面PAB所以PB丄BE又AB! BE所以/ PBA是二面角A BE- P的平面角.在 Rt PAB中, tan / PB,則/ PBAf 60.故二面角A BE-P的大小是60.21.已知平面a外兩點A B到平面a的距離分別為1和2, A、B兩點在a內(nèi)的射影之間距離為Vs,求直線AB和平面a所成的角.解(1)如圖，當A、垂足分別為A、B,B位于平面a同側(cè)時，由點A、B分別向平面a作垂線,則 AA= 1,

15、BB= 2, BA = 3.過點 A作 AH! BB于 H,J則 AB和a所成角即為/ HAB而 tan / BA* 誘生/BA= 30.如圖，當A、B位于平面a異側(cè)時，經(jīng)A B分別作AA丄a于Ai, BB丄a于 Bi, ABH a= C,則AiBi為AB在平面a上的射影，/ BCB或/ ACA為AB與平面a所成角. BCEA ACA, AB= |AC= 2,二 BC= 2CA,而 BC+ CA=V3,/BB 2 廠tan / BC吐Bl=嘉=宀，/ BCE= 60,. AB與 a 所成角為 60.綜合(1)、 可知：AB與平面a所成角為30或60.22.如圖,PC上,且 DE/ BC(1)求證：BCL平面PACC/i在三棱錐P ABC中, PAI底面ABC / BC比90，點D E分別在棱PB(2)是否存在點E使得二面角A