極坐標系教學設計

1、、教學目標（一）核心素養(yǎng) 通過這節(jié)課學習，認識極坐標系、能在極坐標系下用極坐標表示點的位置， 會進行極坐標和直 角坐標的互化，在直觀想象、數(shù)學抽象中感受極坐標的特點.（二）學習目標1. 通過實例，認識極坐標系，體會用極坐標表示點的特點.2. 了解用極坐標系表示點的不唯一性.3. 能進行極坐標系與平面直角坐標系的互化，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的 位置的區(qū)別.（三）學習重點1. 認識極坐標系的重要性.2. 用極坐標刻畫點的位置.3. 會進行極坐標與直角坐標的互化.（四）學習難點1.理解用極坐標刻畫點的位置的基本思想.2.認識點與極坐標之間的對應關系.、教學設計（一）課前設計1.預習任

2、務（1）讀一讀：閱讀教材第8頁至第11頁，填空：極坐標系的建立：在平面內(nèi)取一個定點 0，叫做極點；自極點0引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆時針方向），這樣 就建立了一個極坐標系.極坐標系內(nèi)一點的極坐標的規(guī)定： 設M是平面內(nèi)一點，極點0與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為;以極軸Ox為始邊，射線0M為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為.有序數(shù)對（，）叫做點M的極坐標，記為M （,）. 般地，不作特殊說明時，我們認為0，可取任意實數(shù).(2) 想一想：點與極坐標有什么關系?一般地，極坐標(，)與(，2k ) (k Z)表示同一個點.特別

3、地，極點0的坐標為(0,)( R)-如果規(guī)定0,02 ，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用 惟一的極坐標(,)表示；同時，極坐標(,)表示的點也是惟一確定的.極坐標系與直角坐標系如何轉(zhuǎn)化?把直角坐標系的原點作為極點，X軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的單位長度.設M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(X, y)，極坐標是(，)，則:cos , ysin222,y /CXy，tan(x0)X2.預習自測(1)在極坐標系中，下列各點中與(2,-)表示的不是同一個點的是3575A-(2'亍)B (2,)C- (2,亍2-【知識點】極坐標系【解題過程】由于極坐標(，)與(，2k ) (k Z

4、)表示同一個點,檢驗得，選項C不是同一個占I 八、【思路點撥】根據(jù)點的極坐標定義代入驗證可得【答案】C(2)已知點A的直角坐標為(0,2)，則點A的極坐標為()A- (2,尹-(2,0)C - (?,2)D - (2, ?)【知識點】極坐標與直角坐標互化【解題思路】根據(jù)極坐標與直角坐標互化公式可得:Jo2 222，顯然 一2【思路點撥】由極坐標與直角坐標互化可得【答案】A(3) 已知點M的極坐標為(3,)，則點M的直角坐標為()4A- （3,3）-（寥學）。（|，琴）D- g【知識點】極坐標與直角坐標互化【解題思路】根據(jù)極坐標與直角坐標互化公式可得：x3J2cos 2sin【思路點撥】由極坐標

5、與直角坐標互化可得【答案】B2(4) 已知A、B兩點極坐標為A(4,),B(6,)，則線段AB中點的極坐標為3 3【知識點】極坐標與直角坐標互化、中點坐標公式【解題過程】將 A,B兩點化為直角坐標得 A(2,2j3),B( 3, 3/3)，所以中點的直角坐標為(1爭，化為極坐標得(石)再化為極坐標【思路點撥】先化為直角坐標，利用在直角坐標系下的中點坐標公式求出中點,【答案】(1,)3(二)課堂設計1 .知識回顧(1)平面直角坐標系中的點P與坐標(a,b)是一一對應的.2.問題探究探究一結合實例，認識極坐標系 舌動提出問題，創(chuàng)設情境 如右圖1是某校園教學平面示意圖，假設某同學在教學樓處，請回答下

