整理導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、精品文檔第一講導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(第二次作業(yè))二、求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)1.具體函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)30. (1)設(shè) Z =1 n( jx +0),X竺+y竺 ex cyf (x, y)=屮 sin +ln x1 + x，則 fx(1,0) =1 +y/、丄 X +xyf(X, y) =arctan1 -xy則 fX(1,2) =u = In Jx2 +y2 +z2，則22r2du cu u22-ex cyCZ22x J3y .2z = f e dt，則C2zexey22x +2y31.設(shè) f(x, y) x + yIL0,(B) 2"yMO,。)，則fy'(0,0)=().(x,y)

2、=(O,O).(A) 4【答】B2 .抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)z =xy + f fx【其中f (u)為可導(dǎo)函數(shù)，求ly丿32.設(shè)33.設(shè)34.設(shè)(D) 0C ZCZx+ y excyz = f (2x-3y,x2+y2)，其中f (u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求C2Zexey(y )z = f(x,xy) +xg I-Ix丿，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),g具有二階導(dǎo)數(shù)，求c2zcxc y35.設(shè)函數(shù)f (u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，z = f (exsin y)滿足方程36.設(shè)變換!u x 2y可將方程+上Zlv = x + ayexexey3 .一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的(偏)導(dǎo)數(shù)x =申Q 其中®

3、(u)為可導(dǎo)函數(shù)，求 ZIz丿37.設(shè)38.設(shè)39.設(shè)【答】-20 z = 0簡(jiǎn)化為yr2r2C ZC Z2x十=e zf 厶f 厶excy點(diǎn)2=0 ,求常數(shù)a .cum，求 f (u).y 其中®(u)為可導(dǎo)函數(shù)，求Iz丿CZCZf(cx-az,cy bz)=0，求 a +b exy =y(x)由方程y-xey =1確定，求點(diǎn)yd2ydx22e2.r-'.r-'.CZ CZ x + y ex c yXT 的值.92-3精品文檔精品文檔/zz 1用z/z40.證明由方程 F I X +，y + 1=0所確定的函數(shù)Z =z(x, y)滿足x二+ y = z-xyIyX

4、丿cx-/z41.設(shè)z = z(x, y)是由z + ez =xy確定的二元函數(shù)，求 (1,1)4 .由方程組確定的隱函數(shù)的(偏)導(dǎo)數(shù)42.設(shè)z= f (x, y), X =(y, z)，其中f, W都是可微函數(shù)，求dyd X43.設(shè) u =u(x, y), V ：= v(x, y)是由方程組|x=eu +usinv,亠 確疋的函數(shù)，求iuly =e -ucosvcx cxsin V【答】=u,& eu (si nv-cosv)+15函數(shù)的全微分ucosv-edvdxueu(sin v-cosv)+12 244.當(dāng) X =2, y =1 時(shí)，函數(shù) Z = In(1 +x + y )的全

5、微分 d z =.21【答】一dx+-dy3345 .由方程xyz +Jx2 +y2 +z2 = 所確定的函數(shù)z= z(x, y)在點(diǎn)(-1, 0，處的全微分d z=.【答】dx+72d y46.設(shè)函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(X0,y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，則( (A)函數(shù)f (x,y)在點(diǎn)(x0, y0)處連續(xù)).(B)函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微(C) 一元函數(shù)f(x,y0)在點(diǎn)X0處可導(dǎo)【答】C(D )以上答案都不對(duì)47.函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(X0,y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在是函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(x。，y。)處連續(xù)的(A)充分條件(B )必要條件(C)充分必要條

6、件(D)既非充分也非必要的條件【答】D48.函數(shù)f (X, y)在點(diǎn)(X0,y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在是函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(Xq, y0)處可微的(A )充分條件(C)充分必要條件【答】B(B)(D)必要條件既非充分也非必要的條件49設(shè)函數(shù)f(X, y)xyy0,X2 +y豐0，則 f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處().(A)偏導(dǎo)數(shù)不存在【答】Bx2+y2(B)偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微=0(C)可微但偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)(D)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)50設(shè)函數(shù)f(X, y)屮一+)cFL 0,=),X2 + y2 H0,y2，則 f (x,y)在點(diǎn)(0,0)處(2丄 2-X + y = 0精品文檔(B) f，色連續(xù) c

7、x dy(D)不連續(xù)/ A 、 cf cf 十十卄(A)一,一不存在ex dy(C)可微【答】C6、方向?qū)?shù)與梯度51已知U是曲線X y Z =6,在點(diǎn)(1,2,1)處的切線向量，且它與與oz軸正向夾角為銳角，求X y + z = 0函數(shù)f(x,y,z) = Jx2 + y2 +Z2在點(diǎn)(1,1,0)處沿方向向量u的方向?qū)?shù)蘭CU1I答】Du "-1,0）1，-1,0*0 252.設(shè)U為拋物線y2 =4x在點(diǎn)(1,2)處與X軸正方向夾角為銳角的單位切向量，貝y函數(shù)z = ln(x+y)在點(diǎn)(1,2)處沿U方向的方向?qū)?shù)為 .【答】32 253已知U是空間曲線r： x=t, y=t ,