6、列問題:(1) 他向東偏北60方向走120m后到達什么位置？該位置唯一確定嗎?如果有人打聽體育館和辦公樓的位置，他應如何描述?(學生回答)(1)他向東偏北60方向走120m后到達是點C圖 書館的位置，該位置唯一確定.如果去體育館向正東方向走60m，去辦公樓向北偏西45走50m.上面刻畫位置是以A作為基點，并以射線 AB為參照方向，然后利用與 A距離和與AB所成角度來描述位置，例如 東偏北60，距離120m ”，即利用 距離”和角度”來刻畫平面上點的位置.在上一節(jié)中，我們用 在信息中心的西偏北45方向，距離680/l0m處”描述了巨響的位置.即以信息中心為基點，以正西方向為參照，用與信息中心的距

7、離與正西方向所成的角來刻 畫巨響的位置.有時候它比直角坐標更方便，在現(xiàn)實生活中，有很多的應用，例如臺風預報, 地震預報，測量、航空、航海中主要采用這種方法 .【設計意圖】從生活實例到數(shù)學問題，引入學習極坐標系概念的必要性， 形成用角和距離刻畫點的位置的直覺.舌動互動交流，類比提煉概念我們類比建立平面直角坐標系的過程，怎樣建立用距離與角度確定平面上點的位置的坐標 系？（學生討論交流）平面直角坐標系的建立是在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構成平面直 角坐標系，簡稱直角坐標系.通常，兩條數(shù)軸分別置于水平位置與垂直位置，取向右與向上的 方向分別為兩條數(shù)軸的正方向.水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，

8、垂直的數(shù)軸叫做 y軸或縱軸，它們的公共原點0稱為直角坐標系的原點，以點 0為原點的平面直角坐標系記作平面直角坐標系 xOy .類比上述過程，我們在平面內(nèi)取一個定點 0，叫做極點；自極點0引一條射線Ox，叫做 極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位 （通常取弧度）及其正方向（通常取逆時針方向），這樣就建立了一個極坐標系.極坐標建立后，如何來定義平面中的點的極坐標呢？如右圖2,設M是平面內(nèi)一點，極點0與點M的距離0M叫 做點M的極徑，記為 ；以極軸Ox為始邊，射線0M為終邊的 角xOM叫做點M的極角，記為.有序數(shù)對（，）叫做點M的極坐標，記為M （,）.一般地，不作特殊說明時，我們認為0， 可取任

9、意實數(shù).【設計意圖】從特殊到特殊，類比得到極坐標系，讓學生不會覺得極坐標系來得太突然，順其 自然得到點在極坐標系中的定義.x舌動鞏固基礎，檢查反饋例1在極坐標系里描出下列各點.455A(3,0)，B(3=) ,C(5,) , D(3,?), E(6,)2363【知識點】極坐標系的定義、點在極坐標系中的表示【數(shù)學思想】數(shù)形結合【解題過程】根據(jù)點在極坐標的表示,示的是點到極點的距離，表示射線與極軸所成的角，所以個點在極坐標的位置如圖.【思路點撥】欲確定點的位置，需先確定 P和0的值.【答案】如右圖.同類訓練在右圖3的極坐標系中描出下列點的位置：F(3,)，G(4,)4【知識點】極坐標系的定義、點在

10、極坐標系圖3中的表示【數(shù)學思想】數(shù)形結合【解題過程】根據(jù)點在極坐標的表示,表示的是點到極點的距離,表示射線與極軸所成的角，所以個點在極坐標的位置如圖 3.【思路點撥】欲確定點的位置，需先確定 P和0的值.【答案】如右圖3.探究二探究點與極坐標的對應關系 舌動認識差異、辨析極坐標系 在圖1中，用點A,B,C,D,E分別表示教學樓，體育館，圖書 館，實驗樓，辦公樓的位置.建立適當?shù)臉O坐標系，寫出各點 的極坐標.實臉樓我們以點A為極點，AB所在的射線為極軸(單位長度為1m)，圖4建立極坐標系，則 A,B,C,D,E 的極坐標分別為(0,0),(60,0),(120, ),(60u3),(50, )3