8、z=t -4t在點(diǎn)P (1,1,3)處的切線向量，且它與 Oz軸正向夾角為銳角，求函數(shù)f (x,y,z) =x2+yz在點(diǎn)P處沿方向向量u的方向?qū)?shù).CU= grad f u0 =2,-3,1丄,2,2| = 2 .2 2篤+占=1在該點(diǎn)的外法線方向的方向a b,33 3 J54.求函數(shù)f（X, y） =x2 - y2在點(diǎn)P （令，寺處沿曲線 導(dǎo)數(shù).=grad f Ln0 =0 .【答】竺cn55函數(shù)U =1 n(x2 +y2+z2 )在點(diǎn)(1,1,1)處的最大方向?qū)?shù)是【答】4=V3三、一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.求曲線的切線與法線56. (1)求曲線y =X3在點(diǎn)(1,1)處的切線與法線的方程.

9、(2)過(guò)點(diǎn)(2,0)作曲線y = X3的切線，求此 切線方程.57. 已知曲線y=ax2 ( a為常數(shù))與y=lnx在點(diǎn)x = b處有公共切線，求 a,b的值.58求極坐標(biāo)方程 P = a(1+cos&)的圖形對(duì)應(yīng) 日處的切線方程.59若曲線y=x2 +ax+b和2y=1 +xy3在點(diǎn)(1,1)處相切，其中a,b是常數(shù)，則().(A) a=0,b=2(B) a=1,b=3(C) a = 3,b=1(D) a = 1,b = 160.設(shè)f(X)為可導(dǎo)函數(shù)，它在X = 0的某鄰域內(nèi)滿足f(1 +x) 2f (1 X)=3x + o(x),其中o(x)是 當(dāng)XT 0時(shí)比x高階的無(wú)窮小量，則曲

10、線 y = f (x)在點(diǎn)(1, f(1) !處的切線方程為().精品文檔(A)y=x+2(B)y=x+1(C)y=x1(D)y = x261.設(shè)函數(shù)f(x)=(l nx)n的圖形在點(diǎn)(e,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(an,0)，試求lim f(an).n_jpc2.62.63.一元函數(shù)的單調(diào)性與極值1 2討論函數(shù)f(X)=(x -1)3(x -2)3的單調(diào)區(qū)間與極值.設(shè) lim f (x)= -1，則在點(diǎn) X = a 處(y (x-a)f '(a) hO(A)f (X)的導(dǎo)數(shù)存在，且(C)f (x)取得極小值(B) f (x)取得極大值(D) f (x)的導(dǎo)數(shù)不存在xe =ax有

11、幾個(gè)實(shí)數(shù)根?)內(nèi)，f'(X)>0, f "(x)0,則在(亠,0)內(nèi)，(). (B) f'(x)a0, f "(x) <0(D) f'(X)<0f'(x)c068.設(shè)函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)連續(xù), 圖形的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)，則(A) P =4, q =1(C) P = 3, q =2).(B)69 .設(shè)®(t)是正值連續(xù)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如右， 記P為函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，q為f(x)P = 4, q = 2 p = 2, q =3af(x) = J |x-tpp(t)dt ,a-a <x<a (a&

12、gt;0)，證明函數(shù)f (x)在區(qū)間a,a上的圖形是 向上凹的.oa第68題圖>x70. 先將函數(shù)f(X)=xln(1 +x2)展開成帶佩亞諾余項(xiàng)的 7階麥 克勞林公式，再求f(0)，并問(wèn)點(diǎn)(0,0)是否為該函數(shù)圖形的拐 點(diǎn)？4.函數(shù)的最大值與最小值71. 用輸油管把離岸 12公里的一座油井和沿岸往下20公里處的煉油廠連接起來(lái)(如圖 果水下輸油管的鋪設(shè)成本為每公里5.1.8 ),如50萬(wàn)元，陸地輸油管的鋪設(shè)成本為每公里30萬(wàn)元.問(wèn)應(yīng)如何鋪設(shè)64. 已知常數(shù)a >0，問(wèn)方程3. 一元函數(shù)圖形的凹凸性65. 求曲線y=xe的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).166. 用導(dǎo)數(shù)知識(shí)畫出函數(shù)y=(x +6)e

13、'的圖形.67. 如果 f (-X)= f(x)，且在(0,畑(A) f(X)>0, f "(X)aO(C) f'(x)<0, f ”(x) >0第71題圖 油井到煉油廠的輸油管道Pf (t)二一 ,其中P是 1 +cef(t)是到t時(shí)刻感染該病的72.某種疾病的傳播模型為水下和陸地輸油管，使總的連接費(fèi)用最小？【答】最小的連接成本為1080萬(wàn)元，最優(yōu)的連接方案 為：從煉油廠沿岸在陸地上鋪設(shè)11公里到D點(diǎn)，然后AD.在水下鋪設(shè)15公里的管道總?cè)丝跀?shù)，c是固定常數(shù)， 總?cè)藬?shù)，求(1 )該種疾病的傳播速率；(2)當(dāng)傳播速率最大時(shí)，感染該病的總?cè)藬?shù). 精品文

14、檔精品文檔73. 三角形由y =3x, y =30 2x, y = 0圍成，在三角形內(nèi)作矩形ABCD，其一邊AD與x軸重合, 另兩頂點(diǎn)B、C分別在y=3x,y=30-2x上，求此長(zhǎng)方形面積的最大值.5.用洛必達(dá)法則及泰勒公式求不定型極限h274. 設(shè)f(x)在X0處二階可導(dǎo)，求極限lim fX+hlfg+fX-h)h 屮75.計(jì)算下列極限(1)X-sin X lim xj+ xsin X - Jcosx limxl n(1 +x)2兀lim (1 -X2 )tanx(5)lim丄xx(3) lim TJx1lim(x2+2x F*f 11、2 xta n X 丿2(<1 1 + 2 丫(

15、7) lim I -sin + cos丨 xyJxXX 丿X2cosx-e 276.計(jì)算極限lim廠X-0 xln(1 +x3)(8) lim x-sinxFx+sin xlimXPdtT xsinxfsin 3xf (x) r77.設(shè)f(X)在點(diǎn)X=0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 四1廠+ 十=0，求(1) f(0), f'(0), f70)；(2)四 lx2 + X2 卜0 .78.設(shè) limln(1+x)；(ax")XTX2=2，則().(A)5a =1,b =2(B) a =0,b = 2(C)a =0,b = -52(D) a =0,b =2【答】(A)6.變化率與相關(guān)變化率

16、79. 一容器的側(cè)面和底面分別由曲線段而成(坐標(biāo)單位長(zhǎng)度為 1米)，若以每分鐘1立方米的速度向容器內(nèi)注水，求當(dāng)水面高度達(dá)到容器深 度一半時(shí)，水平面上升的速度.y = X2 1 (1 < X < 2)和直線段y = 0(0<x<1)繞y軸旋轉(zhuǎn)2【答】一(米/分)5兀8 0.現(xiàn)有甲乙兩條正在航行的船只，甲船向正南航行，乙船向正東直線航行.開始時(shí)甲船恰在乙船正北40 km處，后來(lái)在某一時(shí)刻測(cè)得甲船向南航行了20 km,此時(shí)速度為15 km/h ;乙船向東航行了15 km ,此時(shí)速度為 25 km/h .問(wèn)這時(shí)兩船是在分離還是在接近，速度是多少 ？【答】 它們正以3 km/h的

17、速度彼此遠(yuǎn)離.四、多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.空間曲線的切線和法平面81.空間曲線x =t, y =t2 -2t,z = t3-1在對(duì)應(yīng)于t=1的點(diǎn)處的切線方程 是.精品文檔第70題圖精品文檔X -1 y +1z_ 0_3f (X, y)在點(diǎn)(X0,y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，則下列結(jié)論正確的是(f(x,y)在點(diǎn)(X0,y0)處可微【答】182設(shè)函數(shù)(A)函數(shù)(B)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(X0,y0)處連續(xù)(C)曲線F = f(x,y),在點(diǎn)(X0,y0, f(x0,y0)的切線方向向量為0,1, fx'(X0,y0) X-X。(D)曲線(z = f (x, y),亠,在點(diǎn)(X0, y。，f

18、(X0,y0)的切線方向向量為1,0, fx(x0,y0)ly = y0【答】83.證明：圓柱螺旋線 r ： X =acost, y =asint, z =bt在任意一點(diǎn)處的切線都與某定直線交成相等 的夾角.【證明】曲線r上任意一點(diǎn)的切向量為：T = x'(t), y'(t),z'(t) =as in t,acost,b.因?yàn)閏os Y =:為常數(shù)，所以T與k交成相等的夾角，即圓柱螺旋線上任意一點(diǎn)處的切線都與7az軸交成相等的夾角.2384.曲線x =t,y =t ,z=t的所有切線中，與平面 x+2y + z = 4平行的切線(A)只有1條 (B)只有2條 (C)至少有3條 (D)不存在【答】B2.曲面的切平面和法線2 285求曲面z =8 -2x -3y在點(diǎn)(1,-1,3)處的切平面方程與法線方程.X -1 _ y +1 Z -3【答】4x 6 y+ z 13 =0 .=.-46-12 2 286.已知曲面z=x +y +z上點(diǎn)P處的切平面與平面 X2y+2z = 0平行，求點(diǎn) 面在該點(diǎn)的切平面方程.P的坐標(biāo)以及曲1 5【答】X-2y+2z+- =0 以及 X-2y+ 2z- =0 .