11、24建立極坐標系后，給定 和，就可以在平面內(nèi)惟一確定點 M，反過來，給點平面內(nèi)任意一點，也可以找到她的極坐標(，).但是否和平面直角坐標系中的點和直角坐標一樣，極坐 標和點事一一對應的關系呢?【設計意圖】通過對點的極坐標的認識，為后面點的極坐標不惟一做好鋪墊.舌動合作探究，解決問題 我們來觀察下列極坐標表示的點之間有何關系呢?由終邊相同的角的定義可知，上述極坐標表示的是同一個點，于是:一般地，極坐標(，)和(,2k )(k Z)表示同一個點，所以，極坐標和直角坐標不同,平面內(nèi)一個點的極坐標有無數(shù)種表示.特別地，極點0的極坐標為(0, )( R)如果我們規(guī)定0,02 ，那么除極點外，平面內(nèi)的點可

12、用惟一的極坐標(，)表示 同時，極坐標(，)表示的點也是惟一確定的.同類訓練在極坐標系中，寫出下圖中各點的極坐標(0,02 )A (4, 0) B () C ()D () F () G ()【知識點】極坐標系的定義、點在極坐標系中的表示【數(shù)學思想】數(shù)形結合【解題過程】根據(jù)點A的極坐標，可以得到其它點的極坐標 B(2-)，45 45C(3,2),D(1,石)，F(xiàn)(6, 丁)，G(5，虧).【思路點撥】(1)寫點的極坐標要注意順序：極徑P在前，極角0在后，不能把順序顛倒了.(2) 點的極坐標是不惟一的，但若限制P>0, 0<0< 2 n則除極點外，點的極坐標是惟一確定的.545【

13、答案】B(2 -)，C(3-),D(1),F(6 ),0(5).4 2633【設計意圖】通過辨析認識點的極坐標是不唯一的，加深對極坐標系的認識.探究三實現(xiàn)極坐標與直角坐標的互化 舌動歸納梳理、理解實質(zhì)平面內(nèi)的一個點既可以用直角坐標表示， 也可以用極坐標來表示，那么這兩種坐標之間有何聯(lián) 系呢？把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位, 如圖5所示.設M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x, y)，極坐標是(，)，于是極坐標與直角坐標的互化公式如下:這就是極坐標和直角坐標的互化公式.【設計意圖】得到直角坐標與極坐標之間的關系.My%0X活動鞏固基礎，檢查反

14、饋 例2分別把下列點的極坐標化為直角坐標(2,-) (2) (3,2)【知識點】極坐標與直角坐標互化.x(1)由ycossin2cos V3所以點的極坐標(2-)化為直角坐標為(73,1).62sin 6cos由3cos 2sin3si n 20所以點的極坐標(3-)化為直角坐標為(0,3).23【解題過程】【思路點撥】將點的極坐標(，)化為點的直角坐標(x,y)時，運用到求角0的正弦值和余弦值,熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，靈活運用三角恒等變換公式是關鍵.【答案】(1)(運1) (2) (0,3) 同類訓練分別把下列點的極坐標化為直角坐標2(1) (亠)(2)(,)3【知識點】極坐標與直角坐標

15、互化.【數(shù)學思想】【解題過程】(1)ycossin4cos334si n 32所以點的極坐標(4,乙)化為直角坐標為2433(2,2x/3) 【思路點撥】(2)由 Xycossincossin0所以點的極坐標(,)化為直角坐標為(,0).將點的極坐標(，)化為點的直角坐標(x,y)時，運用到求角0的正弦值和余弦值,熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，靈活運用三角恒等變換公式是關鍵.【答案】(1) ( 2,23) (2) (,0) 例3已知點B、C的直角坐標為(2, 2),(0, 15),求它的極坐標(p>0,0 <0<2n ).【知識點】極坐標與直角坐標互化.【解題過程】尸Jx2+

16、y2 J22( 2)2272,tan221且點位于第四象限Gn點B的極坐標為(/2 ,7n).4又 x=0,y<0, p=15,A點 C 的極坐標為(15,S).2【思路點撥】化點的直角坐標為極坐標時，一般取0,02 ，即0取最小正角，由tan 0 =X0的值.0 <2n)求0時，還需結合在直角坐標系下點(X, y)所在的象限來確定【答案】.同類訓練分別把下列點的直角坐標化為極坐標(限定P >,0 0<(1) W3,3) ;(2) ( 1, 1) ;(3) ( 3,0) 【知識點】極坐標與直角坐標互化.【數(shù)學思想】【解題過程】(1) &廚 3223, ta n-

17、373又因為點在第一象限，所以一所以點(73,3)的極坐標為(2方,一).33(2) 7( 1)2 ( 1)2 應,ta n 11又因為點在第三象限，所以乞.所以點(1, 1)的極坐標為(72,乞).44(3) J( 3)2 023，極角為，所以點(3,0)的極坐標為(3,).【思路點撥】化點的直角坐標為極坐標時，一般取 0,02，即0取最小正角，由tan 0 =x求0時，還需結合在直角坐標系下點(X, y)所在的象限來確定0的值.【答案】(1)(痢亍)(2)(返牛)(3)(3,).【設計意圖】鞏固檢查極坐標與直角坐標互化公式.3.課堂總結知識梳理(1)極坐標系的建立：在平面內(nèi)取一個定點 0，

18、叫做極點；自極點0引一條射線Ox,叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位 (通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)， 這樣就建立了一個極坐標系.(2)極坐標系內(nèi)一點的極坐標的規(guī)定：設M是平面內(nèi)一點，極點0與點M的距離0M叫做點M的極徑，記為 ；以極軸Ox為始邊，射線0M為終邊的角xOM叫做點M的極角，記 為.有序數(shù)對(，)叫做點M的極坐標，記為M (,).般地，不作特殊說明時，我們認為0， 可取任意實數(shù).(3) 如果規(guī)定 0,02 ，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用惟一的極坐標(，)表示同時，極坐標(,)表示的點也是惟一確定的.Z1y0X(4) 把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為

19、極軸，并在兩種坐標系中取相同 的長度單位，如圖所示.設M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是yi(x,y)，極坐標是(，)，于是極坐標與直角坐標的互化公式如下:重難點歸納(1)極坐標系就是用長度和角度來確定平面內(nèi)點的位置.極坐標系的建立有四個要素：極點；極軸；長度單位；角度單位和 它的正方向.四者缺一不可.(2) 寫點的極坐標要注意順序：極徑 P在前，極角0在后，不能顛倒順序(3) 若兩個坐標系符合三個前提條件：(1)極點與直角坐標系的原點重合；(2)極軸與直角坐標 系的x軸的正半軸重合；(3)兩種坐標系的單位長度相同.則其相互轉(zhuǎn)化：直角坐極坐標rM(,)（三）課后作業(yè)基礎型自主突破1.極坐標系中

20、,占八、P（2 ,1）到極點的距離是（A. OB. 1C. 2D.1【知識點】極坐標的定義.【解題過程】由極坐標定義P（2 ,1）已知 2，故P到極點的距離為2n【思路點撥】根據(jù)極坐標的定義進行判斷.【答案】D.2 .下列各點中與極坐標（5,）表示同一個點的是A. （5，y）B. （5, ）C. （5，6_【知識點】點在極坐標系中的表示.().)D.(5,7)【數(shù)學思想】【解題過程】根據(jù)極坐標（5,-）和（5,-2k)(kZ）表示同一個點，取k 1，得選項B .【思路點撥】極坐標（，）和（，2k)(kZ）表示同一個點.【答案】B.3.在直角坐標系中點P1,73，則它的極坐標是4A.2, B .

21、2,C.332, 3 d .2,【知識點】極坐標與直角坐標互化.【解題過程】因為J（ 73）2 12 2,tan蟲 43，且點在第四象限，所以選C【思路點撥】根據(jù)極坐標與直角坐標互化來求解.【答案】C.4 .已知0為極點,7 n匚，則 Saob ()6【知識點】極坐標系的建立、極坐標刻畫點的位置.A.2B.3C.4D.5【知識點】極坐標和直角坐標的互化,三角形面積.【數(shù)學思想】數(shù)形結合思想n【解題過程】因為A 2,- , B35,7 nn"6，所以 AOB -,則三角形為直角三角形，則面積1為2 2 5 5，所以選D.【思路點撥】根據(jù)極坐標的點對應的直角坐標系中的點解析分析其幾何關系

22、計算即可.【答案】D.5.規(guī)定 0, R，則極軸上極點以外的點的極坐標為【知識點】點與極坐標系的關系.【數(shù)學思想】【解題過程】因為在極軸上且不是極點，所以極角2k ,k乙極徑 0 ,所以極坐標為(,2k )(k Z).【思路點撥】根據(jù)極坐標的定義來處理.【答案】（，2k ）（k Z）.6.極坐標系中，與點（3,）關于極軸所在直線對稱的點的極坐標是【知識點】點的極坐標.【解題過程】因為（3,-）關于極軸所在直線對稱的點為（3,）.【思路點撥】將點描在極坐標系中來求解.【答案】（3-）.3能力型師生共研7.在極坐標系中，至U極點的距離等于到極軸的距離的點可以是（）A. (1,0) B. (2,4)

23、C. (3,2)D . (4,)sin ，所以sin 1，所以選C【數(shù)學思想】數(shù)學結合【解題過程】由題意知y，又由y sin ,【思路點撥】結合極坐標的定義和極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化.【答案】C2n)D( 4, y求它們的直角&已知點的極坐標分別為A(3,-), B(2,-43坐標.【知識點】直角坐標與極坐標互化.【解題過程】根據(jù)x= pcose, y= pinB得A(32乎),B(-1,咼,c(茸，0)，DO4)【思路點撥】利用極坐標與直角坐標互化公式求解.【答案】A(學 乎),B(- 1鳳c(當，0)，D(0，-4) 探究型多維突破9.已知點的直角坐標分別為 A(3,龐)，B(0,)

24、, C( 2, 273),求它們的極坐標(p0,0匪3< 2n.)【知識點】直角坐標與極坐標互化.【解題過程】(2)根據(jù) p= X2+ y2, tane=得 A(273, ), B(,)x636【思路點撥】利用極坐標與直角坐標互化公式求解.【答案】A(2性)，B魯魯)，C(4,寧).10.某大學校園的部分平面示意圖如圖:教學樓，圖書館，車庫,用點0, A, B, C, D, E, F, G分別表示校門，器材室，操場，公寓,花園，其中ABBC , OC 600 m.建立適當?shù)臉O坐標系，寫出除點B外各點的極坐標(限定0,02n且極點為(0, 0).【解題過程】為極點，錯誤!未定義書簽。0A所

25、在射線為極軸建立極坐標系，因為0C 600，AOCnn6, 故 C60% -又 OA 600nCOS-63003 , OD 600 sin n 300 , |OE| 300/2 , |OF| 300 , |OG| 150/2.故 A 300矗0 , D300，n , E 300運，手，F(xiàn) 300 n，G 15皿T【思路點撥】解決問題的關鍵是根據(jù)極坐標系計算即可.【答案】A 30/3,0，D 300,n，E 30072,3n，F(xiàn) 300, n，G 1502,匕244自助餐1.在極坐標系中，已知 A（2,石）,B（6,-），則OA,OB的夾角為（）.5A. B . 0C. D二636【知識點】極坐標的定義.【數(shù)學思想】數(shù)形結合思想.I解題過程】如圖所示，夾角為-【思路點撥】將A,B兩點的極坐標標在極坐標系中可得.【答案】C2 .設點P對應的復數(shù)為一3+ 3i，以原點為極點，實軸正半軸為極軸建立極坐標系，則點P的極坐標為（）C.【知識點】復數(shù)、極坐標與直角坐標互化.【解題過程】復數(shù) 3 3i對